- Что такое производная функции
- Таблица производных
- Сферы использования
- Правила дифференцирования
- Таблица производных простых и сложных функций
- Как вынести постоянный множитель за знак производной
- Как вычислить производную суммы и производную разности
- Как вычислить производную произведения функций
- Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)
- Алгоритм для сложной функции
- Примеры нахождения производных
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3
- Пример 4
- Пример 5
- Пример 6
Что такое производная функции
Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени — это скорость. Потому что скорость — это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости — ничто иное как ускорение, так как ускорение — это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.
Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Таблица производных
Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей — нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.
Сферы использования
В физике с ее помощью можно найти такие величины: силу, ускорение, мощность, массу тонкого физического тела (стержня), скорость, теплоемкость, мгновенные значения тока и напряжения, а также другие величины. Последние должны изменяться с течением времени или по какому-либо закону. Если величина является постоянной (константой), то ее производная равна 0.
В химии и фармацевтике операция дифференцирования получила также широкое применение. Ее следует применять для точного расчета массы или массовой доли реактивов. Кроме того, она позволяет найти оптимальную дозу лекарственного препарата, при которой эффект будет максимальным, а побочные действия — минимальными.
Без производной не может обойтись и военно-промышленный комплекс. При расчете скоростных характеристик ракет во время их проектирования техники ею пользуются. В боевой обстановке или на учениях в микропроцессорные устройства «вшиты» алгоритмы, которые вычисляют производную при преследовании цели. Для определения скоростных характеристик летательного аппарата противника используются простые методы, которые включают в свои расчеты операцию дифференцирования.
Агропромышленный комплекс тоже нуждается в выполнении данной операции. Например, для определения оптимальности соотношения сторон земельных участков. В современных экономических исследованиях применяются определенные математические функции. Для их исследования необходимы знания в области дифференцирования.
В игровой индустрии движение персонажей осуществляется по некоторым законам, которые описываются различными функциями. Для выявления «багов» необходимо уметь исследовать законы движения героев игры. Однако не все методы позволяют выполнить эту операцию в короткие промежутки времени. Чем сложнее игра, тем больше законов движения в ней присутствуют.
Для анализа нужно применять алгоритм, позволяющий существенно уменьшить затраченное время. Для этих целей специалисты рекомендуют применять дифференцирование.
Правила дифференцирования
№ правила | Название правила | Правило дифференцирования |
1 | Производная постоянной величины | ![]() , С-постоянная |
2 | Производная суммы | ![]() . |
3 | Производная произведения постоянной на функцию | ![]() , С — постоянная |
4 | Производная переменной x | ![]() |
5 | Производная произведения двух функций | ![]() |
6 | Производная деления двух функций | ![]() |
7 | Производная сложной функции | ![]() |
Таблица производных простых и сложных функций
Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.
Номер формулы | Название производной | Основные элементарные функции | Сложные функции |
1 | Производная натурального логарифма по x | ![]() |
![]() |
2 | Производная логарифмической функции по основанию a | ![]() |
![]() |
3 | Производная по x в степени n | ![]() |
![]() |
4 | Производная квадратного корня | ![]() |
![]() |
5 | Производная a в степени x | ![]() |
![]() |
6 | Производная e в степени x | ![]() |
![]() |
7 | Производная синуса | ![]() |
![]() |
8 | Производная косинуса | ![]() |
![]() |
9 | Производная тангенса | ![]() |
![]() |
10 | Производная котангенса | ![]() |
![]() |
11 | Производная арксинуса | ![]() |
![]() |
12 | Производная арккосинуса | ![]() |
![]() |
13 | Производная арктангенса | ![]() |
![]() |
14 | Производная арккотангенса | ![]() |
![]() |
Как вынести постоянный множитель за знак производной
Для начала нам нужно доказать следующую формулу:
C·f(x)’=C·f'(x), C∈R
Используя определение производной, запишем следующее:
C·f(x)’=lim∆x→0∆(C·f(x))∆x=lim∆x→0C·f(x+∆x)-C·f(x)∆x==lim∆x→0C·f(x+∆x)-f(x)∆x=lim∆x→0C·∆f(x)∆x
Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C·f(x)’=lim∆x→0C·∆f(x)∆x=C·lim∆x→0∆f(x)∆x=C·f'(x).
Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.
- Пример 1
Дана функция y=2·cos x. Необходимо вычислить ее производную.
Решение
Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x’=-sin x.
Вынесем множитель за знак производной и получим:
y’=2·cos x’=2·cos x’=-2·sin x
Ответ:y’=2·cos x’=2·cos x’=-2·sin x.
Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.
- Пример 2
Продифференцировать функцию f(x)=log3x2-1.
Решение
Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f(x)=log3x2-1=2-1·log3x. Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:
f(x)=log3x2-1’=2-1·log3x’==2-1·log3x’=2-1x·ln 3
Ответ: f(x)=2-1x·ln 3
- Пример 3
Дана функция y=12-x+3. Вычислите ее производную.
Решение
Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.
y=12-x+3=12-x·23=2×23
Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:
y’=2×23’=123·2x’=123·2x·ln 2=2x-3·ln 2
Ответ: y’=2x-3·ln 2
Как вычислить производную суммы и производную разности
Чтобы доказать второе правило дифференцирования f(x)±g(x)’=f'(x)±g'(x), нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.
f(x)±g(x)’=lim∆x→0∆(f(x)±g(x))∆x==lim∆x→0fx+∆x±gx+∆x-(f(x)±g(x))∆x==lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)±(g(x+∆x)-g(x))∆x==lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x±lim∆x→0g(x+∆x)-g(x)∆x==lim∆x→0∆f(x)∆x±lim∆x→0∆g(x)∆x=f'(x)±g'(x)
Доказательство 2
Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:
f1(x)±f2(x)±…±fn(x)’=f1′(x)±f2’±…±fn'(x)
- Пример 4
Вычислить производную y=x3+3x+1-ln xln5+3.
Решение
Первым делом упрощаем данную функцию.
y=x3+3x+1-ln xln5+3=x3+3·3x-ln(5+3)·ln x
После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:
y’=(x3)’+3·3x’-ln5+3·ln x’
Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:
y’=(x3)’+3·3x’-ln5+3·ln x’==(x3)’+3·3x’-ln(5+3)·ln x’
Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:
y’=(x3)’+3·3x’-ln(5+3)·ln x’==3·x3-1+3·3x·ln 3-ln5+3x=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x
Ответ: y’=3·x2+3x+1·ln 3-ln(5+3)x
Как вычислить производную произведения функций
Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: fx·g(x)’=f'(x)·g(x)’+f(x)·g'(x)
Попробуем доказать его.
Доказательство 3
Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f(x+∆x)=f(x)+∆f(x), g(x+∆x)=g(x)+∆g(x), а lim∆x→0∆g(x)=0, lim∆x→0∆f(x)=0, то есть если приращение аргумента стремится к 0, то и приращение функции также будет к нему стремиться.
(f(x)·g(x))’=lim∆x→0∆(f(x)·g(x))∆x=lim∆x→0f(x+∆x)·g(x+∆x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0(f(x)+∆f(x))+(g(x)·∆g(x))-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→0g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)∆x==lim∆x→0g(x)·∆f(x)∆x+lim∆x→0f(x)·∆g∆x+lim∆x→0∆f(x)∆x·lim∆x→0∆g(x)==g(x)·lim∆x→0∆f(x)∆x+f(x)·lim∆x→0∆g(x)∆x+f'(x)·0==f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)
Это и есть результат, который нам нужно было доказать.
- Пример 5
Продифференцируйте функцию y=tg x·arcsin x.
Решение
Здесь f(x)=tg x, g(x)=arcsin x. Можем воспользоваться правилом производной произведения:
y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’
Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:
y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’==arcsin xcos2x+tg x1-x2
Ответ: y’=arcsin xcos2x+tg x1-x2
Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать заданиеПример 6
Дана функция y=exx3. Вычислите производную.
Решение
Здесь мы имеем f(x)=ex, g(x)=1×3=x-13. Значит,
y’=exx3=ex·x-13’=ex’·x-13+ex·x-13==ex·x-13+ex·-13·x-13-1=exx3-exx43=exx3·1-1x
Ответ: y’=exx3·1-1x
Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.
- Пример 7
Продифференцируйте функцию y=(1+x)·sin x·ln x.
Решение
Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f(x) произведение (1+x)·sin x, а g(x) – ln x.
У нас получится следующее:
y’=((1+x)·sin x·ln x)’=1+x·sin x’·ln x+1+x·sin x·ln x’
Чтобы найти 1+x·sin x’, нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:
1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’
С помощью этого правила и таблицы производных получим:
1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’==1’+x’·sin x+(1+x)·cos x=0+1·x1-1·sin x+(1+x)·cos x==(0+1)·sin x+1+x·cos x=sin x+cos x+x·cos x
Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:
y’=1+x·sin x·ln x’=1+x·sin x’·ln x+(1+x)·sin x·(ln x)’==sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx
Ответ: y’=sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx
Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.
- Пример 8
Дана функция y=2·sh x-2x·arctg x, вычислите ее производную.
Решение
Исходная функция является разностью выражений 2·sh x и 2x·arctg x, значит, y’=2·sh x-2x·arctg x’=2·sh x’-2x·arctg x’. Здесь можно вынести за знак производной число 2, а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:
y’=2·sh x’-2x·arctg x’=2·sh x’-2x’·arctg x+2x·(arctg x)’==2·ch x-2x·ln 2·arctg x+2×1+x2=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2
Ответ: y’=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2
Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)
Данное правило выглядит следующим образом: f(x)g(x)’=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x).
Докажем его.
Доказательство 4
Сразу отметим, что g(x) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:
f(x)g(x)’==lim∆x→0∆f(x)g(x)∆x=lim∆x→0f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x)g(x)∆x=lim∆x→0f(x+∆x)·g(x)-g(x+∆x)·f(x)∆x·g(x+∆x)·g(x)==1g2(x)·lim∆x→0(f(x)+∆f(x))·g(x)-(g(x)+∆g(x))·f(x)∆x==1g2(x)·lim∆x→0f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)-f(x)·g(x)-f(x)·∆g(x)∆x==1g2(x)·lim∆x→0gx·∆f(x)-f(x)·∆g(x)∆x==1g2(x)·g(x)·lim∆x→0∆f(x)∆x-f(x)·lim∆x→0∆g(x)∆x==f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)g2(x)
- Пример 9
Продифференцируйте функцию y=sin x2·x+1.
Решение
Эта функция является отношением двух выражений 2x+1 и sin x. Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:
y’=sin x2·x+1’=sin x’·2·x+1-sin x·2·x+1’2·x+12
После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:
y’=sin x’·2·x+1-sin x·2·x+1’2·x+12==cos x·(2·x+1)-sin x·2x’+1′(2·x+1)2=cos x·(2·x+1)-sin x·(2·x’+0)(2·x+1)2==cos x·2·x+1-sin x·(2·1·x1-1+0)(2·x+1)2=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2
Ответ: y’=2·x·cos x+cos x-2·sin x(2·x+1)2
Возьмем задачу на применение всех изученных правил.
- Пример 10
Дана функция y=3ex-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x, где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.
Решение
y’=3·ex’-x2·ln x-2·xax’+2sin x·arccos x’
Поясним, как это получилось.
Первым слагаемым будет 3·ex’=3·ex’=3·ex.
Вычисляем второе:
x2·ln x-2·xax’=x2·ln x-2·x·ax-x2·ln x-2·x·ax’ax2==x2·ln x’-2·x’·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x2-1·ln x+x2·1x-2·1·x1-1·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==2·x·ln x+x-2·ax-x2·ln x-2·x·ax·ln aa2·x==x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax
Вычисляем третье слагаемое:
2sin x·arccos x’=2·sin x·arccos x’==2·sin x’·arccos x+sin x·arccos x’==2·cos x·arccos x-sin x1-x2
Теперь собираем все, что у нас получилось:
y’=3·ex’-x2·ln x-2·xax+2sin x·arccos x’==3·ex-x·ln x·(2-x·ln a)+x·1-2·ln a-2ax++2·cos x·arccos x-sin x1-x2
В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.
После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.
Алгоритм для сложной функции
Нахождение производной существенно усложняется в том случае, когда функция является сложной. Она состоит из нескольких элементарных выражений. Необходимо находить дифференциал каждой отдельно. Для этой цели пригодятся свойства нахождения производной, каждое из которых следует применять в конкретной ситуации.
Специалисты рекомендуют новичкам воспользоваться некоторым алгоритмом. Он позволяет существенно сократить время и количество вычислений. Решать без алгоритма не рекомендуется, поскольку это можно сделать неверно. Кроме того, необходимо воспользоваться формулами дифференцирования — таблицей производных для их отыскания.
Для сложной функции вида y(g(f(x))) порядок ее дифференцирования следующий:
- Разбить функцию на составные части.
- Найти производную f(x) и записать ее вначале.
- Выполнить дифференцирование g, а затем записать ее после f(x): f'(x) * g'(f(x)).
- Взять производную y, после этого умножить ее на результат, полученный в пункте 2: f'(x) * g'(f(x)) * y'(g(f(x))).
Принцип очень прост — следует начинать вычислять производную справа налево по частям.
Например, следует найти дифференциал функции y = (1/2) * sin (2x^2 — 6x).
Для наглядности нужно воспользоваться специальным алгоритмом:
- Функция имеет вид y = f(g(x)), и состоит из двух частей: g(x) = 2x^2 — 6x и f(x) = sin(g(x)).
- Производная первого элемента: g'(x) = (2x^2 — 6x)’ = 4x — 6.
- Дифференциал 2 функции: f'(x) = [sin(g(x))]’ = cos(g(x)).
- Получение результата (можно также упростить выражение при необходимости): y’ = [(1/2) * sin (2x^2 — 6x)]’ = (1/2) * [sin (2x^2 — 6x)]’ = (1/2) * (4x — 6) * cos(2x^2 — 6x) = (2x — 3) * cos(2x^2 — 6x).
При решении задачи было задействовано свойство выноса константы за знак дифференциала. Кроме того, функция g(x) — разность двух выражений, производная которых находится по второму свойству дифференцирования. Функция может содержать в своем составе много элементов, но принцип только один.
Следует обратить внимание на первый пункт алгоритма, поскольку нужно правильно разбивать функцию на элементы. На начальной стадии обучения математики рекомендуют воспользоваться онлайн-калькулятором. Он позволяет получить правильное решение. Его можно сравнить результатом, который получен при решении ручным методом.
Примеры нахождения производных
Пример 1
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .
Решение:
Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:
По формуле 3 «производная по x в степени n» (у нас в степени 2).
По правилам дифференцирования 3 и 4.
По первому правилу дифференцирования «производная постоянной равна нулю»
Итак, получим: .
Пример 2
Найти производную функции
Решение:
Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.
Ответ:
Пример 3
Найти производную функции
Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.
Ответ:
Пример 4
Найдите производную функции
Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.
Ответ:
Пример 5
Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции
Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.
То есть мы имеем функцию вида .
Возьмем производную этой функции:
Ответ:
Пример 6
Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м
Решение: скорость тела — это первая производная траектории по времени: . м/с.
Находим скорость тела:
Ответ: 3 м/с.
Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.