Производная первого порядка
Пусть функция задается неявно с помощью уравнения. И пусть это уравнение при некотором значении имеет единственное решение. Пусть функция — дифференцируемая функция в точке. Итак, с этим значением есть производная, которая определяется по формуле.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию одной переменной. Применяем правило дифференцирования комплексной функции и находим производную по переменной левого и правого членов уравнения. Поскольку производная постоянной равна нулю.
Формула доказана.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение в других обозначениях. Кроме того, они являются сложными функциями одной переменной.
Зависимость определяет уравнение. Найдите производную по переменной в левой и правой частях уравнения.
Из формулы для производной комплексной функции имеем. По формуле производной продукта. По формуле полученной суммы. Поскольку производная правой части уравнения равна нулю.
Подставляя сюда производную, мы получаем значение производной второго порядка в неявной форме. Аналогичным образом дифференцируя уравнение , получаем уравнение, содержащее производную третьего порядка. Подставляя сюда найденные значения производных первого и второго порядка, находим значение производной третьего порядка. Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Решаем задачи вместе
- Пример 1. Найти производную неявной функции.
Решение. Мы продифференцируем обе части уравнения относительно x, предполагая, что y является функцией x.
Отсюда мы получаем требуемую производную в деятельности.
Решение производной неявной функции можно проверить на онлайн-калькуляторе .
- Пример 2. Найти производную неявной функции.
Решение. Продифференцируем обе части уравнения по x.
Мы выражаем первую и — на выходе — производную функции, заданной неявно.
- Пример 3. Найти производную неявной функции.
Решение. Продифференцируем обе части уравнения по x.
Выражаем и получаем производную.
Решение производной неявной функции можно проверить на онлайн-калькуляторе .
- Пример 4. Найти производную неявной функции.
Решение. Продифференцируем обе части уравнения по x.
Выражаем и получаем производную.
- Пример 5. Найти производную неявной функции.
Решение. Переместите члены справа от уравнения влево и оставьте ноль справа. Продифференцируем обе части уравнения относительно x:
Путь к ответу и до самого ответа.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка функции, неявно заданной уравнением.
Решение по формуле 2
Найдите производную по формуле. Переместите все переменные в левую часть, чтобы уравнение выглядело как. Находим производную, считая ее постоянной. Находим производную по переменной, учитывая постоянную переменную. Мы можем упростить результат, если заметим, что в соответствии с исходным уравнением. Умножьте числитель и знаменатель на.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого находим производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (A1).
Применим формулу производной комплексной функции. Применяем формулу производной дроби. Применим формулу производной комплексной функции. Продифференцируйте исходное уравнение (A1). Умножьте на членов группы и. Подставьте (из уравнения (A1)).
Пример 2
Найдите производную второго порядка неявно заданной функции, используя уравнение (A2.1).
Решение
Мы дифференцируем исходное уравнение по переменной, предполагая, что оно является функцией от. Применим формулу производной комплексной функции. Продифференцируем исходное уравнение (П2.1). Из исходного уравнения (П2.1) следует. Заменим. Раскройте скобки и участников группы. Найдите производную первого порядка. Чтобы найти производную второго порядка, выделим уравнение. Подставим выражение для производной первого порядка (П2.3). Отсюда находим производную второго порядка.