Уравнение прямой по двум точкам

Уравнения прямой на плоскости

{ dfrac {x-x_a} {x_b-x_a} = dfrac {y-y_a} {y_b-y_a}} { begin {cases} x = l cdot t + x_a y = m cdot t + y_a end {case} }

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{ dfrac {x-x_a} {x_b-x_a} = dfrac {y-y_a} {y_b-y_a}}

где {x_a, y_a} — координаты точки A, {x_b, y_b} — координаты точки B.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{ begin {case} x = l cdot t + x_a y = m cdot t + y_a end {cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, { {l; m }} — координаты вектора направления линии, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Уравнения прямой в пространстве

{ dfrac {x-x_a} {x_b-x_a} = dfrac {y-y_a} {y_b-y_a} = dfrac {z-z_a} {z_b-z_a}} { begin {case} x = l cdot t + x_a y = m cdot t + y_a z = n cdot t + z_a end {case} }

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{ dfrac {x-x_a} {x_b-x_a} = dfrac {y-y_a} {y_b-y_a} = dfrac {z-z_a} {z_b-z_a}}

где {x_a, y_z, z_a} — координаты точки A, {x_b, y_b, z_b} — координаты точки B.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin {cases} x = l cdot t + x_a y = m cdot t + y_a z = n cdot t + z_a end {cases} }

где {x_a, y_a, z_a} — координаты точки, лежащей на прямой, { {l; м; n }} — координаты вектора направления линии, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y = kx + b, где k — наклон, а b — действительное число, называется уравнением наклона. Уравнение типично для любой прямой, не параллельной оси Oy.

Если мы подробно рассмотрим прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задается уравнением с наклоном, которое имеет вид y = kx + b. В данном случае это означает, что уравнение соответствует координатам любой точки на прямой. Если подставить координаты точки M, M1 (x1, y1), в уравнение y = kx + b, то в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

  • Пример

дана линия с наклоном y = 13x-1. Вычислите, принадлежат ли точки M1 (3, 0) и M2 (2, -2) заданной прямой.

Решение

в данное уравнение необходимо подставить координаты точки M1 (3, 0), так что получаем 0 = 13 · 3-1⇔0 = 0. Равенство верно, значит, точка принадлежит прямой.

Если подставить координаты точки M2 (2, -2), то получим неверное равенство вида -2 = 13 · 2-1⇔-2 = -13. Можно сделать вывод, что точка M2 не принадлежит прямой.

Ответ: M1 принадлежит прямой, а M2 — нет.

известно, что прямая определяется уравнением y = kx + b, проходящим через M1 (0, b), после подстановки получаем равенство вида b = k 0 + b⇔b = b. Следовательно, можно сделать вывод, что уравнение прямой с наклоном y = kx + b на плоскости определяет прямую, проходящую через точку 0, b. Сформируйте угол α с положительным направлением оси Ox, где k = tan α.

Например, рассмотрим линию, определенную с использованием наклона, заданного в форме y = 3 x-1. Получаем, что прямая проходит через точку с координатой 0, -1 с наклоном α = arctg3 = π3 радиан вдоль положительного направления оси Ox. Это показывает, что коэффициент равен 3.

Прямая, проходящая через две данные точки

Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и .

В аналитической геометрии было показано, что наклон искомой прямой можно рассчитать по формуле (3)

Нам просто нужно применить эту формулу.

  • Равняется прямой с уклоном, если она проходит через точки и .

Решение. По формуле (3) находим наклон.

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Таким образом, мы получили уравнение вида (2).

Проверяем: подставляем координаты точек в получившееся уравнение, получаем верные равенства:

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Находим уравнения прямой, проходящей через точки A (1,2) и B (3.8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид { dfrac {x-x_a} {x_b-x_a} = dfrac {y-y_a} {y_b-y_a}}

Подставьте координаты точек A и B в формулу: { dfrac {x-1} {3-1} = dfrac {y-2} {8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: { dfrac {x-1} {2} = dfrac {y-2} {4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с наклоном: {y = 3x-1}

Оцените статью
Блог про прикладную математику