Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение: кривая y = f (x) называется выпуклой вниз в интервале (a; b), если она находится выше касательной в любой точке этого интервала.
Определение: кривая y = f (x) называется выпуклой вверх в интервале (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого интервала.
Определение: интервалы, в которых график функции направлен вверх или вниз, называются интервалами выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y = f (x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором интервале f » (x)> 0, то кривая выпуклая вниз в этом диапазоне; если f » (x) <0, то кривая на этом интервале выпуклая вверх.
Определение: Точка графика функции y = f (x), разделяющая интервалы выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут выступать только критические точки второго типа, например точки, принадлежащие области определения функции y = f (x), в соответствии с которыми вторая производная f » (x) обращается в нуль или представляет собой разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f (x)
- Найдите вторую производную f » (x).
- Найдите критические точки второго типа функции y = f (x), например, точку, в которой f » (x) обращается в нуль или ломается.
- Исследуйте знак второй производной f » (x) в интервале, в котором найденные критические точки делят область определения функции f (x). Если в этом случае критическая точка x0 разделяет интервалы выпуклости противоположных направлений, то x0 — абсцисса точки перегиба графика функции.
- Рассчитайте значения функции в точках перегиба.
- Пример 1. Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f (x) = 6×2 — x3.
Решение: найти f ‘(x) = 12x — 3×2, f’ ‘(x) = 12 — 6x.
Найдите критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x = 0 x = 2.
f (2) = 6 * 22 — 23 = 16
Ответ: Функция выпуклая вверх при x∈ (2; + ∞); функция выпуклая вниз для x∈ (-∞; 2); точка перегиба (2; 16).
- Пример 2. Функция имеет точки перегиба: f (x) = x3-6×2 + 2x-1
- Пример 3. Найдите интервалы, на которых график функции является выпуклым и искривленным: f (x) = x3-6×2 + 12x + 4
Исследуем характер выпуклости и вогнутости графика функции вместе
Как должно быть ясно из приведенных выше определений, для исследования характера выпуклости кривой y = f (x) необходимо найти те точки, в которых вторая производная равна нулю () или не существует, и поэтому, используя достаточный критерий, исследуйте знаки второй производной слева и справа от каждой возможной точки перегиба (аналогично тому, как крайние точки определялись по первой производной).
- Пример 1. Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .
Решение. Функция определяется в (как найти область действия функции). Его производные e. Находим возможные точки перегиба. Предполагая получить, то есть предполагая получить .
Однако точки не входят в область определения данной функции, поэтому она может иметь только одну точку перегиба a. Исследуем знаки второй производной вблизи точки. Взяв точку в интервале, мы получаем, а взяв точку в интервале, мы получаем. Следовательно, кривая выпуклая слева от кривой и вогнутая справа; следовательно, а график функции имеет точку перегиба .
График этой функции показан на рис. Снизу.
Для самоконтроля в расчетах вы можете использовать онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов .
- Пример 2. Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости и построите график функции .
Решение. Функция определена в. Его производные e. Здесь и за, и за, и за. Следовательно, кривая вогнута слева от кривой и выпукла справа, т.е это точка перегиба графика.
График этой функции показан на рис. Снизу.
Для самоконтроля в расчетах вы можете использовать онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов .
Нет времени исследовать решение? Вы можете заказать работу!
- Пример 3. Исследование функции для точек выпуклости, вогнутости и перегиба .
Решение. Найдите вторую производную:. Из уравнения получаем критическую точку:. Рассматривая знак возле точки, получаем: слева от точки (выпуклость) и справа — (вогнутость), т.е точка является точкой перегиба рассматриваемой функции.
График этой функции показан на рис. Снизу.
Для самоконтроля в расчетах вы можете использовать онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов .
Признаки существования точки перегиба
Точка на графике непрерывной функции, в которой выпуклость переходит в вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.
Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая находится под касательной, с другой стороны — над ней или наоборот. Поэтому точка перегиба на графике обычно изображается как касательный отрезок, который пересекает кривую в этой точке (рис. 3).
Теорема (достаточный критерий существования точки перегиба). Если в точке функция f (x) имеет первую производную, а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и, кроме того, когда она проходит через точку, она меняет знак, то точка
— точка перегиба графика функции y = f (x).
Для самоконтроля в расчетах вы можете использовать онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов .