Виды прогрессий в математике: особенности арифметической и геометрической

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

  • Словесно — когда правило последовательности объясняется словами: «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»
  • Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n). Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
  • Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением:
a1 = a, an+1= an + d.

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

  • Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
    1, 2, 3, 4…
    прогрессия

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

  • Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
  • Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

  • Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

таблица прогрессии

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,…, a10…, an.

таблица прогрессии

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

  • Формула an = 3n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
  • Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…

Арифметическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

Прогрессии арифметическая геометрическая формулы,т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа Прогрессии арифметическая геометрическая формулы
(шаг либо разность прогрессии):

Прогрессии арифметическая геометрическая формулы

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Прогрессии арифметическая геометрическая формулы

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность . При Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. она возрастает, а при Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — убывает. Если Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., то последовательность — стационарная. Это следуют из соотношения Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. для членов арифметической прогрессии.

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

формула разности арифметической прогрессии

Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

формула если известные члены прогрессии

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

  • Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

  • Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

  • Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Свойства арифметической прогрессии.

  • Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером Описание: n
можно найти с помощью формулы:

Прогрессии арифметическая геометрическая формулы,

где Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — 1-й член прогрессии, Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — разность прогрессии.

  • Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность  Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.  — это арифметическая прогрессия Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. для элементов этой прогрессии выполняется условие:Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

  • Сумма 1-х Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х  Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. членов арифметической прогрессии Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. можно найти с помощью формул:Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.,где Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — 1-й член прогрессии, Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — член с номером Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — число суммируемых членов.

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.,где Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — 1-й член прогрессии, Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — разность прогрессии, Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — число суммируемых членов.

  • Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. является расходящейся при Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. и сходящейся при Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.. При этом:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

  • Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — арифметическая прогрессия с разностью Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., где число Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.. Тогда последовательность, которая имеет вид Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

формула

Поэтому:

формула
формула
формула

и т.д.

Значит, формула

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано: формула
формула

Нужно доказать: формула

Как доказываем:

  • Формула формула №1
    верна при n = 1.

Действительно, формула №2

  • Предположим, что формула формула №3
    верна при n = k, то есть формула №4
  • Докажем, что формула формула №5
    верна и при n = k + 1, то есть формула №6
  • Из условия формула №7
    и предположения Предположение
    получаем: формула №8

Согласно принципу математической индукции формула формула №9
верна для любого натурального числа.

Примеры арифметических прогрессий.

  • Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., а разность Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.
и Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

  • Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу последовательность, тогда это является арифметической прогрессией, в которой Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. и Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.. В частности, Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. является арифметической прогрессией с разностью последовательность.
  • Сумма 1-х Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. натуральных чисел выражают формулой:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

Арифметическая прогрессия, формулы.

Формула n-го члена:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

Формулы суммы n первых членов:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.
(знаменатель прогрессии), где Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

Или другими словами: геометрическая прогрессия — это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

Когда Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. и Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., значит, прогрессия возрастает , когда Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., значит, прогрессия убывает, а при Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Свойства геометрической прогрессии.

  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

  • Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.,

  • Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

  • Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

  • Если Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., то Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. при Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы., и Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.
    при Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы..

Примеры геометрических прогрессий.

  1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.
  2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.
  4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.
  5. Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы. — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Геометрическая прогрессия, формулы.

  • Формула n-го члена:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

  • Формулы суммы n первых членов:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

  • Сумма бесконечной прогрессии:

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть

|q| < 1.

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

–1 < q < 0.

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, –1/2, 1/4, –1/8, . . .  .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой

  S  =  b1 + b2 + b3 + . . . = b1  .
1 – q

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1/11 . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

Если

a1, a2, a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то

ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.

Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72. ◄

Если

b1, b2, b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то

loga b1,  loga b2,  loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью  loga q.

Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2,  lg 12,  lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью  lg 6.

Оцените статью
Блог про прикладную математику