Свойства двойного интеграла: теоремы и доказательства

Понятие двойного интеграла

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x, у) (f(x, у)

Тело указанного вида для краткости называется цилиндроидом. В частном случае, когда верхнее основание цилиндроида есть плоскость, параллельная нижнему основанию его, то цилиндроид называется цилиндром. Примером цилиндра служит круговой цилиндр, рассматриваемый в средней школе. Обобщая рассуждение, обычно применяемое для нахождения объема кругового цилиндра, нетрудно доказать, что объем V цилиндра с площадью основания S и высотой Н равен V = SH.

Для вычисления объема V данного цилиндроида разобьем основание его S на конечное число элементарных ячеек
(вообще говоря, криволинейных). В каждой из этих ячеек
выберем точку
и построим прямой цилиндрический столбик с основанием
и высотой

, равной аппликате поверхности в выбранной точке.

Объем такого столбика на основании формулы объема цилиндра, очевидно, равен

где
— площадь соответствующей ячейки. Сумма объемов этих цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметры ячеек
. Поэтому объем нашего цилиндроида приближенно выразится суммой

Формула (2) дает возможность найти объем V с любой степенью точности, если число ячеек
достаточно велико и линейные размеры их весьма малы. Обозначим через d1 диаметр ячейки
т. е. наибольший линейный размер ее. Точнее говоря, под диаметром d ограниченной замкнутой (т. е. с присоединенной границей) фигуры Ф (дуги, площадки и т. п.) понимается длина наибольшей ее хорды АВ, где
(рис. 246).

Из данного определения следует, что фигура Ф, имеющая диаметр d, целиком помещается внутри круга радиуса d, описанного из любой ее точки С как из центра. Поэтому если
, то фигура Ф «стягивается в точку». Аналогично определяется диаметр пространственного тела.

Пусть

— наибольший из диаметров ячеек

Предполагая, что в формуле (2) число ячеек п неограниченно возрастает
, причем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно малым
, в пределе получаем точную формулу для объема цилиндроида

Здесь мы для удобства ячейки и их площади обозначаем одинаковыми буквами. Разница между ними видна из контекста.

Ячейки
можно предполагать замкнутыми.

Точнее говоря, по определению под объемом цилиндроида понимается предел (3), если он существует.

Выражение, стоящее в правой части формулы (3), называется двойным интегралом от функции f(x, у), распространенным на область S, и обозначается следующим образом:

Поэтому для объема цилиндроида окончательно имеем

Обобщая конструкцию, примененную для вычисления объема цилиндроида, приходим к следующим определениям.

Определение: Двумерной интегральной суммой (2) от данной функции f(x9 у)> распространенной на данную область S, называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек
области S на значения
функции f(x, у) в выделенных точках этих ячеек (рис. 247).

Двойным интегралом (4) от функции f(x, у), распространенным на данную область S, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы (2) при неограниченном возрастании числа п элементарных ячеек
и стремлении к нулю их наибольшего диаметра d при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области S на элементарные ячейки
и выбора точек в них.

В формуле (4) у) называется подынтегральной функцией, S — областью интегрирования, a dS — элементом площади. Справедлива следующая теорема:

Теорема: Если область S с кусочно-гладкой границей Г ограничена и замкнута, а функция f(x, у) непрерывна в области S, то двойной интеграл

существует, т. е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа дробления области S на элементарные ячейки
, и выбора точек в них.

В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

В формуле (6) нет необходимости указывать, что
, так как из
, очевидно, следует
.

Если f(x, у)
0, то двойной интеграл (6) представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области S как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = f(x, у) (геометрический смысл двойного интеграла).

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Весьма часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Ох и Оу (рис. 248). В этом случае элементарными ячейками
являются прямоугольники со сторонами, равными
, за исключением, возможно, ячеек, примыкающих к границе Г.

Чтобы подчеркнуть использование прямоугольной сетки, в обозначении интеграла (4) полагают

(двумерный элемент площади в прямоугольных координатах), причем

где
и сумма (8) распространяется на все значения i и для которых
(можно показать, что непрямоугольные ячейки, примыкающие к кусочно-гладкой границе Г, не влияют на значение предела (8)).

В следующих параграфах мы рассмотрим основные способы вычисления двойного интеграла.

Здесь мы применяем двойную индексацию ячеек, указывая отдельно номер i вертикальной полосы и номер j горизонтальной полосы, содержащих данную ячейку, подобно тому, как на билете в кино отмечается номер ряда и номер места.

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью
, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей
, площади которых равны A
Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием
через
, получим

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку
и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием
и высотой
Объем этого цилиндра приближенно равен объему
цилиндрического столбика, т. е.
Тогда получаем:

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей»
,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок
неограниченно увеличивается
а каждая площадка стягивается в точку
за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (53.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность
есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей
площади которых обозначим через
. В каждой области
возьмем произвольную точку
и вычислим плотность в ней:

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке
мало отличается от значения
Считая приближенно плотность в каждой точке области
постоянной, равной
, можно найти ее массу
Так как масса m всей пластинки D равна
Для ее вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии

или, согласно равенству (53.2),

Итак, двойной интеграл от функции
численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию
считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

3.Если область D разбить линией на две области
такие, что
а пересечение
состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

4.Если в области D имеет место неравенство
то и
Если в области D функции f(x;y) и
удовлетворяют неравенству
то и

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой
— соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка
, что
Величину

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл
где функция
непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми
, причем функции
непрерывны и таковы, что
для всех
(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

(см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции
по области D. Следовательно,

Это равенство обычно записывается в виде

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом
называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми
кривыми

для всех
т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда
2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
3. Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить
где область D ограничена линиями у

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области:
. Получаем:

Ответ, разумеется, один и тот же.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами

В качестве инь возьмем полярные координаты
Они связаны с декартовыми координатами формулами
(см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами
и кривыми
где
т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Внутренний интеграл берется при постоянном

Замечания:

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид
   область D есть круг, кольцо или часть таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены
   уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по
   (исследуя закон изменения
   точки
   при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример:

Вычислить
где область D — круг

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222)
Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4)f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью
находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е.
Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения:

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг
) и ограниченных сверху соответственно поверхностями
Используя формулу (53.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример:

Найти массу, статические моменты
и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом
и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию,
— коэффициент пропорциональности.

