Уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки, не лежащие на одной прямой, составить уравнение плоскости проходящей через 3 точки

Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

Во-первых, мы должны запомнить аксиому, которая звучит так:

Если три точки не совпадают между собой и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Другими словами, если у нас есть три разные точки, координаты которых не совпадают и которые не могут быть соединены линией, мы можем определить плоскость, которая ее пересекает.

Допустим, у нас есть прямоугольная система координат. Назовем его Oxyz. Он содержит три точки M с координатами M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем написать необходимое нам уравнение плоскости. Есть два подхода к решению этой проблемы.

  • Первый подход использует общую уравнение плана. В буквальном виде он записывается как A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0. С его помощью можно указать некую альфа-плоскость в прямоугольной системе координат, которая проходит через первую заданную точку M1 (x1, y1, z1). Оказывается, нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A, B, C.
  • Зная координаты вектора нормали и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем написать общее уравнение этой плоскости.

Из этого и будем исходить в дальнейшем.

Тогда по условиям задачи у нас есть координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит самолет. Чтобы найти уравнение, необходимо вычислить координаты его вектора нормали. Обозначим его через n→.

Напомним правило: любой ненулевой вектор данной плоскости перпендикулярен вектору нормали той же плоскости. Тогда мы имеем, что n → будет перпендикулярно векторам, составленным из исходных точек M1M2 → и M1M3 →. Тогда мы можем обозначить n → как векторное произведение вида M1M2 → M1M3→.

Поскольку M1M2 → = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 → = x3-x1, y3-y1, z3-z1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора из координат точек), то получается, что:

n → = M1M2 → × M1M3 → = i → j → k → x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1

Если вычислить определитель, то получим нужные нам координаты вектора нормали n →. Теперь мы можем написать желаемое уравнение плоскости, проходящей через три точки данных.

  • Второй подход к нахождению уравнения, проходящего через M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), основан на концепции компланарности векторов.

Если у нас есть набор точек M (x, y, z), то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3 , y3, z3), только если векторы M1M → = (x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 → = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 → = (x3-x1 , y3-y1, z3-z1) будет компланарным.

На схеме это будет выглядеть так:

Как найти уравнение плоскости, проходящей через 3 точки данных

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M1M →, M1M2 →, M1M3 → будет равно нулю: M1M → M1M2 → M1M3 → = 0, поскольку это главное условие компланарности: M1M → = (x-x1, y -y1, z-z1), M1M2 → = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 → = (x3-x1, y3-y1, z3-z1).

Запишем полученное уравнение в виде координат:

x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1 = 0

После вычисления определителя мы можем получить необходимое уравнение плоскости для трех точек M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), которые не лежат на одной прямой).

От полученного уравнения можно перейти к уравнению сегментированной плоскости или уравнению нормали к плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем разделе мы приведем примеры того, как эти подходы реализуются на практике.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступим к работе. Начнем с теоремы о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Даны координаты трех точек, через которые необходимо провести плоскость: M = (x1, y1, z1); N = (x2, y2, z2); К = (х3, у3, z3). Итак, уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

уравнение плоскости через определитель

Например, давайте попробуем найти пару плоскостей, которые действительно встречаются в задачах C2. Посмотрите, насколько быстро все это имеет значение:

Задача. Сопоставьте план по пунктам:

A1 = (0, 0, 1);
В = (1,0,0);
C1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и отождествляем его с нулем:

подставляем конкретные точки в определитель.

Расширяя определитель:

a = 1 1 (z — 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z — 1 — y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z — 1) + 1 0 y = −x;
d = a — b = z — 1 — y — (−x) = z — 1 — y + x = x — y + z — 1;
d = 0 ⇒ x — y + z — 1 = 0;

Как видите, при вычислении числа d я немного прочесал уравнение, чтобы переменные x, y и z находились в правильной последовательности. Это все! Уравнение плана готово!

Задача. Сопоставьте план по пунктам:

А = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

составим уравнение плоскости через определитель

Снова разверните определитель:

а = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
б = 1 1 х + 0 0 г + 1 1 у = х + у;
d = a — b = z — (x + y) = z — x — y;
d = 0 ⇒ z — x — y = 0 ⇒ x + y — z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем этапе нам пришлось изменить знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. В настоящем решении это вовсе не обязательно, но все же рекомендуется, чтобы упростить дальнейшее решение проблемы.

Как видите, уравнение плана теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, вычисляем определитель и все, уравнение готово.

Это могло закончить урок. Однако многие студенты постоянно забывают, что находится внутри определителя. Например, какая строка содержит x2 или x3, а какая строка содержит только x. Чтобы наконец добраться до конца, давайте проследим, откуда взялось каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, попробуем разобраться, откуда взялось такое сложное уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить и успешно применить его.

Все плоскости, встречающиеся в задаче C2, обозначены тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже или даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, чтобы составить уравнение, нам нужно записать их координаты:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
К = (х3, у3, z3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

Т = (х, у, г)

Берем любую точку первой тройки (например, точку M) и из нее строим векторы для каждой из трех оставшихся точек. Получаем три вектора:

MN = (x2 — x1, y2 — y1, z2 — z1);
MK = (x3 — x1, y3 — y1, z3 — z1);
MT = (x — x1, y — y1, z — z1).

Теперь мы составим квадратную матрицу из этих векторов и сделаем их равными нулю. Координаты векторов станут строками матрицы — и мы получим тот же определитель, который указан в теореме:

уравнение плоскости через определитель

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN, MK и MT, равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, произвольная точка T = (x, y, z) — это именно то, что мы искали.

Оцените статью
Блог про прикладную математику