Приложение двойного интеграла: вычисление площади и объема тела

Общие сведения

Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.

Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.

Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.

Информация об интегралах

С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.

Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

  • Неопределенный.
  • Определенный.

Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.

Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.

Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.

Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.

В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) — F(a).

Криволинейные фигуры

Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.

Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.

Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.

Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).

Способы вычисления и рекомендации

Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.

Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.

Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.

Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:

  • Вычисление производных.
  • Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
  • Решение систем уравнений.
  • Выполнения операций над матрицами и определителями.
  • Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
  • Расчет точек перегиба.
  • Вычисление рядов Фурье.
  • Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.

Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.

Основной алгоритм

При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

  • Нужно прочитать и понять условие задачи.
  • Начертить декартовую систему координат.
  • Построить график заданной функции.
  • Изобразить линии, ограничивающие фигуру.
  • После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.
  • Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.
  • Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.
  • Проверить решение задачи при помощи программы.

Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.

Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.

Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид «x = 5» или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.

После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.

В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) — F(-a) = F(b) + F(a). Проверка правильности решения выполняется с помощью ПО.

Примеры решения

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить несколько задач. В качестве примера можно взять криволинейные трапеции, изображенные на рисунке 2.

Разновидность параболы

В первом примере функция вида y = -x^2 + 2x и ось ОХ образуют фигуру. Необходимо найти ее площадь. Из функции видно, что ветви параболы направлены вниз (отрицательный знак перед квадратом). Точки пересечения находятся следующим образом:

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

  • Тело функции приравнивается к 0: -х^2 + 2x = 0.
  • Выносится общий множитель: -x(x-2) = 0.
  • Решаются обе части уравнения.
  • Первый корень: -х1 = 0 или х1 = 0.
  • Для нахождения второго нужно решить другую часть уравнения: х2-2 = 0. Отсюда, х2 = 2.

Ветви параболы проходят через координаты по ОХ: 0 и 2 соответственно. Координата «х» вершины точки параболы находится с помощью подстановки в формулу: x = -b/(2*a) = -2 / -2 = 1. В этом случае координата «у» вычисляется следующим образом: y = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1. Точка с координатами (1;1) является вершиной параболы. Границы интегрирования — координаты по ОХ, через которые проходят ветви параболы.

После всех операций следует вычислить неопределенный интеграл функции, воспользовавшись таблицей на рисунке 1: ∫ (-х^2 + 2x) dx = — (x^3 / 3 + x^2) + C = x^2 — x^3 / 3 + C. После этого следует подставить начальное и конечное значения (константа убирается): S = x^2 — x^3 / 3 = (2^2 — 2^3 / 3) — (0^2 — 0^3 / 3) = 4 — 8/3 = 4 / 3 (кв. ед.). Последняя запись является единицей измерения площади. Она обозначается в условных единицах, так как в условии задачи размерность сторон фигуры не указана.

Гипербола, степенная и прямая

На следующем рисунке изображен график функции гиперболы (у = 1 / х). Прямые, которые ограничивают график, описываются следующими законами: у1 = -2 и у2 = -1. Для вычисления площади заданной фигуры следует взять интеграл: ∫(1/х) dx = ln (|x|) + С. Для окончательного решения необходимо подставить значения в натуральный логарифм: S = ln (2) — ln (1) = 0,6931 — 0 = 0,6931 (кв. ед.).

Методы вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

Фигура, которая ограничена прямыми y1 = -1 и y2 = 1, и представлена функцией вида y = 3^x. Площадь находится следующим образом: S = ∫ (3^x) dx = 3^x / (ln(|3|)) = [3^1 / (ln(3))] — [3^(-1) / (ln(3))] = (3 / 1,0986) — ((1/3) / 1,0986) = 2,7307 — 0,3034 = 2,4273 (кв. ед.).

Последняя фигура представлена графиком прямой y = 0,5х + 1, которую ограничивают прямые х1 = -1 и х2 = 2. Значение площади можно найти таким способом: S = ∫ (0,5х + 1) dx = (0,5 * х^2) / 2 + x = [((0,5 * 2^2) / 2) + 2] — [((0,5 * (-1)^2) / 2) + (-1)] = 3 — 0,75 = 2,25 (кв. ед.).

Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования

Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.

Пусть функция Двойной интегралили Двойной интегралгде Двойной интеграл
определена и непрерывна в замкнутой области Двойной интеграл
плоскости Двойной интеграл
то есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями) Двойной интеграл, с учетом точек линии Двойной интеграл— пределы области.

Выполним такую (стандартную) процедуру:

  • разобьем область Двойной интеграл
    произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями Двойной интеграл
    (или просто — на Двойной интеграл
    плоскостей Двойной интеграл
    (рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем диаметром плоскости Двойной интеграл
    а максимальный среди них Двойной интеграл— диаметром разбиения области Двойной интеграл
  • выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке Двойной интеграл
    Двойной интегралвычислим Двойной интеграли найдем произведения Двойной интеграл
  • составим сумму всех таких произведений

Двойной интеграл

которую назовем интегральной суммой для функции Двойной интегралв области

  • вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26.1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте Двойной интегралто естьДвойной интегралвместе с Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Конечна граница Двойной интегралинтегральной суммы Двойной интеграл
когда диаметр разбиения стремится к нулю Двойной интеграла Двойной интеграл
называется двойным интегралом (от) функции Двойной интегралпо области Двойной интеграли обозначается так:

Двойной интеграл
или Двойной интеграл

где Двойной интеграл— знак (символ) двойного интеграла;

Двойной интеграл— область интегрирования;

Двойной интеграл— подынтегральная функция;

Двойной интеграл— подынтегральное выражение;

Двойной интеграл— переменные интегрирования;

Двойной интеграл— элемент площади, или дифференциал площади.

Следовательно, по определению

Двойной интеграл

Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.

Теорему приводим без доказательства.
Функция Двойной интеграл
для которой существует двойной интеграл по области Двойной интеграл
называется интегрируемой на этой области.

Согласно теореме 26.1 разбиения области Двойной интеграл
можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат Двойной интеграл
— прямыми, параллельными координатным осям.

Двойной интеграл

 

В этом случае плоскость — прямоугольник со сторонами Двойной интеграл
который образуется при переходе от точки Двойной интеграл
к точке Двойной интеграл
где Двойной интеграл
Поэтому Двойной интеграл
потому приросты независимых переменных Двойной интеграл
равны их дифференциалам: Двойной интеграл

Таким образом, можно записать:

Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью Двойной интеграл
плоскостью Двойной интеграли цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Двойной интеграл
а направляющей предел Двойной интеграл
области Двойной интеграл, коротко будем называть цилиндрическим телом для функции Двойной интегрална (области) Двойной интеграл

Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области Двойной интеграл
функции Двойной интеграл
приходим к выводу: каждое слагаемоеДвойной интеграл
интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания Двойной интеграл
и высотой Двойной интеграл, а интегральная сумма численно дает приближенное значение Двойной интеграл
объема Двойной интегралцилиндрического тела для функции Двойной интеграл
на области Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Свойства двойного интеграла

Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.

  • Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:

Двойной интеграл

  • Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

Двойной интеграл

  • Если область Двойной интеграл
    разбить на две области Двойной интеграли Двойной интеграл
    которые не имеют общих внутренних точек, и функция Двойной интегралнепрерывна в области Двойной интегралто

Двойной интеграл

  • Если Двойной интегралв области Двойной интегралто

Двойной интеграл

  • Если в каждой точке области Двойной интегралфункции Двойной интеграли Двойной интегралнепрерывны и удовлетворяют условию Двойной интегралто

Двойной интеграл

  • Если функция Двойной интегралнепрерывна в области Двойной интеграли удовлетворяет двойное неравенство Двойной интегралгде Двойной интеграли Двойной интеграл— наименьшее и наибольшее значение функции Двойной интегралв области Двойной интеграл, то

Двойной интеграл

где Двойной интеграл— площадь области Двойной интеграл

  • Если функция Двойной интеграл  непрерывна в области Двойной интегралто в этой области существует такая точка Двойной интегралчто

Двойной интеграл

где Двойной интеграл— площадь области Двойной интеграл

Значение Двойной интегралназывается средним значением функцииДвойной интегралв области Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Установим формулы для вычисления двойного интеграла Двойной интеграл
опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла: Двойной интеграл
(26.11) где Двойной интеграл
— площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Двойной интеграл
а Двойной интеграл
и Двойной интеграл
= — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Область Двойной интегралплоскости Двойной интегралназывается правильной, или простой, в направлении осиДвойной интегралесли она ограничена прямыми Двойной интеграли двумя непрерывными кривыми Двойной интеграли Двойной интеграла любая прямая Двойной интегралпараллельная оси Двойной интегралпересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).

Двойной интеграл

 

Рассмотрим цилиндрическое тело для функции Двойной интегрална правильной в направлении оси Двойной интегралобласти Двойной интеграл
(рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости Двойной интеграл
В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции Двойной интегралгде Двойной интегралфиксировано, а Двойной интегралменяется от Двойной интеграл
Таким образом, площадь сечения равна:

Двойной интеграл

Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:

Двойной интеграл

Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:

Двойной интеграл

или в более удобной (для использования) форме:

Двойной интеграл

Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции Двойной интеграл
по области Двойной интеграл

В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной Двойной интеграл— внешним интегралом

Согласно формуле (26.12) сначала проводят интегрирования по переменной Двойной интеграл
то есть находят внутренний интеграл Двойной интеграл(при этом переменная Двойной интегралсчитается постоянной), после чего полученную функцию от Двойной интегралинтегрируют в пределах от Двойной интегралдо Двойной интегралс переменной Двойной интегралто есть вычисляют внешний интеграл.

Аналогично область Двойной интегралплоскости Двойной интегралназывается правильной, или простой, в направлении оси Двойной интегралесли она ограничена прямыми Двойной интеграл
и Двойной интеграл
Двойной интеграл и двумя непрерывными кривыми Двойной интеграли Двойной интеграла любая прямая Двойной интеграл
Двойной интеграл, параллельная оси Двойной интегралпересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).

Двойной интеграл

 

Для правильной в направлении оси Двойной интеграл
области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:

Двойной интеграл

Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:

  1. строим область интегрирования Двойной интегралограниченную заданными линиями;
  2. анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
  3. применяем одну из формул, (26.12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем — внешний (с постоянными пределами интегрирования).

Двойной интеграл

 

Если область Двойной интегралне является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:

Двойной интеграл

Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область Двойной интеграл
является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).

В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:

Двойной интеграл

и в каком порядке интегрировать сначала по переменной Двойной интеграла затем по переменной Двойной интегралили наоборот, не имеет значения.

Вычислим Двойной интегралесли область Двойной интеграл— прямоугольник: Двойной интеграл
Двойной интеграл

По формуле (26.15) имеем:

Двойной интеграл

Если подынтегральная функция является произведением функции от Двойной интеграл
с функцией от Двойной интеграли пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.

Вычислим Двойной интеграл если область Двойной интегралограничена линиями: Двойной интеграл
Двойной интеграли Двойной интеграл

Построим область интегрирования Двойной интеграл. Она является правильным в направлении оси Двойной интеграл
поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной Двойной интеграла внешнее — по Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Вычислим Двойной интегралесли область Двойной интеграл ограничена линиями:Двойной интеграли Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Она является правильной в направлении оси Двойной интегралпоэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной Двойной интеграла внешнее — по Двойной интеграл

Двойной интеграл

Вычислим Двойной интегралесли область Двойной интегралограничена линиями:
Двойной интеграли Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл
(рис. 26.10).Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих Двойной интеграл.
Линии Двойной интеграл— пересекаются в начале координат Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Область Двойной интегралне является правильным ни в направлении оси Двойной интегрални в направлении оси Двойной интеграл Разобьем ее прямой Двойной интегрална две правильные в направлении оси Двойной интегралобласти Двойной интеграли Двойной интеграл

По формуле имеем:

Двойной интеграл

Двойной интеграл в полярных координатах

При переходе в двойном интеграле от декартовых координат Двойной интеграли Двойной интегралк полярным Двойной интеграли Двойной интегралиспользуют связь между координатами Двойной интеграли Двойной интеграл(24.4):

Двойной интеграл

и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:

Двойной интеграл

Соответствующая формула перехода имеет вид:

Двойной интеграл

где Двойной интеграл и Двойной интеграл— полярные координаты точек области Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными Двойной интеграли Двойной интеграл.

Если область Двойной интеграл
является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью Двойной интегралуглы Двойной интеграли Двойной интеграли кривыми Двойной интеграли Двойной интегралгде Двойной интегралДвойной интегралто

Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Если область Двойной интегралограничена сомкнутой линией Двойной интеграли начало координат лежит внутри области, то

Двойной интеграл

Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области Двойной интеграл
содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса Двойной интеграл

Вычислим Двойной интеграл где Двойной интеграл— круг Двойной интеграл

Пределом области Двойной интегралявляется окружность радиуса 2 с центром в точке Двойной интеграл

Двойной интеграл

Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:Двойной интеграл
Двойной интеграл

В координатах Двойной интегралуравнение границы области Двойной интеграл
примет вид:

Двойной интеграл

Построим в декартовых координатах круг Двойной интеграл
или Двойной интеграл. В полярных координатах соответствующая область интегрирования — криволинейный сектор, ограниченный лучами Двойной интеграла полярный радиус Двойной интегралменяется от Двойной интегралдо Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

По формуле (26.17) имеем:

Двойной интеграл

Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:

Двойной интеграл

Для этого рассмотрим двойной интеграл Двойной интеграл
где Двойной интеграл— четверть круга некоторого радиуса Двойной интегралрасположенного в первом квадранте декартовой системы координат: Двойной интеграл

Для вычисления Двойной интеграл
перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл
Двойной интегралтогда

Двойной интеграл

Если теперь неограниченно увеличивать радиус Двойной интеграл
то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при Двойной интегралобласть Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

расширяется так, что любая точка первой четверти Двойной интегралпопадет в Двойной интеграли останется в ней, а Двойной интегралнаправляться в Двойной интеграл

Двойной интеграл

С другой стороны, при Двойной интеграли Двойной интеграли Двойной интегралпоэтому можно записать:

Двойной интеграл

поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Таким образом, Двойной интеграл
откуда: Двойной интеграл

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла

Если в формуле (26.3): Двойной интеграл
положить Двойной интеграл
Двойной интегралто интегральная сумма для функции Двойной интегралв области Двойной интегралдавать приближенно площадь этой области Двойной интеграл

Двойной интеграл

а за ее точное значение принимается значение интеграла:

Двойной интеграл

Если область Двойной интеграл— разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) — заданная в полярной системе координат неровностямиДвойной интеграл
Двойной интегралто

Двойной интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Двойной интеграл

Построим плоскую фигуру  и определим точки пересечения заданных линий — гиперболы и прямой, — решив систему их уравнений:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

Решим первое уравнение: Двойной интеграл
Двойной интеграл
откуда Двойной интеграл
Двойной интеграл
тогда Двойной интеграл
Двойной интеграл
Следующим образом: Двойной интеграл. (Вторая ветвь гиперболы Двойной интеграл
не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой Двойной интеграл

Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси Двойной интеграл
и в направлении оси Двойной интеграл
Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной Двойной интеграл
от Двойной интеграл
до Двойной интеграл
а внутренний — по переменной Двойной интеграл
от Двойной интеграл
к Двойной интеграл

Двойной интеграл

Вычислим площадь плоской области Двойной интеграл
ограниченной кругом Двойной интеграл и прямыми Двойной интеграл

Построим область Двойной интегралдля чего предварительно сведем уравнение окружности Двойной интеграл
к каноническому виду Двойной интеграл

Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах:Двойной интеграл
Двойной интеграл
Запишем уравнение окружности Двойной интеграл
Двойной интегралв координатах Двойной интегралили Двойной интеграл
По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол Двойной интегрализменяется от Двойной интегралдо Двойной интеграл
Таким образом, согласно формуле имеем:

Двойной интеграл

Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл Двойной интеграл
равен объему тела, ограниченного поверхностью Двойной интегралобластью Двойной интегралплоскости Двойной интеграли цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области Двойной интеграли образующими, параллельными оси Двойной интеграла именно:

Двойной интеграл

Найдем объем тела, ограниченного поверхностями: Двойной интеграл
Двойной интеграл
Двойной интеграл

Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования Двойной интеграл
Заданное пространственное тело ограничено: сверху — плоскостью Двойной интегралбоков — двумя параболическими цилиндрами Двойной интеграли Двойной интегралс образующими, параллельными оси Двойной интегралснизу — областью Двойной интеграл
которая «вырезается» на плоскости Двойной интегралцилиндрическими поверхностями и плоскостью Двойной интеграл

Двойной интеграл

 

По формуле получаем:

Двойной интеграл

Найдем объем тела, ограниченного параболоидом Двойной интеграли плоскостями Двойной интеграл
Двойной интеграл(в I октанте).

Построим область интегрирования Двойной интегралсогласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем Двойной интегралосуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности Двойной интегралзапишется как Двойной интеграла прямые Двойной интеграли Двойной интегралобразуют с осью Двойной интегралуглы Двойной интеграли Двойной интегралв соответствии.

Двойной интеграл

Итак, по формуле получим:

Двойной интеграл

Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.

  • Пусть Двойной интеграл— область посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке Двойной интеграл
    известна урожайность Двойной интегралэтой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина Двойной интегралчисленно равна урожая, который можно собрать с области Двойной интеграл при отсутствии потерь.
  • Аналогично, если функция Двойной интегралописывает плотность населения в точке Двойной интегралнекоторого региона-области Двойной интегралто величина Двойной интегралчисленно равна численности населения этого региона.

В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.

Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (Двойной интеграл-мерные, Двойной интеграл) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению Двойной интеграл-кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции Двойной интегралпо пространственной (трехмерной) области Двойной интеграл
ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.

 

Двойной интеграл

Масса плоской фигуры

Как уже показано, масса плоской пластинки Приложения двойного интеграла
с переменной плотностью Приложения двойного интеграла
находится по формуле

Приложения двойного интеграла

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры Приложения двойного интегралаотносительно осей Приложения двойного интегралаи Приложения двойного интеграла(см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

Приложения двойного интеграла

а координаты центра масс фигуры — по формулам

Приложения двойного интеграла

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы Приложения двойного интегралаотносительно оси Приложения двойного интеграланазывается произведение массы Приложения двойного интегралана квадрат расстояния точки до оси, т. е. Приложения двойного интеграла.

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Приложения двойного интегралаи Приложения двойного интеграламогут быть вычислены по формулам:

Приложения двойного интеграла

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле Приложения двойного интеграла
.

Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур.

Приложения двойного интеграла

Пример №1

Найти объем тела, ограниченного поверхностями Приложения двойного интеграла
и Приложения двойного интеграла.

Решение:

Данное тело ограничено двумя параболоидами. Решая систему

Приложения двойного интеграла

находим уравнение линии их пересечения: Приложения двойного интеграла.

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг Приложения двойного интеграла) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Приложения двойного интегралаи Приложения двойного интеграла. Используя формулу (53.4), имеем

Приложения двойного интеграла

Переходя к полярным координатам, находим:

Приложения двойного интеграла
Приложения двойного интеграла

Пример №2

Найти массу, статические моменты Приложения двойного интегралаи Приложения двойного интегралаи координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом Приложения двойного интегралаи координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение:

По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, Приложения двойного интеграла, где Приложения двойного интеграла— коэффициент пропорциональности.

Приложения двойного интеграла

Находим статические моменты пластинки:

Приложения двойного интеграла

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

Приложения двойного интеграла

Пример №3

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Решение:

Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла, будем использовать формулу: .

В нашем случае областью интегрирования Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
является фигура, ограниченная линиями Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
Вычислим Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Для этого построим область интегрирования Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Линии, задаваемые уравнениями Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла, — прямые, параллельные оси Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла— гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
можно получить из гиперболы Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интегралас помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.

Описание линий, задающих область интегрирования Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла, позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.

Изображенная на рис. 31.1 область интегрирования Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

В нашем случае Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Следовательно, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Вычислим полученный повторный интеграл:

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

В итоге, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Следовательно, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Ответ: Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Пример №4

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
и Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Решение:

Плоскую фигуру, ограниченную линиями Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интегралаи Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла, обозначим Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. В силу геометрического смысла двойного интеграла от единичной функции, для нахождения площади Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
плоской фигуры Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
будем использовать формулу: Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Вычислим Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Для этого построим фигуру Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
(рис. 31.2), представляющую собой область интегрирования, в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Линия, задаваемая уравнением Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла— парабола, «ветви» которой направлены вниз. Построим ее с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат графика функции Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
на 3 единицы вверх. Линия, задаваемая уравнением Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла— прямая. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом: Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Построим эту прямую по двум точкам:

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Изображенная на рис. 31.2. область интегрирования Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу: Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

В нашем случае Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Найдем Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интегралаи Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
как абсциссы точек пересечения линий Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интегралаи Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Для этого решим уравнение Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Корни приведенного квадратного уравнения Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
найдем по теореме, обратной теореме Виета: Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
или Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Следовательно, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Таким образом, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Вычислим полученный повторный интеграл:

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

В итоге, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. Следовательно, Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Ответ: Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Оцените статью
Блог про прикладную математику