Сложение дробей — как складывать дроби

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, где a и b — числа или выражения. Есть два формата записи:

• общий вид — 1/2 а / б,
• десятичная форма — 0,5.

делимое принято писать над линией, которая является числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между ними означает разделение.

Дроби бывают двух типов:

1. Числовой: состоит из цифр, например 5/9 или (1,5–0,2) / 15.
2. Алгебраический: состоит из переменных, например (x + y) / (x — y). В этом случае значение дроби зависит от заданного значения букв.

Дробь считается правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.

Неправильно тот, у которого числитель больше или равен знаменателю. Например, 21/4. Это число смешано и читается как пять четвертных целых чисел и записывается как 5 1 4.

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Это математическое действие можно свести к тому, что мы уже описали выше. Для этого просто доводим нужные дроби до знаменателя. Сформулируем определение.

Чтобы найти разницу между дробями с разными знаменателями, нужно привести их к одному знаменателю и найти разницу в числителях.

Давайте посмотрим на примере, как это делается.

Вычтем 115 из 29.

Решение

Знаменатели разные, и вам нужно привести их к наименьшему общему значению. В этом случае НОК составляет 45. Дополнительный коэффициент 5 требуется для первой дроби и дополнительный коэффициент 3 для второй.

Вычисляем: 29 = 2 59 5 = 1045115 = 1315 3 = 345

Мы получили две дроби с одинаковым знаменателем и теперь можем легко найти их разницу, используя ранее описанный алгоритм: 1045-345 = 10-345 = 745

Резюме решения выглядит следующим образом: 29-115 = 1045-345 = 10-345 = 745.

Не забывайте уменьшать результат или при необходимости извлекать его целую часть. В данном примере этого делать не нужно.

Найдите разницу 199 — 736.

Решение

Приводим дроби, указанные в условии, к наименьшему общему знаменателю 36 и получаем 769 и 736 соответственно.

Посчитаем ответ: 7636-736 = 76-736 = 6936

Результат можно уменьшить на 3, чтобы получить 2312. Числитель больше знаменателя, что означает, что мы можем выбрать всю часть. Окончательный ответ — 11112.

Итог всего решения: 199-736 = 11112.

Основные свойства дробей

• Дробь не имеет значения, пока делитель равен нулю.
• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Такие a / b и c / d называются равными, если:

а * д = Ь * с.

• Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, вы получите равную ему дробь.

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие выполняется аналогично предыдущему: мы записываем натуральное число в виде дроби, сводим оба к единому знаменателю и находим разницу. Проиллюстрируем это на примере.

Найдите разницу: 7-53.

Решение

Давайте сделаем 7 дробью от 71. Вычтите и трансформируйте конечный результат, извлекая из него всю часть: 7-53 = 513.

Есть еще один способ посчитать. У него есть некоторые преимущества, которыми вы можете воспользоваться, когда числители и знаменатели дробей в задаче велики.

Если вычитаемая дробь верна, вычитаемое натуральное число должно быть представлено как сумма двух чисел, одно из которых равно 1. Затем вам нужно вычесть желаемую дробь из единицы и получить ответ.

Вычислите разницу 1 065 -1362.

Решение

Дробь, которую нужно вычесть, верна, потому что ее числитель меньше знаменателя. Следовательно, нам нужно вычесть из 1065 единицу и вычесть из нее нужную дробь: 1065-1362 = (1064 + 1) -1362

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, результирующее выражение можно записать как 1064 + 1-1362. Посчитаем разницу в скобках. Для этого представим единицу в виде дроби 11.

Получается, что 1-1362 = 11-1362 = 6262-1362 = 4962.

А теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 10644962.

Мы используем старый метод, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие расчеты, которые мы получим:

1065-1362 = 10651-1362 = 1065 621 62-1362 = 6603062-1362 == 66030-1362 = 6601762 = 106446

Ответ тот же, но вычисления явно более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда необходимо вычесть правильную дробь. Если это неверно, мы заменяем его смешанным числом и вычитаем его по знакомым правилам.

Вычислите разницу 644 — 735.

Решение

Вторая дробь неверна, и нужно отделять от нее целую часть.

735 = 1435

Теперь посчитаем, как в предыдущем примере: 630-35 = (629 + 1) -35 = 629 + 1-35 = 629 + 25 = 62925

Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одному знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, нам нужно умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Их можно найти, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Следовательно, чтобы уменьшить дроби до показателя, вы должны сначала найти НОК (т. Е. Наименьшее число, делимое на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, а затем добавить дополнительные множители к числителям дробей. Их можно найти, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем вам нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель и поставить НОК в качестве знаменателя.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную

При преобразовании десятичной дроби в обыкновенную или смешанную нужно действовать по стандартному алгоритму. Последовательность действий:

1. Запишите дробь как десятичную дробь 1.
2. Умножьте числитель и знаменатель на 10 столько раз, сколько необходимо, чтобы преобразовать числитель в целое число.
3. Определение наибольшего общего делителя и уменьшение дроби.

Например, можно преобразовать 0,36 в обычную дробь. Мы пишем:

0,361

Затем выражение нужно дважды умножить на 10, чтобы получить:

36100

После уменьшения дроби получаем:

36100 = 925

Действия между обыкновенными и десятичными дробями

Теперь давайте посмотрим, как складывать и вычитать обычные дроби и десятичные дроби.

Здесь к началу алгоритма добавлен еще один этап: преобразование десятичной дроби в обыкновенную.

Делается это довольно легко. Посмотрим, как именно.

Во-первых, вам нужно переписать исходную дробь в новую дробь, где будет одна десятичная дробь в числителе и одна в знаменателе:

( mathbf {0.01 = frac {0.01} {1}} ) ( mathbf {0.3 = frac {0.3} {1}})

А затем мы просто умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, пока числитель не станет больше или равным единице:

( mathbf { frac {0.01} {1} = frac {0.01 cdot10} {1 cdot10} = frac {0.1} {10} = frac {0.1 cdot10} {10 cdot10} = гидроразрыв {1} {100}})

( mathbf { frac {0.3} {1} = frac {0.3 cdot10} {1 cdot10} = frac {3} {10}})

Как видите, все довольно просто.

Кроме того, вы можете подсчитать суммы и разницы с полученными обычными дробями так же, как мы это делали раньше.

Посмотрим на несколько примеров.

Вычислите разницу ( mathbf { frac {1} {3} -0.1}):

Для начала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную:

( mathbf {0.1 = frac {0.1} {1} = frac {0.1 cdot10} {1 cdot10} = frac {1} {10}})

Теперь нам нужно привести дроби к общему знаменателю

( mathbf { frac {1} {3} — frac {1} {10} = frac {1 cdot10} {3 cdot10} — frac {1 cdot3} {10 cdot3} = frac {10} {30} — frac {3} {30} = frac {10-3} {30} = frac {7} {30}})

Проверяем, что дробь нельзя стереть, и приходим к выводу, что это ответ.

Вычислить сумму ( mathbf {0.4+ frac {1} {4}})

Снова преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

( mathbf {0.4 = frac {0.4} {1} = frac {0.4 cdot10} {1 cdot10} = frac {4} {10}})

Мы не уменьшаем дробь намеренно, поэтому, если нам нужно дополнительно умножить на 2, нам не нужно предпринимать ненужных действий.

Далее сводим дроби к общему знаменателю и вычисляем сумму:

( mathbf { frac {4} {10} + frac {1} {4} = frac {4 cdot2} {10 cdot2} + frac {1 cdot5} {4 cdot5} = frac {8} {20} + frac {5} {20} = frac {8 + 5} {20} = frac {13} {20}})

Это то количество, которое нам нужно.

Как перевести дробь в проценты

Чтобы преобразовать обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо преобразовать ее в десятичную дробь и умножить на 100.

Интересная информация

Сегодня мы затронули тему десятичных дробей.

Мы знакомимся не только с тем, как с ними работать, но и с их историей.

Изначально десятичные дроби были тесно связаны с метрологией, наукой об измерительных системах (важно не путать с метеорологией).

Это вполне логично, ведь если 10 метров, то 1 метр, значит, и 0,1 метра.

Десятичная система мер появляется примерно во втором веке нашей эры.

Правила работы с десятичными дробями, скорее всего, стали понятны людям практически сразу, но первые, о чем можно сказать с уверенностью, были заимствованы у Джемшида ибн Масуда аль-Каши, жившего в Самарканде в 15 веке (в настоящее время это город Узбекистана, но тогда был частью империи Тимуридов).

Отличие от современных десятичных дробей заключалось в том, что целая часть отделялась от дробной части: то точка или запятая, то вертикальная черта.

Точку или запятую начали использовать позже, примерно с 17 века.

В таком виде десятичные дроби сохранились до наших дней.

Как сложить целое число и дробь

Чтобы сложить целое число и дробь, вам просто нужно добавить это число перед дробью, и вы получите смешанную дробь, например:

Если мы сложим целое число и смешанную дробь, мы добавим это число ко всей дроби, например:

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическая операция, генерирующая новое число. Содержит сумму заданных чисел.

Складные свойства

• Сумма не меняется перестановкой мест слагаемых: a + b = b + a.
• Чтобы добавить третье к сумме двух чисел, добавьте сумму второго и третьего чисел к первому: (a + b) + c = a + (b + c).
• Если вы добавите к числу ноль, вы получите само число: a + 0 = 0 + a = a
• При сложении чисел можно переставлять и объединять в группы, результат не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, вы должны сначала привести их к одному знаменателю, а затем действовать, как указано в начале этой статьи. Общим знаменателем нескольких дробей является НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой дроби дополнительные множители находятся путем деления НОК на знаменатель этой дроби. Позже мы увидим пример, когда поймем, что такое LCM.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить результат суммы двух дробей с равными знаменателями, необходимо сложить числители исходных дробей и оставить тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли отменить дробь.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух (НОК) — это наименьшее натуральное число, делящееся на оба числа без остатка. Иногда LCM можно найти в устной форме, но чаще, особенно при работе с большими числами, необходимо найти LCM в письменной форме по следующему алгоритму:

Чтобы найти НОК нескольких чисел, вам необходимо:

1. Разбейте эти числа
2. Возьмите самое большое расширение и запишите эти числа как продукт
3. Выберите числа в других расширениях, которые не встречаются в более крупном расширении (или встречаются в нем реже), и добавьте их в продукт.
4. Умножьте все числа в произведении, получится НОК.

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Это действие легко сводится даже к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем это на примере.

Найдите разницу 8321 — 3.

Решение

3 равно 31. Таким образом, вы можете рассчитать следующим образом: 8321-3 = 2021.

Вам нужна помощь учителя? Опишите задачу и наши специалисты помогут вам

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выбрать из него целое число, записав его как смешанное число. Таким образом, приведенный выше пример можно решить иначе.

Из дроби 8321, когда вы выбираете целую часть, вы получаете 8321 = 32021.

Теперь давайте просто вычтем 3: 32021 — 3 = 2021.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями: для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее NOZ), а затем воспользоваться указанным выше правилом. Вот что надо делать:

• Найдите наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единственного делителя.

Для этого запишите в столбец числа, которые в сумме равны значениям делителя. Затем мы умножаем результат и получаем НОК.

MCM (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

• Найдите дополнительные множители для каждой фракции. Для этого разделите НОК на каждый знаменатель:

1. 90: 15 = 6,
2. 90: 18 = 5.

Полученные числа записываются вверху справа над числителем.

• Мы используем одно из основных свойств дробей: умножаем делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен равняться наименьшему общему кратному, которое мы вычислили ранее. Затем можно переходить к сложению.
• Проверяем полученный результат:

1. если делимое больше делителя, необходимо преобразовать его в смешанное число;
2. если есть что уменьшить, надо провести редукцию.

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить или умножить на одно и то же число. Полученная дробь в этом случае равна исходной дроби.

