Теория вероятностей

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма проанализировали азартные игры и изучили прогнозы выигрышей. Поэтому они заметили ранние закономерности случайных событий на примере броска игральных костей и сформулировали теорию вероятности.

Когда мы подбрасываем монету, мы не можем сказать наверняка, что выйдет: орел или решка.

Но если подбросить монету много раз, окажется, что каждая сторона выпадает примерно одинаковое количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: от 50% до 50%, что выпадут «орлы» или «решки».

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий законы случайных явлений: случайных событий, случайных величин, их свойств и операций с ними.

Вероятность — это степень вероятности того, что событие произойдет. Если у нас есть больше причин полагать, что что-то, скорее всего, не произойдет, такое событие называется вероятным.

Что ж, допустим, мы смотрим на облака и понимаем, что дождь — очень вероятное событие. А если солнце светит ярко, дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате теста может принимать то или иное значение, и заранее неизвестно, какое именно. Случайные переменные можно разделить на две категории:

• Дискретная случайная величина — это значение, которое после теста может принимать определенные значения с определенной вероятностью или образовывать счетное множество.
  Элементы набора можно пронумеровать. Они могут быть как конечными, так и бесконечными. Например: количество выстрелов до первого выстрела по цели.
• Непрерывная случайная величина — это такая величина, которая может принимать любое значение из определенного конечного или бесконечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его анализа с помощью теории вероятностей.

Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ), иногда заключенная в угловые скобки: ⟨,⟩, где

1. это набор объектов, называемых элементарными событиями, результатами или точками.
2. Σ — сигма-алгебра подмножеств, называемых случайными событиями;
3. является вероятностной мерой или вероятностью, то есть конечной сигма-аддитивной мерой, такой что .

Формулы по теории вероятности

Теория вероятностей изучает события и их вероятности. Если событие сложное, его можно разбить на простые компоненты: это упрощает и ускоряет определение их вероятностей. Рассмотрим основные формулы теории вероятностей.

Как решать задачи с фиксированными элементами: разбираем на примере

Вероятностные задачи с фиксированным элементом сводятся к стандартным вероятностным задачам, но нам нужно вычесть 1 из m и n элементов.

Возьмем пример.

Задача

В соревнованиях по борьбе участвуют 73 участника. Из них 25 участников из Москвы, в том числе Б. Егоров. Участники делятся на пары жеребьевкой. Какова вероятность того, что московский участник станет оппонентом Б. Егорова? Результат округлите до сотых.

Решение. В этой проблеме есть фиксированный элемент: Б. Егоров. Мы должны вычесть этот фиксированный элемент из m и n элементов.

Таким образом, общее количество участников 73. Но мы уже выбрали Егорова Б., поэтому он не участвует в розыгрыше. Поэтому исключаем его из общего числа и получаем n = 72. Нас интересуют только московские участники, их 25. Но опять же, Б. Егоров уже выбран для нас, поэтому он не участвует в конкурсе. Рисунок. Следовательно, количество подходящих нам вариантов m = 24. А теперь посчитаем по нашей формуле:
Таким образом, вероятность того, что московский участник станет оппонентом Б. Егорова, составляет 0,33.

Ответ: 0,33

Обратим внимание еще раз. Если в задаче есть фиксированный элемент, мы вычитаем его из числа мужчин, а затем решаем задачу, используя стандартную формулу, чтобы найти вероятность.

Вероятность: логика перебора.

У Пети в кармане монеты нарублей имонеты наруб. Петя, не глядя, немного пошевелился монеты в другом кармане. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты теперь лежат в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. Но как рассчитываются все эти результаты?

Конечно, пятирублёвые монеты можно обозначить цифрамии фигурки от десяти рублей — а затем подсчитывается, сколько способов вы можете выбрать три элемента из набора … Однако есть более простое решение: кодирование монет цифрами: , (это пять рублей), (это десять рублей). Состояние проблемы теперь можно сформулировать следующим образом:

Шесть фишек с номерами отпервый… Сколько способов можно расположить их равномерно по двум карманам, чтобы счетчики с цифрами а такжеразве они не были вместе? Напишем, что у нас в первом кармане.

Для этого наберите все возможные комбинации из набора … Набор из трех жетонов будет трехзначным числом. Очевидно, что в наших условиях а такжеэто один и тот же набор жетонов. Чтобы ничего не упустить и не повторить, расставляем соответствующие трехзначные числа в порядке возрастания: … Так что же дальше? Мы сказали, что располагаем числа в порядке возрастания. Итак, следующее — , тогда: .

Все! Мы рассмотрели все возможные комбинации, начиная с… Давай продолжим:

Общийвозможные исходы.

У нас одно условие: фишка с цифрами а такжеони не должны быть вместе. Это означает, например, что комбинация
нет хорошего — значит фишки а такжеоба оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные исходы для нас — это те, в которых есть только один или другой, или только … Вот они: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 — всего благоприятные исходы. Тогда искомая вероятность равна .

Отвечать: .

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке задач стали появляться более сложные задачи. Поэтому мы обращаем внимание читателя на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от наступления или отсутствия другого события.

Событие B означает, что событие A не произошло, т.е событие B противоположно событию A. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события, т. Е .

Как решать задачи с двумя кубиками: используем таблицы

Таблицы полезны для решения задач с двумя игральными костями. Например.

Задача

Петя бросил две кости. Какова вероятность того, что будет выброшено не менее 9 очков.

Решение. В таких задачах удобнее строить стол. По горизонтали мы размещаем точки, которые могут упасть на первый кубик, например числа от 1 до 6. И мы размещаем вертикально числа, которые могут упасть на второй кубик, то есть также числа от 1 до 6. Давайте нарисуем таблицу:

Далее заполняем таблицу. Для этого вводим сумму чисел, найденных на пересечении этой ячейки. Например, заполним первую строку. В ячейке на пересечении двух единиц мы получаем 1 + 1 = 2, поэтому 2 и 1 пересекаются, мы получаем 2 +1 = 3, поэтому 3 + 1 = 4, поэтому 4 + 1 = 5, поэтому 5 + 1 = 6 и в последней ячейке этой строки получаем 6 + 1 = 7
Итак, заполняем всю таблицу и получаем:
У нас получилась таблица со всеми возможными вариантами падения значений двух игральных костей и их суммы.

А теперь вернемся к нашей проблеме. Нам нужно было найти вероятность того, что на кубиках будет не менее 9 очков. Поэтому отметим в таблице значения больше или равные 9:
Отсюда количество вариантов, которые нас удовлетворяют (считаем количество обведенных цифр), m = 10

И общее количество возможных вариантов выпадения со значениями кубика: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что подходит нам вариант, равна:
Таким образом, вероятность того, что на кубиках наберется не менее 9 очков, равна 0,27.

Ответ: 0,27

Задача

Маша бросает два кубика. Какова вероятность того, что выпадет 6 кубиков? Результат округлите до сотых.

Решение. Берем нашу таблицу и находим значения при сумме на кубиках 6 баллов:
Итак, количество подходящих нам вариантов (посчитаем количество обведенных цифр) m = 5.

И общее количество возможных вариантов выпадения со значениями кубика: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что подходит нам вариант, равна:
Напомним, что для преобразования 5/36 в десятичную дробь нам нужно разделить 5,00000 на 36 в одном столбце, поэтому мы получим 0,13888. Округляем до цента и получаем 0,14.

Таким образом, вероятность выпадения 6 очков равна 0,14.

Ответ: 0,14

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятность события А в некоторых тестах — это соотношение:

P (A) = m / n, где n — общее количество всех равновозможных элементарных исходов этого теста, а m — количество элементарных исходов, благоприятных для события A

Вероятностные свойства:

• Вероятность определенного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события — это положительное число от нуля до единицы.

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

• 0 ≤ P (A) ≤ 1.
• Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 с вишней. Какова вероятность достать белый шоколад из пакета?

Как мы рассуждаем:

Поскольку в пакете нет белых шоколадных конфет, m = 0, n = 15. Следовательно, желаемая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Плохая новость для любителей белого шоколада: в этом примере мероприятие «принести конфеты из белого шоколада» невозможно.

Ответ: 0.

• Пример 2. Карта вытягивается из колоды из 36 карт. Какова вероятность выпадения карты Червы?

Как мы рассуждаем:

Количество элементарных исходов, т.е количество карточек — 36 (n). Количество благоприятных для появления карты червей (A) событий — 9 (m).

Следовательно:

Ответ: 0,25.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется соотношением:

P (A) = m (A) / m (G), где m (G) и m (A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и событий A соответственно

Очень часто в одномерном случае говорят о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке между 12.00 и 13.00 и подождать 5 минут?

Как мы решаем:

• A — состоится встреча с другом, x и y — время прибытия. Средства:
  0 х, у 60.
• В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, находящиеся внутри квадрата OABS. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:
  у — х <5, у> х
  х — у <5, х> у.
• Этим неравенствам удовлетворяют точки области G, выделенные красным:
  
• Тогда вероятность встречи равна соотношению площадей области G и квадрата:
  P (A) = SG / SOABC = 60 * 60 — 55 * 5560 * 60 = 23144 = 0,16

Ответ: 0,16

Вероятность нескольких событий

• Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд честно жребуют, чтобы определить, какая команда начнет матч. Команда Starter играет по очереди с командами Rotor, Motor и Strator. Найдите вероятность того, что Стартер начнет только вторую игру.

Решение:

Тип вопроса: сочетание событий.

Нас устраивает следующий вариант: «Статор» не запускает первую игру, запускает вторую игру, не запускает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 0,5 0,5 = 0,125.

• Задача 2. Для перехода в следующий раунд соревнований футбольная команда должна набрать не менее 4 очков в двух играх. В случае победы команда получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, в случае поражения — 0 очков. Найдите вероятность того, что команда сможет пройти в следующий раунд соревнований. Учтите, что в каждой игре шансы на выигрыш и проигрыш одинаковы и равны 0,4.

Решение:

Тип вопроса: сочетание событий.

Задача выполняется несколькими вариантами:

Игра номер 1	Игра номер 2	Вероятность этого варианта
3	1	0,4 0,2 = 0,08
1	3	0,2 0,4 = 0,08
3	3	0,4 0,4 ​​= 0,16

Вероятность возникновения каждого из этих 3 вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

• Задача 3. В классе 21 ученик. Среди них двое подруг: Аня и Нина. Класс случайным образом делится на 7 групп по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина находятся в одной группе.

Решение:

Тип применения: групповая редукция.

Вероятность присоединения Ани к одной из групп — 1. Вероятность присоединения Нины к одной группе — 2 из 20 (в группе осталось 2 места и осталось 20 человек). 2/20 = 1/10 = 0,1.

• Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, положил в другой карман 3 монеты. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты окажутся в одном кармане.

Решение:

Способ no1

Тип задания: групповая редукция.

Представьте, что шесть монет разделены на две группы по три. Вероятность того, что первая монета номиналом 1 рубль попадет в одну из карманов (групп) = 1.

Вероятность того, что две двухрублевые монеты попадут в один и тот же карман = количество мест, оставшихся в этом кармане / для количества мест, оставшихся в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ no2

Тип вопроса: сочетание событий.

Задача выполняется несколькими способами:

Если Петя положил три из четырех рублевых монет в другой карман (и не перевел двухрублевые монеты), или если она положила и двухрублевые, и однрублевые монеты в другой карман одним из трех способов: 1 , 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Вы можете изобразить это на диаграмме (Петя кладет в карман 2, поэтому будем рассчитывать вероятности в столбце «карман 2»):

Вероятность возникновения каждого из этих 4 вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов:

• Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, положил в другой карман 3 монеты. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты теперь лежат в разных карманах.

Решение:

Тип задания: групповая редукция.

Способ no1

Представьте, что шесть монет разделены на две группы по три. Вероятность попадания первой двухрублевой монеты в одну из лунок (групп) = 1. Вероятность того, что вторая монета попадет в другую лунку, = количеству мест, оставшихся в другой / для количества мест, оставшихся в обеих карманы карманы = 3/5 = 0,6.

Способ no2

Тип вопроса: сочетание событий.

Задача выполняется несколькими вариантами:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Пете нужно достать из кармана один пятирублевый и два десятирублевых. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Вы можете изобразить это на диаграмме (Петя кладет в карман 2, потом будем рассчитывать вероятности в графе «карман 2»):

Вероятность возникновения каждого из этих 4 вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов:

• Задача 6. В случайном эксперименте симметричная монета подбрасывается трижды. Найдите вероятность того, что выпадет ровно дважды.

Решение: Тип вопроса: найдите то, что вы хотите и что реально объедините события. Нас устраивают три варианта:

Орел — решка — орел;

Орел — орел — решка;

Хвосты — головы — головы;

Вероятность каждого случая равна 1/2, а каждого варианта — 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит первый, второй или третий вариант. Таким образом, мы складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8) или 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер A играет белыми, он выигрывает у гроссмейстера B с вероятностью 0,5. Если A играет черными, то A выигрывает у B с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры A и B играют в две игры, во второй они меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что A выиграет оба раза.

Решение:

Тип вопроса: сочетание событий.

В любом случае А будет играть и белыми, и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А выиграет, играя белыми (вероятность — 0,5) и играя черными (вероятность — 0,34). Следовательно, необходимо умножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

• Проблема 8. Вероятность того, что аккум плохой — 0,02. Покупатель в магазине случайным образом выбирает упаковку, содержащую две такие батареи. Найдите вероятность того, что обе батареи в норме.

Решение:

Тип вопроса: сочетание событий.

Вероятность исправной батареи 0,98. Покупателю необходимо, чтобы первая и вторая батарея были в хорошем состоянии: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

• Задача 9. На рок-фестивале выступают коллективы — по одному от каждой из заявленных стран. Порядок исполнения определяется по лоту. Какова вероятность того, что группа из США выступит после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение:

Тип вопроса: сочетание событий.

Общее количество коллективов, выступающих на фестивале, не имеет значения для ответа на вопрос. Сколько бы их ни было, для этих стран существует 6 способов взаимного согласия спикеров (KIT — Китай, CAN = Канада):

… США, CAN, KIT …

… США, КИТ, КАН …

… КОМПЛЕКТ, США, МОЖЕТ …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… KIT, KAN, США …

В последних двух случаях Соединенные Штаты идут после Китая и Канады. Следовательно, вероятность того, что группы распределены таким образом случайным образом, равна:

0,33.

Сложение и умножение вероятностей

Немного теории:

• Событие A называется частным случаем события B, если, когда происходит A, также происходит B. Тот факт, что A является частным случаем события B, можно записать следующим образом: A ⊂ B.
• События A и B называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий A и B записывается следующим образом: A = B.
• Сумма событий A и B называется событием A + B, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий: A или B.

Теорема о сумме вероятностей выглядит так: вероятность наступления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Эта теорема верна для любого количества несовместимых событий:

Если случайные события A1, A2,…, An образуют полную группу несовместимых событий, то верно равенство:

P (A1) + P (A2) +… + P (An) = 1. Такие события (гипотезы) используются при решении задач с полной вероятностью.

Результатом событий A и B является событие AB, которое происходит, когда оба события A и B происходят одновременно. Случайные события A и B называются объединенными, если оба эти события могут произойти во время данного теста.

Вторая теорема о сумме вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P (A + B) = P (A) + P (B) — P (AB)

События событий A и B называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Говорят, что событие A зависит от события B, если вероятность события A изменяется в зависимости от того, произошло ли событие B или нет.

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения независимых событий A и B рассчитывается по формуле:

P (AB) = P (A) * P (B)

Пример. Студент ищет нужную формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности, которые содержит формула:

1. в едином справочнике;
2. всего в двух справочниках;
3. во всех трех справочниках.

Как мы рассуждаем:

1. А — формула содержится в первом справочнике;
2. Б — формула содержится во втором справочнике;
3. C — формула содержится в третьем справочнике.
4. Мы используем теоремы сложения и вероятностного умножения.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Задачи и решения задач на вероятность

• Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайным образом выбирается число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность — это отношение благоприятных вариантов к их общему количеству.

Всего в этом диапазоне 15 чисел. Из них только 3 делится на 5, поэтому 12 не делится.

Тогда вероятность равна:

Ответ: 0,8.

• Задача 2. Два ученика из класса случайным образом выбираются для дежурства в кафетерии. Какова вероятность дежурства двух мужчин, если в классе 7 мужчин и 8 женщин?

Решение: Вероятность — это отношение благоприятных вариантов к их общему количеству. В классе 7 мальчиков, это выгодные варианты. И всего 15 студентов.

Вероятность того, что первым дежурит мальчик:

Вероятность того, что второй дежурный мальчик:

Поскольку они оба должны быть мужчинами, давайте умножим шансы:

Ответ: 0,2.

• Задача 3. На борту самолета 12 кресел у аварийных выходов и 18 кресел за перегородками, разделяющими кабины. Остальные сиденья неудобны для высокого пассажира. Пассажир В высокий. Найдите вероятность того, что при регистрации при случайном выборе места пассажир B получит удобное место, если в самолете 300 мест.

Решение: Пассажиру В комфортно 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Следовательно, вероятность того, что пассажир V получит удобное место, составляет 30/300, или 0,1.

• Задача 4. В коллекции математических карточек всего 25 карточек, 10 из которых содержат вопрос о неравенстве.

Найдите вероятность того, что студент пропустит вопрос о неравенстве в случайно выбранном билете во время экзамена.

Решение: из 25 билетов 15 не содержат вопроса о неравенстве, поэтому вероятность того, что студент не получит вопрос о неравенстве в случайно выбранном билете во время экзамена, составляет 15/25, или 0,6.

• Задача 5. В коллекции билетов химии всего 35 билетов, 7 из которых содержат вопрос о кислотах.

Найдите вероятность того, что студент не получит неприятный вопрос по случайно выбранному билету во время экзамена.

Решение: из 35 билетов 28 не содержат ядовитого вопроса, поэтому вероятность того, что студент не получит ядовитый вопрос в случайно выбранном билете во время экзамена, составляет 28/35, или 0,8.

• Проблема 6. В среднем из 500 выставленных на продажу садовых насосов 2 проигрывают. Найдите вероятность того, что насос, случайно выбранный для мониторинга, не протечет.

Решение: если из 500 насосов 2 протекают, то 498 не протекают. Следовательно, вероятность выбрать хороший насос — 498/500, или 0,996.

• Проблема 7. Вероятность ремонта нового пылесоса по гарантии в течение года составляет 0,065. В некоторых городах из 1000 проданных в течение года пылесосов 70 штук поступили в мастерскую по гарантии.

Насколько частота возникновения «гарантийного ремонта» отличается от вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» составляет 70/1000, что составляет 0,07. Отличается от прогнозируемой вероятности 0,005 (0,07 — 0,065 = 0,005).

• Задача 8. В чемпионате по спортивной гимнастике участвуют 50 спортсменов: 18 из России, 14 из Украины, остальные из Белоруссии. Порядок выступления гимнасток определяется жеребьевкой.

Найдите вероятность того, что первый спортсмен из Беларуси.

Решение: в чемпионате 50 участников, а спортсменов из Беларуси — 18 (50 — 18 — 14 = 18).

Вероятность того, что белорусский спортсмен выступит первым, составляет 18 из 50, что составляет 18/50 или 0,36.

• Задание 9. Научная конференция проводится в течение 5 дней. Всего ожидается 80 отчетов: первые три дня по 12 отчетов в каждом, остальные равномерно распределяются между четвертым и пятым днями. Порядок отчетов определяется жеребьевкой.

Какова вероятность того, что доклад профессора М запланирован на последний день конференции?

Решение: за первые три дня будет прочитано 36 отчетов (12 ∙ 3 ​​= 36), ожидается 44 отчета за последние два дня. Следовательно, за последний день ожидается 22 отчета (44: 2 = 22). Это означает, что вероятность того, что доклад профессора М запланирован на последний день конференции, составляет 22/80, то есть 0,275.

• Проблема 10. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участники случайным образом делятся на игровые пары по жребию. Всего в чемпионате принимают участие 26 шахматистов, в том числе 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найти вероятность того, что Егор Косов сыграет с каким-нибудь российским шахматистом в первом туре?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 — 1 = 25), из которых 13 — россияне. Это означает, что вероятность того, что Егор Косов сыграет в первом туре с любым российским шахматистом, составляет 13/25, или 0,52.

• Проблема 11. В чемпионате мира принимают участие 16 команд. Жеребьевка проводится в четыре группы по четыре команды в каждой. В коробке смешанные карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд берут по одной карте за раз. Какова вероятность попадания сборной России во вторую группу?

Решение: Вероятность попадания сборной России во вторую группу равна отношению количества карточек с цифрой 2 к общему количеству карточек, т.е. 4/16, или 0,25.

• Задача 12. В туристической группе 5 человек. По жребию выбирают двух человек, которым нужно ехать в деревню за едой. Турист А хотел бы пойти в магазин, но подчиняется спичке. Какова вероятность того, что А пойдет в магазин?

Решение: выберите двух туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранной составляет 2/5, что составляет 0,4.

• Задача 13. В туристической группе 30 человек. Их сбрасывают в труднодоступную для вертолета зону за несколько проходов, по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, произвольный. Найдите вероятность того, что турист P совершит первый полет на вертолете.

Решение: на первый рейс 6 мест, всего 30 мест, поэтому вероятность первого полета туриста на вертолете составляет 6/30, или 0,2.

• Задача 14. Какова вероятность того, что натуральное число, выбранное наугад от 10 до 19, делится на три?

Решение: существует десять натуральных чисел от 10 до 19, три из которых делятся на 3: 12, 15 и 18. Следовательно, желаемая вероятность составляет 3/10, то есть 0,3.

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

События, которые являются взаимоисключающими для данной задачи, называются несовместимыми. Появление одного из противоречивых событий исключает появление других.

Сумма двух событий — это термин, означающий, что произошло первое событие, или второе, или и то, и другое.

Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме их вероятностей.
В нашей задаче несовместимы события «чайник сломался на втором году эксплуатации» и «чайник работает более двух лет». Чайник сломан или работает.

На иллюстрации изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт у точки «Вход». Паук не может развернуться и отползти назад. На каждой развилке дороги паук выбирает путь, по которому еще не пробрался. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, насколько вероятно, что паук выйдет из выхода А.

Пронумеруем вилки, в которых паук может беспорядочно крутиться в ту или иную сторону.

Он может исходить из D, и вероятность этого события равна
Или углубитесь в лабиринт. На второй развилке он может либо зайти в тупик, либо выйти из B (с вероятностью
На каждой развилке вероятность поворота в ту или иную сторону равна
а поскольку существует пять бифуркаций, вероятность выхода из выхода A равна
то есть 0,03125.

События A и B называются независимыми, если вероятность наступления события A не изменяет вероятность наступления события B.

В нашей проблеме это так: неразумный паук поворачивается влево или вправо наугад, независимо от того, что он делал раньше.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все произойдет, равна произведению вероятностей.
(A) Два грузовика, работая вместе, расчищают снег с улицы Нижняя Подгорная, первый грузовик должен сделать три поездки со снегом, а второй два. Вероятность застревания снеговой нагрузки при подъеме на гору составляет 0,25 для первого грузовика и 0,25 для второго. Насколько вероятно, что грузовики расчистят снег с Нижней Подгорной улицы, не застряв на холме?

Вероятность того, что первый грузовик успешно поднимется на холм
На второй
Поскольку первый грузовик должен совершить 3 поездки, а второй — два, грузовики с большой вероятностью никогда не застрянут на холме

Ферма закупает куриные яйца у двух семей. 40% яиц первой фермы составляют яйца высшей категории, а второй фермы — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получают 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное на этой ферме, было получено с первой фермы.

Мы отслеживаем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, принадлежащий ферме, и купил яйцо. Нам нужно найти вероятность того, что это яйцо с первой фермы.

Яйца могут происходить только из первого семейства или из второго, и эти два события несовместимы. Никаких других яиц в этот магазин не доставляется.

Вероятность того, что яйцо, купленное на первой ферме, равно … Тогда вероятность того, что яйцо пришло со второй фермы (противоположное событие), равна .

Яйца могут быть высшей категории, но не высшей.
В первой ферме 40% яиц относятся к высшей категории, а 60% — не к высшей категории. Это означает, что случайно выбранное яйцо с первой фермы с вероятностью 40% окажется на верхнем уровне.

На второй ферме 20% яиц относятся к высшей категории и 80% не относятся к высшей категории.

Пускай в магазин случайно выбранное яйцо — из первой фермы и из высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:

Вероятность того, что яйцо пришло со второй фермы и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо находится в высшей категории. По условию 35% яиц имеют высшую категорию, что означает, что эта вероятность составляет 0,35.

Всем пациентам с подозрением на гепатит сдают анализ крови. Если тест выявляет гепатит, результат считается положительным. У больных гепатитом анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если у пациента нет гепатита, тест может дать ложноположительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов с подозрением на гепатит на самом деле являются пациентами с гепатитом B. Определите вероятность того, что результат теста у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем приехал пациент в клинику? — При подозрении на гепатит. Может, у него действительно гепатит, а может, у его плохого здоровья другая причина. Может, он просто что-то съел. Вероятность заражения гепатитом 0,05 (т.е. 5%). Вероятность того, что он здоров, составляет 0,95 (т.е. 95%).

Пациент проанализирован. На схеме показываем все возможные исходы:

Если у вас гепатит, тест дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Обратите внимание, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у тех, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает у пациента гепатит.

Более того. Тест может дать неверный положительный результат у человека, не болеющего гепатитом. Вероятность такого ложного срабатывания 0,01. Итак, с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Мы пытаемся найти вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные исходы для данной ситуации: человек болеет и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложноположительный (вероятность того, что эти два события произойдут одновременно, равна ). Поскольку события «человек болен» и «человек не болен» несовместимы, вероятность того, что результат анализа будет положительным, составляет

Ответ: 0,0545.

Для поступления в институт на специальность «Лингвистика» кандидат Z должен набрать не менее 70 баллов на экзамене по каждому из трех предметов: математике, русскому и иностранному языкам. Для доступа к специальности «Коммерция» необходимо набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов: математике, русскому языку и обществознанию.
Вероятность того, что кандидат Z получит не менее 70 баллов по математике, составляет 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному — 0,7, по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что Z сможет поступить хотя бы на одну из двух специальностей, упомянутых выше.

Обратите внимание, что проблема не в том, будет ли кандидат по имени Z изучать лингвистику и бизнес одновременно и получать две степени. Здесь необходимо найти вероятность того, что Z сможет поступить хотя бы на одну из этих двух специальностей, то есть набрать необходимое количество баллов.
Чтобы получить доступ хотя бы к одной из двух специальностей, Z должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русски. А еще — социальные или зарубежные науки.
Вероятность получить 70 баллов по математике для него составляет 0,6.
Вероятность получить баллы по математике и русскому языку составляет

Мы занимаемся иностранными и общественными исследованиями. Варианты подходят для нас, когда кандидат получил баллы по обществознанию, иностранному или и тому, и другому. Вариант не подходит, если он не набрал баллов ни по языку, ни в «компании». Это означает, что вероятность сдачи обществознания или иностранного языка составляет не менее 70 баллов, равных

В результате вероятность сдать математику, обществознание и русский или иностранный язык равна
Это ответ.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие A может произойти только тогда, когда происходит одно из событий B1, B2,…, Bn, которые составляют полную группу несовместимых событий, вероятность события A рассчитывается с использованием формулы полной вероятности:

Снова рассмотрим множество несовместимых событий B1, B2,…, Bn, вероятности которых равны P (B1), P (B2),…, P (Bn). Событие A может происходить только вместе с любым из событий B1, B2,…, Bn, которые называются гипотезами. Следовательно, согласно формуле полной вероятности: если событие A произошло, оно может изменить вероятности гипотез P (B1), P (B2),…, P (Bn) b По теореме умножения вероятностей : отсюда аналогично и для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называют апостериорными вероятностями, а априорными вероятностями.

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня, производит два выстрела. Вероятность поражения цели одним выстрелом для первого стрелка составляет 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найдите вероятность того, что выстрелил первый стрелок.

Как мы рассуждаем:

• Возможны три гипотезы:

1. А1 — Первый стрелок вызван на огневой рубеж,
2. А2 — второй стрелок вызван на огневой рубеж,
3. A3 — Третий стрелок вызван на огневой рубеж.

• Поскольку вызов на линию огня любого стрелка одинаково возможен, то
• В результате эксперимента наблюдалось событие B: после произведенных выстрелов цель не попала. Условные вероятности этого события согласно нашим гипотезам:
• Используя формулу Байеса, находим вероятность гипотезы A1 после эксперимента:

Ответ: 0,628.

Число сочетаний из n по m

Задача 10

Маше нужно выбрать 2 книги из 8 книг. Сколько способов это сделать?

• Мы понимаем, что здесь может быть большое количество комбинаций книг. Чтобы рассчитать их количество, нужно знать формулу количества комбинаций из nam:
• где C — количество комбинаций
• n — количество элементов на выбор
• m — количество элементов для выбора

Формула содержит факториал. Факториал записывается следующим образом: n !, 5 !, 7! Вспомним, что это такое.

Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до основания факториала. Основа факториала — это число перед знаком «!» Те факториал 5! имеет основание 5 и может быть найден следующим образом:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5

И факториал! имеет базу n:

п! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 *… * n

Ученики часто не понимают, что надеть снизу, а что сверху, например, меняются местами. Что касается нашей проблемы, то можете запутаться, что ставить сверху: 2 или 8. Запоминать, что ставить сверху, а что ниже, легко. Наименьшее число всегда сверху, например, в нашем случае это 2.

Вернемся к нашей задаче. Применяем формулу и получаем:
Учтите, что необязательно умножать в числителе все натуральные числа от 1 до 8, это займет много времени. Просто запишите числитель и знаменатель подробно, сделайте сокращение, и все легко будет учесть.

Таким образом, Маша может выбирать книги 28 способами.

Ответ: 28

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что один и тот же тест повторяется много раз, и результат каждого теста не зависит от результатов других. Такой эксперимент называется схемой независимого повторного тестирования или схемой Бернулли.

Примеры повторов:

• Мы бросаем кубик, где шансы получить определенное число одинаковы при каждом броске.
• Включаем лампы с равной заданной вероятностью выхода из строя каждой.
• Лучник повторяет выстрелы по одной и той же цели при условии, что вероятность успеха при каждом выстреле одинакова.

Следовательно, в результате теста возможны два исхода: либо произойдет событие А, либо противоположное событие. Мы выполняем n тестов Бернулли. Это означает, что все n тестов независимы. И вероятность наступления события А в каждом случае постоянна и не меняется от теста к тесту.

1. Обозначим вероятность наступления события A в одном тесте буквой p, что означает:
   p = P (A) и вероятность противоположного события (событие A не произошло) — буквой q
   q = P (¯A) = 1 — p.
2. Тогда вероятность того, что событие A появится в этих n тестах ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

Pn (k) = Cnk * pk * qn-k, где q = 1 — p.

Биномиальное распределение — распределение количества успехов (наступлений события).

Пример. Среди видеороликов, которые делает блогер, в среднем 4% некачественных: либо плохой свет, то пропал звук, либо не лучший ракурс. Мы находим вероятность, что из 30 роликов два будут нестандартными.

Как мы рассуждаем:

Опыт заключается в проверке качества каждого из 30 видеороликов. Событие A — это своего рода сбой (свет, угол, звук), его вероятность p = 0,04, поэтому q = 0,96. Отсюда, используя формулу Бернулли, можно найти ответ:

Ответ: Вероятность плохого видео составляет около 0,202. Молодец блогер

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение (по схеме Бернулли) помогает выяснить, какое количество наступлений события А более вероятно. Формула для наиболее вероятного количества успехов k (наступления событий) выглядит так:

np — q ≤ k ≤ np + p, где q = 1 — p

Поскольку np — q = np + p — 1, эти границы отличаются на 1. Следовательно, k, которое является целым числом, может принимать одно из двух значений, когда np является целым числом (k = np), то есть когда np + p (и, следовательно, np — q) является нецелым числом или двумя значениями, когда np — q является целым числом.

Пример. В очень большом секретном чате 730 человек. Вероятность того, что день рождения случайного участника чата выпадает на определенный день в году, составляет 1/365 для каждого из 365 дней. Мы находим наиболее вероятное количество счастливчиков, родившихся 1 января.

Как мы решаем:

1. Задано условием: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
2. нп — г = 366/365
3. np + p = 731/365
4. 366/365 м ≤ 731/365
5. м = 2

Ответ: 2.

Формула Пуассона

При большом количестве доказательств n и малой вероятности p пользоваться формулой Бернулли неудобно. Например, 0,97999 вычислить сложно.

В этом случае формула Пуассона используется для вычисления вероятности того, что событие произойдет k раз за n тестов:

Здесь λ = np обозначает среднее количество наступлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p 0,1 и np ≤ 10.

События, для которых применима формула Пуассона, считаются редкими, поскольку вероятность их возникновения очень мала (обычно порядка 0,001–0,0001).

Для больших np рекомендуется использовать формулы Лапласа, которые мы рассмотрим чуть позже.

Пример. В iPhone есть 1000 различных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента за время T составляет 0,002. Найдите вероятность того, что ровно три элемента выйдут из строя за время T.

Как мы решаем:

1. По условию задано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
2. Вероятность, необходимая после подстановки в формуле:

P1000 (3) = λ3 / 3! * и — = 23/3! * и — 2 0,18.

Ответ: около 0,18.