Прямая в пространстве: способы задания и уравнения

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

• через две точки можно провести единственную прямую;
• если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Обозначение прямой

Прямая обычно обозначается маленькой латинской буквой. Прямую можно обозначить также через две разные точки на этой прямой (Рис.1):

Свойства прямой в эвклидовом пространстве

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

• Через любые несовпадающие точки можно провести только одну прямую.

• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны.

• Из трех разных точек, лежащих на данной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.

На Рис.2 точка B лежит между точками A и C.

Можно сказать также:

1. «точки A и C лежат по разные стороны от точки B»,
2. «точки B и C лежат по одну сторону от точки A».

• Есть точки, лежащие на прямой и не лежащие на ней.

На Рис.3 точки A и B лежат на прямой a, а точка C не лежит на прямой a. Можно сказать также, что точки A и B принадлежат прямой a, а точка C не принадлежит прямой a. Или же прямая a проходит через точки A и B и не проходит через точку C.

Для записи принадлежности точки к прямой используют символ ∈. Запись ( small A∈ a) обозначает, что точка A принадлежит прямой a. Чтобы указать, что точка не принадлежит к прямой используют символ ( small ∉. ) Запись ( small C∉ a) обозначает, что точка C не принадлежит прямой a.

• В трехмерном пространстве прямые или пересекаются, или параллельные, или скрещиваются.
• Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2.

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy – это линейное уравнение с переменными x и y, которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x, y, z, которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение Ax+By+Cz+D=0, где x, y, z – переменные, а А, В, С и D – некоторые действительные числа (А, В, С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Вспомним аксиому:

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β, которые соответственно описываются уравнениями плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β, то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

Общее же решение системы уравнений  _A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 определит координаты каждой точки прямой a, т.е. по сути задает саму прямую a.

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x+3y-21z+113y+14z-2=0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, где x1, y1, z1 – координаты некой точки прямой; аx, аy и az  (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а·λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел (x, y, z), соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ=0, тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x=x1+ax·0y=y1+ay·0z=z1+az·0⇔x=x1y=y1z=z1

Рассмотрим конкретный пример:

Пример 1

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x=3+2·axy=-2·ayz=2+2·az.

Заданная прямая проходит через точку М1(3, 0, 2); направляющий вектор этой прямой имеет координаты2, -2, 2.

Ответ: 2, -2, 2,

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ относительно параметра λ, возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az.

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М1(x1, y1, z1), и у которой направляющий вектор равен a→=(ax, ay, az). Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x-11=y2=z+57. Эта прямая проходит через точку с координатами (1, 0, -5), ее направляющий вектор имеет координаты (1, 2, -7).

Отметим, что одно или два числа из чисел аx, аy и аz в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, где λ∈R.

Если одно из чисел аx, аyиaz канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел аx, аyиaz равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x+43=y-52=z+20, лежит в плоскости z=-2, параллельной координатной плоскости Oxy, а координатная ось Oy описывается каноническими  уравнениями x0=y1=z0.

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Формулы

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M(x1, y1, z1) и N(x2, y2, z2), такие что x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x1	=	y — y1	=	z — z1
x2 — x1	y2 — y1	z2 — z1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x0
y = m t + y0
z = n t + z0

где (x0, y0, z0) — координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M(x0, y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x0	=	y — y0	=	z — z0
l	m	n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

	A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что не имеет место равенство

A1	=	B1	=	C1	.
A2	B2	C2

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые
имеют направляющие вектора

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле:

Следствие: Если прямые перпендикулярны (), то условием перпендикулярности прямых является равенство:

Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых:

Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением
а плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений:
Если прямая (L) задана каноническим уравнением
а плоскость (Q)

• уравнением Ax + By + Cz + D = 0, тo поступают по следующей схеме:
• переходят от канонического уравнения прямой к параметрическому, т.е. записывают уравнение прямой в виде
• полученные выражения подставляют в уравнение заданной плоскости и находят параметр t:
  .
• вычисляют координаты точки пересечения, подставив найденное значение
  в параметрическое уравнение прямой

Рассмотрим возможные случаи:

1. если выполняются условия , то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);
2. при условиях
   прямая лежит на плоскости;
3. если , прямая пересекает плоскость в одной точке.

Пример:

Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением
и плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.

Решение:

Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде
Подставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим

Найденное значение параметра
подставим в параметрическое уравнение прямой
Таким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором
и пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором
(Рис.45).

Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.

Угол
является углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через
Из рисунка видно, что
Следовательно,

Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (), то условие перпендикулярности прямой и плоскостиимеет вид:

Следствие: Если прямая параллельна плоскости (), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости:.

Основные задачи о прямой в пространстве

• Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением
  Для того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

1. находят координаты любой точки, удовлетворяющие приведенной системе, для чего одну из переменных величин, например z, полагают равной нулю и решают систему линейных алгебраических уравнений относительно оставшихся переменных величин;
2. направляющий вектор
   прямой находят как векторное произведение нормальных векторов <br>;
3. зная точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой записывают каноническое уравнение прямой.

Пример:

Записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Положив х = 0, получим СЛАУ
Складывая уравнения, найдем у = -4. Подставив это значение переменной у во второе уравнение системы, получим z = —5. Таким образом, прямая проходит через точку
Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей:

Запишем каноническое и параметрическое уравнения прямой:

Направляющий вектор прямой: определение и примеры

Прямая и способы ее задавания

Каждый школьник хорошо представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. С точки зрения математики, прямая представляет собой набор точек, которые в случае их попарного произвольного соединения между собой приводят к получению совокупности параллельных векторов. Это определение прямой используют для написания уравнения для нее как в двумерном, так и в трехмерном пространстве.

Для описания рассматриваемого одномерного объекта пользуются разными видами уравнений, которые перечислены в списке ниже:

• общего вида;
• параметрическое;
• векторное;
• каноническое или симметричное;
• в отрезках.

Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по отношению к другим. Например, уравнением в отрезках удобно пользоваться при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при нахождении направления, перпендикулярного заданной прямой, а также при вычислении угла ее пересечения с осью x (для плоского случая).

Поскольку тема данной статьи связана с направляющим вектором прямой, то далее будем рассматривать только уравнение, где этот вектор является принципиальным и содержится явно, то есть векторное выражение.

Задание прямой через вектор

Предположим, что у нас имеется некоторый вектор v¯ с известными координатами (a; b; c). Поскольку координат три, то вектор задан в пространстве. Как изобразить его в прямоугольной системе координат? Делается это очень просто: на каждой из трех осей откладывается отрезок, длина которого равна соответствующей координате вектора. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскостям xy, yz и xz, будет концом вектора. Началом же его является точка (0; 0; 0).

Тем не менее приведенное положение вектора не является единственным. Аналогичным образом можно нарисовать v¯, располагая его начало в произвольной точке пространства. Эти рассуждения говорят о том, что задать конкретную прямую с помощью вектора нельзя. Он задает семейство из бесконечного числа параллельных прямых.

Теперь зафиксируем некоторую точку P(x0; y0; z0) пространства. И зададим условие: через P должна проходить прямая. В этом случае вектор v¯ тоже должен содержать эту точку. Последний факт означает, что можно задать одну единственную прямую, используя P и v¯. Она запишется в виде следующего уравнения:

Q = P + λ × v¯

Здесь Q — любая точка, принадлежащая прямой. Эту точку можно получить, подобрав соответствующий параметр λ. Записанное уравнение называется векторным, а v¯ получил название направляющего вектора прямой. Располагая его так, чтобы он проходил через P, и изменяя его длину с помощью параметра λ, мы получаем каждую точку Q прямой.

В координатной форме уравнение запишется так:

<p>(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)

И в явном (параметрическом) виде можно записать:

x = x0 + λ × a;

y = y0 + λ × b;

z = z0 + λ × c

Если в приведенных выражениях исключить третью координату, то мы получим векторные уравнения прямой на плоскости.

Для каких задач полезно знать направляющий вектор ?

Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определяющий направление прямой вектор используется при вычислении дистанции между прямыми и точкой и прямой, для описания поведения прямой относительно плоскости.

Две прямые будут параллельными, если таковыми являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В этих типах задач достаточно рассчитать скалярное произведение рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.

В случае задач на вычисление расстояний между прямыми и точками направляющий вектор входит явно в соответствующую формулу. Запишем ее:

d = |[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|

Здесь P1P2¯ — построенный на точках P1 и P2 направленный отрезок. Точка P2 является произвольной, лежащей на прямой с вектором v¯, точка же P1 является той, до которой следует определить расстояние. Она может быть как самостоятельной, так и принадлежать другой прямой или плоскости.

Отметим, что рассчитывать расстояние между прямыми имеет смысл только тогда, когда они являются параллельными или скрещивающимися. Если же они пересекаются, то d равно нулю.

Приведенная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 должна принадлежать плоскости.

Решим несколько задач, чтобы нагляднее показать, как пользоваться рассматриваемым вектором.

Задача на составление векторного уравнения

Известно, что прямая описывается следующим равенством:

y = 3 × x — 4

Следует написать соответствующее выражение в векторной форме.

Это типичное уравнение прямой, известное каждому школьнику, записано в общем виде. Покажем, как его переписать в векторной форме.

Выражение можно представить в виде:

<p>(x; y) = (x; 3 × x — 4)

Видно, что если его раскрыть, то получится исходное равенство. Теперь разделим его правую часть на два вектора так, чтобы только один из них содержал иксы, имеем:

<p>(x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4)

Остается вынести x за скобки, обозначить его греческим символом и поменять вектора правой части местами:

<p>(x; y) = (0; -4) + λ × (1; 3)

Мы получили векторную форму записи исходного выражения. Координаты направляющего вектора прямой равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

В пространстве заданы две прямые:

<p>(x; y; z) = (1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

<p>(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?

Ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) будут направляющими для этих прямых. Выразим в параметрической форме эти уравнения и подставим координаты первого во второе. Получаем:

x = 1 — λ;

y = 3 × λ;

z = -2 + λ;

x = 3 + γ = 1 — λ => γ = -2 — λ;

y = 2 + 2 × γ = 3 × λ => γ = 3 / 2 × λ — 1;

z = 2 = -2 + λ => λ = 4

Подставляем найденный параметр λ в два уравнения выше, получаем:

γ = -2 — λ = -6;

γ = 3 / 2 × λ — 1 = 5

Параметр γ не может одновременно принимать два разных значения. Это означает, что прямые не имеют ни одной общей точки, то есть являются скрещивающимися. Параллельными они не являются, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго).

Математическое описание плоскости

Для задания плоскости в пространстве приведем уравнение общего вида:

A × x + B × y + C × z + D = 0

Здесь латинские большие буквы представляют собой конкретные числа. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если его обозначить n¯, тогда:

n¯ = (A; B; C)

Этот вектор является перпендикулярным плоскости, поэтому его называют направляющим. Его знание, а также известные координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости, однозначно задают последнюю.

Если точка P(x1; y1; z1) плоскости принадлежит, тогда свободный член D рассчитывается следующим образом:

D = -1 × (A × x1 + B × y1 + C × z1)

Решим пару задач с использованием общего уравнения для плоскости.

Задача на нахождение нормального вектора плоскости

Плоскость задана в следующем виде:

(y — 3) / 2 + (x + 1) / 3 — z / 4 = 1

Как найти направляющий вектор для нее?

Из приведенной выше теории следует, что координаты нормального вектора n¯ являются коэффициентами, стоящими перед переменными. В связи с этим для нахождения n¯ следует записать уравнение в общем виде. Имеем:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y — 1 / 4 × z — 13 / 6 = 0

Тогда нормальный вектор плоскости равен:

n¯ = (1/3; 1/2; -1/4)

Задача на составление уравнения плоскости

Даны координаты трех точек:

M1(1; 0; 0);

M2(2; -1; 5);

M3(0; -2; -2)

Как будет выглядеть уравнение плоскости, содержащей все эти точки.

Через три точки, которые одной прямой не принадлежат, можно провести только одну плоскость. Чтобы найти ее уравнение, сначала вычислим направляющий вектор плоскости n¯. Для этого поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, принадлежащие плоскости, и вычислим их векторное произведение. Оно даст вектор, который этой плоскости будет перпендикулярен, то есть n¯. Имеем:

M1M2¯ = (1; -1; 5); M1M3¯ = (-1; -2; -2);

n¯ = [M1M2¯ × M1M3¯] = (12; -3; -3)

Возьмем точку M1 для составления выражения плоскости. Получаем:

D = -1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0) = -12;

12 × x — 3 × y — 3 × z — 12 = 0 =>

4 × x — y — z — 4 = 0

Мы получили выражение общего типа для плоскости в пространстве, определив сначала направляющий вектор для нее.

Свойство векторного произведения следует запомнить при решении задач с плоскостями, поскольку оно позволяет простым способом определять координаты нормального вектора.