- Виды логарифмов
- Основные свойства логарифмов
- Что такое производная и зачем она нужна
- Применение логарифмической производной
- Производные основных элементарных функций
- Общая формула производной логарифма
- Общие правила дифференцирования
- Правила дифференцирования сложных функций
- Пример 1
- Пример 2
- Полная таблица производных
- Производная постоянной
- Производная степенной функции
- Производная показательной функции
- Производная логарифмической функции
- Производные тригонометрических функций
- Производные обратных тригонометрических функций
- Производные гиперболических функций
Виды логарифмов
Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:
- Десятичный логарифм (lg x)
lg x = log10x
Т.е. это логарифм числа x основанию 10.
- Натуральный логарифм (ln x)
ln x = loge x
Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).
Основные свойства логарифмов
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом и любых положительных и выполняются равенства:
Доказательство:
Вытекает из определения. Действительно
Например,
Доказательство:
Вытекает из определения,
Например,
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов).
(4) Доказательство:
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
Перемножая почленно эти равенства, получаем:
т.е.
Следовательно, по определению логарифма
Например,
(Логарифм частного равен разности логарифмов).
Доказательство:
Снова воспользуемся основным логарифмическим тождеством и получим:
следовательно, но определению
Например,
- для любого действительного
(Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени). (6)
Доказательство:
Для доказательства воспользуемся тождеством откуда
Следовательно, по определению
Например,
Пример 1. Вычислить
Применяя формулы (4)-(6), находим
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.
Логарифмируя обе части основного логарифмического тождества но основанию
получаем
или
где
Эта формула называется формулой перехода от одного основания логарифма к другому. Докажем ее. Доказательство:
По правилу логарифмирования и основному логарифмическому тождеству получаем:
Разделив обе части полученного равенства на
приходим к формуле (7).
Из формулы (7) при имеем
где следует, что
Например,
Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:
Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
у = 10
у′ = 0
Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.
у = 10 + 3х
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.
у = 10 + 3х
у′ = 0 + 3
у′ = 3
Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.
Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.
Применение логарифмической производной
Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.
Производные основных элементарных функций
Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.
Функция f (x)Производная f’ (х)
С (т. е. константа, любое число) | 0 |
х | 1 |
х2 | 2х |
xn | n x xn-1 |
√x | 1/(2√x) |
1/x | -1/x2 |
sin x | cos x |
cos x | -sin x |
tg x | 1/cos2(X) |
ctg x | -1/sin2x |
ex | ex |
ax | ax * ln a |
ln x | 1/x |
logax | 1/(x * ln a) |
arcsin x | 1/(√1-x2) |
arccos x | -1/(√1-x2) |
arctg x | 1/(1+x2) |
arcctg x | -1/(1+x2) |
Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.
Общая формула производной логарифма
Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.
Общие правила дифференцирования
Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:
- (U + V)′ = U′ + V′
- (U — V)′ = U′ — V′
- (U × V)′ = U′V + V′U
- (U/V)’ = (U’V — V’U)/V2
- (C × F)′ = C × F′
В данном случае U, V, F — это функции, а C — константа (любое число).
Как видите, сложение и вычитание производных выполняется по правилам, которые знакомы нам еще из младших классов. С константой тоже все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.
Например: требуется найти производную функции y = (5 × x3).
y′ = (5 × x3)′
Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:
y′ = (5 × x3)’ = 5 × (x3)′ = 5 × 3 × х2 = 15х2
Правила дифференцирования сложных функций
Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2×2)4? Чтобы решить эту задачку, требуется:
- упростить выражение, используя замену переменной;
- применить правило дифференцирования сложных функций.
Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y)×y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.
Пример 1
Допустим, нам нужно найти производную от y = (3 + 2×2)4.
Заменим 3 + 2×2 на u и тогда получим y = u4.
Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:
y = y′u × u′x = 4u3 × u’x
А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:
4u3 × u′x = 4 (3 + 2×2)3 × (3 + 2×2)′ = 16 (3 + 2×2)3 × х
Пример 2
Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.
Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.
y′ = (x3 + 4)′ × cos x + (x3 + 4) × cos x′ = 3×2 × cos x + (x3 + 4) × (-sin x) = 3×2 × cos x – (x3 + 4) × sin x
Полная таблица производных
Зная правила дифференцирования сложных функций и руководствуясь указанными выше формулами, можно успешно решать задачи из школьной программы. Но существует также полная таблица производных сложных функций для студентов и инженеров. Мы не будем приводить все формулы из нее, но дадим небольшую шпаргалку, которая сделает сложные функции не такими уж сложными.
Это таблица производных некоторых функций, которые могут встретиться в экзаменационных задачах.
Функция f (x)Производная f’ (х)
(kx + b)c | kc (kx + b)c-1 |
( f (x))c | с x (f(х))c-1 x f'(х) |
ekx+b | kekx+b |
ef(x) | ef(x) x f'(х) |
akx+b | akx+b x ln a x k |
sin (kx + b) | k cos (kx + b) |
sin ( f (x)) | cos ( f (x)) x f'(х) |
cos (kx + b) | -k sin (kx + b) |
cos ( f (x)) | -sin( f (x)) x f'(х) |
arctg (kx + b) | 1/(1+(kx+b)2) |
arctg ( f (x)) | f'(x)/(1+(f(x))2) |
arcctg (kx + b) | -1/(1+(kx+b)2) |
arcctg ( f (x)) | -f'(x)/(1+(f(x))2) |
Производная постоянной
Доказательство 1
Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x→0:
lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0
Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0∆x. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.
Итак, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.
Пример 1
Даны постоянные функции:
f1(x)=3,f2(x)=a, a∈R,f3(x)=4.13722,f4(x)=0,f5(x)=-87
Необходимо найти их производные.
Решение
Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3. В следующем примере необходимо брать производную от а, где а — любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4.13722, четвертый — производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби -87.
Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)
f1′(x)=(3)’=0,f2′(x)=(a)’=0, a∈R,f3′(x)=4.13722’=0,f4′(x)=0’=0,f5′(x)=-87’=0
Производная степенной функции
Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель степени p является любым действительным числом.
Доказательство 2
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p=1, 2, 3, …
Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x
Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:
(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…++Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p-xp==Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p
Таким образом:
(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·∆x+…+Cpp-1·x·(∆x)p-2+Cpp·(∆x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+…+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.
Доказательство 3
Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.
Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.
Итак, x>0. Тогда: xp>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и применим свойство логарифма:
y=xpln y=ln xpln y=p·ln x
На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:
(ln y)’=(p·ln x)1y·y’=p·1x⇒y’=p·yx=p·xpx=p·xp-1
Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.
Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x<0, причем является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1
Тогда xp<0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x<0, причем является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1
Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (-x)p-1=xp-1.
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p.
Пример 2
Даны функции:
f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712
Определите их производные.
Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y=xp, опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:
f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23·x-23-1=-23·x-53f2′(x)=x2-14=2-14·x2-14-1=2-14·x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712·x-log712-1=-log712·x-log712-log77=-log712·x-log784
Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание
Производная показательной функции
Доказательство 4
Выведем формулу производной, взяв за основу определение:
(ax)’=lim∆x→0ax+∆x-ax∆x=lim∆x→0ax(a∆x-1)∆x=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=00
Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z=a∆x-1 (z→0 при ∆x→0). В таком случае a∆x=z+1⇒∆x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.
Осуществим подстановку в исходный предел:
(ax)’=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=ax·ln a·lim∆x→011z·ln(z+1)==ax·ln a·lim∆x→01ln(z+1)1z=ax·ln a·1lnlim∆x→0(z+1)1z
Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:
(ax)’=ax·ln a·1lnlimz→0(z+1)1z=ax·ln a·1ln e=ax·ln a
Пример 3
Даны показательные функции:
f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x
Необходимо найти их производные.
Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:
f1′(x)=23x’=23x·ln23=23x·(ln 2-ln 3)f2′(x)=53x’=53x·ln 513=13·53x·ln 5f3′(x)=1(e)x’=1ex’=1ex·ln1e=1ex·ln e-1=-1ex
Производная логарифмической функции
Доказательство 5
Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:
(logax)’=lim∆x→0loga(x+∆x)-logax∆x=lim∆x→0logax+∆xx∆x==lim∆x→01∆x·loga1+∆xx=lim∆x→0loga1+∆xx1∆x==lim∆x→0loga1+∆xx1∆x·xx=lim∆x→01x·loga1+∆xxx∆x==1x·logalim∆x→01+∆xxx∆x=1x·logae=1x·ln eln a=1x·ln a
Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim∆x→01+∆xxx∆x=e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.
Пример 4
Заданы логарифмические функции:
f1(x)=logln3 x,f2(x)=ln x
Необходимо вычислить их производные.
Решение
Применим выведенную формулу:
f1′(x)=(logln3 x)’=1x·ln(ln 3);f2′(x)=(ln x)’=1x·ln e=1x
Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x.
Производные тригонометрических функций
Доказательство 6
Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.
Согласно определению производной функции синуса, получим:
(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x
Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:
(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x==lim∆x→02·sin x+∆x-x2·cosx+∆x+x2∆x==lim∆x→0sin ∆x2·cosx+∆x2∆x2==cosx+02·lim∆x→0sin ∆x2∆x2
Наконец, используем первый замечательный предел:
sin’ x=cos x+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=cos x
Итак, производной функции sin x будет cos x.
Совершенно также докажем формулу производной косинуса:
cos’ x=lim∆x→0cos (x+∆x)-cos x∆x==lim∆x→0-2·sin x+∆x-x2·sinx+∆x+x2∆x==-lim∆x→0sin∆x2·sinx+∆x2∆x2==-sinx+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=-sin x
Т.е. производной функции cos x будет –sin x.
Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:
tg’x=sin xcos x’=sin’ x·cos x-sin x·cos’ xcos2 x==cos x·cos x-sin x·(-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg’x=cos xsin x’=cos’x·sin x-cos x·sin’xsin2 x==-sin x·sin x-cos x·cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x
Производные обратных тригонометрических функций
Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.
Производные гиперболических функций
Доказательство 7
Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:
sh’x=ex-e-x2’=12ex’-e-x’==12ex—e-x=ex+e-x2=chxch’x=ex+e-x2’=12ex’+e-x’==12ex+-e-x=ex-e-x2=shxth’x=shxchx’=sh’x·chx-shx·ch’xch2x=ch2x-sh2xch2x=1ch2xcth’x=chxshx’=ch’x·shx-chx·sh’xsh2x=sh2x-ch2xsh2x=-1sh2x
Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.