Ранг матрицы — как найти

Что такое ранг матрицы: определения и теорема

Определение Определитель, составленный из элементов размерной матрицы, которые находятся на пересечении производных ее строк и столбцов, называется меньшим, чем порядок th данной матрицы.

Для данной матрицы можно составлять миноры разных порядков, начиная с «1» (определитель первого порядка считается равным его единственному элементу) до минора чисел.

Могут быть образованы 12 миноров первого порядка (один элемент), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Записываем миноры 3-го порядка и находим их значения.

Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и ненулевые. Не будем все писать, но покажем на примере,

Наивысший порядок минора матрицы, не равный нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается значком.

Если матрица нулевая, ее ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, ее ранг равен порядку матрицы. Следовательно, для каждой матрицы размерностей ее ранг принимает соответствующее значение, которое находится в пределах диапазона.

В приведенном выше примере матрицы мы видели, что наивысший порядок ее ненулевого минора равен 2.

Определение ранга массива путем перечисления значений всех его возможных младших элементов связано со значительным объемом вычислений, особенно когда размер массива большой. Следовательно, есть способ найти ранг, основанный на элементарных преобразованиях:

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Транспонирование матриц;
2. умножить элементы строки (столбца) массива на число, отличное от нуля;
3. перестановка двух строк (столбцов);
4. добавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов второй строки (столбца), которые умножаются на такое же число.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матриц не меняется.

Две матрицы называются эквивалентными (указанными), если одна из них может быть получена из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Ранги эквивалентных матриц равны.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Метод соседних дочерних элементов — это метод, который позволяет получить результат с меньшими вычислительными затратами.

Соседний минор — это минор Mok (k + 1) -го порядка матрицы A, который граничит с минором M порядка k матрицы A, если матрица, соответствующая минору Mok, «содержит» матрицу, соответствующую минор М.

Проще говоря, матрица, соответствующая соседнему минору M, получается из матрицы, соответствующей соседнему минору Mok, путем удаления элементов строки и столбца.

Пример

Найдите ранг матрицы:

А = 120-13-2037134-21100365

Чтобы найти ранг, возьмем минор 2-го порядка M = 2-141

Отметим всех соседних несовершеннолетних:

12-1-207341.20-10374-21.2-13071411.12-1341006.20-14-21036.2-13411065.

Для обоснования метода заключения несовершеннолетних приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Если все миноры, граничащие с минором k-го порядка матрицы A порядка p для n, равны нулю, то все миноры порядка (k + 1) матрицы A равны нулю.

Алгоритм действий:

1. Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, просто посмотрите на соседние.
2. Если соседние миноры равны нулю, ранг матрицы равен нулю. Если есть хотя бы один минор, отличный от нуля, то учитываются соседние миноры.
3. Если все они равны нулю, ранг (A) равен двум. Если есть хотя бы один ненулевой соседний минор, то учитываются его соседние миноры. И так далее аналогичным образом.

Пример

Найдите ранг матрицы с помощью метода соседних миноров

А = 210-134210-12111-40024-14

Поскольку элемент a11 матрицы A не равен нулю, то берем минор 1-го порядка. Начнем искать ненулевой соседний минор:

2142 = 2 × 2-1 × 4 = 02041 = 2 × 1-0 × 4 = 2

Мы нашли соседний младший, кроме 2-го порядка, отличный от нуля 2041.

Повторяем на соседних минорах — (есть (4-2) × (5-2) = 6 штук).

210421211 = 0; 20-1410211 = 0; 20341-121-4 = 0; 210421002 = 0; 20-1410024 = 0; 20341-102-14 = 0

Ответ: Ранг (A) = 2.

Как определить ранг матрицы: примеры

Определяет ранг матрицы $ A = left ( begin {array} {ccc} {-2} & {1} & {4} {1} & {0} & {3} {1} & {2} & {3} end {array} right)$.

Решение:

Обратите внимание, что ранг исходной матрицы не может быть больше 3.

Среди миноров первого порядка есть ненулевые миноры, например $ M_ {1} = left | -2 вправо | = -2 $. Рассмотрим несовершеннолетних второго порядка.

$ M_ {2} = left | start {array} {cc} {-2} & {1} {1} & {0} end {array} right | = -2 cdot 0-1 cdot 1 = 0-1 = -1 ne 0$

Завершите минор второго порядка и получите минор третьего порядка.

$ M_ {3} = left | start {array} {ccc} {-2} & {1} & {4} {1} & {0} & {3} {1} & {2} & {3} end {массив } right | = -2 cdot 0 cdot 3 + 1 cdot 3 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 4-1 cdot 0 cdot 4-1 cdot 1 cdot 3-2 cdot 3 cdot (- 2) = 3 + 8-0-3 + 12 = 20 n и 0$

Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Пример

Определяет ранг матрицы $ A = left ( begin {array} {ccccc} {1} & {2} & {3} & {0} & {1} {0} & {1} & { 2} & {3} & {4} {2} & {3} & {1} & {4} & {5} {0} & {0} & {0} & {0} & { 0} end {array} right)$.

Решение:

Обратите внимание, что ранг исходной матрицы не может быть больше 4 (строки 4, столбцы 5).

Среди миноров первого порядка есть ненулевые миноры, например $ M_ {1} = left | 1 право | = 1 доллар. Рассмотрим несовершеннолетних второго порядка.

$ M_ {2} = left | start {array} {cc} {1} & {2} {0} & {1} end {array} right | = 1 cdot 1-0 cdot 2 = 1-0 = 1 ne 0$

Завершите минор второго порядка и получите минор третьего порядка.

$ M_ {3} = left | start {array} {ccc} {1} & {2} & {3} {0} & {1} & {2} {2} & {3} & {1} end {array} right | = 1 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 2 cdot 2 + 0 cdot 3 cdot 3-2 cdot 1 cdot 3-0 cdot 1 cdot 2-2 cdot 3 cdot 1 = 1 + 8 + 0-6-0-6 = -3 n и 0$

Выполняем окантовку второстепенного третьего порядка и получаем четвёртый второстепенный порядок.

$ M_ {4} = left | start {array} {cccc} {1} & {2} & {3} & {0} {0} & {1} & {2} & {3} {2} & {3} & {1} & {4} {0} & {0} & {0} & {0} end {array} right | = 0 $ (содержит пустую строку)

$ M_ {5} = left | start {array} {cccc} {1} & {2} & {3} & {1} {0} & {1} & {2} & {4} {2} & {3} & {1} & {5} {0} & {0} & {0} & {0} end {array} right | = 0 $ (содержит пустую строку)

Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, поэтому ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональной (ступенчатой) форме. Ранг матрицы, полученной в результате преобразований, равен количеству диагональных элементов, отличных от нуля.

Пример

Определяет ранг матрицы $ A = left ( begin {array} {ccc} {-2} & {1} & {4} {1} & {0} & {3} {1} & {2} & {3} end {array} right)$.

Решение:

Меняем местами первую и вторую строки матрицы A:

$ A = left ( start {array} {ccc} {-2} & {1} & {4} {1} & {0} & {3} {1} & {2} & { 3} end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {-2} & {1} & {4} {1} & {2} & {3} end {array} right)$

Умножаем первую строку матрицы B на число 2 и добавляем ее ко второй строке:

$ left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {-2} & {1} & {4} {1} & {2} & {3} end {array} right) sim left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {0} & {1} & {10} {1} & {2} & {3} end {array} right)$

Умножаем первую строку матрицы C на число -1 и добавляем ее к третьей строке:

$ left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {0} & {1} & {10} {1} & {2} & {3} конец {массив} right) sim left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {0} & {1} & {10} {0} & {2} & {0} end {array} right)$

Умножаем вторую строку матрицы D на число -2 и прибавляем ее к третьей строке:

$ left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {0} & {1} & {10} {0} & {2} & {0} конец {массив} right) sim left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {0} & {1} & {10} {0} & {0} & {-20} end {array} right)$

$ left ( begin {array} {ccc} {1} & {0} & {3} {0} & {1} & {10} {0} & {0} & {-20} end {array} right) $ — матрица шагов

Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, поэтому $ rang = $ 3$.

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга относительно элементарных преобразований) При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Собственно, пусть будет. Предположим, что в результате элементарного преобразования столбцов матрицы получена матрица. Если преобразование типа I (перестановка двух столбцов) было выполнено, то любой минорный (r + l) -ro порядка матрицы равен соответствующему минорному (r + l) -ro порядка матрица или отличается от нее знаком (свойство 3 определителя).

Если преобразование типа II было выполнено (умножение столбца на число), то любой минор (r + l) -ro порядка матрицы равен соответствующему минору (r + l) — ro матрицы порядок матрицы, либо отличается от него множителем (свойство 6 определителя). Если преобразование типа III было выполнено (добавлено к столбцу другого столбца, умноженному на число), то любой минор порядка (r + 1) матрицы равен соответствующему минору (r + 1) -го порядок матрицы (свойство 9 определителя), либо он равен сумме двух миноров (r + l) -ro порядка матрицы (свойство 8 определителя).

Следовательно, в элементарном преобразовании любого типа все миноры порядка (r + l) -ro матрицы равны нулю, так как все миноры порядка (r + l) -ro матрицы равны к нулю. Таким образом, было показано, что ранг матрицы не может увеличиваться при преобразовании элементарных столбцов. Поскольку обратные преобразования к элементарным являются элементарными, ранг матрицы при элементарных преобразованиях столбцов не может уменьшаться, т.е не изменяется.

Аналогичным образом доказывается, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк.

• Следствие 1. Если строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно удалить из матрицы без изменения ее ранга.

Действительно, такую ​​строку можно обнулить с помощью элементарных преобразований, а нулевую строку нельзя включить в основной минор.

• Следствие 2. Если матрица приводится к простейшему виду (1.7), то матрица простейшего вида (1.7) имеет минорный базис r-го порядка.
• Следствие 3 Любая невырожденная квадратная матрица элементарна, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

В самом деле, если это невырожденная квадратная матрица порядка n, то. Следовательно, приведя матрицу к простейшему виду для элементарных преобразований, мы получим унитарную матрицу, поскольку (см. Следствие 2). Следовательно, матрица эквивалентна единичной матрице и может быть получена из нее в результате конечного числа элементарных преобразований. Это означает, что матрица элементарна.

Теорема 3.4 (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному количеству линейно независимых строк этой матрицы.

Собственно, пусть будет. Тогда матрица содержит линейно независимые строки. Это линии, в которых находится малая база. Если бы они были линейно зависимыми, то этот минор был бы равен нулю по теореме 3.2 и ранг матрицы не был бы равен. Докажем, что это максимальное количество линейно независимых строк, т.е все строки линейно зависят от. Фактически мы формируем матрицу из этих строк. Поскольку матрица является частью матрицы, следовательно. Это означает, что хотя бы одна строка матрицы не входит в базовый минор этой матрицы. Следовательно, по основной теореме о миноре, он равен линейной комбинации строк, в которых находится основной минор. Следовательно, строки матрицы линейно зависимы. Следовательно, матрица содержит не более чем линейно независимых строк.

• Следствие 1 Максимальное количество линейно независимых строк в матрице равно максимальному количеству линейно независимых столбцов:

Это утверждение следует из теоремы 3.4, если применить его к строкам транспонированной матрицы и учесть, что миноры не меняются при транспонировании (свойство 1 определителя).

• Следствие 2 При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

Фактически мы выбираем любой из столбцов данной матрицы и составляем из них матрицу. Пусть при элементарных преобразованиях строк матрицы мы получаем матрицу и в результате таких же преобразований строк матрицы получаем матрицу.

По теореме 3.3. Следовательно, если бы столбцы матрицы были линейно независимыми, например (см следствие 1), то столбцы матрицы также линейно независимы, т к. Если столбцы матрицы были линейно зависимыми, столбцы матрицы также линейно зависимы. Следовательно, для любого столбца матрицы сохраняется линейная зависимость или линейная независимость при элементарных преобразованиях строк.

Комментарии 3.3

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования производятся только на ее столбцах.
2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любая невырожденная квадратная матрица с помощью элементарных преобразований только ее строк (или только ее столбцов) может быть приведена к единичной матрице того же порядка.

Фактически, используя только элементарные преобразования строк, любую матрицу можно привести к упрощенному виду (см. Теорему 1.1). Поскольку матрица невырожденная, ее столбцы линейно независимы. Следовательно, и столбцы матрицы линейно независимы (следствие 2 теоремы 3.4). Следовательно, упрощенная форма невырожденной матрицы совпадает с ее простейшим видом и является единичной матрицей (см. Следствие 3 теоремы 3.3).

Следовательно, преобразовывая только строки невырожденной матрицы, она может быть приведена к единичной матрице. Аналогичное рассуждение справедливо для элементарных преобразований столбцов невырожденной матрицы.

Ранг матрицы: методы нахождения

Ранг матрицы — это наивысший ненулевой порядок матрицы.

Ранг (A), Rg (A), Звук (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становится ясно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не равен нулю.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже в примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы методом соседних миноров требует вычисления большого количества определителей. Однако есть способ свести объем вычислений к минимуму. Этот метод основан на использовании преобразований элементарных матриц и называется также методом Гаусса.

Преобразования элементарных матриц представляют собой следующие операции:

1. умножить любую строку или столбец матрицы на число, отличное от нуля;
2. добавить к элементам любой строки или столбца матрицы соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на такое же число;
3. поменять местами две строки или столбцы матрицы;
4. удаление «нулевых» линий, т. Е. Тех, у которых все элементы равны нулю;
5. подавление всех пропорциональных линий, кроме одной.

Теорема. Элементарное преобразование не меняет ранг матрицы. Другими словами, если мы используем элементарные преобразования из матрицы A в матрицу B, то .

Используя эту теорему, начиная с любой матрицы A, вы всегда можете прийти к такой матрице B, ранг которой несложен. Для этого убедитесь, что матрица B трапецеидальная.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен количеству содержащихся в ней строк, за исключением строк, полностью состоящих из нулей.

Найдите ранг матрицы.

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке мы добавляем третью, умноженную на — 2, затем к третьей строке идет первая, умноженная на 2, и, наконец, мы вычитаем первую из четвертой. После этих трех последовательных преобразований мы получаем матрицу.

Вычитая третью из четвертой строки, а затем переставляя вторую и третью строки, мы получаем матрицу.

Он получил матрицу трапециевидной формы. Ранг полученной матрицы равен трем (r = 3), поскольку после удаления последней строки, полностью состоящей из нулей, будет три строки.

Желающие могут проверить это решение с помощью метода соседних миноров (минор третьего порядка, расположенный в верхнем левом углу, не равен нулю, а все миноры четвертого порядка равны нулю).

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие сокращения определителя). Чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов (одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Действительно, необходимость следует из основной минорной теоремы. Если определитель квадратной матрицы n-го порядка равен нулю, то ее ранг является второстепенным, то есть хотя бы один столбец не входит в основной минор. Таким образом, этот столбец, выбранный по теореме 3.1, представляет собой линейную комбинацию столбцов, в которых находится основной минор.

Добавляя, если необходимо, другие столбцы с нулевыми коэффициентами к этой комбинации, мы получаем, что выбранный столбец является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы. Достаточность следует из свойств определителя. Если, например, последний столбец определителя выражается линейно через остаток

затем прибавляя к столбцу, умноженному на, затем столбцу, умноженному на, и так далее, к столбцу, умноженному на, мы получаем определитель с нулевым столбцом, который равен нулю (свойство 2 определителя).