Вычислить несобственный интеграл: способы нахождения

Понятие несобственного интеграла и его геометрический смысл

Для вычисления несобственных интегралов требуются хорошие знания определенных интегралов . и пределов . По сути несобственный интеграл — особый случай определенного интеграла.

Как и при решении определенного интеграла, в результате решения несобственного интеграла должно получиться некоторое число. Но это лишь тогда, когда несобственный интеграл сходится. Если же он расходится, то ответ так и записывается: несобственный интеграл расходится.

А теперь — о том, почему несобственный интеграл — особый случай определенного интеграла.

Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f(x) находится выше оси Ox, определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и ординатами x = a, x = b. В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f(x) (на рисунке ниже — красного цвета), x = a и осью абсцисс.

На чертеже показан геометрический смысл несобственного интеграла

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов.

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Свойства несобственного интеграла

  1. Несобственный интеграл
  2. Несобственный интеграл
  3. При любом Несобственный интеграл

Свойства 1 и 2 называют линейными, а свойство 3 — аддитивностью.

Теорема 1.1 (о замене переменной в несобственном интеграле). Пусть выполнены следующие условия:

  • непрерывно дифференцируемая и строго монотонная функция Несобственный интегралотображает промежуток Несобственный интегралв промежуток Несобственный интеграл, где Несобственный интеграли Несобственный интегралпри Несобственный интеграл
  • функция Несобственный интегралнепрерывна в промежутке Несобственный интеграл. Тогда интегралы

Несобственный интеграл

либо оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости справедливо равенство

Несобственный интеграл
(1.12)

Теорема 1.2 (об интегрировании по частям в несобственном интеграле). Пусть функции Несобственный интеграл
и Несобственный интегралнепрерывно дифференцируемы на промежутке Несобственный интеграли существует Несобственный интеграл.

Тогда интегралы

Несобственный интеграл

либо оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости справедливо равенство

Несобственный интеграл
(1.13)

где Несобственный интеграл

Определенный интеграл считается неуместным, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

  1. Поля интеграции бесконечны. Например, бесконечный разрыв.
  2. Функция не ограничена вблизи некоторых точек области интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Обобщим понятие интеграла на случай бесконечных промежутков. На прямой Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Рассмотрим для определенности полупрямую Несобственные интегралы - определение с примерами решения. Для этого предположим, что функция f(x) определена для всех Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи пусть она интегрируема на любом конечном отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Тогда на отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решениясуществует определенный интеграл Римана

Несобственные интегралы - определение с примерами решения. Этот определенный интеграл является функцией верхнего предела А:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Рассмотрим предел этой функции F(a) при Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Определение 21.1.1. Предел (21.1.1) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на полупрямой Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи обозначается символом

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

При этом говорят, что несобственный интеграл (21.1.2) сходится, и пишут равенство:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Символ (21.1.2) употребляют и в случае, если предела (21.1.1) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (21.1.2) расходится.

Аналогично определяется и несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениядля функции f(x), определенной на полупрямой Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи интегрируемой по Риману на любом отрезкеНесобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Если для функции f(х) имеют смысл несобственные интегралыНесобственные интегралы - определение с примерами решения, т.е. каждый из этих интегралов сходится, где а — любое действительное число, то несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится и справедливо равенство:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Следует отмстить, что в приложениях важную роль играет интеграл Пуассона:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Геометрически, он равен площади неограниченной криволинейной трапеции (см. рис. 21.1) Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Исследовать сходимость несобственного интегралаНесобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Поскольку функцияНесобственные интегралы - определение с примерами решения
интегрируема на отрезке [2;A], где Несобственные интегралы - определение с примерами решения, применяя определение 25.1.1, получим:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Следовательно, несобственный интегралНесобственные интегралы - определение с примерами решениясходится и справедливо равенство:Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Исследовать сходимость несобственного интеграла: Несобственные интегралы - определение с примерами решениягде а — произвольное действительное число.

Решение:

Поскольку функция Несобственные интегралы - определение с примерами решенияинтегрируема на любом отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решениято, применяя определение 21.1.1, получим:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Так какНесобственные интегралы - определение с примерами решения

а = 1, то при а > 1 несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится, а приНесобственные интегралы - определение с примерами решения— расходится.

При исследовании сходимости несобственных интегралов целесообразно применять достаточные признаки сходимости.

Предполагая, что функции f(х) и g(x) определены, неотрицательны и интегрируемы по Риману на любом отрезке [а,А],Несобственные интегралы - определение с примерами решения, сформулируем признаки сравнения.

Теорема 21.1.1. Пусть на полупрямой Несобственные интегралы - определение с примерами решениявыполняется неравенство:Несобственные интегралы - определение с примерами решения. Тогда из сходимости интеграла

Несобственные интегралы - определение с примерами решенияследует сходимость интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Теорема 21.1.2. Пусть на полупрямой Несобственные интегралы - определение с примерами решенияфункция f(x) удовлетворяет неравенству Несобственные интегралы - определение с примерами решения, где с и а — постоянные величины, а > 1. Тогда интегралНесобственные интегралы - определение с примерами решениясходится. Если же существует такая постоянная с > 0, что на полупрямойНесобственные интегралы - определение с примерами решениясправедливо неравенствоНесобственные интегралы - определение с примерами решения
то интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениярасходится.

Теорема 21.1.3. Пусть функция f(x) является ограниченной по сравнению с g(x) при Несобственные интегралы - определение с примерами решения, тогда, если интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится, то сходится и Несобственные интегралы - определение с примерами решения, а если интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениярасходится, то расходится и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Введем понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.

Несобственный интегралНесобственные интегралы - определение с примерами решенияназывается абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Если же интеграл

Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится, а интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениярасходится, то несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решенияназывается условно сходящимся.

Интегралы от неограниченных функций

Во всех предыдущих рассуждениях мы предполагали, что подынтегральная функция f(х) непрерывна на промежутке интегрирования. Поэтому, если мы хотим, чтобы некоторые неограниченные функции интегрировались в каком-то смысле, то нам нужно обобщить понятие определенного интеграла.

Пусть функция f(x) определена и неограниченна на полуинтервале [а,b), причем она ограничена на любом отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения,Несобственные интегралы - определение с примерами решения, заключенном в интервале Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Точку b при этом будем называть особой. Будем также предполагать, что функция f(x) интегрируема на отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения. Тогда можно говорить о функции:

Несобственные интегралы - определение с примерами решениязначение которой зависит от Несобственные интегралы - определение с примерами решенияследовательно, можно рассматривать правый предел Несобственные интегралы - определение с примерами решенияпри Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Определение 21.2.1. Правый предел (21.2.1) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом второго рода от функции f(х) на отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи обозначается символом:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

При этом говорят, что несобственный интеграл (21.2.2) сходится, и пишут равенство:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Символ (21.2.2) применяют и в случае, если указанного предела (21.2.3) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (21.2.3) расходится.

Из определения 21.2.1. следует, что если f(x) > 0 на [a,b), то несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
численно равен площади неограниченной области G (см. рис. 21.2).

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Действительно,

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

где Несобственные интегралы - определение с примерами решения, а если Несобственные интегралы - определение с примерами решениято

Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи площадь Несобственные интегралы - определение с примерами решения. В свою очередь, Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решениясогласно определению несобственного интеграла.

Итак, под несобственным интегралом будем понимать интеграл, определенный формулой (21.2.3).

Аналогично определяется и несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

от функции f(x), определенной на полуинтервале (a,b] и интегрируемой на всех отрезках

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Если же функция f(x) определена на интервале (a, b) и если при некотором выборе точки Несобственные интегралы - определение с примерами решения
существуют несобственные

интегралыНесобственные интегралы - определение с примерами решения, то по определению положим:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

При этом в рассматриваемом случае существование и величина

интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения
не зависит от выбора точки Несобственные интегралы - определение с примерами решения. Действительно, в этом случае функция f(x), очевидно, интегрируема на любом отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения
и равенство (21.2.5) равносильно равенству:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

причем переменныеНесобственные интегралы - определение с примерами решения
стремятся к своим пределам независимо друг от друга. Поэтому, естественно ограничиться изучением несобственных интегралов определяемых (21.2.3) и (21.2.4).

Пример №1

Функция Несобственные интегралы - определение с примерами решения
неограниченна и, следовательно, не интегрируема по Риману.

Несобственный же интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениясуществует:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример №2

Для функцииНесобственные интегралы - определение с примерами решения
несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
не существует, так как Несобственные интегралы - определение с примерами решения

На несобственные интегралы легко переносятся многие свойства интеграла Римана. Так, например, если функция f(x) непрерывна на полуинтервале

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
какая-либо первообразная функция f(х) на полуинтервале [a,b), то

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

где Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Равенство (21.2.6) понимается в том смысле, что или обе части равенства одновременно имеют смысл и тогда они равны, или они одновременно не имеют смысла.

Сформулируем и докажем критерий сходимости несобственных интегралов:

Теорема 21.2.2. Пусть функция f(x) определена и неотрицательна на полуинтервале [a,b). Тогда для того чтобы несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходился, необходимо и достаточно,чтобы интегралы Несобственные интегралы - определение с примерами решения
были ограничены в совокупности, т. е. чтобы существовала постоянная М > 0, такая, что Несобственные интегралы - определение с примерами решения, для любого числа Несобственные интегралы - определение с примерами решения, причем в этом случае Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Доказательство. Обозначим через Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Если Несобственные интегралы - определение с примерами решения, то в силу неотрицательности функции f(x) значение интеграла является неотрицательным числом:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Поэтому справедливо неравенствоНесобственные интегралы - определение с примерами решенияиз которого следует, что Несобственные интегралы - определение с примерами решения— монотонно возрастающая функция. Поэтому предел Несобственные интегралы - определение с примерами решениясуществует и он будет конечный, еслиНесобственные интегралы - определение с примерами решения— ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Ясно, чтоНесобственные интегралы - определение с примерами решения

Из теоремы следует, что для того, чтобы несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениярасходился, необходимо и достаточно, чтобы функция Несобственные интегралы - определение с примерами решениябыла не ограничена сверху: Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Поэтому когда несобственный интеграл расходится, то пишут: Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Сформулируем далее теоремы, которые называются признаками сравнения несобственных интегралов. Для этого предположим, что:

  • функции f(x) и g(x) определены и f(x) > 0, g(x) >0 на Несобственные интегралы - определение с примерами решения
  • f(x) и g(x) интегрируемы по Риману на любом отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Теорема 21.2.3. Пусть функция f(x) является ограниченной по сравнению с функцией g(x) в некоторой окрестности точки Ь:Несобственные интегралы - определение с примерами решения, тогда, если: Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится, то сходится и интегралНесобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решениярасходится, то расходится и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Следствие. Пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи lНесобственные интегралы - определение с примерами решениятогда:

  •  если интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится и Несобственные интегралы - определение с примерами решениято и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениятакже сходится;
  • если интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениярасходится и Несобственные интегралы - определение с примерами решения, то и иитеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решениятакже расходится.

В частности, если Несобственные интегралы - определение с примерами решения. то интегралы Несобственные интегралы - определение с примерами решенияиНесобственные интегралы - определение с примерами решениясходятся или расходятся одновременно.

Пример №3

Исследовать сходимость несобственного интеграла:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

На полуинтервале Несобственные интегралы - определение с примерами решения
для функции Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения, точка b является особой. Так как эта функция интегрируема на любом отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения, то, согласно определению 21.2.1, получим:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Вычислим полученные пределы:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи расходится при Несобственные интегралы - определение с примерами решения

В качестве функции сравнения часто бывает достаточно брать

Несобственные интегралы - определение с примерами решения, так как известно поведение интеграла:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Отметим, что если функция f(x) непрерывна на полуинтервале Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи b — особая точка, то интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода при помощи замены:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

В результате этой замены переменной, получим равенство: Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Из этого равенства следует, что если сходится интеграл

Несобственные интегралы - определение с примерами решения, т.е. существует предел: Несобственные интегралы - определение с примерами решения, то существует и предел Несобственные интегралы - определение с примерами решения, что означает сходимость несобственного интеграла первого родаНесобственные интегралы - определение с примерами решения
и равенство этого интеграла интегралу Несобственные интегралы - определение с примерами решения. И обратно, из сходимости несобственного интеграла первого рода следует сходимость несобственного интеграла второго рода и равенство этих двух интегралов.

Отметим, что несобственные интегралы первого рода широко применяются в экономических исследованиях. Так эффективность функционирования розничной торговли; валовой доход (сумму торговых сделок) розничной торговли от реализации товаров и услуг; общая сумма текущих издержек обращения и капиталовложений, сводимых к текущим затратам; совокупная денежная оценка полезности времени, расходуемого населением на приобретение товаров в розничной торговле и др. описывается при помощи несобственных интегралов.

Несобственные интегралы в высшей математике

Определенные интегралы с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной на интервале интегрирования функции.(Несобственные интегралы I рода).

Теорема: Пусть функция f(х) непрерывна на интервале Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(или интервалах Несобственные интегралы - определение с примерами решения). Если существует предел Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(или пределы Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решениясоответственно), то существует интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(или интегралы Несобственные интегралы - определение с примерами решениясоответственно).

Определенный интеграл с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной на интервале интегрирования функции называется несобственным интегралом I рода

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Замечание: Несобственный интеграл I рода вычисляется в смысле главного значения.

В дальнейшем будем изучать только интегралы Несобственные интегралы - определение с примерами решениядругие интегралы рассматриваются аналогично.

Пример:

Вычислить интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(применим метод замены переменной интегрирования) = Несобственные интегралы - определение с примерами решения(пересчитаем пределы интегрирования)

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственный интеграл I рода называется сходящимся, если пределы в указанных выше равенствах конечны, в противном случае несобственный интеграл I рода называется расходящимся.

Пример:

Выяснить сходимость интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Рассмотрим возможные случаи:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится при Несобственные интегралы - определение с примерами решения
и сходится при Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Этот интеграл часто используется в теории рядов (см. ниже). Рассмотрим признак сходимости несобственного интеграла I рода:

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на интервале Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи удовлетворяют неравенству Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Тогда: из сходимости интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решениявытекает сходимость интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения, а из расходимости интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решенияследует расходимость интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

На интервале Несобственные интегралы - определение с примерами решениясправедливы неравенства Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Так как Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится, то по признаку сходимости сходится и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

На интервале Несобственные интегралы - определение с примерами решениясправедливы неравенства Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Так как Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
расходится то по признаку сходимости расходится и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Следствие из теоремы. Если сходится интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения, то сходится и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Так как Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
сходится, то по признаку сходимости сходится и интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Определенные интегралы с конечными пределами интегрирования от функций, имеющих точки разрыва второго рода на интервале интегрирования. (Несобственные интегралы II рода).

Определение: Если функция f(х) не существует хотя бы в одной точкеНесобственные интегралы - определение с примерами решения
то интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решенияназывается несобственным интегралом II рода.

Если функция f(х) в точке Несобственные интегралы - определение с примерами решения
терпит разрыв II рода, то обычное определение определенного интеграла как предела интегральной суммы непригодно.

Вычисление определенного интеграла с конечными пределами от разрывной на интервале интегрирования функции производится посредством предельного перехода Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Если приведенные пределы существуют и конечны, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Пример:

Вычислить интегралНесобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Рассмотрим признак сходимости несобственных интегралов II рода:

Теорема: Пусть функции f(х) и g(x) непрерывны на интервале Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи удовлетворяют неравенству Несобственные интегралы - определение с примерами решения, а в точке Несобственные интегралы - определение с примерами решенияобе функции терпят разрыв II рода.

Тогда: из сходимости интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решениявытекает сходимость интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения, а из расходимости интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решенияследует расходимость интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения.

Применение определенного интеграла в науке и технике

  • Работа по сжатию пружины

Пусть тело массой m прикреплено к пружине с коэффициентом упругости k. Требуется вычислить работу, которую совершит сила упругости при растяжении пружины от а до b (Рис. 13):

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Рис. 13. Вычисление работы упругой силы. Из физики известно, что сила упругости Несобственные интегралы - определение с примерами решения
а работа Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Отсюда находим, что Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Если выполняется неравенство Несобственные интегралы - определение с примерами решения
т.е. она совершается против силы упругости. В противном случае работа совершается силой упругости.

Работа по откачке жидкости из резервуара

Пусть резервуар представляет собой параболоид вращения и имеет высоту Л. Резервуар заполнен жидкостью с плотностью р. Вычислить работу, которую надо совершить при полной откачке жидкости из резервуара (Рис. 14). Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Рис. 14. Вычисление работы по откачке жидкости из параболоида.

Параболоид вращения задается уравнением Несобственные интегралы - определение с примерами решения

На слой жидкости, расположенный на высоте между Несобственные интегралы - определение с примерами решениядействует сила тяжести Несобственные интегралы - определение с примерами решениягде g — ускорение свободного падения, dm — масса рассматриваемого слоя жидкости. В силу того, что Несобственные интегралы - определение с примерами решения(dV — объем рассматриваемого слоя жидкости), то Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Для тела вращения, которым является резервуар с жидкостью, элемент объема Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Работу, которую надо совершить по откачке этого слоя жидкости, равна Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Следовательно, работа по откачке всей жидкости из резервуара равна

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

  • Работа по постройке пирамиды

Пусть необходимо построить пирамиду высотой h со стороной основания а из материала с плотностью р . Требуется найти работу по возведению этой пирамиды (Рис. 15, обозначения расставить самостоятельно). Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Рис. 15. Вычисление работы по постройке пирамиды.

Для того, чтобы увеличить высоту пирамиды на Несобственные интегралы - определение с примерами решениянадо затратить материал массой Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Так как треугольник ЕОВ подобен треугольнику Несобственные интегралы - определение с примерами решения
В силу того, что треугольник ЕАВ подобен треугольнику Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Отсюда следует, что Несобственные интегралы - определение с примерами решеният.е. FG =

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Таким образом, сила тяжести, действующая на выделенный слой материала, будет равна Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Элемент работы определяется формулой Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Тогда работа по возведению всей пирамиды будет равна Несобственные интегралы - определение с примерами решения

  • Давление жидкости на вертикально погруженную стенку

Пусть в жидкость с плотностью р вертикально погрузили пластину. Требуется вычислить давление, оказываемое со стороны жидкости на пластину (Рис. 16). Давление на глубине х обозначим через Р(х), тогда давление в слое жидкости от х до х + dx будет равно Несобственные интегралы - определение с примерами решениягде

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Рис. 16. Вычисление давления жидкости на вертикально погруженную жидкость.

f(x) — функция которая описывает форму пластины. Отсюда находим давление, оказываемое со стороны жидкости на пластину:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример №4

Вычислить давление жидкости на пластину, имеющую форму полуокружности с радиусом R, диаметр которой совпадает с поверхностью (Рис. 17).

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Решение:

Рис. 17. Вычисление давления жидкости на пластину, имеющую форму полуокружности с радиусом R.

В данном примере Несобственные интегралы - определение с примерами решения
следовательно, давление жидкости на пластину равно Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Используя метод замены переменной интегрирования, показать самостоятельно, что давление равно Несобственные интегралы - определение с примерами решения

  • Вторая космическая скорость

Известно, что на любое тело массой m, которое находится на высоте х над поверхностью Земли, имеющей массу M и форму шара радиусом R, действует сила притяжения Земли Несобственные интегралы - определение с примерами решения— гравитационная постоянная. Второй космической скоростью называется такая скорость, при которой тело не возвращается на Землю. Это означает, что телу придается такая кинетическая энергия Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(y — скорость движения), что оно может быть удалено в бесконечно удаленную точку по отношению к Земле. Для того чтобы удалить тело в бесконечно удаленную точку по отношению к Земле, необходимо совершить работу против сил гравитацииНесобственные интегралы - определение с примерами решения

Приравнивая полученное выражение для работы значению кинетической энергии, получим выражение для второй космической скорости

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы первого рода

Несобственный интеграл первого рода – обобщение понятия интеграла Римана на бесконечный промежуток. Для бесконечного промежутка Δ составить суммы
Римана вида (1) § 24 нельзя.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Несобственные интегралы - определение с примерами решения  и интегрируема на любом конечном отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственным интегралом 1-го рода функции y=f(x) на промежутке Δ называется Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственный интеграл обозначается Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Таким образом:
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(1)
Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично:
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(2)
для функции y=f(x), определенной на промежутке Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи интегрируемой на
любом конечном промежутке [a b] и Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(3) где с – промежуточная точка , и интегралы в правой части формулы (3) вычисляются по формулам (1) и (2).

Пример:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Исследовать на сходимость Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Таким образом, интеграл сходится, если α > 1 и расходится, если α ≤ 1.
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции Несобственные интегралы - определение с примерами решения
определены на промежутке Несобственные интегралы - определение с примерами решения, интегрируемы на любом конечном промежутке [a b] и пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Тогда из сходимости Несобственные интегралы - определение с примерами решения следует сходимость Несобственные интегралы - определение с примерами решения, а из расходимости
Несобственные интегралы - определение с примерами решения следует расходимость Несобственные интегралы - определение с примерами решения.
Доказательство следует из неравенства: Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решения— положительны Несобственные интегралы - определение с примерами решения
удовлетворяют условиям определения 1 на этом
промежутке иНесобственные интегралы - определение с примерами решениясходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Пусть  ε >0 и такое, что A -ε − > 0, тогда из определения предела
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
такое, что Несобственные интегралы - определение с примерами решения
И далее доказательство следует из теоремы 1.
На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в
качестве g(x) часто используют функцию Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
при Несобственные интегралы - определение с примерами решения
следовательно, (см. пример 3), интеграл сходится.

Несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения называется абсолютно-сходящимся, если сходится интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственный интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решенияназывается условно-сходящимся, еслиНесобственные интегралы - определение с примерами решения— сходится, а интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения — расходится.

Теорема 3. Пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решения — сходится, тогда Несобственные интегралы - определение с примерами решения — также сходится.
Доказательство. Пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решения — сходится, тогда по критерию Коши (см.
теорему 5 § 3) Несобственные интегралы - определение с примерами решениявыполняется неравенство
Несобственные интегралы - определение с примерами решенияи по критерию Коши
Несобственные интегралы - определение с примерами решения— сходится.
Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
— сходится, (см. пример 1), тогда по признаку сравнения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения— сходится и, следовательно, Несобственные интегралы - определение с примерами решения — сходится абсолютно.

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Исследуем интегралы на сходимость.
Несобственные интегралы - определение с примерами решения

следовательно, сходится Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Аналогично: Несобственные интегралы - определение с примерами решения
сходится.
Исследуем интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
на абсолютную сходимость:
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
сходится (согласно п. 1), поэтому Несобственные интегралы - определение с примерами решения расходится, ⇒ по признаку сравнения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
расходится, поэтому Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится условно.
Аналогично: Несобственные интегралы - определение с примерами решения-сходится условно.
Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы Несобственные интегралы - определение с примерами решения — интегралы Френеля.

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Рассмотрим Несобственные интегралы - определение с примерами решения
сходится условно (см. пример 6), поэтому и Несобственные интегралы - определение с примерами решениясходится условно.
Аналогично Несобственные интегралы - определение с примерами решения сходится условно.
Значения интегралов: Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Замечание. Функции Несобственные интегралы - определение с примерами решения также называемые интегралами Френеля используются в оптике; c (t) и s (t) через  элементарные функции не выражаются.
Замечание. Кривая, заданная параметрически в виде: Несобственные интегралы - определение с примерами решения называется
клотоидой (спиралью Корню). Используется при проектировании и строительстве дорог и транспортных развязок (угловое ускорение машины, движущейся по кривой с постоянной скоростью, равно нулю).

Замечание. Несобственные интегралы - определение с примерами решения называется интегралом Дирихле; Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Интегралы Дирихле и Френеля являются примерами интегралов отфункций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Еще один такой пример – интеграл Пуассона (Эйлера-Пуассона или Гауссовинтеграл): Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Интеграл сходится и Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы второго рода

Несобственный интеграл второго рода – обобщение понятия интеграла Римана на случай, когда подинтегральная функция – неограниченна. Согласно необходимому условию интегрируемости функции (см. теорему 1 § 24) интегрируемая на промежутке Δ = [a b] функция ограничена на этом промежутке.

  • Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Δ = [a b), интегрируема на отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственным интегралом 2-го рода Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Таким образом:
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(1)
Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично Несобственные интегралы - определение с примерами решения
(2)  для функции y=f(x) определенной на промежутке Несобственные интегралы - определение с примерами решения
интегрируемой на отрезке Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Если же Несобственные интегралы - определение с примерами решения
то
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Если хотя бы один из пределов не существует, то интеграл расходится.

Пример №5

Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Так как оба предела равны −∞, то интеграл расходится.

Пример №6

Исследовать на сходимость Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Таким образом интеграл сходится, если Несобственные интегралы - определение с примерами решения
и расходится, если α ≥ 1.

Теорема 1. (признак сравнения). Пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решениятакие, как в определении 1а) , и пустьНесобственные интегралы - определение с примерами решения
Тогда из сходимости несобственного интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения следует сходимость
несобственного интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решенияа из расходимости несобственного интеграла
Несобственные интегралы - определение с примерами решенияследует расходимость несобственного интеграла Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Теорема 2. (предельный признак сравнения). Пусть Несобственные интегралы - определение с примерами решения
положительны Несобственные интегралы - определение с примерами решения
удовлетворяют условиям определения 1а) , и пусть
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Тогда интегралы Несобственные интегралы - определение с примерами решения сходятся илирасходятся одновременно.
Доказательство теорем 1 и 2 аналогично доказательству теорем. На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в качестве g (x) часто используют функцию Несобственные интегралы - определение с примерами решения .

Пример №7

Исследовать на сходимость интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Решение.
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
интеграл сходится.

Пример №8

Исследовать на сходимость Несобственные интегралы - определение с примерами решения (интеграл Эйлера).
Решение. Проверим сходимость. Несобственные интегралы - определение с примерами решенияпроинтегрируемпо частям  Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Несобственные интегралы - определение с примерами решения
Таким образом Несобственные интегралы - определение с примерами решения и можнодоопределить подинтегральную функцию до непрерывной на отрезок Несобственные интегралы - определение с примерами решения
поэтому интеграл Несобственные интегралы - определение с примерами решения – сходится.
Вычислим интеграл.
Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Оцените статью
Блог про прикладную математику