Предел функции: теоремы и свойства

Определение предела функции

Первое определение предела функции по Гейне

Предел функции (по Гейне) с аргументом x, стремящимся к x0, есть конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия:

1. существует перфорированная окрестность точки x0, на которой функция f (x;
2. для каждой последовательности, элементы которой принадлежат окрестности, последовательность сходится к a.

Предел функции указан следующим образом:

Здесь a и x0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками: . Для бесконечно удаленных точек приняты следующие обозначения. Перфорированная близость конечной точки может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае пишите для левой четверти. С помощью логических символов существования и универсальности это определение можно записать следующим образом.

Второе определение по Коши

Предел функции (по Коши) с аргументом x, стремящимся к x0, есть конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия:

1. существует перфорированная окрестность точки x0, на которой функция f (x;
2. для каждой окрестности точки, которой она принадлежит, существует перфорированная окрестность точки x0, в которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a:

Здесь a и x0 также могут быть как конечными числами, так и точками до бесконечности. С помощью логических символов существования и универсальности это определение можно записать следующим образом.

Если мы возьмем левую или правую окрестность конечной точки в целом, мы получим определение предела Коши слева или справа.

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Применяемые окрестности точек

В приведенном выше определении используются произвольные окрестности точек. Например, перфорированная окрестность конечной точки — это набор, где два положительных числа определяют размер окрестности. Подробнее см. «Квартал точек».

Тогда, по сути, определение Коши означает следующее.
Для каждого положительного числа есть числа, поэтому для каждого x, принадлежащего перфорированной окрестности точки:, значения функции принадлежат окрестности точки a.

Работать с этим определением не очень удобно, так как окрестности определяются с помощью четырех чисел. Но его можно упростить, введя окрестности с равноудаленными концами. То есть можно поставить,. Таким образом, мы получаем определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. Более того, это эквивалентно определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта дано в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».

Кроме того, мы даем формулировки определений предела функции по Коши для различных случаев, используя определения окрестности с равноудаленными концами.

Конечные пределы функции в конечных точках

Число a называется пределом функции f (x) в точке x0 s и

1. функция определена в некоторой перфорированной окрестности конечной точки ;
2. для каждого существует такое, что оно зависит от такого, что для каждого x, для которого выполняется неравенство.

Используя логические символы существования и универсальности, определение предела функции можно записать следующим образом.

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогично определяются пределы до бесконечных точек.

Бесконечные пределы функции

вы также можете ввести бесконечные определения границ для определенных знаков, равных и.

Критерий Коши существования предела функции

Мы говорим, что функция $ f $ удовлетворяет условию Коши в точке $ {x_0} $, если для каждого положительного числа $ varepsilon> 0 $ существует соответствующее положительное число $ delta $ такое, что для любых двух значений Аргумента $ {x_1} $ и $ {x_2} $, удовлетворяющих условиям

$ left | {{x_1} — {x_0}} right | < delta $ и $ left | {{x_2} — {x_0}} right | < delta $,

неравенство верно

$ left | {f left ({{x_1}} right) — f left ({{x_2}} right)} right | < varepsilon$.

Для того чтобы функция $ f $ имела конечный предел в точке $ {x_0} $, необходимо и достаточно, чтобы функция $ f $ удовлетворяла условию Коши в точке $ {x_0.

Свойства и теоремы предела функции

При этом считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей перфорированной окрестности точки, которая является конечным числом или одним из символов:. Также она может быть односторонней предельной точкой, то есть иметь вид или. Соседство является двусторонним с точки зрения двустороннего ограничения и односторонним с одной стороны.

Основные свойства

1. Если значения функции f (x) изменены (или сделаны неопределенными) в конечном числе точек x1, x2, x3, . xn, то это изменение никоим образом не повлияет на существование и величину предел функции в произвольной точке x0.
2. Если существует конечный предел, то существует перфорированная окрестность точки x0, в которой функция f (x) ограничена.
3. Пусть функция имеет конечный предел, отличный от нуля в точке x0.
   Тогда для каждого номера c интервала существует перфорированная окрестность точки x0.
4. Если в некоторой перфорированной окрестности точки она постоянна, то .
5. Функция имеет предел в одной точке тогда и только тогда, когда она имеет равные односторонние ограничения в этой точке.
6. Если существуют конечные пределы ee на некоторой перфорированной окрестности точки x0.

