Вогнутость и выпуклость функции: как провести исследование

Исследование функций

Возрастание и убывание функции

Пусть задана функция f(x). Возьмем две точки на промежутке [a,b] х1 и х2 при условии, что х2 > x1. Тогда функция называется возрастающей на промежутке [a,b], если f(x2) > f(x1). Функция называется убывающей на промежутке [a,b], если f(x2) < f(x1).

Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает.
Действительно, согласно теореме Лагранжа, если х2 > x1 и f ‘(c) > 0, то функция возрастает.

т.е. если левая часть равенства положительна,
где х1 <c< x2=»» и=»» f=»» (c)=»»>0, то f(x2)>f(x1)

Возрастающая функция.

 

При убывании функции можно сделать аналогичный вывод.

Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает.

Опять же, согласно теореме Лагранжа, если х1 <c< x2=»» и=»» f=»» (c)=»» <=»» 0,=»» то=»» функция=»»></c<></c<>

Экстремум функции

Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка А на этом промежутке, что f(x) < f(A) во всех точках окрестности точки А, то данная точка называется точкой максимума.

Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка В на этом промежутке, что f(x) > f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума.

Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю
f ‘(A) = 0
f ‘(B) = 0.

Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ.

Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x3 не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х0. Таким образом, функция y = x3 имеет критическую точку при х=0
(т.к. f ‘(0)=0), но экстремума в этой точке нет.

 

Экстремум функции.

Выпуклость графика функции

Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x1;x3].

Возьмем промежуток [x1;x2]. Тогда, если при любом значении х таком, что x1<><x2, значение=»» функции=»» меньше=»» значения=»» касательной=»» в=»» точке=»»></x2,>
т.е. fф(x) ≤ fк(x), то функция выпукла вверх.

Возьмем промежуток [x2;x3]. Тогда, если при любом значении х таком, что x2<><x3, значение=»» функции=»» значения=»» касательной=»» в=»» точке=»» больше=»»></x3,>
т.е. fф(x) ≥ fк(x), то функция выпукла вниз.

1. Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f »(x) < 0.
2. Если функция выпукла вниз, то вторая производная функции больше нуля, т.е. f »(x) > 0.

 

Выпуклость графика функции.

 

Точки перегиба

Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба.

В точке перегиба вторая производная функции f»(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки.

 

Точка перегиба.

 

Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. fпр(х) — f(x) → 0 или fпр(x) → f(x)

Допустим функция определена в окрестности точки x0. Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x0, то пряма x=x0 называется вертикальной асимптотой.

 

Вертикальная асимптота.

 

Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.

Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞       справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

 

Горизонтальная асимптота.

 

Если существуют конечные пределы такие, что

то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой.

Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты.

 

Наклонная асимптота.

Пример

Получим:

•    точка х = -2,791 минимум,
•    точка х = 0 максимум,
•    в точке х = 1 функция не определена,
•    точка х = 1,791 минимум.

 

Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.

Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:

 

Точка перегиба функции – это точка M(x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.

Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным.  Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.

Выпуклые вверх функции

Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек таких, что   x1 < x2 ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A1 = (x1;  f (x1))   и   A2 = (x2;  f (x2)) .

Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

Рис.1

Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция   y = – x2   (рис. 2).

Рис.2

Выпуклые вниз функции

Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),   если для любых двух точек таких, что   x1 < x2 ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A1 = (x1;  f (x1))   и   A2 = (x2;  f (x2)) .

Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

Рис.3

Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция   y = x2   (рис. 4).

Рис.4

Признаки выпуклости и вогнутости графика функции

Исследование функции на выпуклость и вогнутость может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика . Выпуклость и вогнутость функции имеет место только на определённом интервале, с чем и связаны нижеприведённые определения.

В изучении этого урока поможет материал Свойства и графики элементарных функций . График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной   (рис. 2).

Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[ вторая производная больше нуля

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же вторая производная меньше нуля

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.

Признаки существования точки перегиба

Точка графика непрерывной функции , в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 3).

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция f(x) имеет первую производную , а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через точку меняет знак, то точка

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция $y=f(x)$ определена на интервале $(a ; b)$ и имеет непрерывную, не равную нулю в точке $x_{0} in(a ; b)$ вторую производную. Тогда, если $f^{prime prime}(x)>0$ всюду на интервале $(a ; b)$, то функция имеет вогнутость на этом интервале, если $f^{prime prime}(x) lt 0$, то функция имеет выпуклость.

Точкой перегиба графика функции $y=f(x)$ называется точка $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция $y=f(x)$ имеет перегиб в точке $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, то $f^{prime prime}left(x_{1}right)=0$ или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная $f^{prime}(x)$ непрерывна в окрестности точки $x_{1}$;
2. вторая производная $f^{prime prime}(x)=0$ или не существует в точке $x_{1}$;
3. $f^{prime prime}(x)$ при переходе через точку $x_{1}$ меняет свой знак,

тогда в точке $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$ функция $y=f(x)$ имеет перегиб.

Условия перегиба графика функции

Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), график которой имеет точку перегиба. При  x=x0  у него есть непрерывная вторая производная, следовательно, будет выполняться равенство f»(x0)=0.

Учитывая данное условие, нам следует поискать точки перегиба среди тех, в которых вторая производная будет обращаться в 0. Это условие не будет достаточным: не все такие точки нам подойдут.

Также обратите внимание, что, согласно общему определению, нам нужна будет касательная прямая, вертикальная или невертикальная. На практике это означает, что для нахождения точек перегиба следует взять те, в которых вторая производная данной функции обращается в 0. Следовательно, чтобы найти абсциссы точек перегиба, нам нужно взять все x0 из  области определения функции, где limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞. Чаще всего это такие точки, в которых знаменатель первой производной обращается в 0.

Необходимые условия для существования точки перегиба

Если точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x0   либо вторая производная   f » (x) = 0 ,   либо   f » (x)   не существует.

Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

Действительно, рассмотрим функцию   y = x4,   график которой изображен на рисунке 8.

Рис.8

Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что   y » (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x4,   так как функция   y = x4   выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции

Мы нашли все значения x0, которые можно взять в качестве абсцисс точек перегиба. После этого нам нужно применить первое достаточное условие перегиба.

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), которая является непрерывной в точке M(x0; f(x0)). При этом она имеет на этой точке касательную, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки x0. В таком случае если с левой и правой стороны вторая производная приобретает противоположные знаки, то данную точку можно считать точкой перегиба.

Мы видим, что данное условие не требует, что в этой точке непременно существовала вторая производная, достаточно ее наличия в окрестности точки x0.

Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.

Второе достаточное условие перегиба графика функции

Если мы имеем f»(x0)=0 и  f»'(x0)≠0, то x0 будет абсциссой точки перегиба графика y=f(x).

Пример 5

Условие: задана функция y=160×3-320×2+710x-25 . Определите, будет ли график функции иметь перегиб в точке 3; 45.

Решение

Первое, что нужно сделать, – это убедиться в том, что данная точка вообще будет принадлежать графику этой функции.

y(3)=160·33-320·32-25=2760-2720+2110-25=9-27+42-820=45

Заданная функция определена для всех аргументов, являющихся действительными числами. Вычислим первую и вторую производные:

y’=160×3-320×2+710x-25’=120×2-310x+710y»=120×2-310x+710’=110x-310=110(x-3)

Мы получили, что вторая производная будет обращаться в 0, если x будет равен 0. Значит, необходимое условие перегиба для этой точки будет выполнено. Теперь используем второе условие: найдем третью производную и выясним, будет ли она обращаться в 0 при 3:

y»’=110(x-3)’=110

Третья производная не будет обращаться в нуль ни при одном значении x. Поэтому можно заключить, что данная точка будет точкой перегиба графика функции.

Ответ: Покажем решение на иллюстрации:

Третье достаточное условие перегиба графика функции

Допустим, что f'(x0)=0, f»(x0)=0, …, f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0 .В таком случае при четном n мы получим, что x0 – это абсцисса точки перегиба графика y=f(x).

Пример 6

Условие: дана функция y=(x-3)5+1. Вычислите точки перегиба ее графика.

Решение

Данная функция является определенной на всем множестве действительных чисел. Вычисляем производную: y’=((x-3)5+1)’=5·x-34 . Поскольку она тоже будет определена для всех действительных значений аргумента, то в любой точке ее графике будет существовать невертикальная касательная.

Теперь вычислим, при каких значениях вторая производная будет обращаться в 0:

y»=5·(x-3)4’=20·x-33y»=0⇔x-3=0⇔x=3

Мы получили,  что при x=3 график функции может иметь точку перегиба. Используем третье условие, чтобы подтвердить это:

y»’=20·(x-3)3’=60·x-32, y»'(3)=60·3-32=0y(4)=60·(x-3)2’=120·(x-3), y(4)(3)=120·(3-3)=0y(5)=120·(x-3)’=120, y(5)(3)=120≠0

Имеем n=4 по третьему достаточному условию. Это четное число, значит, x=3 будет абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции (3;1).

Ответ: Вот график данной функции с отмеченными выпуклостями, вогнутостями и точкой перегиба:

Исследуем характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе

Как должно быть понятно из определений выше, чтобы исследовать характер выпуклости кривой y = f(x), нужно найти те точки, в которых вторая производная равна нулю () или не существует, а затем, используя достаточный признак, исследовать знаки второй производной слева и справа от каждой возможной точки перегиба (подобно тому, как определялись точки экстремума по первой производной).

Пример 1. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Функция определена при ( как найти область определения функции ). Её производные и . Найдём возможные точки перегиба. Полагая , получим , то есть , полагая , получим .

Однако точки и не входят в область определения заданной функции, поэтому она может иметь только одну точку перегиба при . Исследуем знаки второй производной в окрестности точки . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , получим . Следовательно, слева от кривая выпукла, а справа — вогнута, поэтому при график функции имеет точку перегиба .

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Пример 2. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости и построить график функции .

Решение. Функция определена при . Её производные и . Здесь , а при , причём при и при . Следовательно, слева от кривая вогнута, а справа — выпукла, т.е. — точка перегиба графика.

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 3. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию .

Решение. Находим вторую производную: . Из уравнения получаем одну критическую точку: . Исследовав знак в окрестности точки получаем: слева от точки (выпуклость), а справа — (вогнутость), т. е. точка является точкой перегиба рассматриваемой функции.

График этой функции — на рис. снизу.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Как найти интервалы выпуклости функции

В этом пункте мы расскажем о теореме,  с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.

График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y=f(x) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f»(x)≥0 ∀x∈X (f»(x)≤0 ∀x∈X) будет верным.

Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f»(x)≥0  и f»(x)≤0  на области определения соответствующей функции.

Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y=f(x) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.

Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.

Пример 1

Условие: дана функция y=x36-x2+3x-1. Определите, на каких промежутках ее график будет иметь выпуклости и вогнутости.

Решение

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Начнем с вычисления второй производной.

y’=x36-x2+3x-1’=x22-2x+3⇒y»=x22-2x+3=x-2

Мы видим, что область определения второй производной совпала с областью самой функции Значит, для выявления интервалов выпуклостей нам надо решить неравенства f»(x)≥0  и f»(x)≤0 .

y»≥0⇔x-2≥0⇔x≥2y»≤0⇔x-2≤0⇔x≤2

Мы получили, что график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [2; +∞) и выпуклость на отрезке (-∞; 2].

Для наглядности изобразим график функции и отметим на нем выпуклую часть синим, а вогнутую – красным цветом.

Ответ: график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [2; +∞) и выпуклость на отрезке (-∞; 2].

А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.

Пример 2

Условие: дана функция y=8xx-1 . Определите, в каких промежутках ее график будет иметь вогнутость, а в каких – выпуклость.

Решение

Для начала выясним область определения функции.

x≥0x-1≠0⇔x≥0x≠1⇔x∈[0; 1)∪(1;+∞)

Теперь вычисляем вторую производную:

y’=8xx-1’=8·12x·(x-1)-x·1(x-1)2=-4·x+1x·(x-1)2y»=-4·x+1x·(x-1)2’=-4·1·x·x-12-(x+1)·x·x-12’x·(x-1)4==-4·1·x·x-12-x+1·12x·(x-1)2+x·2(x-1)x·x-14==2·3×2+6x-1×32·(x-1)3

Область определения второй производной – это множество x∈(0; 1)∪(1; +∞). Мы видим, что x, равный нулю, будет принадлежать области определения исходной функции, но не области определения второй производной. Эту точку нужно обязательно включить в отрезок вогнутости или выпуклости.

После этого нам надо решить неравенства f»(x)≥0  и f»(x)≤0  на области определения заданной функции. Используем для этого метод интервалов: при x=-1-233≈-2,1547 или x=-1+233≈0,1547  числитель 2·(3×2+6x-1)x23·x-13 обращается в 0, а знаменатель равен 0 при x, равном нулю или единице.

Нанесем получившиеся точки на график и определим знак выражения на всех интервалах, которые войдут в область определения исходной функции. На графике эта область обозначена штриховкой. Если значение положительно, отмечаем интервал плюсом, если отрицательно, то минусом.

Следовательно,

f»(x)≥0x∈[0; 1)∪(1; +∞)⇔x∈0; -1+233∪(1; +∞), а f»(x)≤0x∈[0; 1)∪(1; +∞)⇔x∈[-1+233; 1)

Включаем ранее отмеченную точку x=0 и получаем нужный ответ. График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0; -1+233∪(1; +∞) , и вверх – при x∈[-1+233; 1) .

Изобразим  график, отметив на нем выпуклую часть синим, а вогнутую красным цветом. Вертикальная асимптота отмечена черным пунктиром.

Ответ:  График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0; -1+233∪(1; +∞) , и вверх – при x∈[-1+233; 1) .

Как найти точки перегиба графика функции

1. Для начала нужно найти все абсциссы x0  возможных точек перегиба, где f»(x0)=0, limx→x0-0f'(x)=∞, limx→x0+0f'(x)=∞.
2. Выясним, в каких точках производная будет менять знак. Эти значения  и есть абсциссы точек перегиба, а точки M(x0; f(x0)) , соответствующие им, – это сами точки перегиба.

Для наглядности разберем две задачи.

Пример 3

Условие: дана функция y=110·x412-x36-3×2+2x . Определите, где график данной функции будет иметь точки перегиба и выпуклости.

Решение

Указанная функция определена на всем множестве действительных чисел. Считаем первую производную:

y’=110·x412-x36-3×2+2x’=110·4×312-3×26-6x+2==110·x33-x22-6x+2

Теперь найдем область определения первой производной. Это также множество всех действительных чисел. Значит, равенства limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞ не могут быть выполнены ни при каких значениях x0.

Вычисляем вторую производную:

y»==110·x33-x22-6x+2’=110·3×23-2×2-6=110·x2-x-6

Далее определяем, когда она будет обращаться в 0:

y»=0⇔110·(x2-x-6)=0⇔x2-x-6=0D=(-1)2-4·1·(-6)=25×1=1-252=-2, x2=1+252=3

Мы нашли абсциссы двух вероятных точек перегиба –2 и 3. Все, что нам осталось сделать – это проверить, в какой точке производная изменит свой знак. Изобразим числовую ось и нанесем на нее данные точки, после чего расставим знаки второй производной на получившихся промежутках.

Дуги показывают направление выпуклости графика в каждом интервале.

Вторая производная меняет знак на противоположный (с плюса на минус)  в точке с абсциссой 3, проходя через нее слева направо, и также делает это (с минуса на плюс) в точке с абсциссой 3. Значит, мы можем сделать вывод, что x=-2 и x=3– это абсциссы точек перегиба графика функции. Им будут соответствовать точки графика -2; -43 и 3; -158.

Взглянем вновь на изображение числовой оси и получившиеся знаки на интервалах, чтобы сделать выводы о местах вогнутости и выпуклости. Получается, что выпуклость будет расположена на отрезке -2; 3 , а вогнутость на отрезках (-∞; -2]  и [3; +∞).

Решение задачи наглядно изображено на графике: синий цвет – выпуклости, красный – вогнутость, черный цвет означает точки перегиба.

Ответ: выпуклость будет расположена на отрезке -2; 3 , а вогнутость на отрезках (-∞; -2]  и [3; +∞).

Пример 4

Условие: вычислите абсциссы всех точек перегиба графика функции y=18·x2+3x+2·x-335.

Решение

Область определения заданной функции – множество всех действительных чисел. Вычисляем производную:

y’=18·(x2+3x+2)·x-335’==18·x2+3x+2’·(x-3)35+(x2+3x+2)·x-335’==18·2x+3·(x-3)35+(x2+3x+2)·35·x-3-25=13×2-6x-3940·(x-3)25

В отличие от функции, ее первая производная не будет определена при значении x, равном 3, но:

limx→3-0y'(x)=13·(3-0)2-6·(3-0)-3940·3-0-325=+∞limx→3+0y'(x)=13·(3+0)2-6·(3+0)-3940·3+0-325=+∞

Это значит, что через данную точку будет проходить вертикальная касательная к графику. Следовательно, 3 может быть абсциссой точки перегиба.

Вычисляем вторую производную. Также находим область ее определения и точки, в которых она обращается в 0:

y»=13×2-6x-3940·x-325’==140·13×2-6x-39’·(x-3)25-13×2-6x-39·x-325′(x-3)45==125·13×2-51x+21(x-3)75, x∈(-∞; 3)∪(3; +∞)y»(x)=0⇔13×2-51x+21=0D=(-51)2-4·13·21=1509×1=51+150926≈3,4556, x2=51-150926≈0,4675

У нас получились еще две возможные точки перегиба. Нанесем их все на числовую прямую и разметим получившиеся интервалы знаками:

Перемена знака будет происходить при прохождении через каждую указанную точку, значит, они все являются точками перегиба.

Ответ: Изобразим график функции, отметив вогнутости красным, выпуклости синим и точки перегиба – черным:

Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.

Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.

Правило дождя

Для облегчения запоминания данных теорем можно использовать так называемое «правило дождя» (см. рис.).

Рисунок 2. Правило дождя.

«Правило дождя»:

• если $f»(x)$
• если $f»(x)>0$ (знак «+» соответствует киванию головы вверх-вниз, т.е. «да»), то лужа образуется, а значит, дождь падает во впадину (выпуклость вниз).

Отметим, что график может быть выпуклым или вогнутым на всей области определения заданной функции, а может только на отдельных промежутках. В таких случаях промежутки выпуклости и вогнутости сменяют друг друга.

Пример 2

Найти промежутки выпуклости/вогнутости графика заданной функции $y=x^{3} $.:

Решение:

$y’=3x^{2} $; вторая производная: $y»=6x$.

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Рисунок 3. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что $f»(x)$0, , forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.

Определение 2

Точка перегиба — это такая точка графика выпуклой функции, которая разделяет промежутки выпуклости/вогнутости графика.

В примере 1 $x=0$ является точкой перегиба, так как при переходе через эту точку меняется поведение графика функции (в частности, с выпуклости на вогнутость).

Необходимое условие точки перегиба: В точке перегиба $(x_{0} ;y_{0} )$ вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба:

• $f'(x_{0} )$ непрерывна в окрестности заданной точки;
• $f»(x_{0} )=0$ или не существует в заданной точке;
• $f»(x)$ меняет знак на противоположный при переходе через заданную точку.

Учитывая все выше сказанное, составим алгоритм исследования выпуклости и вогнутости функции:

• нахождение первой производной $f'(x)$ заданной функции;
• нахождение второй производной $f»(x)$ заданной функции;
• определение точек, в которых $f»(x)$ равна нулю или не существует;
• исследование знака $f»(x)$ с помощью числовой прямой;
• определение промежутков выпуклости и вогнутости графика заданной функции;
• нахождение интервалов выпуклости и точки перегиба функции, если они существуют.

Пример 3

Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=4x^{2} -3$.

Решение:

Первая производная: $y’=8x$; вторая производная: $y»=8$.

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Рисунок 4. Изображение на числовой оси.

Получаем, что $f»(x)>0, , forall xin D_{y} $. Следовательно, график направлен выпуклостью вниз при любом $x$. Точек перегиба нет.

Пример 4

Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=frac{3}{x^{2} -1} $.

Решение:

Первая производная: $y’=frac{0cdot (x^{2} -1)-3cdot 2x}{(x^{2} -1)^{2} } =-frac{6x}{(x^{2} -1)^{2} } $.

Вторая производная: $y»=-frac{6cdot (x^{2} -1)^{2} -6xcdot 2xcdot 2cdot (x^{2} -1)}{(x^{2} -1)^{4} } =-6cdot frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } $.

Вторая производная не существует при $x=pm 1$.

[begin{array}{l} {y»=0:-6cdot frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } =0Rightarrow x^{2} -4x-1=0} {x^{2} -4x-1=0} {D=16+4=20} {x_{1} =frac{4-sqrt{20} }{2} =2-sqrt{5} ;x_{2} =frac{4+sqrt{20} }{2} =2+sqrt{5} } end{array}]

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Рисунок 5. Изображение на числовой оси.

Получаем, что:

• $f»(x)>0, , forall xin (-1;2-sqrt{5} ]bigcup (1;2+sqrt{5} ]$,
• $f»(x)

Следовательно, график направлен выпуклостью вверх на промежутках $(-infty ;-1)$, $[2-sqrt{5} ;1)$ и $(1;+infty )$, вниз на промежутках — $(-1;2-sqrt{5} ]$ и $(1;2+sqrt{5} ]$.