Находим статические моменты пластинки:

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

Интеграл Эйлера—Пуассона

С помощью полярных координат можно просто вычислить важный для теории вероятностей интеграл Эйлера— Пуассона

Так как определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то, очевидно, можно также записать

Перемножая формулы (1) и (2) и учитывая, что произведение этих однократных интегралов можно рассматривать как двойной интеграл от произведения подынтегральных функций, будем иметь

где область S определяется неравенствами

и, следовательно, представляет собой первый квадрант координатной плоскости Оху (рис. 262).

Переходя в интеграле (3) к полярным координатам, получим

Отсюда, учитывая положительность числа
, находим

В силу четности функции
имеем также

что представляет собой площадь, ограниченную осью Ох и кривой Гаусса
(см, рис. 120).

Теорема о среднем

Пусть функция f(x, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области
— соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x, у) в области S.

Для двумерной интегральной суммы этой функции, распространенной на область S, имеем оценки

где
— площадь области S. Отсюда, переходя к пределу при
в неравенствах (1) и учитывая существование двойного интеграла, получаем

Число

называется средним значением функции
в области S. Из неравенств (2) вытекает, что
.

Формулу (3) можно переписать в следующем виде:

. Таким образом, двойной интеграл равен среднему значению подынтегральной функции, умноженной на площадь области интегрирования.

Не нужно думать, что формула (4) дает универсальный способ вычисления двойного интеграла. Дело в том, что, как правило, среднее значение функции определяется через двойной интеграл. Поэтому реальный смысл здесь имеет оценка (2).

Пример:

Оценить интеграл

где S — квадрат

Для функции f(x, у) =
имеем

Так как S = 1, то
= 1,41. Можно принять

Эта оценка грубая, так как точное значение интеграла есть

Более точное значение интеграла I получится, если область интегрирования S разбить на достаточно мелкие части и к каждой из них применить теорему о среднем.

Задачи на двойной интеграл

Понятие о тройном интеграле

По аналогии с двойным интегралом определяется так называемый тройной интеграл. Пусть в декартовом пространстве Охуz задана конечная замкнутая область V и f(x, у, z) — ограниченная функция, определенная в V. Разобьем область V на конечное число ячеек
и в каждой из них выберем точку

(рис. 267). Сумма

где
— объем i-й ячейки, называется трехмерной интегральной суммой.

Обозначим через d наибольший из диаметров ячеек . Будем произвольным способом неограниченно измельчать ячейки . Тогда предел интегральной суммы (1) при , если этот предел существует и не зависит от формы ячеек и выбора точек в них, называется тройным интегралом

от функции
, распространенным на область V, и обозначается следующим образом:

Доказывается, что если подынтегральная функция
непрерывна в замкнутой ограниченной области интегрирования V с кусочно-гладкой границей, то тройной интеграл (2) существует.

Если область V заполнена массой и
представляет собой непрерывно распределенную объемную плотность в текущей точке
, то
где
с точностью до бесконечно малой высшего порядка малости относительно максимального объема ячеек
есть масса ячейки
. Следовательно, интегральная сумма (1) приближенно равна массе т, заполняющей область V. При
получаем, что предел суммы Sn будет равен массе т. Отсюда выводим физический смысл тройного интеграла: если
есть непрерывная плотность распределения массы в пространстве Oxyz, то тройной интеграл

представляет собой массу, заполняющую область интегрирования V. В частности, если плотность f(x, у, z)
1, то масса области V численно равна ее объему. Поэтому объем области V выражается тройным интегралом

Если вычисление тройного интеграла (2) ведется в прямоугольных координатах х, у, z, то в качестве ячеек
выбирают прямоугольные параллелепипеды с измерениями
грани которых параллельны координатным плоскостям, т. е. полагают

В этом случае элемент объема dV считают равным

(элемент объема в прямоугольных координатах) и тройной интеграл (2) записывают в следующем виде:

В частности, для объема тела получаем формулу

В простейшем случае вычисление тройного интеграла (6) сводится к трем квадратурам. А именно, пусть область интегрирования Г стандартна относительно оси Oz, т. е. ограничена снизу и сверху соответственно однозначными непрерывными поверхностями

причем проекция области V на координатную плоскость Оху есть плоская область S (рис. 268).

Отсюда следует, что при фиксированных значениях (х, у) 6 S соответствующие аппликаты z точек области V изменяются в пределах
По аналогии с двойным интегралом будем иметь

Если, кроме того, проекция S стандартна относительно оси Оу и определяется неравенствами

где
— однозначные непрерывные функции на отрезке
, то

Из формул (7) и (8) получаем окончательно

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к трем квадратурам.

Заметим, что если область интегрирования V стандартна относительно всех трех координатных осей Ох, Оу и Oz, то пределы интегрирования для тройного интеграла (6) можно расставить 3! = 6 различными способами.

Пример:

Вычислить

где V — пирамида OPQR, ограниченная следующими плоскостями:

Решение:

Проекция области V на координатную плоскость Оху есть треугольник S, ограниченный прямыми

При
аппликаты точек
удовлетворяют неравенству
Поэтому

Расставляя пределы интегрирования для треугольника S, получаем

Число I представляет собой массу пирамиды V, если плотность ее в текущей точке
равна .