Арифметические свойства предела функции

Обе функции и должны быть определены в некоторой перфорированной окрестности точки. И пусть будут конечные пределы:
И пусть C будет константой, то есть заданным числом.

Критерий Коши существования предела функции

Чтобы функция, определенная в некоторой перфорированной окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x0, имела конечный предел в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε> 0 существовала перфорированная окрестность точки x0 такая, что для каждой точки и из этой окрестности выполняется неравенство.

Предел сложной функции

Предельная теорема составной функции Пусть у функций есть ограничения. И пусть будет такая дырчатая окрестность где то.
Тогда существует предел сложной функции, и он равен. Здесь — конечные точки или бесконечно удаленные точки. Окрестности и их границы могут быть как двусторонними, так и односторонними.

Теорема о пределе сложной функции применима в случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предела. Чтобы применить эту теорему, должна существовать перфорированная окрестность точки, где набор значений функции не содержит точку.

Если функция непрерывна в одной точке, знак предела может быть применен к аргументу непрерывной функции.
Ниже приводится соответствующая этому случаю теорема.

Теорема о пределе непрерывной функции функции

1. Пусть существует предел функции t = g (x) при x → x0, равный t0.
2. Здесь точка x0 может быть конечной точкой или бесконечно удаленной: .
3. И пусть функция f (t) непрерывна в точке t0.
4. Тогда существует предел составной функции f (g (x)), и он равен f (t0).

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Бесконечно малая функция в — это функция, предел которой равен нулю.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций для является бесконечно малой функцией для .

Произведение ограниченной функции в перфорированной окрестности точки на бесконечно малое для является бесконечно малой функцией для .

Для того чтобы функция имела конечный предел, необходимо и достаточно, где — бесконечно малая функция a .

Бесконечно большие функции

Бесконечно большая функция при t — это функция, предел при которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно больших функций

1. Сумма или разность ограниченной функции в некоторой перфорированной окрестности точки и бесконечно большой функции в является бесконечно большой функцией.
2. Если функция бесконечно велика для и функция ограничена в некоторой перфорированной окрестности точки.
3. Если функция удовлетворяет неравенству, на некотором отверстии вокруг точки, и функция бесконечно мала для, и (на некотором отверстии вокруг точки).

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

1. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями следует из двух предыдущих свойств.
2. Если функция бесконечно малая по, то функция бесконечно мала по .
3. Если функция бесконечно мала по и, то функция бесконечно велика по .
4. Связь между бесконечно малой функцией и бесконечно большой функцией может быть выражена символически.
5. Если инфинитезимальная функция имеет знак, определенный в, то есть она положительна (или отрицательна) в некоторой перфорированной окрестности точки, то этот факт можно выразить следующим образом.
   Точно так же, если бесконечно большая функция имеет знак, определенный в, тогда пишите.

Таким образом, символическая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями может быть дополнена следующими соотношениями.

Односторонние пределы

Помимо определения обычного предела функции в точке, также можно определить понятие одностороннего предела.

Предел функции $ f $ в левой точке $ {x_0} $ — это предел, вычисленный при условии, что $ x a {x_0} $ всегда меньше значения $ {x_0}$.

Точно так же предел справа — это предел функции $ f $ для $ x a {x_0} $, в то время как $ x> {x_0} $. Односторонние лимиты обозначаются следующим образом:

$ mathop { lim} limits_ {x a {x_0} + 0} f left (x right) = L $, $ left ({ mathop { lim} limits_ {x a {x_0 } — 0} f left (x right) = L} right)$

Функция $ f $ имеет предел в точке $ {x_0} $ s и m, только если она имеет правый и левый предел в этой точке и они равны.

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим вышеуказанный предел. Для этого просто подставьте единицу в функцию (от x → 1):

Итак, чтобы решить ограничение, давайте сначала попробуем просто подставить заданное число в базовую функцию (если x приближается к определенному числу).

С бесконечностью

В этом случае аргумент функции увеличивается до бесконечности, т.е. «x» стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x → ∞, то данная функция стремится к минус бесконечности (-∞), потому что.:

• 3 — 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3 — 100 = -97
• 3 — 1000 — 997 и т.д.

Еще один более сложный пример

Чтобы решить и этот предел, мы просто увеличиваем значения x и наблюдаем «поведение» функции в этом случае.

• Для x = 1, y = 12 + 31-6 = -2
• Для x = 10 y = 102 + 3 · 10-6 = 124
• Для x = 100, y = 1002 + 3100-6 = 10294

Следовательно, поскольку «x» стремится к бесконечности, функция x2 + 3x — 6 неограниченно возрастает.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В этом случае мы говорим о пределах, когда функция представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами. В этом случае «Х» стремится к бесконечности.

Пример: рассчитываем лимит ниже.

Решение

Выражения в числителе и знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в этом случае решение будет следующим:

Однако не все так просто. Чтобы решить ограничение, нам нужно сделать следующее:

1. Найдите x в максимальной степени числителя (в нашем случае это два).

2. Аналогичным образом определяем x при максимальной степени знаменателя (также равной двум).

3. Теперь разделите числитель и знаменатель на x в наибольшей степени. В нашем случае в обоих случаях — во втором, но если они были разные, то надо брать наивысший ранг.

4. В результате все дроби стремятся к нулю, поэтому ответ — 1/2.

Предел функции в точке

Число $ A $ называется пределом функции $ y = f left (x right) $, поскольку $ x $ стремится к некоторому значению $ a $ s и для любого, даже сколь угодно малого положительного $ varepsilon $, c ‘- это такое число $ delta> 0 $ (в зависимости от $ varepsilon $), что для всех $ x $ из $ delta $ -ближе точки $ a $ выполняется следующее неравенство: слева | {е влево (х вправо) — A} вправо | < varepsilon .

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

$ A = mathop { lim} limits_ {x to a} f left (x right) $, если $ forall delta left ( varepsilon right)> 0: left | {x — a} right | < дельта стрелка вправо влево | {е влево (х вправо) — A} вправо | < varepsilon $

Основные теоремы о пределе

Если для кейсов
$ x a {x_0} $, $ x a {x_0} pm 0 $, $ x a {x_0} pm 0$,

есть пределы

$ lim f left (x right) = a $ e $ lim g left (x right) = b$,

тогда

1. $ lim left ({f left (x right) pm g left (x right)} right) = a pm b$,
2. $ lim left ({C cdot f left (x right)} right) = Ca, { text {}} S in mathbb {R}$,
3. $ lim left ({е left (x right) cdot g left (x right)} right) = ab$ ,
4. $ lim frac {{f left (x right)}} {{g left (x right)}} = frac {a} {b} $, то есть $ b n и 0$,
5. Если $ mathop { lim} limit_ {x a {x_0}} f left (x right) = a $ e $ mathop { lim} limit_ {x aa} g left (x справа) = b $, поэтому
   $ mathop { lim} limits_ {x a {x_0}} left ({g circ f} right) left (x right) = mathop { lim} limits_ {x a { x_0}} g left ({f left (x right)} right) = b$.

Пределы монотонных функций

Строго возрастающая функция Функция, определенная на некотором наборе действительных чисел X, строго возрастает, если для всех таких, что выполняется неравенство.

Строго убывающая функция. Функция называется строго убывающей, если для всех выполнено неравенство. Неубывающая функция. Функция называется неубывающей, если для всех. Невозрастающая функция. Функция называется невозрастающей, если для всех монотонных функций. Функция называется монотонной, если она не убывает или не возрастает.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также не убывает. Строго убывающая функция также не возрастает.

Пусть функция не убывает в диапазоне где .
Если он ограничен сверху числом M: то существует конечный предел. Если он не ограничен сверху, то .
Если он ограничен снизу числом m:, то существует конечный предел. Если не ограничиваться снизу, то .

Если точки a и b равны бесконечности, то в выражениях знаки предела означают это .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает в диапазоне где. Тогда есть односторонние ограничения в точках a и b.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не увеличивается в диапазоне где. Тогда есть односторонние ограничения.