Промежутки монотонности функции: нахождение интервалов

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) <= f(r2) или f(r1) >= f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 < r2 или r1 <= r2. Необходимо отметить, что точки r1 и r2 должны принадлежать (а;b).

Когда f(r) является строгой (только убывающей или возрастающей — постоянство), тогда знак «<=» или «>=» следует заменить на строгий «<» или «>»: f(r1) < f(r2) или f(r1) > f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

1. Возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 < r2 ⇒ f(r1) <= f(r2). Расшифровывается запись таким образом: для любых (∀) точек r1 и r2, принадлежащих (∈) интервалу (a;b), при условии, что r1 < r2, следует (⇒) выполнение неравенства f(r1) <= f(r2).
2. Строго возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 < r2 ⇒ f(r1) < f(r2).
3. Убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) >= f(r2).
4. Строго убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) > f(r2).

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x) ≥ 0 (причем равенство производной нулю либо не выполняется, либо выполняется, но лишь в конечном множестве точек), то функция y= f(x) возрастает на промежутке Х.
2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x) ≤ 0 (причем равенство производной нулю либо не выполняется, либо выполняется, но лишь в конечном множестве точек), то функция y= f(x) убывает на промежутке Х.
3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство
   f’(x)= 0, то функция y= f(x) постоянна на этом промежутке.

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы доказать утверждение, следует задать некоторую функцию, которая является монотонной. Кроме того, она должна возрастать на некотором интервале [а;b]. После этого нужно выбрать любую точку r0 ∈ (a;b]. В результате этого для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) <= f(r0) ⇒ f(r) ограничена сверху на [a;r0) ⇒ при существующих (∃ — знак существования) верхних границах (sup) функции f(r) = M <= f(r0). По определению для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) <= M.

Следует предположить, что существует некоторая переменная «e», которая больше нуля. Она также определена на текущем интервале. Следовательно, выполняется неравенство М — е < f(e). Пусть q = r0 — e и t — значение r0 c левой границей 0 — q. Если выполняется условие ∀ r ∈ (е;r0) = (t;r0), то f(e) <= f(r). В итоге получается, что ∀ е > 0 ∃ q > 0 для r ∈ (t;r0): М — е < f(e) < f(r) <= M < M + e. Следовательно, |f(r) — M| < e. Левый предел, в котором х стремится к точке r0: lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) = M. Отсюда следует такое соотношение: f(r0 — 0) = sup f(r), a <= r < r0.

Таким же образом доказывается правосторонний предел в точке r0 ∈ [a;b). Получается такое соотношение: f(r0 + 0) = inf f(r), r0 < r <= b. Теорема доказана. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве утверждения о пределе:

1. Возрастание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) <= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).
2. Убывание: f(r0 — 0) = lim [f(r)] |(r -> r0 — 0) >= lim [f(r)] |(r -> r0 + 0) = f(r0 + 0).

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

• Для убывающей и возрастающей.
• Если является строго убывающей или строго возрастающей.
• Определение по точке, производной и интервалу.

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) <= 0, а также возрастающей при f'(r) >= 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) < 0 и производная f'(r) также не равна нулевому значению на указанном промежутке. Третья теорема позволяет определить характер монотонности p = f(r) в заданной точке r0 ∈ (а;b). Существует два варианта соотношений: для убывающей f'(r0) < 0 и возрастающей: f'(r0) > 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

• Сумма двух убывающих (возрастающих) k = f(t) и l = f(v) является возрастающим (убывающим) выражением.
• Если k = f(t) возрастает, то -k = f(t) (противоположная) будет убывать. При убывании первой вторая будет возрастать соответственно.
• Когда у k = f(t) есть обратная вида k2 = 1 / f(t), тогда при убывании первой вторая будет возрастать. Если первая возрастает, то вторая убывает.
• Результатом произведения двух убывающих (возрастающих) является убывающая функция. Также должны выполняться такие условия: k = f(t) >= 0 и l = f(v) >= 0.
• Если k = f(t) возрастает или убывает на (а;b), а l = f(t) возрастает или убывает на (c;d), и (а;b) входит в (c;d), то композиция функций к∘ l (k(l(t))) также возрастает или убывает.

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

• Найти производную первого порядка — f'(r).
• Приравнять выражение, полученное в первом пункте, к 0.
• Найти критические точки, решив уравнение во втором пункте.
• Определить знак f'(r) на промежутках, полученных в результате разбиения критическими точками. Найти промежутки убывания и возрастания.

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

• Сумма: [k(t) + l(t)]’ = k'(t) + l'(t).
• Разность: [k(t) — l(t)]’ = k'(t) — l'(t).
• Произведение: [k(t) * l(t)]’ = k'(t) * l(t) + l'(t) * k(t).
• Частное: [k(t) / l(t)]’ = [k'(t) * l(t) — l'(t) * k(t)] / (l(t))^2.
• Сложная: [k(l(t))]’ = l'(t) * k'(t).

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Первый тип решается по очень простому алгоритму: следует перенести неизвестные в одну часть, а известные — в другую. Для решения квадратного уравнения (aw^2 + bw + c = 0) нужно его упростить, разложить на множители или вычислить дискриминант. Последний вычисляется по следующей формуле: D = b^2 — 4ac. Количество корней зависит от значения D и определяется по таким формулам:

1. Два решения при D > 0: w1 = (-b — [D]^(1/2)) / 2a и w2 = (-b + [D]^(1/2)) / 2a.
2. D = 0 (одно): w = (-b) / 2a.
3. Нет корней, когда D < 0.

Используя метод разложения на множители, можно решить без D. Например, в выражении x(x-1)(x-4) = 0 рассматривается три уравнения: x1 = 0, х2 -1 = 0 и х3 — 4 = 0. Решение кубических и биквадратных равенств с неизвестной осуществляется методом разложения на множители. При этом понижается степень до 2, а дальше находятся его корни.

Для нахождения корней других уравнений следует воспользоваться заменой, а затем свести к линейному или квадратному. Следует отметить, что решая трансцендентные (логарифмы и показатели), следует знать правила логарифмирования и свойства степени. Корни также находятся при помощи замены.

Критическими называются точки, в которых функция меняет свое поведение (четность, периодичность, экстремумы и т. д.). При исследовании они записываются в специальную таблицу поведения в виде промежутков.

Связь монотонности функции с ее производной

Теорема(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции $f^{prime}(x)>0$ на некотором промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ возрастает на этом промежутке; если же $f^{prime}(x) lt 0$ на промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f^{prime}left(x_{0}right) geq 0$ или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y=x^{3}$ на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}=3 x^{2}$

Для любого действительного $x$: $y^{prime}(x)=3 x^{2} geq 0$, а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция $y=x^{3}$ возрастает на всей действительной оси.

Исследование функции с помощью производной

Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).

Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).></f(x).>

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

1. Найти производную функции f′(x).
2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3×2.

Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3×2–6x.

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3×2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x	(-∞, 0)	0	(0, 2)	2	(2, +∞)
f′(x)	+	0	—	0	+
f(x)	возрастает	max	убывает	min	возрастает

f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

1. Найти производную f′(x).
2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
3. Найти вторую производную f″(x).
4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f»(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Пример решения

Задачи бывают нескольких типов. В одних следует найти промежутки монотонности, а во-вторых — доказать на основании теорем, что она возрастает или убывает на заданном промежутке. Например, необходимо найти промежутки монотонности функции z(y) = (y^2 + 1) / y. Следует отметить, что она является дифференцируемой. Ее область определения D(z) = (-бесконечность;0) U (0;+бесконечность). Решать ее нужно по алгоритму:

• Производная: [(y^2 + 1) / y]’ = (y^2 — 1) / y.
• Приравнять к 0: (y^2 — 1) / y = 0.
• Найти корни — критические точки (y — 1)(y + 1) / y = 0: y1 не равен 0, y2 = 1 и у3 = — 1.
• Построить таблицу.

<td>(0;1)<td>(1;+infinity)

y	(-infinity;-1)	(-1;0)
z’	—	+	—	+
z	У	В	У	В

Таблица 1. Интервалы монотонности.

Если функция является четной, то эта особенность не влияет на результат, поскольку ее производная может быть с отрицательным знаком. Примером является обычный тригонометрический косинус.

Таким образом определение монотонности функции на заданном промежутке является одним из элементов исследования ее поведения. Для осуществления этой операции применяются специальный алгоритм, теоремы и свойства.

Экстремумы функций

Определение 14.2.1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки
— Точка называется точкой максимума (минимума) функции f, если существует такая окрестность точки , чтодля всеx из этой окрестности.

Если выполняются строгие неравенства
, то точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Точки максимума и минимума (строгого максимума и минимума) называются точками экстремума (строгого экстремума).

Теорема 14.2.1 .(необходимое условие экстремума) Если точка является точкой экстремума функции f определенной в некоторой окрестности точки . то либо производная не существует, либо

Справедливость этой теоремы следует из теоремы Ферма в силу определения точек экстремума. Действительно, если
точка экстремума, то согласно определения экстремума это точка, в которой функция достигает наибольшего либо наименьшего значения, и в силу теоремы Ферма , если производная существует.

Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция
не имеет производной в точке х=2, но достигает в ней максимума: у= 0 при х=2, а для всякой другой точки y
0 (рис. 14.3). Функция
не имеет конечной производной в точке х=0, посколькупри х=0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет Минимум: при(рис. 14.4).

Из приведенных рассуждений следует, что точки экстремума функции нужно искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Если, это еще не значит, что в точке есть экстремум. Примером может служить функция . В точке х=0 её производная
равна нулю, но экстремума в этой точке функция не имеет. График функции изображен на рисунке 14.5.

Точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными, а в которых производная не существует, называются критическими.

Каждая стационарная (критическая) точка — это точка возможного экстремума. Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной (критической) точке на самом деле экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, т.е. на основании достаточных условий экстремума.

Теорема 14.2.2. (первое достаточное условие экстремума) Пусть функция f определена, дифференцируема в некоторой окрестности точкии непрерывна слева и справа от точки — Тогда если в пределах указанной окрестности производная
положительна (отрицательна) слева от точки и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция f имеет в точке
локальный максимум (минимум):

1. если на и на, то точка — точка максимума функции f(x);
2. если наи на , то точка — точка минимума функции f(x);

Если же в пределах указанной окрестности точки производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точкенет.

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы.

Предположим, что на интервале . Поскольку функция
непрерывна в точке , то, в силу теоремы 14.1.1, она убывает на полуинтервале
— Следовательно, для любого хвыполняется неравенство .

Пустьна интервале . Так как функция
непрерывна в точке , то она возрастает на полуинтервале
Тогда для любого выполняется неравенство .

В результате получается, что при любом из интервала (а;b) выполняется неравенство. Это значит, что точка -точка минимума функции .

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Пример:

Найти точки экстремума функции’.

Решение:

Поскольку
(см. пример 14.1.1) и при переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=2- с минуса на’ плюс, то точка х=0 — точка максимума, а х=2 — точка минимума.

Производная функции , определенной для , обращается в нуль в одной точке х=1:
при х=1. Поскольку
положительна как слева, так и справа от этой точки, то функция
не имеет точек экстремума.

Теорема 14.2.3. (второе достаточное условие экстремума) Если функция f определена в некоторой окрестности точки
и в точке она имеет конечную вторую производную, причем то при -точка является точкой максимума, а при — точка является точкой минимума.

Доказательство: Поскольку функция f дважды дифференцируема в точке , то для нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и функцию f можно представить

в виде:

где точка с расположена между . По условию теоремы . Тогда формула Тейлора принимает вид:

или

Поскольку , то существует окрестность точки в которой и, следовательно,
, так как точка с расположена в окрестности точки . Если
, то слагаемое
так же меньше нуля. Значит разность
, т.е.
и точка — точка максимума. Если же, то
и. следовательно, разность, т.е.
и точка — точка минимума.

Пример:

Найти точки экстремума функции
на отрезке.

Решение:

Вычислим первую и вторую производные заданной функции:. Из уравнения l-2sinx = 0 определяем стационарные точки на отрезке .

Теперь находим знак второй производной в каждой стационарной точке и определяем ее характер, используя теорему 14.2.3. Поскольку

, то — точка максимума,

то точка — точка минимума.

Теорема 14.2.4. (третье достаточное условие экстремума). Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки
и в точке функция f имеет производные до порядка n включительно, причем
для
Тогда, если n- четное и, то — точка максимума, а если , то — точка минимума. Если же n — нечетное, то функция f в точке экстремума не имеет.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем первую производную-
и, приравняв ее к нулю, определяем стационарную точку х=0. Вычисляем последовательно производные . Применив теорему 14.2.4. определяем, что х=0 — точка минимума.

Сформулированные теоремы позволяют решать определенный круг задач. Например, требуется определить наибольшее (найме шее) значение функции f на отрезке [а, b]. Для этого следует на ней все точки, в которых производная функции либо равна нулю, ли’ не существует. Затем из этих точек выбираем те, которые принадлежат отрезку. После этого достаточно лишь сравнить между собой по величине значения функции в отобранных точках и значения функции на концах отрезка . Наибольшее (найме шее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значениях функции на отрезке.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значениях функции
на отрезке [—2;2].

Решение:

Вычислив производную и приравняв ее к ну: , находим стационарные точки данного функции:

Отрезку [-2;2] принадлежит только одна точка . Вычисляем значения функции в точке
и на концах отрезка:
. Сравнивая полученные значения, определяем, что
наибольшее значение функции, анаименьшее значение функции на отрезке [-2;2].

Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция f определена на интервале (а; b) и пусть точкии такие, что выполняется неравенство . Проведем прямую через точки графика функции у = f(x). Ее уравнение имеет вид:

Разрешим это уравнение относительно у:

ИЛИ

, где

Ясно, что.

Определение 14.3.1. Функция f называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если для любых точек
и для любой точки выполняется неравенство

соответственно. А сам интервал называется интервалом выпуклости вверх (выпуклости вниз).

Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т.е. отрезка прямой у=1(х) с концами в точках А и В) лежит не выше (не ниже) точки графика функции , соответствующей тому же значению аргумента.

Если неравенства (14.3.1) и (14.3.2) строгие, то функция f называется строго выпуклой вверх (рис. 14.6) (строго выпуклой вниз (рис. 14.7)). В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции

Теорема 14.3.1. (достаточное условие строгой выпуклости) Если функция f определена и дважды дифференцируема на интервале (а,b), то на (а, b) функция f строго выпукла вверх, а при на (а,b) функция f строго выпукла вниз на этом интервале.

Доказательство. Пусть функция f определена и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (а, b). Возьмем некоторые точки на интервале (а, b), такие, что и проведем хорду АВ: у=l(х). Рассмотрим разность:

Применяя теорему Лагранжа к каждой разности, т.е. к . получим

где

Снова применим теорему Лагранжа к разности
Будем иметь.

Отсюда видно, что если на (а, b) , то и и поэтому- , т.к.
Следовательно. l(х)f(x),- функция f строго выпукла вверх; если же
на (a, b) , го l(x)> f(x),- функция f строго выпукла вниз. Теорема дока-jaiia.

Заметим, что условие знакопостоянства второй производной не является необходимым условием. Так, функция
строго выпукла вниз на всей числовой оси, однако ее вторая производная
обращается в 0 при x=0. Следовательно, может быть, что для строго выпуклой функции вторая производная и не сохраняет знак. Но если для функции вторая производная сохраняет знак на некотором интервале, то график функции строго выпуклый (при вверх и при вниз).

Определение 14.3.2. Пусть фунщия f определена в некоторой окрестности точки ‘и непрерывна в этой точке. Точка
называется точкой перегиба функции f, если она является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и строгой выпуклости вниз, т.е. она отделяет выпуклые части вверх от выпуклых частей внешнего графика функции.

Теорема 14.3.2. (необходимое условие точки перегиба) Если функция f определена и дважды непрерывно дифференцируема на (а,b) и — точка перегиба, то

Доказательство. Пусть задана функция f, которая определена и дважды’ непрерывно дифференцируема на (а.b) и пусть точка является точкой перегиба. Предположим, что вторая производная
(либо ). Тогда в силу непрерывности второй производной найдется окрестность точки
в которой (либо ) и, следовательно, функция f в этой окрестности точки
строго выпукла вверх (вниз), что противоречит тому, что — точка перегиба. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Из теоремы вытекает, что точками перегиба дважды дифференцируемой функции могут быть лишь точки, в которых вторая производная обращается в нуль либо не существует.

Сформулируем и докажем теперь достаточные условия точки перегиба.

Теорема 14.3.3. Если функция f определена и дважды дифференцируема на интервале (а,b), кроме, быть может точки , в которой она, однако, непрерывна, и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку , то точка является точкой перегиба функции f

Действительно, в силу теоремы 14.3.1 точка
является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз — т.е. — точка перегиба.

Теорема 14.3.4. Если f трижды непрерывно дифференцируема на (а,b) и, то — точка перегиба.

Доказательство (проведем для случая f»(x0) > 0). Так как по предположению , то существует окрестность точки , в которойи, следовательно, функциявозрастает, обращаясь в нуль при x=, т.е. функция
меняет знак при переходе через точку х=. Следовательно, в силу теоремы 14.3.3, точка -точка перегиба.

Теорема 14.3.5. Пусть функция f непрерывно дифференцируема n раз на (а,b), причем

Тогда если п нечетно, то n — точка перегиба, если же n четно, то
не является точкой перегиба.

Итак, из изложенного материала вытекает, что выпуклость вверх или вниз графика функции f зависит от знака ее второй производной. Оказывается, что и расположение графика функции относительно касательной также связано со знаком второй производной, т.е. если функция f имеет вторую производную, все значения которой имеют один и тот же знак, то все точки графика функции f лежат над (под) касательной.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование графика функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 14.3.1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Решение. Функция определена для всех . Вычисляем последовательно первую и вторую производные функции:

Приравняв вторую производную к нулю , т.е.
, находим

Составляет схему изменения знаков второй производной:

Следовательно, у»>0 на интервалах и функция выпукла вниз;
на интервале (-2;3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки
3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2;-124) и (3/2;-129/16) являются точками перегиба графика функции.

Рассмотрим пример из микроэкономики:

В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q -количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Построим прямоугольную систему координат и отложим по горизонтальной оси Ох количество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси Оу — общую полезность TU (см. рис. 14.3). Рассмотрим график функции TU = TU(Q). Точка
на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина -добавочный приобретенный товар. Разность — добавочная полезность, полученная от покупки добавочного товара . Добавочная полезность от последней приобретенной порции товара (или единицы товара) вычисляется по формуле . Переходя к пределу при . получим формулу для определения предельной полезности MU:

Но предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, равен производной функции.

Следовательно, предельная полезность равна производной функции полезности TU=TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции

Асимптоты графика функции

Рассмотрим функцию f определенную на интервале (а;b), . Если , то прямую х=n называют левосторонней вертикальной асимптотой графика функции f если , то прямую х=а называют правосторонней вертикальной асимптотой графика функции f и если , то прямую х=с в плоскости хОу называют двусторонней вертикальной асимптотой графика функции f.

Заметим, что вертикальными асимптотами являются, как правило, нули знаменателей дробно-рациональных функций.

Если функция f определена на и для постоянных
выполняется соотношение

то прямая у = kх + b- называется наклонной асимптотой вправо графика функции f Если соотношение (14.4.1) выполняется и при , то прямая — называется наклонной асимптотой влево. Из (14.4.1) следует, что если — наклонная вправо (влево) асимптота, то постоянные k и b определяются по формулам (из предельных соотношений):

И наоборот, если пределы (14.4.2) и (14.4.3) существуют и конечны, то прямая у = kх + b- наклонная вправо (влево) асимптота графика функции f

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть
точка графика функцииf, точка — ее проекция на ось Ох.

На рис. 14.9 видно, что отрезок , а MP = MQ cos a.. По определению, прямая y = kx + b называется асимптотой, если . Это значит, что и
при. Расстояние от точки М до прямой, как легко видно, равно MP = MQ cos а. Поэтому, если
при . Следовательно, асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, т.е. отрезок MP, стремится к нулю, когда точка М стремится к бесконечности по графику функцииf Таким образом, функция f при
ведет себя почти как линейная функция, если ее график имеет асимптоту у = kх + b.

Пример:

График функции
имеет вертикальную асимптоту х = 2, так как

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Область определения функции D(f): . Вычислим пределы:

Так как значения пределов останутся такими же и при , то прямая у = х-4 является наклонной вправо и влево асимптотой графика функции. Кроме того, х = — 1 является двусторонней вертикальной асимптотой, так как

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что

• когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
• когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

• когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
• когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на +, значит, точка называется минимумом.

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f»(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f»(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x

При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение  при х=1. Получаем:

y»=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y»(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.

Графическое изображение

Ответ:ymax=y(1)=4..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка  в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f»(x0)=f»'(x0)=…=fn(x0)=0.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)

Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y»=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y»(-1)=0y»57=-368642401<0y»(3)=0

Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.

Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y»’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y»'(-1)=96≠0y»'(3)=0

Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0

Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ:x2=57 является точкой максимума, x3=3 — точкой минимума заданной функции.

Общая схема исследования функций и построение их графиков

Под исследованием функций понимается изучение ее изменения в зависимости от изменения аргумента. Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения и множество значений функции; исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер точек разрыва; определить вертикальные асимптоты. Найти точки пересечения с осями координат.
2. Исследовать функцию на периодичность; четность, нечетность.
3. Исследовать поведение функции на границе области определения; найти асимптоты графика функции.
4. Исследовать функцию на монотонность, выяснить характер экстремумов.
5. Определить интервалы выпуклости графика функции, точки перегиба.
6. Составить таблицу значений функции куда включаются все точки графика функции, найденные на предыдущих этапах исследования и необходимые дополнительные контрольные точки.
7. Используя все полученные результаты построить график функции.

Пример:

Построить график функции

Решение:

Проведем полное исследование функции по указанной схеме.

• Функция определена и непрерывна при всех
  кроме точек х = ±2. Множество значений функции

Прямые- х = ±2 являются вертикальными асимптотами, т.к.

График пересекает оси координат в точке O(0; 0).

• Функция не периодическая. Функция не четная, т.к. выполняется равенство:. График

функции симметричный относительно начала координат. Поэтому достаточно провести исследование функции на полуинтервале

• Найдем наклонную асимптоту. Для этого вычислим пределы:

Подставив значения k и b уравнение , получим уравнение асимптоты у =2х.

• Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную:

приравняем ее к нулю, и найдем стационарные точки. Составляем схему изменения знаков первой производной:

На промежуткепроизводная обращается в нуль в точках
и обращается в бесконечность в точке х = 2. Поскольку при производная , то функция на этих интервалах убывает, а на интервале , следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка
является точкой минимума.

•  Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную

Вторая производнаяобращается в нуль в точке х = 0 и в бесконечность в точке х = 2. Составляем схему изменения знаков второй производной:

На интервале
и поэтому функция выпукла вверх, а на интервале и, следовательно, функция выпукла вниз. Кроме того, точка х = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.

• Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, строим график (рис. 14.11).

Пример:

Провести полное исследование целевой функции потребления от услуги х и построить её график.

Решение:

Проведём полное и разностороннее изучение свойств функции, применив изложенную выше схему.

• Функция определена и непрерывна для всех
  Точка х= -3 является точкой разрыва. Так

как то прямая х =-3 является вертикальной асимптотой. Если х=0, то
Если у=О, тс получим уравнение, решив которое найдём

. Итак, график функции пересекает осикоординат в точках:

• Функцияне является периодической
• Исследуемая функция не является ни чётной, ни нечётной, гак как

• Исследуем существование наклонных асимптот. Для этого вычислим пределы;

Итак, при график функции , имеет наклонную асимптоту у=х-9.

Исследуем повеление функции на границе области определения. Поведение функции в окрестности точки х = -3 исследовано. Поэтому изучим поведение функции при, вычислив пределы:

• Первая производная

обращается в нуль в точкахи стремится к бесконечности при . Для определения интервалов монотонности функции и точек экстремума, построим схему изменения знаков производной:

Поскольку при и прито функция убывает при

и возрастает при

Следовательно, точка— точка максимума, а точка — точка минимума. Значения функции в этих точках равны:

• Вторая производная не обращается в нуль и стремится к бесконечности при . Построим схему изменения знаков второй производной:

Поскольку и при , то график функции является выпуклым вверх на интервале
и выпуклым вниз при . Точка х = -3 не является точкой перегиба, так как это точка разрыва функции.

По результатам исследования строим график функции. Вначале строим систему координат; затем вертикальную и горизонтальную асимптоты; наносим точки пересечения с осями координат и точки экстремума функции. Затем строим график (рис. 14.12).