Поверхности 2 порядка: их виды, уравнения, примеры

Понятие о поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению.

Общее уравнение поверхности второго порядка, основные определения

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства , описывается уравнением , левая часть которого является многочленом второй степени относительно переменных :

где коэффициенты уравнения при текущих переменных<br>; — свободный член; и по крайней мере один из коэффициентов
отличается от нуля

Уравнение (10.27) называют общим уравнением поверхности второго порядка. Вид поверхности и ее расположение относительно координатных плоскостей зависит от значений параметров в (10.27).

Если не существует ни одной точки , которая удовлетворяет общее уравнение, говорится, что оно определяет мнимую поверхность.
Поверхность называется вырожденной, если ее общее уравнение описывает точку, одну или две плоскости. К примеру:

уравнение точки в 

уравнения двух плоскостей, параллельных 

уравнения двух биссекторных плоскостей.

При изучении поверхностей второго порядка решаются две взаимно обратные основные задачи:

1. по известным геометрическим свойствам точек поверхности составить уравнение соответствующей поверхности;
2. по известным уравнением поверхности установить геометрические свойства ее точек.

Примером решения первой основной задачи является построение уравнения сферы (9.2). Уравнение других важнейших поверхностей рассматриваются ниже.

Цилиндрические и конические поверхности

Цилиндрической поверхностью, или просто цилиндром, называется поверхность, образованная движением прямой, перемещается параллельно самой себе вдоль фиксированной линии (кривой). Подвижную прямую называют образующей, а фиксированную кривую — направляющей цилиндрической поверхности. Направляющей может быть любая сомкнутая или разомкнутая линия.

Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является кривая второго порядка: эллипс (круг), гипербола, парабола. Название цилиндра определяется названием его направляющей. Если образующая параллельна одной из координатных осей, а направляющая лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси, то уравнение цилиндра совпадает с уравнением направляющей. При геометрической интерпретации изображается, как правило, часть поверхности между двумя плоскостями, перпендикулярными образующей.

К примеру:

уравнения эллиптического цилиндра (рис. 10.9 а)

уравнения гиперболического цилиндра (рис. 10.9 б)

уравнения параболического цилиндра (рис. 10.9 в).

Рис. 10.9

Отсутствие переменной  в приведенных уравнениях означает, что аппликанта точек поверхности может быть любым действительным числом, потому что коэффициент при переменной
в уравнениях следует считать равными нулю. Например, уравнение параболического цилиндра можно записать в виде: . Итак, образующая цилиндра параллельна оси, совпадающей с переменной, которая отсутствует в уравнении поверхности.

Если в уравнениях эллипса и гиперболы положить , то получим соответственно круговой и равносторонний гиперболический цилиндры.

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей через заданную точку, вдоль фиксированной кривой. Подвижную прямую называют образующей, заданную точку — вершиной, а фиксированную кривую — направляющей конуса. Если образующей является кривая второго порядка, то поверхность называется конусом второго порядка.

На рис. 10.10 изображен конус второго порядка, определяется уравнением

Рис. 10.10

с вершиной в начале координат, направляющей которого является эллипс

в плоскости 

Поверхность симметрична относительно начала координат, а координатные плоскости является ее плоскостями симметрии. Множество точек поверхности с неотъемлемыми (неположительные) аппликатами называется верхней (нижней) полостью конуса.

Если направляющей конуса является круг , то он называется круговым.

Эллипс, парабола, гипербола — кривые второго порядка — можно получить сечением прямого кругового конуса плоскостями, которые не проходят через его вершину (рис. 10.11).

А именно:

1. если плоскость пересекает только одну полость конуса и непараллельных одной из его образующих, то кривой сечения является эллипс;
2. в частном случае — круг;
3. если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то результат сечения — парабола;
4. если плоскость сечения пересекает обе полости конуса, то кривой сечения является гипербола.

Рис. 10.11

Исследование формы поверхностей второго порядка методом сечений

Приведенные выше уравнения поверхностей второго порядка складывались по геометрическим свойствам их точек в соответствии с определений поверхностей. Для решения обратной задачи (по данным уравнением поверхности определить ее вид) применяется метод сечений, суть которого заключается в следующем:

1. анализируют поверхность, устанавливая за ее уравнением линии пересечения (сечения) данной поверхности координатными плоскостями параллельными им;
2. синтезируют определенные на предыдущем шаге геометрические свойства поверхности, что позволяет представить вид поверхности и изобразить ее.

Продемонстрируем применение метода сечений к исследованию уравнения эллиптического параболоида:

• Исследование предполагает такие шаги:
  найдем линии пересечения поверхности (10.28) с плоскостью
  и плоскостями, параллельными ей :

Если:

, то уравнение (10.29) удовлетворяют лишь координаты точки , то есть плоскость является касательной к данной поверхности;
, то получаем воображаемую линию, поскольку плоскости заданную поверхность не пересекают;
, то уравнение (10.29) можно записать в виде:

то есть сечением поверхности плоскостями, параллельными , есть эллипсы, полуоси которых увеличиваются вместе с увеличением
(рис. 10.12);

• установим линию пересечения поверхности с плоскостью :

Это уравнение параболы, расположенной в плоскости , с осью симметрии .

Рис. 10.12

•  определим (аналогичным образом) сечение поверхности плоскостью : это парабола, которая описывается уравнением , и расположена в плоскости (с осью симметрии ).
• изображаем согласно рассмотренным выше соответствующие линии (рис. 10.12), что позволяет составить представление о форме исследуемой поверхности. Наконец намечаем обвод — линию, получается как множество точек прикосновения к поверхности прямых, параллельных выбранном направления проектирования.

Аналогично осуществляется построение параболоида , сечения которого — параболы ветвями вниз, и параболоидов, оси которых совпадают с координатными осями . Уравнение таких поверхностей получаемых из рассмотренного выше с помощью циклической перестановки переменных.

Поверхностью вращения называется поверхность, для которой каждый из ее сечений плоскостью, перпендикулярной одной из координатных осей или произвольной оси , является кругом. Круговой конус и круговой цилиндр являются примерами такихповерхностей: конус образуется вращением вокруг оси
прямой, проходящей через начало координат, а цилиндр — прямой, параллельной оси , причем прямые не принадлежат плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Уравнения поверхностей, симметричные относительно координатных осей или / и координатных плоскостей, называют каноническими, или стандартными.

В заключение отметим, что приведенные сведения используются при изучении интегрирования функций двух переменных и является фундаментом для более глубокого изучения теории поверхностей второго порядка.

Далее в таблице 10.1 приводятся канонические уравнения и изображения важнейших поверхностей второго порядка.

Важнейшие поверхности второго порядка                                                                    Таблица 10.1

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхности второго порядка называют геометрическое место точек пространства, декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени.

Сфера и ее уравнение

Сферой называют геометрическое место точек пространства,  равноудаленное от заданной точки — центра сферы.

1. Если центром сферы является точка  а радиус  тогда уравнение сферы будет:
2. Если центр сферы находится в начале координат  и радиус  тогда уравнение сферы будет: 

Цилиндрические поверхности

Поверхность называется цилиндрической, если она образуется прямой (образующая), параллельно к заданной прямой  
и которая проходит через заданную линию 
(направляющая линия). Пример цилиндрической линии изображен на рис. 2.24

Если образующая цилиндрической поверхности параллельна оси  а образующая  лежит на плоскости  и задана уравнением:

тогда уравнение цилиндрической поверхности будет:

Уравнение  обозначает цилиндрическую поверхность с образующей, что параллельна оси  уравнение  — цилиндрическая поверхность с образующей, что параллельна оси

Цилиндры второго порядка

• Эллиптичным цилиндром  называется поверхность (рис. 2.25), каноничное уравнение которой имеет вид:

Если  то получим круговой цилиндр: 

• Гиперболичным цилиндром называется поверхность, уравнение которой имеет вид (рис. 2.26):

• Параболическим цилиндром называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид (рис. 2.27):

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид (рис. 2.28): 

Отрезки  — называются полуосями эллипсоида.

Гиперболоиды

• Однополосным гиперболоидом (рис. 2.29) называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид :

• Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом (рис. 2.30) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид: 

Параболоиды

• Эллиптическим параболоидом (рис. 2.31) называется
  поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид: 
• Гиперболичным параболоидом (рис. 2.32) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид:

Конические поверхности

конической поверхностью называется поверхность, которая описана прямой, что проходит через точку — вершину конуса — и что
пересекает заданную линию — направляющую конуса.

Уравнение конуса (рис. 2.33) второго порядка имеет вид: 

Поверхность вращения

Пусть в плоскости  задана линия  что имеет уравнение 
Тогда чтобы получить уравнение поверхности, что образована вращением линии  что лежит в плоскости  около оси  нужно в уравнение этой линии заменить  на  Искомое уравнение поверхности вращения будет 

Аналогично правила будут иметь место и по отношению к поверхностям, которые образуют обращение плоских линий около других координатных осей.

Примеры:

• уравнение поверхности, что образуются вращением эллипса
  около оси  будет  (эллипсоид вращения).
• уравнение поверхности, что образуются вращением гиперболы  около оси  будет  или  (двуполостный гиперболоид).

Примеры решения задач:

Задача 2.126

Обозначить координаты центра сферы и ее радиус:

Решение. Предоставим заданное уравнение в виде (2.43), для этого:

• объединяем в группы члены, которые содержат одноименные координаты;
•  выделим в группах полные квадраты. Получим:

Соизмеряя с (2.43), получим 
Следует, центр сферы — точка  радиус 

Задача 2.127

Эллипс с полуосями 5 и 3 вращается около своей большей оси. которая совпадает с началом координат. Сложить уравнение поверхности, что описывает эллипс при вращении.

Решение. Сложим каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, который размещен в плоскости 

чтобы получить уравнение поверхности, которая образована вращением в плоскости  около оси 
необходимо в уравнении эллипса заменить  на 
Получим эллипсоид вращения, который протянул вдоль оси 

или 

Задача 2.128

Сложим уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей:

Решение. Канонические уравнения образующих, что проходят через вершину  конуса и точки  направляющей, будут:

Исключим   в заданных уравнениях. Изменяя   через  обозначим   и  из остальных двух уравнений: подставим полученные значения   и  в первое уравнение направляющей, получим:

или 

Задача 2.129

Какие поверхности обозначаются уравнениями:

Решение. Каждое из уравнений содержит только две переменные   и   и обозначает на плоскости  кривые:

• круг,
• эллипс,
• параболу,
• гиперболу.

В пространстве же каждое из них обозначается цилиндрическую поверхность с образующими, что параллельны оси   так как эти уравнения не содержат переменной . Направляющими этих цилиндрических поверхности являются указанные кривые:

— уравнение прямого углового цилиндра;

— уравнение эллиптического цилиндра;

— уравнение параболического цилиндра;

— уравнение гиперболичного цилиндра.

Задача 2.130

Гипербола с полуосями 3 и 4 вращается около своей мнимой оси, которая совпадает с осью 
Центры гиперболы совпадает с началом координат. Сложить уравнение поверхности, которое получим при вращении гиперболы.

Решение. Сложим каноничное уравнение гиперболы с центром в начале координат, что находятся в плоскости 

Чтобы сложить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы, что находится в уравнение гиперболы вместо 
подставить 

или 

Следует, получим однополосный гиперболоид вращения:

Как построить график функции

Трехмерные графики функции

Построить графики (в том числе и трехмерные) можно также, используя следующий сервис. Например, построить график функцииcosx + esinx+x3. Записываем как cos(x)+exp((sin(x)+x^3)) и нажимаем кнопку Построить график.
Чтобы построит два графика в одних координатах, например, y=3x-1, y=x2-2x+5, указываем: 3*x-1,x^2-2*x+5. Также можно задать пределы отображения по оси X (ось абсцисс).

Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3).

f(x)=Пределы по x = ..

Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3).

Также можно начертить график по точкам. Необходимо вставить данные для X (первый столбец) и Y (второй и последующие столбцы). <текстареа name=»TEXTEXCEL» rows=»10″ class=»form-control»>

Построение графика функции в Excel осуществляется в два этапа:

1. На первом этапе при заданном интервале [a;b] и шаге h рассчитываются значения функции y=f(x).
2. На втором этапе с помощью инструмента ExcelМастер диаграмм строится визуализация рассчитанных значений.

Чтобы построить трехмерный график в Excel, необходимо указать функцию f(x,y), пределы по x и y и шаг сетки h.

f(x,y)=x= .. y= .. h=

Принципы и способы построения графика функции

График любой функции можно построить прямыми вычислениями значения функции y=f(x) и методом дифференциального исчисления.

1. При прямом вычислении значений функции y=f(x) необходимо задать интервал [a;b] вычислений и шаг h. Получается таблица, по которой можно построить график.
   Например, определим для функции y=x*e2x/3+4 интервал [-3;7], на котором будем отображать найденные точки. Чем меньше шаг h, тем точнее график функции (другими словами, тем точнее аппроксимация). Например, при h=2 количество точек для построения равно N=(7-(-3))/2+1=6 (-3; -1; 1; 3; 5; 7), а при h=0.1 уже N=(7-(-3))/0.1+1=101.
2. Построение графика функции методом дифференциального исчисления предполагает схематичное построение, используя свойства функции.