Смешанное произведение трех векторов: как можно найти

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Смешанным произведением a→, b→ и d→ является та величина, которая равняется скалярному произведению a→×b→ и d→ , где a→×b→ — умножение a→ и b→ . Операцию умножения a→, b→ и d→ зачастую обозначают a→·b→·d→ . Можно преобразовать формулу так:a→·b→·d→=(a→×b→,d→) .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности. Если система a, b, c – правая, то abc>0; если левая, то abc<0. Если же векторы a, b, c компланарны, то abc=0. Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая. YXZa(3;0;0)b(0;3;0)c(0;0;3)

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i→, j→, k→

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx+ax·bz)·j→+(ax·by+ay·bx)·k→=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx+ax·bz)·j→+(ax·by+ay·bx)·k→=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a→×b→=( ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→, dx·i→+dy·j→+dz·k→)==ayazbybz·dx-axazbxbz·dy+axaybxby·dz=axayazbxbybzdxdydz

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a→·b→·d=a→×b→, d→=axayazbxbybzdxdydz

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a→·b→·d=a→×b→, d→=axayazbxbybzdxdydz .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

1. (λ·a→)·b→·d→=a→·(λ·b→)·d→=a→·b→·(λ·d→)=λ·a→·b→·d→    λ∈R ;
2. a→·b→·d→=d→·a→·b→=b→·d→·a→;   a→·d→·b→=b→·a→·d→=d→·b→·a→
3. (a(1)→+a(2)→)·b→·d→=a(1)→·b→·d→+a(2)→·b→·d→a→·(b(1)→+b(2)→)·d→=a→·b(1)→·d→+a→·b(2)→·d→a→·b→·(d(1)→+d(2)→)=a→·b→·d(2)→+a→·b→·d(2)→

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a→=b→ , то, следуя определению векторного произведения [a→×b→]=a→·b→·sin 0 =0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([a→×b→], d→)=(0→, d→)=0 .

Если же a→=b→ или b→=d→ , то угол между векторами [a→×b→] и d→ равен π2 . По определению скалярного произведения векторов ([a→×b→], d→)=[a→×b→]·d→·cosπ2=0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([a→×b→], d→+λ·a→+b→)=([a→×b→], d→) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([a→×b→], d→+λ·a→+b→)=([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)+([a→×b→], b→)
Мы разобрали, что (([a→×b→], b→)=0. Из этого следует, что
([a→×b→], d→+λ·a→+b→)=([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)+([a→×b→], b→)==([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)+0=([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)

Согласно первому свойству ([a⇀×b⇀], λ·a→)=λ·([a⇀×b⇀],a→) , а ([a⇀×b⇀], a→)=0 . Таким образом, ([a⇀×b⇀], λ·a→) . Поэтому,
([a⇀×b⇀], d→+λ·a→+b→)=([a⇀×b⇀], d→)+([a⇀×b⇀], λ·a→)==([a⇀×b⇀], d→)+0=([a⇀×b⇀], d→)

Равенство доказано.

Пример 2

Необходимо доказать, что модуль смешанного произведения трех векторов не больше, чем произведения их длин.

Решение

Исходя из условия, можно представить пример в виде неравенства a→×b→, d→≤a→·b→·d→ .

По определению, преобразуем неравенство a→×b→, d→=a→×b→·d→·cos(a→×b→^, d→)==a→·b→·sin(a→, b→^)·d→·cos([a→×b→^], d)

Используя элементарные функции, можно сделать вывод, что 0≤sin(a→, b→^)≤1,  0≤cos([a→×b→^], d→)≤1 .

Из этого можно сделать вывод, что
(a→×b→, d→)=a→·b→·sin(a→, b→)^·d→·cos(a→×b→^, d→)≤≤a→·b→·1·d→·1=a→·b→·d→

Неравенство доказано.

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и с = {сx; сy; сz}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторовa = {ax; ay; az},b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
bx	by	bz
cx	cy	cz

 

Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:
  Vпарал = |a · [b × c]|
• Геометрический смысл смешанного произведения. Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
  

  Vпир =	1	|a · [b × c]|
  6

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
• a · [b × c] = b · (a · c) — c · (a · b)
• a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
• a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 — тождество Якоби.

Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов
основано на следующих соображениях. Если , то — правая тройка; если , то — левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю :

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах
вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Пример:

Вершинами пирамиды служат точки A(1; 2;3), B(0; -1; 1), С(2;5;2) и D(3;0; -2). Найти объем пирамиды.

