- Определение числовой последовательности
- Арифметическая прогрессия .
- Определение арифметической прогрессии
- Свойства арифметической прогрессии.
- Формула n-го члена арифметической прогрессии
- Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
- Примеры арифметических прогрессий.
- Арифметическая прогрессия, формулы.
- Геометрическая прогрессия.
- Свойства геометрической прогрессии.
- Примеры геометрических прогрессий.
- Геометрическая прогрессия, формулы.
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- Связь арифметической и геометрической прогрессий
Определение числовой последовательности
Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Последовательности можно задавать разными способами:
- Словесно — когда правило последовательности объясняется словами: «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»
- Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n). Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
- Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.
Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением:
a1 = a, an+1= an + d.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
- Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
1, 2, 3, 4…
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
- Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
- Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
- Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.
Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,…, a10…, an.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
- Формула an = 3n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
- Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…
Арифметическая прогрессия .
Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.
Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:
,т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа
(шаг либо разность прогрессии):
Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:
Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность . При она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность — стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.
Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.
Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:
Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
- Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
- Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.
Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.
- Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.
Свойства арифметической прогрессии.
- Общий член арифметической прогрессии.
Член арифметической прогрессии с номером
можно найти с помощью формулы:
,
где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии.
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность — это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие:.
- Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.
Сумму 1-х членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул:,где — 1-й член прогрессии, — член с номером , — число суммируемых членов.
,где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии, — число суммируемых членов.
- Сходимость арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом:
- Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.
Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:
Поэтому:
и т.д.
Значит,
Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.
Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.
Пусть дано:
Нужно доказать:
Как доказываем:
- Формула
верна при n = 1.
Действительно,
- Предположим, что формула
верна при n = k, то есть - Докажем, что формула
верна и при n = k + 1, то есть - Из условия
и предположения
получаем:
Согласно принципу математической индукции формула
верна для любого натурального числа.
Примеры арифметических прогрессий.
- Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .
1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой
и .
- Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью .
- Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой:
.
Арифметическая прогрессия, формулы.
Формула n-го члена:
Формулы суммы n первых членов:
Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число
(знаменатель прогрессии), где , : .
Или другими словами: геометрическая прогрессия — это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.
Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:
Когда и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при — знакочередуется.
Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:
т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.
Свойства геометрической прогрессии.
- Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:
- Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:
,
- Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:
- Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:
- Если , то при , и
при .
Примеры геометрических прогрессий.
- Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.
- Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.
- 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.
- — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
Геометрическая прогрессия, формулы.
- Формула n-го члена:
- Формулы суммы n первых членов:
- Сумма бесконечной прогрессии:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть
|q| < 1.
Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю
–1 < q < 0.
При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,
1, –1/2, 1/4, –1/8, . . . .
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой
S = b1 + b2 + b3 + . . . = | b1 | . |
1 – q |
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,
10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1/11 . ◄
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.
Если
a1, a2, a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то
ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.
Например,
1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и
71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72. ◄
Если
b1, b2, b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то
loga b1, loga b2, loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью loga q.
Например,
2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6.