Когда мы делим числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы упростить дробь, мы делаем дробное сокращение.

Уменьшите фракцию 1015 frac {10} {15} 1510​.
Для этого разделите числитель и знаменатель дроби на 555.
1015 = 2⋅53⋅5 = 23 frac {10} {15} = frac {2 cdot 5} {3 cdot 5} = frac {2} {3} 1510 = 3⋅52⋅5 = 32

Перед тем, как приступить к работе с дробями, может быть полезно их сократить. Также постарайтесь уменьшить слишком пугающие дроби, полученные при промежуточных расчетах.

Чтобы сократить дробь ab frac {a} {b} ba, вам нужно вычислить наибольший общий делитель gcd (a, b) text {gcd} (a, b) gcd (a, b) и разделить числитель и знаменатель дроби от него.

Чтобы вычислить gcd text {mcd} gcd двух чисел, используйте алгоритм Евклида. Однако на практике гораздо проще постепенно разделить (уменьшить) числитель и знаменатель на общие множители, которые ищутся с использованием критериев делимости.

Например, вы могли заметить, что в дроби 2466 frac {24} {66} 6624 числитель и знаменатель являются четными числами. Следовательно, эту дробь можно сократить точно на 222: 2466 = 1233 frac {24} {66} = frac {12} {33} 6624 = 3312. Теперь вы можете видеть, что оба числа делятся на 333. Уменьшаем дальше : 1233 = 411 frac {12} {33} = frac {4} {11} 3312 = 114. У нас есть неприводимая дробь.

Дробь ab frac {a} {b} ba неприводима, если gcd (a, b) = 1 text {mcd} (a, b) = 1 GCD (a, b) = 1.

Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей

Часто в математических задачах приходится складывать три, четыре или более обыкновенных дробей. В то же время важно уметь использовать свойства смещения и комбинации сложения. Следовательно, добавление большего количества дробей выполняется так же, как и добавление большего количества натуральных чисел.

Например, рассмотрим сумму четырех обыкновенных дробей:

512 + 1312 + 112 + 112

Последовательно замените две соседние дроби их суммой. В результате получаем:

512 + 1312 + 112 + 112 = 1812 + 112 + 112 = 1912 + 112 = 2012

После этого можно уменьшить получившуюся дробь и выделить всю часть:

2012 = 53 = 123

Аналогичным образом складываются разные натуральные числа и разные обыкновенные дроби. Например, нужно определить сумму:

4 + 7 + 16 + 3 + 34

Используя свойство сложения, вы можете группировать термины:

4 + 7 + 16 + 3 + 34 = (4 + 7 + 3) + (16 + 34)

Находим суммы выражений в скобках:

(4 + 7 + 3) + (16 + 34) = 14 + 1112 = 141112

Обратите внимание, что правило сложения дробей с одним и тем же знаменателем и правило сложения дробей с разными знаменателями также применимы к добавляемым трем или более дробям. Это утверждение можно рассмотреть на примере:

512 + 1312 + 112 + 112

Используя правило сложения дробей в процессе сложения элементов выражения с одинаковыми знаменателями, получаем:

512 + 1312 + 112 + 112 = 5 + 13 + 1 + 112 = 2012

После уменьшения полученной дроби и выделения всей части можно написать ответ:

2012 = 53 = 123

Находим сумму трех дробей с разными знаменателями:

12 + 38 + 712

На первом этапе необходимо привести три дроби к наименьшему общему знаменателю:

12 = 1 × 122 × 12 = 1224

38 = 3 × 38 × 3 = 924

712 = 7 × 212 × 2 = 1424

В результате получаем:

12 + 38 + 712 = 1224 + 924 + 1424 = 9 + 12 + 1424 = 3524 = 11124

Умножение дробей

Алгоритм действий при умножении двух дробей:

1. Преобразуйте смешанные дроби в дроби (удалите целую часть).
2. Умножьте числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
3. Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и удалите дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД.
4. Если числитель конечной дроби больше знаменателя, выберите целую часть.