Вычислить криволинейный интеграл: 1 и 2 рода

Понятие криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
2. В каждой части свободно выбрать точку M.
3. Найти значение функции в выбранных точках.
4. Значения функции умножить на
   • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
   • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
5. Найти сумму всех произведений.
6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие обозначения.

• Mi(ζi; ηi) — выбранная на каждом участке точка с координатами.
• fi(ζi; ηi) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.
• Δsi — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).
• Δxi — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).
• d = maxΔsi — длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Постановка задачи. Вычислить криволинейный интеграл

где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически

и dl — дифференциал длины дуги.

План решения. Криволинейный интеграл первого рода по кривой L определяется формулой

Подчеркнем, что криволинейный интеграл первого рода не зависит
от направления обхода кривой и всегда

• Вычисляем
  и
• Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записываем ответ.

Замечание:

Если граничные точки кривой L
и

заданы в декартовых координатах, то
и
определяем, решая системы уравнений

Замечание:

Если кривая задана как линия пересечения двух
поверхностей:

то ее необходимо параметризовать.

Замечание:

Если плоская кривая задана уравнением у = у(х)

то дифференциал длины дуги равен
и формула (1) имеет вид

Если плоская кривая задана в полярных координатах

уравнением
то дифференциал длины дуги равен

и формула (1) имеет вид

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

где L — первый виток винтовой линии

Решение:

• Вычисляем: x'(t) = — sin t, y'(t) = cos t, z'(t) = 1,
  и
• Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл:

Ответ.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

где L — отрезок прямой от точки А(0, 0) до точки В(4, 3).

Решение:

• В данном случае уравнение прямой есть
  и, следовательно, и
• Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл:

Ответ.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

где L — часть спирали Архимеда

Решение:

• Вычисляем: так как при
• Подставляем эти результаты в формулу (1″) и вычисляем определенный интеграл:

Ответ.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл первого рода не изменяет своего знака, т. е. , где — кривая , пробегаемая в заданном направлении, — кривая , пробегаемая в противоположном направлении.
2. Если кривая с помощью некоторой точки разбита на части: , то

Криволинейным интегралом второго рода от пары функций и , взятым по кривой , понимается интеграл . Если кривая задана параметрическими уравнениями , то

Если кривая задана уравнением , то

Криволинейные интегралы второго рода

Постановка задачи. Вычислить криволинейный интеграл

где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически

План решения. Криволинейный интеграл второго рода по кривой L определяется формулой

• Вычисляем x'(t), y'(t) и z'(t).
• Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записываем ответ.

Замечание:

Если граничные точки кривой L и
заданы в декартовых координатах, то и определяем, решая системы уравнений

Замечание:

Если кривая задана как линия пересечения двух
поверхностей:

то ее необходимо параметризовать.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

по части кривой L, заданной параметрически

Решение:

• Вычисляем: x'(t) = — 2sin t, y'(t) = 2cos t и
• Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):

Ответ.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

от точки М(2,0, 4) до точки N(—2,0,4) по кривой L, образованной пересечением параболоида и плоскости z = 4,

Решение:

В сечении получается окружность

Поэтому параметрические уравнения кривой L имеют вид

• Вычисляем: х'(t) = -2sin t, у'(t) = 2cos t и z'(t) = 0.

Определяем из условий

Учитывая, что получаем и

• Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):

Ответ.

Свойства криволинейного интеграла второго рода

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак, т. е. .
2. Если кривая с помощью некоторой точки разбита на части: , то .

Циркуляцией называется криволинейный интеграл по замкнутой плоской линии . При положительном направлении ее обхода(против движения часовой стрелки) обозначается , а при отрицательном направлении обхода обозначается .

Обычно криволинейный интеграл зависит от линии интегрирования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки и , он будет иметь различные значения. Если же в некоторой области выражение является полным дифференциалом некоторой функции , то криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки и , а взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области , равен нулю.

Выражение будет полным дифференциалом функции в некоторой области , если и если непрерывны в этой области.

Полный дифференциал некоторой функции с помощью криволинейного интеграла вдоль ломаной находят по формуле

Полный дифференциал некоторой функции с помощью криволинейного интеграла вдоль ломаной находят по формуле

С помощью криволинейных интегралов вычисляются следующие величины:

• Длина дуги плоской или пространственной линии .
• Площадь фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией
• Масса материальной дуги с линейной плотностью вещества в точке дуги .
• Координаты центра тяжести дуги

• Работа , совершаемая силой , действующей на точку при перемещении ее по дуге ,

Формула Грина . Устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой плоской области
и криволинейным интегралом по границе этой области.

Пример №1

Вычислить криволинейный интеграл, сделать чертеж:

• вдоль дуги параболы от точки до точки .
• по дуге эллипса обходя ее против хода часовой стрелки от точки до точки .

Решение:

• Преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной : . Пределы интегрирования определяем из рис. 10: . Вычислим интеграл :

Ответ: .

• Найдем значение параметра в точках и (рис. 11):

Преобразуем криволинейный интеграл в определенный с переменной , затем вычислим его: <br>;

Ответ: .

Пример №2

Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом некоторой функции , в случае положительного ответа найти с помощью криволинейного интеграла.

Решение:

Обозначим коэффициенты при дифференциалах , и найдем и . Так как и , непрерывны во всей области, за исключением и , то заданное выражение является полным дифференциалом некоторой функции .

Найдем эту функцию:

где

Область определения функции совпадает с и .

Ответ:

Дополнение к криволинейному интегралу

Криволинейный интеграл I рода

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f(x; у), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками на п произвольных дуг с длинами (см. рис. 233). Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

Ее называют интегральной суммой для функцииf(x;y) по кривой АВ.

Пусть — наибольшая из длин дуг деления. Если при
существует конечный предел интегральных сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функцииf(х; у)по длине кривой АВ (или I рода) и обозначают

Таким образом, по определению,

Условие существования криволинейного интеграла I рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при
представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция f(х; у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке
существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции f(х; у; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

если путь интегрирования L разбит на части такие, что имеют единственную общую точку.

Если для точек кривой L выполнено неравенство

— длина кривой AB

Если функция f(x; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка такая, что (теорема о среднем).

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t),— непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует , точке В — значение
, то

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой АВ, задаваемой уравнениями

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением — непрерывно дифференцируемая функция, то

Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получается заменой в левой части
(дифференциал дуги кривой — см. п. 41.3).

Пример 55.1. Вычислить— отрезок прямой между точками O(0; 0) и A(4;3).

Решение: Уравнение прямой OA есть

Полярное представление кривой интегрирования

Если плоская кривая L задана уравнением в полярных координатах, то и

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.

Пример 55.2. Вычислить лепесток лемнискаты расположенной в I координатном углу.

Решение: Кривая интегрирования изображена на рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6).

Так как

то, заметив, что получаем:

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина I кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ, лежащая в плоскости Оху, а образующая параллельна оси Oz (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией z = f(x; у), находится по формуле

Масса кривой

Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,…) определяется формулой
— плотность кривой в точке М.

Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг .

Пусть— произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы
дуги :

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что
т. е.

или, согласно формуле (55.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.)

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам

Моменты инерции

Для материальной кривой АВ моменты инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:

Пример 55.3. Найти центр тяжести полуокружности , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой

Решение: Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси Оу (см. рис. 236). Поэтому . Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности
Имеем:

Следовательно,

Решение криволинейных интегралов

Кривая АВ, заданная параметрическими уравнениями

называется гладкой, если функции φ(t) и ψ(t) имеют на отрезке [tо, t1] непрерывные производные φ'(t) и ψ'(t), причем

Если в конечном числе точек отрезка [tо, t1] эти производные не существуют или одновременно обращаются в нуль, то кривая называется кусочно-гладкой.

Пусть АВ — плоская кривая, гладкая или кусочно-гладкая. Пусть f(M) — функция, заданная на кривой АВ или в некоторой области D, содержащей эту кривую. Рассмотрим разбиение кривой АВ на части точками

(рис. 1).

Выберем на каждой из дуг AkAk+1 произвольную точку Мk и составим сумму

где ∆lk — длина дуги AkAk+1 и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть ∆l — наибольшая из длин частичных дуг, т.е.

Если при ∆l —► 0 интегральная сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом 1 -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символомили(точка М(х, у) лежит на кривой АВ).

В этом случае функция f(M) называется интегрируемой вдоль кривой АВ, кривая АВ называется контуром интегрирования, А — начальной, В — конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению,
(2)

Пример:

Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью f(M). Найти массу т кривой L.

Разобьем кривую L на п произвольных частей MkMk+1 (k = 0,1,… , n —1) и вычислим приближенно массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей MkMk+1 плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке f(Mk). Тогда сумма

где ∆lk — длина k-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при ∆l → 0 () получим точное значение массы всей кривой L, т.е.

Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит,

Существование криволинейного интеграла 1-го рода

Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис. 2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями
(3)

где L — длина кривой АВ.

Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x, у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной l: f(x(l), y(l). Обозначив через lk (k = 0, 1,…, п — 1) значение параметра l, отвечающее точке Мk, перепишем интегральную сумму (1) в виде

Это — интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу

Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны между собой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом,
(5)

Теорема:

Если функция f(M) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл

(поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа ).

Свойства криволинейных интегралов 1-го рода

•  Из вида интегральной суммы (1) следует, что

т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит от направления интегрирования.

• Линейность. Если для каждой из функций f(M) и д(М) существует криволинейный интеграл по кривой АВ, то для функции af(M) + βg{М), где а и β — любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ, причем

• Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков АС и С В и для функции f(М) существует криволинейный интеграл по AВ, то существуют интегралы

причем

• Если f(M) ≥ 0 на кривой AB, то

• Если функция f(M) интегрируема на кривой АВ, то функция |f(М)| также интегрируема на АВ, и при этом

• Формула среднего значения. Если функция f(M) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что

где L — длина кривой AB.

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями

причем точке А соответствует значение t = t0, а точке В — значение t = t1. Будем предполагать, что функции φ(t) и ψ(t) непрерывны на [to, t1] вместе со своими производными φ'(t) и ψ'(t) и выполнено неравенство

Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле

и

В частности, если кривая АВ задана явным уравнением

причем функция g(х) непрерывно дифференцируема на [а, b] и точке А соответствует значение х = а, а точке В — значение х = b, то, принимая х за параметр, получаем

Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых

Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ.

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями

Тогда криволинейный интеграл 1-го рода от функции f, взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы:

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

где L — контур треугольника с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(0, I) (рис. 3).

По свойству аддитивности имеем

Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: 0 ≤ x ≤ 1, у = 0 и dl = dx, то

На отрезке АВ имеем х + у = 1, откуда у = 1 — х, т.е.

причем 0 ≤ х ≤ 1, тогда

Наконец,

Следовательно,

Замечание:

При вычислении интегралов

мы воспользовались свойством 1, согласно которому

Криволинейный интеграл второго рода

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и интеграл I рода

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками
в направлении от точки А к точке В на п дуг , с длинами

На каждой «элементарной дуге»
возьмем точку и составим сумму вида

где — проекция дуги на ось Ох (см. рис. 237).

Сумму (56.1) называют интегральной суммой для функцииР(х;у)по переменнойх. Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при
интегральная сумма (56.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интеграломпо координате х (или II рода) от функции Р(х; у)по кривой АВ и обозначают

Итак,

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x;y) по координате у:

где
— проекция дуги на ось Оу.

Криволинейный интеграл II рода общего вида

определяется равенством

Криволинейный интеграл

по пространственной кривой L определяется аналогично.
Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и Q(x; y) непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

• При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

(проекция дуги на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением направления).

• Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

• Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, то

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Оу :

• Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно,

(см. рис. 238). С другой стороны,

Таким образом,

Вычисление криволинейного интеграла II рода

Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t) и у = y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке , причем начальной точке А кривой соответствует значение параметра , а конечной точке В — значение . И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по определению,

Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как

то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем:

Выберем точку
так, чтобы
Тогда преобразованная интегральная сумма
будет интегральной суммой для функции одной переменной
на промежутке . Поэтому

Аналогично получаем:

Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), получаем:

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода

Пусть — непрерывно меняющаяся переменная сила и

— путь К, пробегаемый точкой ее приложения (рис. 241); обозначим через
бесконечно малый вектор перемещения из текущей точки М (х, у) кривой К в бесконечно близкую точку
(мы здесь пренебрегаем бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с ds). Имеем ds = {dx, dy}. Так как на бесконечно малом пути ds непрерывную силу F можно считать постоянной, то элементарная работа силы равна

Интегрируя выражение (1) вдоль кривой К, получим работу силы

Выражение (2), очевидно, есть соответствующий криволинейный интеграл второго рода.

Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования, проекциями которой на координатные оси являются соответствующие коэффициенты при дифференциалах переменных.

Пример:

Найти работу А переменной силы , точка приложения которой описывает параболу ОВ (рис. 242)

Решение:

Согласно формуле (2) имеем

Из уравнения (3) получаем dy = 2х dx, поэтому

Аналогично, работа пространственной силы

вдоль пути К:
выражается криволинейным интегралом второго рода

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением где функция и ее производная
непрерывны на отрезке [а; b], то из формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические уравнения кривой откуда получим:

В частности,

Если АВ — гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке
функциями х =x(t), у = y(t) и z = z(t), то криволинейный интеграл

вычисляется по формуле

Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением

— углы, образованные касательной к кривой АВ в точке М(х, у) с осями Ох и Оу соответственно.

Пример 56.1. Вычислить

— ломаная ОАВ, где O(0; 0), A(2;0), В(4; 2).

Решение: Так как L = ОАВ = OA + АВ (см. рис. 239), то

Уравнение отрезка OA есть у = 0,
уравнение отрезка

Согласно формуле (56.5), имеем:

Пример 56.2. Вычислить

— отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3;1;4).

Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В:
или в параметрической форме: х = 2t + 1, у = t,z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что

Формула Остроградского-Грина

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более чем в двух точках, т. е. область D — правильная.

Теорема 56.2. Если функции Р(х; у) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными
в области D, то имеет место формула

где L — гранив области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.

Пусть — уравнение дуги — уравнение дуги
(см. рис. 240). Найдем сначала
По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Или, согласно формуле (56.6),

Аналогично доказывается, что

Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим формулу (56.8).

Замечание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 56.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вылить

где L — контур прямоугольника с вершинами А(3;2), B(6; 2), С(6;4), D( 3;4).

Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. Поскольку

по формуле (56.8) имеем:

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть — две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 242 это ). По каждой из этих кривых интеграл

имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку
и его конечную точку пути.

Записывают:

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции
непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный замкнутый контур
(или L) в области D (см. рис. 243). Для него имеет место формула Остроградского-Грина (56.8). В силу условия (56.12) имеем:

Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

т. e.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие
то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

Верно и обратное утверждение.

Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтегральное выражение
является полным дифференциалом некоторой функции и = и(х;у) (см. (44.5)), т. е.

Тогда (см. (56.11)):

т. e.

Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то

Замечания.

• Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пределом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например,
  и т.д.).
• Функцию U = U(x; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно найти, используя формулу

В качестве начальной точки
обычно берут точку (0; 0) — начало координат (см. пример 56.5).

• Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла

по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), формулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид:

(см. пример 73.1).

Пример 56.4. Найти

Решение: Здесь
Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу параболы
и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то

Пример 56.5. Убедиться, что выражение
собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12):

— условия выполнены, следовательно,

А так как полный дифференциал имеет вид

(см. п. 44.3), то верны соотношения

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянной интегрирования следует поставить — неизвестную функцию, зависящую только от у:

Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), найдем :

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (56.15):

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) Р(х; у) = 0, Q(x; у) = х, получим:

или

Аналогично, полагая P = -у, Q = 0, найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:

Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два, получим:

Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле

Разобьем кривую АВ точками на п «элементарных» дуг длины и в каждой из них возьмем произвольную точку (см. рис. 244). Заменим каждую дугу
вектopoм а силубудем считать постоянной на векторе перемещения и равной заданной силе в точке дуги :

Тогда скалярное произведение можно рассматривать как приближенное значение работывдоль дуги :

Приближенное значение работы А силы на всей кривой составит величину

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при

Замечание. В случае пространственной кривой АВ имеем:

Пример 56.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до
(см. рис. 245). Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим:

Пример 56.7. Найти работу силы вдоль кривойот точки О(0; 0) до точки В( 1; 1).

Решение: По формуле (56.20) находим:

Решения для криволинейного интеграла 2-го рода

Пусть АВ — гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть

F(M) = Р(М) i + Q(M) j— вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками

координаты которых обозначим соответственно через

(рис. 4).

На каждой из элементарных дуг АkАk+1, возьмем произвольно точку Мk(ξk, ηk) и составим сумму

где

Пусть ∆l — длина наибольшей из дуг АkАk+1.

Если при ∆l → 0 сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ. ни от выбора точек (ξk, ηk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода от вектор-функции F(M) по кривой АВ и обозначается символом

Так что по определению (2)

Теорема:

Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции Р(х,у) и Q(х, у) непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода

существует.

Пусть r(М) = xi + yj— радиус-вектор точки М(х, у). Тогда dr = i dx + j dy,и подынтегральное выражение Р(х, у) dx + Q(x, у) dy в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(Af) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции

по кривой АВ можно записать коротко так:

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями,

где функции φ(t) и ψ(t) непрерывны вместе с производными φ'(t), ψ'(t) на отрезке [to, t1] причем изменению параметра t от to до t1 соответствует движение точки М(х, у) по кривой АВ от точки А к точке В.

Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го родсводится к следующему определенному интегралу:
(3)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Пример:

Вычислить интеграл

• вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки A(0,0) и В{1, 1);
• вдоль параболы у = х , соединяющей те же точки (рис.5).

• Уравнение линии АВ: у = х (х — параметр, 0 ≤ х ≤ 1), откуда dy = dx. Так что

• Уравнение линии AB:

Отсюда

dy = 2х dx, поэтому xdy = 2×2 dx

Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависит от формы пути интегрирования.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

• Линейность. Если существуют криволинейные интегралы

то при любых действительных а и β существует и интеграл

причем

• Аддитивность. Если кривая АВ разбита на части АС и С В и криволинейный интеграл

существует, то существуют интегралы

причем

Криволинейный интеграл второго рода (в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода) зависит от того, в каком направлении (от A к В или от В к А) проходится кривая АВ, и меняет знак при изменении направления движения по кривой, т. е.

Последнее свойство cotrmrrayer физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода как работы силового паля F вдоль некоторого путь: при изменении направления движения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный.

Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода

где ориентированная кривая АВ (А — начальная точка, В — конечная точка) задана векторным уравнением r = r(l) (здесь l — длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6).

Тогдa

где т = т(l) — единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(l). Тогда

Заметим, что последний интеграл в этой формуле — криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной т заменяется на противоположный вектор (—т), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла.