Свойства пределов функции: виды в математике

Что такое предел в математике

Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:

1. Есть функция — это просто какая-то «коробка» с математикой. Ты ей на вход число, она его обрабатывает у себя внутри и отдаёт другое число.
2. У функции есть как минимум два числа: то, которое ты ей даёшь на вход; и то, которое получаешь на выходе.
3. Иногда математикам интересно, что будет, если число на входе будет к чему-то стремиться. А именно: «Если число на входе будет стремиться вот сюда, куда будет стремиться число на выходе?»

Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.

Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности

Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.

Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:

Предел функции по Гейне

Значение А является пределом (предельным значением) функцииf (x) в точке  x0 в случае, если для всякой последовательности точек
, которая сходится к  x0, но которая не содержит  x0как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности  x0), последовательность значений функции
сходится к A.

Предел функции по Коши

Значение A будет являться пределом функцииf (x) в точке  x0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 < | x – x0 | < δ, будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε.

Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

Теорема 2.8   Пусть функции
и
имеют пределы при одной и той же базе 
:

Тогда функция
также имеет предел при базе
, и этот предел
равен сумме пределов слагаемых:

Доказательство.     Равенство
означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина
— бесконечно малая; равенство
— что
— бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность
бесконечно мала, означает, что <br>; это и требовалось доказать.

Замечание 2.2   В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть
и
. Тогда
и предел
, в то время как пределы при
функций
и
не существуют.

Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.

Теорема 2.9   Пусть функции
и
имеют пределы при одной и той же базе 
:

Тогда функция
также имеет предел при базе
, и этот предел
равен произведению пределов сомножителей:

Доказательство.     Равенство
означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина
— бесконечно малая; равенство
— что
— бесконечно малая. Поэтому
и
, откуда

или

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина
— бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина
— бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией
и постоянной
бесконечно мала при базе
, то по теореме 2.4 <br>; это и требовалось доказать.

Замечание 2.3   Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция
при
имеет предел, равный 0, однако предела
при
не существует (хотя другой множитель,
, имеет предел при этой базе).

Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.

Следствие 2.4   Пусть
и
(то есть
— постоянная величина). Тогда существует предел функции
, равный
:

Доказательство.Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, , и применить теорему 2.9.

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель
можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

Следствие 2.5   Пусть функции
имеют при базе
пределы, равные соответственно
, и
— постоянные. Тогда

Доказательство.Оно состоит в последовательном -кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым , предел которых, согласно предыдущему следствию, равен .

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность
можно представить в виде
и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

Замечание 2.4   Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество
всех функций, заданных на фиксированном окончании базы и имеющих предел при базе — это линейное пространство, а во-вторых — что операция взятия предела  — это линейное отображение линейного пространства
в линейное пространство вещественных чисел .

Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.

Предел отношения двух функций , в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя и знаменателя , даже если пределы и существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения
при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

Пример 2.15   Пусть
,
и взята база
. Тогда, очевидно,
, и отношение пределов не имеет смысла. При этом
при и предел отношения существует: .

Оказывается, условия , которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, — этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1   Пусть при некоторой базе
существует предел . Тогда функция определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.

Доказательство.Возьмём положительное число . По определению предела, в базе найдётся такое окончание , что при всех будет . Это неравенство можно привести к виду

(2.2)

 

При это неравенство означает, что <br>; так как , то и при всех и, следовательно, функция определена во всех точках окончания и удовлетворяет неравенству

При неравенство (2.2) означает, что <br>; так как , то и при всех и, опять-таки, функция определена во всех точках окончания <br>; она удовлетворяет неравенству

В любом случае получаем, что функция определена во всех точках и при этих удовлетворяет неравенству , что означает локальную ограниченность функции при базе .

На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.

Теорема 2.10   Пусть при одной и той же базе
существуют пределы и , причём . Тогда функция
определена на некотором окончании базы , существует предел , и , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

Доказательство.     Представим отношение в виде , в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании базы (относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех .

Утверждение о том, что , эквивалентно тому, что разность — бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что . Величина — постоянная и, следовательно (см.  пример 2.11), локально ограничена; функция — тоже локально ограничена при базе
(по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина
бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе
величина .

Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)

Это означает, что величина
бесконечно мала.

Замечание 2.5   Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.

Пример 2.16   Найдём предел

Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , то есть на , и получим предел

В этом пределе знаменатель стремится к 3, так как и
(здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно,
(здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что

 

Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.

Итак,

Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени , то есть, в данном случае, при .

Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при , а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.

Пример 2.17   Найдём предел

Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на ):

Поскольку , то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель — к . Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку
при всех (так как показатель степени отрицателен), то величина локально ограничена при базе и поскольку величина  — бесконечно малая при этой базе, то произведение также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при . Значит, предел числителя равен

а исходный предел —

Упражнение 2.5   Найдите пределы:

Ответ:<br>; <br>; .

Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на , во втором — на и в третьем — на . Во втором примере воспользуйтесь тем, что
и  — величины, ограниченные при всех
(и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).

Теорема 2.11 (теорема «о двух милиционерах»)   Пусть даны три функции , и , при всех из некоторого окончания базы связанные неравенством

Пусть функции и имеют общий предел при базе :

Тогда функция также имеет предел при базе , равный тому же числу :

Доказательство.Согласно определению предела, для любого найдутся такие окончания базы
и , что при выполняется неравенствоа при — неравенство.

Значит, для окончания при всех выполняются неравенствато естьЭто означает, что предел величины равен .

Рис.2.21.Два милиционера
и и пьяный движутся в участок

(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции

• это траектория движения первого милиционера в участок, график
• второго милиционера туда же, а график
• траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством

в любой момент
между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок .)

Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины)   Пусть при всех из некоторого окончания базы и существует . Тогда . Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.

Доказательство.Если бы предел был отрицательным, то можно было бы взять и найти такое окончание базы , что при выполняется неравенство , откуда . Это же будет выполнено на некотором окончании , что противоречит предположению, что при всех . Противоречие доказывает, что отрицательным предел быть не может, то есть .

Следствие 2.6   Пусть при всех из некоторого окончания базы и существует . Тогда .

Доказательство.Для доказательства достаточно взять функцию
, применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).

Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве)   Пусть при всех из некоторого окончания базы выполняется неравенство . Предположим, что существуют пределы
и
. Тогда
(то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства .

Доказательство.Рассмотрим функцию . По условию теоремы, , причём

Применим к функции теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что , то есть , что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.

Замечание 2.6   Аналогичные утверждения для строгих неравенств (и ) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел . Очевидно, он равен 0, хотя при любом из любого окончания базы величина строго положительна.

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0

Напомним, что функция называется не убывающей на множестве , если для любых , таких что , выполняется неравенство , и не возрастающей на , если при и выполняется неравенство .

Теорема 2.13 (о пределе монотонной функции)   Пусть рассматривается одна из баз , , , которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции

Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел , где числа
ограничивают функцию сверху, существует точная нижняя грань <br>; она-то и будет пределом неубывающей функции.

Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.

Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты

Следствие 2.8   Пусть рассматривается одна из баз , , , которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы  и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём  .

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции

Следствие 2.9   Пусть рассматривается одна из баз , , которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции

Следствие 2.10   Пусть рассматривается одна из баз , , которую обозначим  . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы  и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём .

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции

Предел тождественной функции

Для тождественной функции имеем .

Пример:

При нахождении пределов функции используются следующие свойства. Если для действительных чисел
имеются , то:

Предел суммы:

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов

Пример:

Предел разности:

Предел разности двух функций равен разности их пределов

Пример:

Предел произведения:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

В частном случае, .

То есть постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример:

Предел частного:

Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

Пример:

Предел степени:

В частном случае,

Пример:

 

• 
• 

На основании данных утверждений можно сделать следующий вывод.

Предел многочлена и рациональной функции

Для произвольного многочлена
имеем: .

Для произвольных многочленов и при имеем

Пример:

Пример:

Можно показать, что при возможных значениях переменной имеет место:

Пример:

Некоторые способы вычисления пределов

Нахождение предела рационального выражении, при помощи разложении числителя и знаменателя на множители и сокращения.

При непосредственной подстановке получим неопределенность вида .

В этом случае числитель и знаменатель рационального выражения раскладывают на множители и сокращают, а затем вычисляют предел эквивалентного выражения:

График и предел

Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.

Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:

Зачем нужны пределы

Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.

Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.

Вот какой график получится, если взять функцию y=x2-4/x-2

В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.

В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.

lim x2-4/x-2

при х→2 lim x2-4/x-2→4

Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.

Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.

x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.

Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.

Погрешность в пределах

В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.

Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.

Считаем предел в программировании

Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).

Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:

1. Закончилось количество повторений. Например, мы заранее говорим, что будем стремиться к границе предела 10000000000 раз, но если ничего не выйдет — остановимся.
2. Если достигли нужной погрешности. Два соседних результата отличаются на величину погрешности или меньше — отлично, мы нашли то, что нужно.

Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.

Например, если мы дали переменной 32 бита памяти, самое малое число, которое мы сможем в нее записать, — 1,4012985 × 10-45. Это кажется бесконечно малым, но на самом деле, если циклически делить число на 2 несколько сотен раз в секунду, мы упремся в этот лимит точности почти сразу. Потом знаки после запятой закончатся и число очень быстро превратится в 0.

С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.

Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.

Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

• предел функции f(x) = (8−2x) / (x²−4x-12);
• при x стремящемся к 2.

Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:

1. // погрешность вычислений var e = 0.00001;
2. // предел, к которому будет стремиться переменная var lim = 2; // переменная функции, на старте начинаем стремиться к пределу отсюда var x = 0;
3. // сколько раз мы уже выполнили цикл var n = 0;
4. // максимальное количество приближений к пределу var max_n = 100;
5. // функция, которая возвращает значение для переменной функции function f(x) { return (8 — 2*x*x)/(x*x + 4*x — 12); }
6. // пока мы не достигли нужной погрешности — выполняем цикл while (Math.abs(f(x) -f((x+lim)/2)) >= e) { // приближаемся ещё на один шаг к пределу x = (x+lim)/2;
7. // увеличиваем счётчик приближений n +=1;
8. // если дошли до максимального количества повторений if (n == max_n) { // выводим сообщение о том, что останавливаемся console.log(‘Закончилось количество повторений, остановились на таком значении функции: ‘, f(x));
9. // сбрасываем переменную с максимальным значением повторений и выходим из цикла max_n = 0; break; } } // если переменная с максимальным значением не была сброшена if (max_n != 0){ // выводим найденный предел console.log(‘Предел функции с заданной погрешностью: ‘, f(x)) }
   Программа справилась и выдала результат с нужной нам точностью

Найти предел функции.

Найти предел функции — будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A, записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x, может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции, лучше всего посмотреть примеры решения.

Пример 1:

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции. Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x. Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Ответ

Пример 2:

Необходимо вычислить предел функции 

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность
. Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x3, выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Пример 3:

Необходимо рассчитать предел
Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность
. Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x2 + 2x  — 3:

D = 22 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 →√D = √16 = 4

x1,2  = (-2 ± 4) / 2 → x1 = -3; x2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида
   или
   , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть ∞. Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо ∞ — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо ∞. Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

• 3 – 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

• При x = 1, y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2
• При x = 10, y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124
• При x = 100, y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x2 + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

• Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

• Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

• Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

• В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

• Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

• Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2×2 – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

• Получаем вот такой видоизмененный предел:

• Дробь можно сократить на (x – 1):

• Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом: