- Общие сведения
- Информация об интегралах
- Криволинейные фигуры
- Способы вычисления и рекомендации
- Основной алгоритм
- Примеры решения
- Разновидность параболы
- Гипербола, степенная и прямая
- Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
- Геометрический смысл двойного интеграла
- Свойства двойного интеграла
- Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- Двойной интеграл в полярных координатах
- Приложения двойного интеграла
- Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
- Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла
- Масса плоской фигуры
- Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
- Моменты инерции плоской фигуры
- Пример №1
- Пример №2
- Пример №3
- Пример №4
Общие сведения
Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.
Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.
Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.
Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.
Информация об интегралах
С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.
Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:
- Неопределенный.
- Определенный.
Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.
Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.
Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.
Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:
Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.
В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) — F(a).
Криволинейные фигуры
Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.
Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.
Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.
Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.
Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).
Способы вычисления и рекомендации
Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.
Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.
Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.
Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.
Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:
- Вычисление производных.
- Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
- Решение систем уравнений.
- Выполнения операций над матрицами и определителями.
- Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
- Расчет точек перегиба.
- Вычисление рядов Фурье.
- Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.
Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.
Основной алгоритм
При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:
- Нужно прочитать и понять условие задачи.
- Начертить декартовую систему координат.
- Построить график заданной функции.
- Изобразить линии, ограничивающие фигуру.
- После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.
- Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.
- Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.
- Проверить решение задачи при помощи программы.
Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.
Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.
Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.
Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид «x = 5» или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.
После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.
В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) — F(-a) = F(b) + F(a). Проверка правильности решения выполняется с помощью ПО.
Примеры решения
Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить несколько задач. В качестве примера можно взять криволинейные трапеции, изображенные на рисунке 2.
Разновидность параболы
В первом примере функция вида y = -x^2 + 2x и ось ОХ образуют фигуру. Необходимо найти ее площадь. Из функции видно, что ветви параболы направлены вниз (отрицательный знак перед квадратом). Точки пересечения находятся следующим образом:
- Тело функции приравнивается к 0: -х^2 + 2x = 0.
- Выносится общий множитель: -x(x-2) = 0.
- Решаются обе части уравнения.
- Первый корень: -х1 = 0 или х1 = 0.
- Для нахождения второго нужно решить другую часть уравнения: х2-2 = 0. Отсюда, х2 = 2.
Ветви параболы проходят через координаты по ОХ: 0 и 2 соответственно. Координата «х» вершины точки параболы находится с помощью подстановки в формулу: x = -b/(2*a) = -2 / -2 = 1. В этом случае координата «у» вычисляется следующим образом: y = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1. Точка с координатами (1;1) является вершиной параболы. Границы интегрирования — координаты по ОХ, через которые проходят ветви параболы.
После всех операций следует вычислить неопределенный интеграл функции, воспользовавшись таблицей на рисунке 1: ∫ (-х^2 + 2x) dx = — (x^3 / 3 + x^2) + C = x^2 — x^3 / 3 + C. После этого следует подставить начальное и конечное значения (константа убирается): S = x^2 — x^3 / 3 = (2^2 — 2^3 / 3) — (0^2 — 0^3 / 3) = 4 — 8/3 = 4 / 3 (кв. ед.). Последняя запись является единицей измерения площади. Она обозначается в условных единицах, так как в условии задачи размерность сторон фигуры не указана.
Гипербола, степенная и прямая
На следующем рисунке изображен график функции гиперболы (у = 1 / х). Прямые, которые ограничивают график, описываются следующими законами: у1 = -2 и у2 = -1. Для вычисления площади заданной фигуры следует взять интеграл: ∫(1/х) dx = ln (|x|) + С. Для окончательного решения необходимо подставить значения в натуральный логарифм: S = ln (2) — ln (1) = 0,6931 — 0 = 0,6931 (кв. ед.).
Фигура, которая ограничена прямыми y1 = -1 и y2 = 1, и представлена функцией вида y = 3^x. Площадь находится следующим образом: S = ∫ (3^x) dx = 3^x / (ln(|3|)) = [3^1 / (ln(3))] — [3^(-1) / (ln(3))] = (3 / 1,0986) — ((1/3) / 1,0986) = 2,7307 — 0,3034 = 2,4273 (кв. ед.).
Последняя фигура представлена графиком прямой y = 0,5х + 1, которую ограничивают прямые х1 = -1 и х2 = 2. Значение площади можно найти таким способом: S = ∫ (0,5х + 1) dx = (0,5 * х^2) / 2 + x = [((0,5 * 2^2) / 2) + 2] — [((0,5 * (-1)^2) / 2) + (-1)] = 3 — 0,75 = 2,25 (кв. ед.).
Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.
Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.
Пусть функция или
где
определена и непрерывна в замкнутой области
плоскости
то есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями) , с учетом точек линии
— пределы области.
Выполним такую (стандартную) процедуру:
- разобьем область
произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями
(или просто — на
плоскостей
(рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем диаметром плоскости
а максимальный среди них— диаметром разбиения области
- выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке
вычислим
и найдем произведения
- составим сумму всех таких произведений
которую назовем интегральной суммой для функции в области
- вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26.1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте
то есть
вместе с
Конечна граница интегральной суммы
когда диаметр разбиения стремится к нулю а
называется двойным интегралом (от) функции по области
и обозначается так:
или
где — знак (символ) двойного интеграла;
— область интегрирования;
— подынтегральная функция;
— подынтегральное выражение;
— переменные интегрирования;
— элемент площади, или дифференциал площади.
Следовательно, по определению
Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.
Теорему приводим без доказательства.
Функция
для которой существует двойной интеграл по области
называется интегрируемой на этой области.
Согласно теореме 26.1 разбиения области
можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат
— прямыми, параллельными координатным осям.
В этом случае плоскость — прямоугольник со сторонами
который образуется при переходе от точки
к точке
где
Поэтому
потому приросты независимых переменных
равны их дифференциалам:
Таким образом, можно записать:
Геометрический смысл двойного интеграла
В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью
плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси
а направляющей предел
области , коротко будем называть цилиндрическим телом для функции
на (области)
Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области
функции
приходим к выводу: каждое слагаемое
интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания
и высотой , а интегральная сумма численно дает приближенное значение
объема цилиндрического тела для функции
на области
Свойства двойного интеграла
Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.
- Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:
- Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
- Если область
разбить на две областии
которые не имеют общих внутренних точек, и функциянепрерывна в области
то
- Если
в области
то
- Если в каждой точке области
функции
и
непрерывны и удовлетворяют условию
то
- Если функция
непрерывна в области
и удовлетворяет двойное неравенство
где
и
— наименьшее и наибольшее значение функции
в области
, то
где — площадь области
- Если функция
непрерывна в области
то в этой области существует такая точка
что
где — площадь области
Значение
называется средним значением функции
в области
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Установим формулы для вычисления двойного интеграла
опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла:
(26.11) где
— площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси
а
и
= — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.
Область плоскости
называется правильной, или простой, в направлении оси
если она ограничена прямыми
и двумя непрерывными кривыми
и
а любая прямая
параллельная оси
пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).
Рассмотрим цилиндрическое тело для функции на правильной в направлении оси
области
(рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости
В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции где
фиксировано, а
меняется от
Таким образом, площадь сечения равна:
Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:
С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:
Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:
или в более удобной (для использования) форме:
Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции
по области
В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной — внешним интегралом
Согласно формуле (26.12) сначала проводят интегрирования по переменной
то есть находят внутренний интеграл (при этом переменная
считается постоянной), после чего полученную функцию от
интегрируют в пределах от
до
с переменной
то есть вычисляют внешний интеграл.
Аналогично область плоскости
называется правильной, или простой, в направлении оси
если она ограничена прямыми
и
и двумя непрерывными кривыми
и
а любая прямая
, параллельная оси
пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).
Для правильной в направлении оси
области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:
Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:
- строим область интегрирования
ограниченную заданными линиями;
- анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
- применяем одну из формул, (26.12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем — внешний (с постоянными пределами интегрирования).
Если область не является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:
Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область
является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).
В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:
и в каком порядке интегрировать сначала по переменной а затем по переменной
или наоборот, не имеет значения.
Вычислим если область
— прямоугольник:
По формуле (26.15) имеем:
Если подынтегральная функция является произведением функции от
с функцией от и пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.
Вычислим если область
ограничена линиями:
и
Построим область интегрирования . Она является правильным в направлении оси
поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной а внешнее — по
Вычислим если область
ограничена линиями:
и
Построим область
Она является правильной в направлении оси поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной
а внешнее — по
Вычислим если область
ограничена линиями:
и
Построим область
(рис. 26.10).Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих .
Линии — пересекаются в начале координат
Область не является правильным ни в направлении оси
ни в направлении оси
Разобьем ее прямой
на две правильные в направлении оси
области
и
По формуле имеем:
Двойной интеграл в полярных координатах
При переходе в двойном интеграле от декартовых координат и
к полярным
и
используют связь между координатами
и
(24.4):
и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:
Соответствующая формула перехода имеет вид:
где и
— полярные координаты точек области
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными и
.
Если область
является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью углы
и
и кривыми
и
где
то
Если область ограничена сомкнутой линией
и начало координат лежит внутри области, то
Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области
содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса
Вычислим где
— круг
Пределом области является окружность радиуса 2 с центром в точке
Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:
В координатах уравнение границы области
примет вид:
Построим в декартовых координатах круг
или . В полярных координатах соответствующая область интегрирования — криволинейный сектор, ограниченный лучами
а полярный радиус
меняется от
до
По формуле (26.17) имеем:
Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:
Для этого рассмотрим двойной интеграл
где — четверть круга некоторого радиуса
расположенного в первом квадранте декартовой системы координат:
Для вычисления
перейдем к полярным координатам:
тогда
Если теперь неограниченно увеличивать радиус
то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при область
расширяется так, что любая точка первой четверти попадет в
и останется в ней, а
направляться в
С другой стороны, при и
и
поэтому можно записать:
поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Таким образом,
откуда:
Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
Если в формуле (26.3):
положить
то интегральная сумма для функции
в области
давать приближенно площадь этой области
а за ее точное значение принимается значение интеграла:
Если область — разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) — заданная в полярной системе координат неровностями
то
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями:
Построим плоскую фигуру и определим точки пересечения заданных линий — гиперболы и прямой, — решив систему их уравнений:
Решим первое уравнение:
откуда
тогда
Следующим образом: . (Вторая ветвь гиперболы
не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой
Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси
и в направлении оси
Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной
от
до
а внутренний — по переменной
от
к
Вычислим площадь плоской области
ограниченной кругом и прямыми
Построим область для чего предварительно сведем уравнение окружности
к каноническому виду
Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах:
Запишем уравнение окружности
в координатах
или
По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол изменяется от
до
Таким образом, согласно формуле имеем:
Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла
По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл
равен объему тела, ограниченного поверхностью областью
плоскости
и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области
и образующими, параллельными оси
а именно:
Найдем объем тела, ограниченного поверхностями:
Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования
Заданное пространственное тело ограничено: сверху — плоскостью боков — двумя параболическими цилиндрами
и
с образующими, параллельными оси
снизу — областью
которая «вырезается» на плоскости цилиндрическими поверхностями и плоскостью
По формуле получаем:
Найдем объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостями
(в I октанте).
Построим область интегрирования согласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем осуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности
запишется как
а прямые
и
образуют с осью
углы
и
в соответствии.
Итак, по формуле получим:
Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.
- Пусть
— область посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке
известна урожайностьэтой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина
численно равна урожая, который можно собрать с области
при отсутствии потерь.
- Аналогично, если функция
описывает плотность населения в точке
некоторого региона-области
то величина
численно равна численности населения этого региона.
В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.
Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (-мерные,
) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению
-кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции
по пространственной (трехмерной) области
ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.
Масса плоской фигуры
Как уже показано, масса плоской пластинки
с переменной плотностью
находится по формуле
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры относительно осей
и
(см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам
а координаты центра масс фигуры — по формулам
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы
относительно оси
называется произведение массы
на квадрат расстояния точки до оси, т. е.
.
Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и
могут быть вычислены по формулам:
Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле
.
Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур.
Пример №1
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
и .
Решение:
Данное тело ограничено двумя параболоидами. Решая систему
находим уравнение линии их пересечения: .
Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями
и
. Используя формулу (53.4), имеем
Переходя к полярным координатам, находим:
Пример №2
Найти массу, статические моменты и
и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом
и координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
Решение:
По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, , где
— коэффициент пропорциональности.
Находим статические моменты пластинки:
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
Пример №3
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области
равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования , будем использовать формулу: .
В нашем случае областью интегрирования
является фигура, ограниченная линиями
Вычислим .
Для этого построим область интегрирования
в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линии, задаваемые уравнениями , — прямые, параллельные оси
и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением — гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу
можно получить из гиперболы с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.
Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.
Изображенная на рис. 31.1 область интегрирования
является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае . Следовательно,
.
Вычислим полученный повторный интеграл:
В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: .
Пример №4
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
и .
Решение:
Плоскую фигуру, ограниченную линиями и
, обозначим
. В силу геометрического смысла двойного интеграла от единичной функции, для нахождения площади
плоской фигуры
будем использовать формулу: .
Вычислим . Для этого построим фигуру
(рис. 31.2), представляющую собой область интегрирования, в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линия, задаваемая уравнением — парабола, «ветви» которой направлены вниз. Построим ее с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат графика функции
на 3 единицы вверх. Линия, задаваемая уравнением — прямая. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Построим эту прямую по двум точкам:
Изображенная на рис. 31.2. область интегрирования
является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае . Найдем
и
как абсциссы точек пересечения линий и
. Для этого решим уравнение
. Корни приведенного квадратного уравнения
найдем по теореме, обратной теореме Виета:
или . Следовательно,
. Таким образом,
. Вычислим полученный повторный интеграл:
В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: