Производная произведения двух функций: чему равна по формуле

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.

Функция f (x)Производная f’ (х)

С (т. е. константа, любое число)	0
х	1
х2	2х
xn	n x xn-1
√x	1/(2√x)
1/x	-1/x2
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2(X)
ctg x	-1/sin2x
ex	ex
ax	ax * ln a
ln x	1/x
logax	1/(x * ln a)
arcsin x	1/(√1-x2)
arccos x	-1/(√1-x2)
arctg x	1/(1+x2)
arcctg x	-1/(1+x2)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Производные суммы, разности, произведения и деления функций.

Производные степенной, показательной и логарифмической сложных функций.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

1. (U + V)′ = U′ + V′
2. (U — V)′ = U′ — V′
3. (U × V)′ = U′V + V′U
4. (U/V)’ = (U’V — V’U)/V2
5. (C × F)′ = C × F′

В данном случае U, V, F — это функции, а C — константа (любое число).

Как видите, сложение и вычитание производных выполняется по правилам, которые знакомы нам еще из младших классов. С константой тоже все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 × x3).

y′ = (5 × x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 × x3)’ = 5 × (x3)′ = 5 × 3 × х2 = 15х2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2×2)4? Чтобы решить эту задачку, требуется:

1. упростить выражение, используя замену переменной;
2. применить правило дифференцирования сложных функций.

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y)×y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Определение 2

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

C·f(x)’=C·f'(x), C∈R

Доказательство 1

Используя определение производной, запишем следующее:

C·f(x)’=lim∆x→0∆(C·f(x))∆x=lim∆x→0C·f(x+∆x)-C·f(x)∆x==lim∆x→0C·f(x+∆x)-f(x)∆x=lim∆x→0C·∆f(x)∆x

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C·f(x)’=lim∆x→0C·∆f(x)∆x=C·lim∆x→0∆f(x)∆x=C·f'(x).

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.

Пример 1

Дана функция y=2·cos x. Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x’=-sin x.

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y’=2·cos x’=2·cos x’=-2·sin x

Ответ:y’=2·cos x’=2·cos x’=-2·sin x.

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Пример 2

Продифференцировать функцию f(x)=log3x2-1.

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f(x)=log3x2-1=2-1·log3x. Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

f(x)=log3x2-1’=2-1·log3x’==2-1·log3x’=2-1x·ln 3

Ответ: f(x)=2-1x·ln 3

Пример 3

Дана функция y=12-x+3. Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

y=12-x+3=12-x·23=2×23

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

y’=2×23’=123·2x’=123·2x·ln 2=2x-3·ln 2

Ответ: y’=2x-3·ln 2

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования f(x)±g(x)’=f'(x)±g'(x), нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

Определение 3

f(x)±g(x)’=lim∆x→0∆(f(x)±g(x))∆x==lim∆x→0fx+∆x±gx+∆x-(f(x)±g(x))∆x==lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)±(g(x+∆x)-g(x))∆x==lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x±lim∆x→0g(x+∆x)-g(x)∆x==lim∆x→0∆f(x)∆x±lim∆x→0∆g(x)∆x=f'(x)±g'(x)

Доказательство 2

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

f1(x)±f2(x)±…±fn(x)’=f1′(x)±f2’±…±fn'(x)

Пример 4

Вычислить производную y=x3+3x+1-ln xln5+3.

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

y=x3+3x+1-ln xln5+3=x3+3·3x-ln(5+3)·ln x

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

y’=(x3)’+3·3x’-ln5+3·ln x’

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

y’=(x3)’+3·3x’-ln5+3·ln x’==(x3)’+3·3x’-ln(5+3)·ln x’

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

y’=(x3)’+3·3x’-ln(5+3)·ln x’==3·x3-1+3·3x·ln 3-ln5+3x=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

Ответ: y’=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Определение 5

Данное правило выглядит следующим образом: f(x)g(x)’=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x).

Докажем его.

Доказательство 4

Сразу отметим, что g(x) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

f(x)g(x)’==lim∆x→0∆f(x)g(x)∆x=lim∆x→0f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x)g(x)∆x=lim∆x→0f(x+∆x)·g(x)-g(x+∆x)·f(x)∆x·g(x+∆x)·g(x)==1g2(x)·lim∆x→0(f(x)+∆f(x))·g(x)-(g(x)+∆g(x))·f(x)∆x==1g2(x)·lim∆x→0f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)-f(x)·g(x)-f(x)·∆g(x)∆x==1g2(x)·lim∆x→0gx·∆f(x)-f(x)·∆g(x)∆x==1g2(x)·g(x)·lim∆x→0∆f(x)∆x-f(x)·lim∆x→0∆g(x)∆x==f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)

Пример 9

Продифференцируйте функцию y=sin x2·x+1.

Решение

Эта функция является отношением двух выражений 2x+1 и sin x. Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

y’=sin x2·x+1’=sin x’·2·x+1-sin x·2·x+1’2·x+12

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

y’=sin x’·2·x+1-sin x·2·x+1’2·x+12==cos x·(2·x+1)-sin x·2x’+1′(2·x+1)2=cos x·(2·x+1)-sin x·(2·x’+0)(2·x+1)2==cos x·2·x+1-sin x·(2·1·x1-1+0)(2·x+1)2=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

Ответ: y’=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Пример 10

Дана функция y=3ex-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x, где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

y’=3·ex’-x2·ln x-2·xax’+2sin x·arccos x’

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет 3·ex’=3·ex’=3·ex.

Вычисляем второе:

x2·ln x-2·xax’=x2·ln x-2·x·ax-x2·ln x-2·x·ax’ax2==x2·ln x’-2·x’·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x·ln x+x-2·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax

Вычисляем третье слагаемое:

2sin x·arccos x’=2·sin x·arccos x’==2·sin x’·arccos x+sin x·arccos x’==2·cos x·arccos x-sin x1-x2

Теперь собираем все, что у нас получилось:

y’=3·ex’-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x’==3·ex-x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax++2·cos x·arccos x-sin x1-x2

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

Как вычислить производную произведения функций

Определение 4

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: fx·g(x)’=f'(x)·g(x)’+f(x)·g'(x)

Попробуем доказать его.

Доказательство 3

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f(x+∆x)=f(x)+∆f(x), g(x+∆x)=g(x)+∆g(x), а lim∆x→0∆g(x)=0, lim∆x→0∆f(x)=0, то есть если приращение аргумента стремится к 0, то и приращение функции также будет к нему стремиться.

(f(x)·g(x))’=lim∆x→0∆(f(x)·g(x))∆x=lim∆x→0f(x+∆x)·g(x+∆x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0(f(x)+∆f(x))+(g(x)·∆g(x))-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)∆x==lim∆x→0g(x)·∆f(x)∆x+lim∆x→0f(x)·∆g∆x+lim∆x→0∆f(x)∆x·lim∆x→0∆g(x)==g(x)·lim∆x→0∆f(x)∆x+f(x)·lim∆x→0∆g(x)∆x+f'(x)·0==f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Пример 5

Продифференцируйте функцию y=tg x·arcsin x.

Решение

Здесь f(x)=tg x, g(x)=arcsin x. Можем воспользоваться правилом производной произведения:

y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’==arcsin xcos2x+tg x1-x2

Ответ: y’=arcsin xcos2x+tg x1-x2

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание Пример 6

Дана функция y=exx3. Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем f(x)=ex, g(x)=1×3=x-13. Значит,

y’=exx3=ex·x-13’=ex’·x-13+ex·x-13==ex·x-13+ex·-13·x-13-1=exx3-exx43=exx3·1-1x

Ответ: y’=exx3·1-1x

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Пример 7

Продифференцируйте функцию y=(1+x)·sin x·ln x.

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f(x) произведение (1+x)·sin x, а g(x) – ln x.

У нас получится следующее:

y’=((1+x)·sin x·ln x)’=1+x·sin x’·ln x+1+x·sin x·ln x’

Чтобы найти 1+x·sin x’, нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’==1’+x’·sin x+(1+x)·cos x=0+1·x1-1·sin x+(1+x)·cos x==(0+1)·sin x+1+x·cos x=sin x+cos x+x·cos x

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y’=1+x·sin x·ln x’=1+x·sin x’·ln x+(1+x)·sin x·(ln x)’==sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

Ответ: y’=sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Пример 8

Дана функция y=2·sh x-2x·arctg x, вычислите ее производную.

Решение

Исходная функция является разностью выражений 2·sh x и 2x·arctg x, значит, y’=2·sh x-2x·arctg x’=2·sh x’-2x·arctg x’. Здесь можно вынести за знак производной число 2, а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

y’=2·sh x’-2x·arctg x’=2·sh x’-2x’·arctg x+2x·(arctg x)’==2·ch x-2x·ln 2·arctg x+2×1+x2=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2

Ответ: y’=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2

Пример 1

Допустим, нам нужно найти производную от y = (3 + 2×2)4.

Заменим 3 + 2×2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u × u′x = 4u3 × u’x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 × u′x = 4 (3 + 2×2)3 × (3 + 2×2)′ = 16 (3 + 2×2)3 × х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ × cos x + (x3 + 4) × cos x′ = 3×2 × cos x + (x3 + 4) × (-sin x) = 3×2 × cos x – (x3 + 4) × sin x

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

•       Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,где  c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

•       Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

•       Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

•       Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ =
=f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

•       Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

•       Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Полная таблица производных

Зная правила дифференцирования сложных функций и руководствуясь указанными выше формулами, можно успешно решать задачи из школьной программы. Но существует также полная таблица производных сложных функций для студентов и инженеров. Мы не будем приводить все формулы из нее, но дадим небольшую шпаргалку, которая сделает сложные функции не такими уж сложными.

Это таблица производных некоторых функций, которые могут встретиться в экзаменационных задачах.

Функция f (x)Производная f’ (х)

(kx + b)c	kc (kx + b)c-1
( f (x))c	с x (f(х))c-1 x f'(х)
ekx+b	kekx+b
ef(x)	ef(x) x f'(х)
akx+b	akx+b x ln a x k
sin (kx + b)	k cos (kx + b)
sin ( f (x))	cos ( f (x)) x f'(х)
cos (kx + b)	-k sin (kx + b)
cos ( f (x))	-sin( f (x)) x f'(х)
arctg (kx + b)	1/(1+(kx+b)2)
arctg ( f (x))	f'(x)/(1+(f(x))2)
arcctg (kx + b)	-1/(1+(kx+b)2)
arcctg ( f (x))	-f'(x)/(1+(f(x))2)

 

Производная частного. Нахождение и доказательство

Производная частного является произведением произведения производных числителя и знаменателя на произведение производных числителя и знаменателя, деленное на квадрат знаменателя.

Теорема 1:

Если функции и имеют производные в точке , то их произведениетакже имеет в этой точке производную, равную

(1)

Коротко равенство (1) записывают так:

Доказательство.

В точке зададим приращение аргумента и вычислим приращения функций и :

откуда

. Теперь вычислим приращеиие функции :

Тогда

При имеем, так как функция в точке имеет производную, поэтому она в этой точке непрерывна (см, п. 4.3). Тогда

следовательно, в точке

Теорема 1 доказана.

Примеры с решением

Пример 1

Пример 2

Найти , если

Решение: