Построение графика функции: исследование и решение

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

На основании проведенного исследования построить график функции.

Нахождение области определения

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

Пример 1

Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.

4×2-1=0x=±12⇒x∈-∞; -12∪-12; 12∪12; +∞

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа g(x)4 по неравенству g(x)≥0, для логарифма logag(x) по неравенству g(x)>0.

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Пример 2

Для примера рассмотрим приграничные точки, равные x=±12.

Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: limx→-12-0f(x)=limx→-12-0x24x2-1==limx→-12-0x2(2x-1)(2x+1)=14(-2)·-0=+∞limx→-12+0f(x)=limx→-12+0x24x-1==limx→-12+0x2(2x-1)(2x+1)=14(-2)·(+0)=-∞limx→12-0f(x)=limx→12-0x24x2-1==limx→12-0x2(2x-1)(2x+1)=14(-0)·2=-∞limx→12-0f(x)=limx→12-0x24x2-1==limx→12-0x2(2x-1)(2x+1)=14(+0)·2=+∞

Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые x=±12 — вертикальные асимптоты графика.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие y(-x)=y(x), функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно Оу.  Когда выполняется условие y(-x)=-y(x), функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства y(-x)=y(x) говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно Оу.

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решения неравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f'(x)≥0 и f'(x)≤0 соответственно.

1. Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.
2. Критические точки  — это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при  имеющихся промежутках возрастания  и убывания неравенства вида  f'(x)>0 критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной , необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y=x3, где точка х=0 делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y’=13·x23, y'(0)=10=∞, х=0 включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти:

• производную;
• критические точки;
• разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
• определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а — является убыванием.

Пример 3

Найти производную на области определения  f'(x)=x2′(4×2-1)-x24x2-1′(4×2-1)2=-2x(4×2-1)2.

Решение

Для решения нужно:

• найти стационарные точки, данный пример располагает х=0;
• найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x=±12.

Выставляем точки на числовой оси для определения производной   на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем +, что означает возрастание функции, а — означает ее убывание.

Например, f'(-1)=-2·(-1)4-12-12=29>0, значит, первый интервал слева имеет знак +. Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

• происходит возрастание функции на промежутке -∞; -12 и (-12; 0];
• происходит убывание на промежутке [0; 12) и 12; +∞.

На схеме при помощи + и — изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки  экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать заданиеПример 4

Если рассмотреть пример, где х=0, тогда значение функции в ней равняется f(0)=024·02-1=0.  При перемене знака производной с + на — и прохождении через точку х=0, тогда точка с координатами (0; 0) считается точкой максимума. При перемене знака с — на + получаем точку минимума.

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида f»(x)≥0 и f»(x)≤0. Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:

• найти вторую производную;
• найти нули функции второй производной;
• разбить область определения появившимися точками на интервалы;
• определить знак промежутка.

Пример 5

Найти вторую производную из области определения.

Решение

f»(x)=-2x(4×2-1)2’==(-2x)'(4×2-1)2—2x4x2-12′(4×2-1)4=24×2+2(4×2-1)3

Находим нули числителя и знаменателя, где на примере нашего примера имеем, что нули знаменателя x=±12

Теперь необходимо нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной из каждого промежутка. Получим, что

Ответ:

• функция является выпуклой из промежутка -12; 12;
• функция является вогнутой из промежутков -∞; -12 и 12; +∞.

Определение 4

Точка перегиба – это точка вида x0; f(x0). Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через x0 функция изменяет знак на противоположный.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная  и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки x=±12. Они , в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y=kx+b, где k=limx→∞f(x)x и b=limx→∞f(x)-kx.

При k=0 и b, не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной.

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

k=limx→∞f(x)x=limx→∞x24x2-1x=0b=limx→∞(f(x)-kx)=limx→∞x24x2-1=14⇒y=14

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.

Пример 7

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции  в точках х=-2 , х=-1 , х=-34 ,х=-14. Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим х=2 , х=1 , х=34 , х=14.

Запишем и решим:

f(-2)=f(2)=224·22-1=415≈0,27f(-1)-f(1)=124·12-1=13≈0,33f-34=f34=3424342-1=920=0,45f-14=f14=1424·142-1=-112≈-0,08

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 

• 

 

• 

 

• 

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

 

• Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины

 

• Ветви вверх, следовательно, a > 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

 

• Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

• y = 3x — 1
• y = -x + 2
• y = 2x
• y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

• y = 3x — 1

x	y
0	-1
1	2

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

• y = -x + 2

x	y
0	2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

• y = 2x

x	y
0	0
1	2

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

• y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

1. y = x² + 1
2. 
3. y = (x — 1)² + 2
4. 
5. 

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

• 

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

• 

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x — 1

• y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

• 

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

• 

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс: