Решение пределов по правилу Лопиталя

Метод решения

Одним из наиболее эффективных методов решения неоднозначностей и вычисления пределов функций является использование правила Л’Опиталя. Это позволяет выявить неопределенности вида 0/0 или ∞ / ∞ в конечной или бесконечной точке, которую мы обозначим как x0. Правило L’Hôpital состоит в том, что мы находим производные числителя и знаменателя дроби. Если есть предел, значит, есть и такой же предел .

Если после дифференцирования мы снова получим неопределенность, то процесс можно повторить, то есть применить правило Лопиталя уже на пределе. И так далее, пока не обнаружится неопределенность.

Чтобы применить это правило, должна существовать перфорированная окрестность точки x0, в которой функции в числителе и знаменателе дифференцируемы, а функция в знаменателе и ее производная не компенсируют друг друга.

Применение правила L’Hôpital состоит из следующих шагов.

1. Приведите неопределенность к виду 0/0 или ∞ / ∞. Для этого при необходимости выполняем преобразования и модифицируем переменную. В результате получаем предел модуля .
2. Убедимся, что существует перфорированная окрестность точки x0, в которой функции числителя и знаменателя дифференцируемы, а знаменатель и его производная не компенсируют друг друга.
3. Найдите производные числителя и знаменателя.
4. Если есть конечный или бесконечный предел, то проблема решается: .
5. Если предел не существует, это не означает, что исходный предел не существует. Это означает, что данная проблема не может быть решена с помощью правила Лопиталя. Необходимо применить другой метод (см. Пример ниже)
6. Если неопределенность в пределе появляется снова, то к нему также может быть применено правило Лопиталя, начиная с пункта 2).

Как упоминалось выше, применение правила Л’Опиталя может привести к функции, предел которой не существует. Однако это не означает, что начального ограничения нет. Рассмотрим следующий пример. Мы применяем правило L’Hôpital.
Однако нет предела. Несмотря на это, у исходной функции есть предел.

Правило Лопиталя. Формулировки теорем

Здесь мы представляем формулировки теорем, на которых основано выявление неопределенностей согласно правилу Лопиталя.

Теорема о раскрытии неопределенности

1. Пусть функции f и g получены в перфорированной окрестности (с двух сторон или с одной стороны) конечной или бесконечно удаленной точки () и не равны нулю в этой окрестности.
2. Итак, если существует конечный или бесконечный предел, то есть и такой же предел.
3. Вот к району с двусторонним движением. Для района с односторонним движением или .

Теорема неопределенности / раскрытия информации

1. Пусть функции f и g получены в перфорированной окрестности (с двух сторон или с одной стороны) конечной или бесконечно удаленной точки () и не равны нулю в этой окрестности.
2. Итак, если существует конечный или бесконечный предел, то есть и такой же предел.
3. Вот к району с двусторонним движением. Для района с односторонним движением или .

Примеры

Все примеры Ниже мы даем подробные решения следующих ограничений с использованием правила L’Hôpital.

Пример 1

Покажите, что показатель степени растет быстрее, чем любая степенная функция, а логарифм — медленнее. То есть доказать, что
Решение

Рассмотрим предел A). В. Это неопределенность вида. Чтобы выявить это, мы применим правило L’Hôpital.
Найдите производные. Если, то неопределенность исчезает, так как a. Согласно правилу L’Hôpital.

Если, то мы применяем правило Л’Опиталя n раз, где — целая часть числа b.
С. Хотя мы привыкли читать слева направо, этот набор равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел, существует и равный ему предел. Поскольку существует предел, существует и равный ему предел. И так далее, пока не будет достигнут предел .

Пример 2

Найдите предел, используя правило L’Hôpital:.

Решение

Это неопределенность формы 0/0. Мы находим его по правилу L’Hôpital.

Здесь, после первого применения правила, снова возникает двусмысленность. Поэтому правило L’Hôpital было применено во второй раз. Эту серию равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел, существует и равный ему предел. Поскольку существует предел, существует равный ему начальный предел .

Пример 3

Вычислите предел, используя правило Л’Опиталя.

Решение

Найдите значения числителя и знаменателя в. И числитель, и знаменатель равны нулю. У нас есть неопределенность вида 0/0. Чтобы выявить это, мы применим правило L’Hôpital.

Пример 4

Решите предел, используя правило L’Hôpital.

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида (+0) +0. Преобразуем его к виду + ​​∞ / + ∞. Для этого выполняем трансформации.

Найдите предел экспоненты, применив правило Лопиталя.

Поскольку показатель степени является непрерывной функцией для всех значений аргументов.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Рассчитаем.

Запрос. Здесь надо немного больше обычного задыхаться о преобразовании выражений под знаком ограничения.

Пример 10. Рассчитаем.

Запрос. Здесь правило L’Hôpital придется применить трижды.

Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»

Неопределенности формы или обычно сводятся к виду 0/0 или ∞ / ∞ с помощью логарифма функции вида

Чтобы вычислить предел выражения, следует использовать логарифмическую идентичность, частным случаем которой является логарифмическое свойство .

Используя логарифмическую идентичность и свойство непрерывности функции (выход за знак предела), предел должен быть вычислен следующим образом:

Отдельно следует найти предел выражения в экспоненте и увеличить е до найденной степени.

Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»

• Пример 1. Вычислите предел отношения двух функций, используя правило Лопиталя:

Решение. Подстановка значения x = 2 в заданную функцию приводит к неопределенности вида 0/0. Следовательно, производная каждой функции и мы получаем

Производная полинома вычислялась в числителе, а производная комплексной логарифмической функции вычислялась в знаменателе. Перед последним знаком равенства вычислялся обычный предел, подставляя два вместо x.

• Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, используя правило Лопиталя.

Решение. Подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределенности вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

• Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, используя правило Лопиталя.

Решение. Подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределенности вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

• Пример 4. Рассчитаем.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x, равного плюс бесконечности, приводит к неопределенности вида ∞ / ∞. Поэтому мы применяем правило Л’Опиталя:

Комментарий. Перейдем к примерам, в которых правило Лопиталя необходимо применять дважды, то есть дойти до предела отношений вторых производных, поскольку предел отношения первых производных представляет собой неопределенность вида 0 / 0 или ∞/∞.

• Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, используя правило Лопиталя.

Решение. Мы нашли

Здесь правило Л’Опиталя применяется дважды, поскольку предел отношения функций и предел отношения производных дают неопределенность вида ∞/∞.

• Пример 6. Рассчитаем.

Решение. Мы нашли

Здесь правило Лопиталя применяется дважды, поскольку предел отношения функций и предел отношения производных дают неопределенность вида 0/0.

• Пример 7. Рассчитаем.

Решение. Мы нашли

Здесь правило Л’Опиталя применяется дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают сначала неопределенность формы — / ∞, а затем неопределенность формы 0/0.

• Пример 8. Рассчитаем.

Решение. Мы нашли

Здесь правило Л’Опиталя применяется дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают сначала неопределенность формы ∞ / ∞, а затем неопределенность формы 0/0.

Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»

• Пример 11. Рассчитаем.

Решение. У нас есть

(здесь мы преобразовали неопределенность формы 0 ∙ ∞ в форму ∞ / ∞, с тех пор применяя правила L’Hôpital).

• Пример 12. Рассчитаем.

Решение. У нас есть

В этом примере используется тригонометрическая идентичность .