Виды чисел в математике: какие бывают

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

• Единица (1) — самое маленькое число, а самого большого числа не существует.
• Ноль (0) означает, что предмета нет. Ноль не является натуральным числом.

От количества цифр в числе зависит его название.

1. Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.
2. Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.
3. Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Определение числа

Число – это количественная характеристика чего-либо. Используется для подсчета количества, маркировки, измерения величин и т.д. Раньше для обозначений чисел использовались черточки, однако для записи больших значений такой способ был крайне неудобен. Представьте, сколько времени бы заняло рисование черточек для записи, к примеру, числа 745.

С развитием науки и математики в частности, была придумана десятичная система счисления, содержащая цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, которые называются арабскими. К слову, данная система применяется по сей и является самой распространенной.

Отличия чисел от цифр

1. Самое очевидное – числа состоят из цифр.
2. Цифра – это символ, а число – количественная абстракция.
3. Количество чисел не ограничено, т.е. их бесчисленное множество. В то же время цифр всего 10 (перечислены выше).

Принцип образования чисел

С помощью десяти цифр можно записать любое натуральное число. В зависимости от того, сколько цифр содержится в числе, оно может быть:

• однозначным – состоит из одной цифры (например: 2, 6, 7). Самое маленькое однозначное число – это единица, самое большое – 9.
• двузначным – состоит из двух цифр (например: 14, 52, 60, 78 и т.д.). Самое маленькое двузначное число – это 10, самое большое – 99.
• трехначным – содержит три цифры (например: 184, 211, 306, 612 и т.д.). Наименьшее трехзначное число – 100, наибольшее – 999.
• четырехзначным, пятизначным или, другими словами, многозначным (например: 2048, 51947, 984871 и т.д.). В соответствии с названием, такие числа состоят из четырех, пяти, шести и большего количества цифр.

Примеры:

• Число “пятьдесят восемь” пишется так – “58”. То есть мы расставляем цифры по соответствующим разрядам:

1. “8” – в единицах;
2. “5” – в десятках.

• Чтобы записать число “шестьсот двадцать шесть” нам нужны только две цифры – “6” и “2”, несмотря на то, что оно трехзначное:

1. “6” – в единицах и сотнях;
2. “2” – в десятках.

Т.е. получается “626”.

Использование запятой

Для записи чисел могут использоваться не только цифры, но и запятые (в некоторых странах – точки). Делается это для отделения целой и дробной частей. Например:

• 120,5
• 306,71
• 221,409

Определение, запись, произношение и свойства десятичной дроби мы подробно рассмотрели в отдельной публикации.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Таблица классов:

Названия классов многозначных чисел справа налево:

• первый — класс единиц,
• второй — класс тысяч,
• третий — класс миллионов,
• четвертый — класс миллиардов,
• пятый — класс триллионов,
• шестой — класс квадриллионов,
• седьмой — класс квинтиллионов,
• восьмой — класс секстиллионов.

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

125 911 723 296.

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

125 миллиардов 911 миллионов 723 тысячи 296.

Когда читаем класс единиц, добавлять слово «единиц» в конце не нужно.

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

1. Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
2. Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще чтобы визуально разделить классы чисел.

Разрядные единицы обозначают так:

• Единицы — единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишут на первом месте справа.
• Десятки — единицами второго разряда и записывают в числе на втором месте справа.
• Сотни — единицами третьего разряда и записывают на третьем месте справа.
• Единицы тысяч — единицами четвертого разряда и записывают на четвертом месте справа.
• Десятки тысяч — единицами пятого разряда и записывают на пятом месте справа.
• Сотни тысяч — единицами шестого разряда и записывают в числе на шестом месте справа и так далее.

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Виды чисел

• Натуральные – все положительные числа, которые мы используем для счета (2, 19, 56, 478, 2048 и т.д.). Ноль не является натуральным числом.
• Простые – натуральные числа, которые без остатка делятся только на единицу и само себя: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.
• Составные – числа, которые имеют три и более делителя.
• Целые – это положительные (больше нуля) и отрицательные (меньше нуля) числа, которые не имеют дробной части.
• Четные – целые числа, которые без остатка делятся на два: 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т.д.
• Нечетные – целые числа, которые не делятся без остатка на два: 15, 21, 37, 41 и т.д.
• Вещественные – рациональные и иррациональные числа.
• Рациональные  – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби.
• Иррациональные – бесконечные непериодические десятичные дроби, которые нельзя представить в виде обыкновенных.

Натуральные числа

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Комплексные числа

Комплексные числа– числа, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде  z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = -1. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Т. е. множество натуральных чисел входит во множество целых чисел. Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. А множество действительных чисел входит во множество комплексных чисел.

Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера:

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.

Округлить 8,759123… с точностью до целой части.

Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.

Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.

Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.
2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
• бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

2 ∈ D

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

5 ∉ D

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

 

Свойства числовых множеств

Ограниченные числовые множества

Определение 1.26.Пусть X — непустое числовое множество. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число a, что x
a (x
a) для любого элемента x ∈ X . При этом число a называется верхней (нижней) границей множества X . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

∃ a ∈
: x
a, ∀x ∈ X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение  граниченного множества.

Непустое числовое множество X называют ограниченным, если существует такое положительное число M, что|x| M, ∀x ∈ X.

Элемент a из числового множества X называют максимальным (минимальным) элементом в X, если x
a (соответственно, x > a) для любого x из X, и пишут: a = max X (соответственно, a = min X).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в
имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пример 1.5. Покажем, что множество X = [0, 1) не имеет максимального элемента.
Заметим, что множество X ограничено сверху и 1 — одна из его верхних границ. Пусть x0 — любой элемент из X . Тогда 0
x0
1 и

Следовательно,
и
. Последнее означает, что x0  не является максимальным элементом множества X. Но x0 — произвольный элемент X , поэтому множество X не имеет максимального элемента.

Замечание. Любое числовое множество, содержащее конечное число элементов, имеет максимальный и минимальный элементы.

Теорема 1.2 (принцип полноты Вейерштрасса). Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то существует число, которое является наименьшей верхней (соответственно, наибольшей нижней) границей этого множества, и это число единственно.

Пусть X ⊂
, X
и ограничено сверху. Обозначим через Y множество верхних границ множества X, то есть Y = {y ∈
| x
y, ∀x ∈ X}. По условию Y 
и
6 y, ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y . По аксиоме полноты

∃ c ∈
: x
c
y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Поскольку x
c, ∀x ∈ X , то c ∈ Y . Но c
y, ∀y ∈ Y , значит c — наименьшая верхняя граница множества X , то есть минимальный элемент множества Y. Поэтому он единственен.

Определение 1.29.Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Наименьшую из верхних границ множества X называют точной верхней границей или верхней гранью множества X и обозначают sup X (читают «супремум X») или sup x.

x∈X

Итак, sup X = min{c ∈
| x 
c, ∀x ∈ X} и потому определение 1.29 равносильно следующему.

Определение 1.30. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Число a называют точной верхней границей множества X , если выполнены два условия:

1. x a, ∀x ∈ X ;
2. ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε > a — ε.

Условия 1-2 являются характеристическими свойствами sup X. Первое означает, что a — верхняя граница множества X , а второе — что любое число b, меньшее чем a, уже не является верхней границей множества X .

С учетом определения 1.29 принцип полноты множества R в смысле Вейер-штрасса формулируется следующим образом:

Теорема 1.3. Непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, притом единственную, точную верхнюю границу.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества.

Пусть X ⊂ , X , ограничено снизу. Наибольшую из его нижних границ называют точной нижней границей или нижней гранью множества X и обозначают inf X (читают «инфимум X») или .

Характеристическими свойствами a = inf X, a ∈ , являются:

• a x, ∀x ∈ X ;
• ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε a + ε.

Лемма 1.2. Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то a = sup X (соответственно a = inf X).

Пусть a = max X . Тогда a ∈ X и x
a, ∀x ∈ X . Поэтому a — верхняя граница множества X и ∀ε > 0, если положить xε = a ∈ X , имеем:

∃ xε = a ∈ X : xε > a — ε.

Следовательно, по определению 1.30 a = sup X.

Пример 1.6. Найти sup X, если X = [0, 1).

Так как x 1, ∀x ∈ X , то 1 — верхняя граница множества X . Пусть ε — произвольное положительное число, меньшее 1. Число 1 —
принадлежит множеству X. Поскольку 1-
> 1 — ε, то можно положить xε = 1-. Поэтому 1=supX.

Неограниченные числовые множества

Определение 1.32.Если непустое числовое множество не является ограниченным сверху (снизу), то его называют неограниченным сверху (снизу).В символьной форме это определение принимает вид:

X ⊂ , X
не ограничено сверху ⇒ ∀a ∈ ∃ x ∈ X : x>a.

В случае, если числовое множество X не ограничено сверху считают, что его точная верхняя граница равна +∞.

Если же X не ограничено снизу, то считают, что inf X = -∞.

Из сказанного и теоремы 1.2 вытекает следующий результат.

Теорема 1.4 (существования точных границ). Каждое непустое множество X из
имеет в точные верхнюю и нижнюю границы; sup X — число, если X ограничено сверху, sup X = +∞, если X не ограничено сверху; inf X — число, если X ограничено снизу и inf X = -∞, если X не ограничено снизу.

Теорема 1.5.Непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества Z имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пусть X ⊂ Z, X 6, X — ограниченное сверху множество. По теореме 1.2 о существовании точных границ числового множество имеется число C такое, что C = sup X. Поэтому для любого ε > 0 и, в частности, ε = 1 найдется такой элемент xε = n0 ∈ X, что n0 > C- 1, то есть n0
C n0+1. Поскольку между n0 и n0 + 1 нет целых чисел, то ∀m ∈ X m
n0 и, следовательно, n0 = max X .

Теорема 1.6. Бесконечное подмножество натуральных чисел не ограничено сверху.

Пусть X — бесконечное подмножество множества . Предположим, что оно ограничено сверху. Так как X ⊂ Z, то по теореме 1.5 множество X имеет максимальный элемент n0 . Тогда X имеет не более n0 элементов, что противоречит условию.

Теорема 1.7 (принцип Архимеда). Для любого числа a и любого положительного числа b найдется единственное целое число n0 такое, что (n0-1)b
a n0b.

Так как ⊂ , то множество
не ограничено сверху, поэтому существует число n ∈
такое, что n > a/b. Пусть Y = {n ∈ Z : n > a/b}. Множество Y является непустым ограниченным снизу. По теореме 1.5 оно имеет минимальный элемент. Пусть n0 = min Y . Тогда n0 — 1 ∈/ Y и n0 —.

Следовательно,
Поскольку число n0 — минимальный элемент Y , то оно единственно.

Следствие 1. Для любого числа x ∈ существует единственное число k ∈ такое, что (достаточно в теореме положить b = 1). Такое число k называют целой частью числа x и обозначают через [x] или E (x).

Следствие 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0
1/n ε.

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n ∈ , что n > 1∕ε. Поскольку ε > 0, то n ∈ и 0 1/n ε.

Теорема 1.8 (о плотности в ). Для любых чисел a, b ∈ , a b, найдется рациональное число r такое, что a r b.

Число b — a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n0 такое, что 0
1∕n0
b—a. Далее, по принципу Архимеда по числу a и 1∕n0 > 0 найдется m0 ∈
:

Докажем, что рациональное число m0∕n0 — искомое. Действительно,

Отсюда, a mo∕nob.

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.