Решение:

Находим векторы :

Находим :

Следовательно,

Геометрический смысл

Используем множители a→, b→ и d→ .

Вектора a→, b→ и d→ исходят от одной точки. Используем их как стороны для построения фигуры.

Обозначим, что c→=[a→×b→]. Для данного случая можно определить произведение векторов как a→·b→·d→=c→·d→·cos(c→, d→^)=c→·npc→d→ , где npc→d→ — числовая проекция вектора d→ на направление вектора c→=[a→×b→] .

Абсолютная величина npc→d→ равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a→, b→ и d→ в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c→=[a→×b→] перпендикулярен a→ и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c→=a→xb→ равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a→ и b→ .

Делаем вывод, что модуль произведения a→·b→·d→=c→·npc→d→ равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a→, b→ и d→ .

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда: Vпараллелепипида=a→·b→·d→ .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Объем тетраэдра, который построен на a→,b→ и d→ , равняется 1/6 объема параллелепипеда Получаем, Vтэтраэда=16·Vпараллелепипида=16·a→·b→·d→ .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются AB→=(3, 6, 3), AC→=(1, 3, -2), AA1→=(2, 2, 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует:AB→·AC→·AA1→=36313-2222=3·3·2+6·(-2)·2+3·1·2-3·3·2-6·1·2-3·(-2)·2=-18

Тогда, V параллелепипеда=-18=18 .

Пример 7

В системе координат заданы точки A(0, 1,  0), B(3, -1, 5),  C(1, 0, 3), D(-2, 3, 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой Vтэтраэдра=16·AB→·AC→·AD→ . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: AB→=(3-0, -1-1, 5-0)=(3, -2, 5)AC→=(1-0, 0-1, 3-0) =(1,-1, 3)AD→=(-2-0, 3-1, 1-0)=(-2, 2, 1)

Дальше определяем смешанное произведение AB→·AC→·AD→ по координатам векторов: AB→·AC→·AD→=3-251-13-221=3·(-1)·1+(-2)·3·(-2)+5·1·2-5·(-1)·(-2)-(-2)·1·1-3·3·2=-7 Объем Vтэтраэдра=16·-7=76 .

V тэтраэдра=76 .

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a→·b→·d→=(a→×b→, d→)=axayazbxbybzdxdydz .

Пример

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a→=(1, -2, 3),  b→(-2, 2, 1),  d→=(3,-2, 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a→·b→·d→ .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a→·b→·d→=(a→×b→, d→)=axayazbxbybzdxdydz=1-23-2213-25==1·2·5+(-1)·1·3+3·(-2)·(-2)-3·2·3-(-1)·(-2)·5-1·1·(-2)=-7

Пример

Необходимо найти произведение векторовi→+j→, i→+j→-k→, i→+j→+2·k→ , где i→,j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i→+j→=(1, 1, 0)i→+j→-k→=(1, 1, -1)i→+j→+2·k→=(1, 1, 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i→+j→×(i→+j→-k→, (i→+j→+2·k→)=11011-1112=0i→+j→×(i→+j→-k→, (i→+j→+2·k→)=0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a→,b→ и d→ , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4, 2 и 3. Необходимо умножить вектора.

Обозначим c→=a→×b→ .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними. Делаем вывод, что a→·b→·d→=([a→×b→], d→)=c→,d→=c→·d→·cos(c→, d→^) .

Используем длину вектора d→ , указанную в условии примера: a→·b→·d→=c→·d→·cos(c→, d→^)=3·c→·cos(c→, d→^) . Необходимо определить с→и с→, d→^ . По условию a→,b→^=π2, a→=4, b→=2 . Вектор c→ найдем с помощью формулы: c→=[a→×b→]=a→·b→·sina→, b→^=4·2·sinπ2=8

Можно сделать вывод, что c→ перпендикулярен a→ и b→ . Вектора a→, b→, c→ будут являться правой тройкой, так использована декартовая система координат. Векторы c→ и d→ будут однонаправленными, то есть, c→,d→^=0 . Используя выведенные результаты, решаем пример a→·b→·d→=3·c→·cos(c→, d→^)=3·8·cos 0=24 .

a→·b→·d→=24 .

Пример Найти смешанное произведение векторов abс, где , , .

Решение.

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c: .

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

.

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

abc=−58.

Пример. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Начальная точка вектора a: .

Конечная точка вектора a:  .

Вектор b:

Начальная точка вектора c:

Конечная точка вектора c:

Решение.

Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:

Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:


.

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен : abc=76.