Решения типовых задач — Математический анализ
Поток векторного поля
Задание 1
Дано: векторное поле и плоскость ,
которая вместе с согласованными плоскостями образует пирамиду .
Позвольте быть основанием пирамиды, принадлежащим плану .
Найдите поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали.
Решение
Это общее уравнение плоскости преобразуется в уравнение сегментированной плоскости .
Из этого уравнения следует, что плоскость разрезает по осям соответственно отрезки и .
Эта плоскость и согласованные плоскости образуют пирамиду с основанием .
Мы вычисляем поток векторного поля через поверхность в нормальном направлении, проецируя поверхность на координатную плоскость.
Проецирует поверхность на плоскость в области .
Находим поток по формуле ,
где — единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности .
По условию нормаль направлена за пределы пирамиды .
Вектор нормали к плоскости имеет координаты .
Поскольку третья координата вектора нормали положительна, вектор нормали образует острый угол с осью .
Следовательно .
Элемент Area .
Цель 2.
Найти поток векторного поля через пересекаемые плоскостью поверхности (внешняя нормаль к замкнутой поверхности, образованной этими поверхностями).
Цель 3.
Найти поток векторного поля а через часть плоскости, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью).
Задача 4.
Найти течение векторного поля через замкнутую (внешнюю нормальную) поверхность).
Задача 5. Найти поток векторного поля через замкнутую (внешнюю нормальную) поверхность)
Перейдем к цилиндрической системе координат
Типовой расчет по теории поля
- Задача 15.
Найти поток векторного поля $ F $ через внешнюю поверхность пирамиды, вырезанной из плоскости $ (p) $, двумя способами: напрямую и по формуле Гаусса-Остроградского. - Найти циркуляцию вектора $ F $ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.
$$ overline {F} = z overline {i} + (x + y) overline {j} + y overline {k}, quad (p): 2x + y + 2z = 2. $
Циркуляция векторного поля
- Задача 10. Найти модуль циркуляции векторного поля $ overline {a} = xy overline {i} + yz overline {j} + zx overline {k} $ по контуру
$$ x ^ 2 + y ^ 2 = 9, x + y + z = 1.$
- Задача 11. Найти циркуляцию вектора $ overline {a} = (x ^ 2-y) overline {i} + x overline {j} + overline {k} $ по контуру
$$ х ^ 2 + у ^ 2 = 1; z = 1$
используя формулу Стокса и напрямую (положительное направление пересечения границы — это то, в котором точка движется по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).
Задача 12. Найти циркуляцию вектора $ F $ вдоль ориентированной границы $ L $. $$ overline {F} = (3x-1) overline {i} + (yx + z) overline {j} + 4z overline {k}, $$ $ L $ — контур треугольника $ ABCA $, где $ A, B, C $ — точки пересечения плоскости $ 2xy-2z + 2 = 0 $ соответственно с осями координат $ Ox, Oy, Oz$.
Направление и интенсивность потока векторного поля
Поток векторного поля зависит от положения поверхности. Если поверхность разместить так, что вектор поля во всех своих точках образует острый угол с вектором, нормальным к поверхности, то проекции вектора an положительны и, следовательно, поток W также положителен (рисунок под). Если поверхность расположена так, что вектор во всех своих точках образует тупой угол с вектором, нормальным к поверхности, то поток W отрицательный.
Векторная линия проходит через каждую точку на поверхности, поэтому поверхность пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако можно условно считать, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это количество векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно локализованы векторные линии и в результате увеличивается поток жидкости.
Если поток векторного поля является полем скорости частиц жидкости, протекающих через поверхность, то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если мы рассмотрим магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции, поверхностный интеграл называется магнитным потоком через поверхность и равен общему количеству линий магнитной индукции, пересекающих поверхность σ.
В случае электростатического поля интеграл выражает количество электрических силовых линий, пересекающих поверхность. Этот интеграл называется потоком вектора напряженности электростатического поля через поверхность. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность. Если k — коэффициент теплопроводности, а u (M) — температура в данной области, то тепловой поток, текущий через поверхность в единицу времени, определяет интеграл .
Поток поля через поверхность
- Задача 5. Найти поток векторного поля $ overline {a} = 2x overline {i} + y overline {j} -2z overline {k} $ через часть плоскости $ P: 2x + y / 2 + z = 1 $ находится в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью $ Oz$).
- Задача 6. Найти поток векторного поля $ overline {a} $ через часть поверхности $ S $, разрезанную плоскостями $ P_1, P_2 $ (внешняя нормаль к замкнутой поверхности, образованной этими поверхностями).
$$ overline {a} = (x ^ 3 + xy ^ 2) overline {i} + (y ^ 3 + x ^ 2y) overline {j} + z ^ 2 overline {k}, S : х ^ 2 + у ^ 2 = 1, P_1 ^ z = 0; P_2: z = 3$
- Задача 7. Найти поток векторного поля $ overline {a} $ через замкнутую поверхность $ S $ (внешнюю нормаль).
$$ overline {a} = x overline {i} + z overline {j} -y overline {k}, S: z = 4-2 (x ^ 2 + y ^ 2), z = 2 (x ^ 2 + y ^ 2).$
- Задача 8. Найти поток векторного поля $ overline {a} = x ^ 3 overline {i} + y ^ 3 overline {j} + z ^ 3 overline {k} $ через замкнутую поверхность $ S : x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 $ (внешняя нормаль).
- Задача 9. Найти поток векторного поля $ overline {a} $ через часть плоскости $ S $, отрезанную от плоскости $ P: z = 1 $, непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского (внешняя нормаль a поверхность закрыта).
$$ overline {a} = (x + xy ^ 2) overline {i} + (y-yx ^ 2) overline {j} + (z-3) overline {k}, quad S: x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 (z geq 0).$
Работа векторного поля
- Задача 13. Найти работу векторного поля $ A = (2xy-y; x ^ 2 + x) $, перемещая материальную точку по окружности $ x ^ 2 + y ^ 2 = 4 $ от $ M (2; 0) $ a $ K (-2,0)$.
- Задача 14. Вычислить работу векторного силового поля $ overline {F} = xz overline {i} — overline {j} + y overline {k} $ при движении материальной точки по пути $ L: x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $, $ z = 1 (y ge 0) $ от точки $ M ( sqrt (3); 0; 1) $ до точки $ N (- sqrt (3); 0; 1)$.