Определение угла между скрещивающимися прямыми
Пересечение двух линий на плоскости указывает на то, что у них есть общая точка. Он также является центром их пересечения и делит их на лучи.
Балки образуют четыре неразвитых угла. Зная размер одного из них, можно рассчитать стоимость остальных. Можно с уверенностью сказать, что если один из них прямоугольный, то остальные три эквивалентны, а линии будут перпендикулярными.
Рис. 1 Графическое изображение пересечения прямых
Как найти угол между скрещивающимися прямыми
Чтобы определить угол между двумя пересекающимися линиями, можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм расчетов.
Предположим, что две бесконечные прямые заданы общими уравнениями:
A1 + B1 + C1 = 0
A2 + B2 + C2 = 0
Искомое значение следует обозначить как φ. Числовое значение угла измеряется в градусах от 0 до 90 °, то есть угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие: угол между векторами нормалей этих прямых:
Если он меньше или равен 90 °, сам желаемый угол будет соответствовать его измерению в градусах. Если оно больше 90 °, для расчета φ необходимо применить известную формулу:
= 1800.
Для обоих вариантов утверждение, что cos φ = lcos ψl, является достоверным. После проведения необходимых расчетов можно рассчитать желаемое значение:
Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенный на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла.
Чтобы найти значение синуса угла, образованного пересечением двух прямых, вычислите модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами этих прямых.
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
- Пример 1. Найдите угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.
Решение: мы используем формулу для вычисления угла между линиями, заданными уравнениями с наклоном:
tg γ = k1 — k21 + k1 k2 = 2 — (-3) 1 + 2 (-3) = 5-5 = 1
Ответ: γ = 45°
- Пример 2. Найдите угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.
Решение: мы используем формулу для вычисления угла между линиями, векторы направления которого известны.
Для первой строки вектор направления {1; 2}, для второй линии вектор направления {2; 1}
cos = | 1 2 + 2 1 | 12 + 22 22 + 12 = 45 5 = 0,8
Ответ: φ ≈ 36,87°
- Пример 3 Найдите угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.
Решение: чтобы решить эту проблему, вы можете найти векторы направления и вычислить угол, используя векторы направления, или преобразовать уравнения в уравнения уклона и вычислить угол, используя уклоны.
Преобразуем существующие уравнения в уравнения с наклоном.
2x + 3y = 0 => y = -23x (k1 = -23)
х — 23 = у4 => у = 43 х — 83 (k2 = 43)
tg γ = k1 — k21 + k1 k2 = -23 — 431 + (-23) 43 = -631 — 89 = 18
Ответ: γ ≈ 86,82°
Пример решения задачи
На школьных уроках геометрии для решения в классе часто предлагают следующий тип задач, чтобы найти угол между двумя линиями.
Ниже приведен алгоритм решения задачи, в которой бесконечные прямые на плоскости задаются уравнениями общего вида, в которых присутствует наклон.
Обозначим прямые как (L1) и (L2). Каждый из них задается уравнением следующего вида:
A1x + B1y + C1 = 0;
A2x + B2y + C2 = 0;
Зная, что нормальные векторы каждого из них имеют вид:
Суть задачи сводится к вычислению угла, образованного векторами нормалей.
Мы используем определение точечного произведения векторов:
и согласованное выражение их длин, а также их скалярное произведение:
В практических задачах математики часто требуется найти не сам угол между пересекающимися линиями, а уравнять их все при условии, что линии пересекаются друг с другом.
Итак, если прямые задаются уравнениями общего вида с коэффициентами, то
Последнее равенство часто называют уравнением биссектрис углов, образованных в результате пересечения прямых. Понятие «биссектриса» в геометрии — это своего рода геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии от сторон угла.
Если прямые задаются уравнениями, включающими наклон, который определяется тангенсом угла, довольно просто найти значение углов, образующихся при их пересечении:
Рис. 2 Углы, образованные пересечением двух прямых на плоскости
tan α = k1;
tan = k2;
где k1 и k2 — одинаковые наклоны.
Поэтому для расчета стоимости следует применять формулы:
= α — β
tan γ = tan (α — β)
Решение очевидно:
Угол между прямыми в пространстве
Определение угла между прямыми
Прямые L1 и L2 в пространстве задаются каноническими уравнениями
 , |
(2.1) |
а также
 , |
(2.2) |
где q1 = (m1, p1, l1) — вектор направления прямой L1, а q2 = (m2, p2, l2) — вектор направления прямой L2.
Проблема определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче определения угла между направляющими векторами q1 и q2 .
Из определения скалярного произведения:
 , |
(2.3) |
где | q1 | и | q2 | модулей векторов направлений q1 и q2 соответственно — угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (2.3) получаем:
  . |
(2.4) |
Следовательно, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90 °, можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1 = 180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- Пример 1. Определить угол между прямыми линиями
 . |
(2.5) |
а также
 |
(2,6) |
Решение. Прямая (2.5) имеет вектор направления q1 = (m1, p1, l1) = (1, 1, 3), а прямая (2.6) — q2 = (m2, p2, l2) = (- 3, 1, 2). Для определения угла между линиями (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):
  . |
 . |
Мы упрощаем и решаем:
 . |
Найдите угол φ
 |
Отвечать.
Угол между линиями равен:
|
Условие параллельности прямых
Условие параллельности линий эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е соответствующие координаты этих векторов пропорциональны, не говоря уже о
| m1 = αm2, p1 = αp2, l1 = αl2 | (2,7) |
где α — число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, а значит, прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности линий можно представить следующим образом:
 |
(2,8) |
Обратите внимание, что любая пропорция 
его следует понимать как равенство ad = bc.
- Пример 2. Определите, параллельны ли линии
.
а также
.
Решение. Прямая (2.9) имеет вектор направления q1 = (m1, p1, l1) = (3, 2, 4), а прямая (2.10) — q2 = (m2, p2, l2) = (6, 4, 8). Следовательно
, 
, 
.
Равенство (2.8) (или (2.7)) выполняется, поэтому прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Отвечать. Прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
- Пример 3. Определите, параллельны ли линии
.
а также
.
Решение. Прямая (2.9) имеет вектор направления q1 = (m1, p1, l1) = (1, 2, 0), а прямая (2.10) — q2 = (m2, p2, l2) = (2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получаем
 . |
Выражение (2.13) следует понимать следующим образом:
 ,  ,  . |
Как видно из (2.14), условия (2.13) выполнены. Следовательно, прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Отвечать. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.