Понятие предела функции: по Коши и Гейне

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

• предел обозначается значком lim;
• под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
• затем справа дописывается сама функция, например:

  

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞. Его следует понимать как бесконечно большое +∞ или бесконечно малое -∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида +∞ или -∞ не стоит заменять просто на ∞.

Запись предела функции имеет вид limx→x0f(x). В нижней части мы пишем основной аргумент x, а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x0 он будет стремиться. Если значение x0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x0 стремится к бесконечности (не важно, ∞, +∞ или -∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. limx→x0f(x)=A, то его называют конечным пределом, если же limx→x0f(x)=∞, limx→x0f(x)=+∞ или limx→x0f(x)=-∞, то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Число A является пределом функции f(x) при x→∞, если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: limx→∞f(x)=A.

При x→∞ предел функции f(x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как limx→∞f(x)=∞.

Пример 1

Докажите равенство limx→∞1×2=0 с помощью основного определения предела для x→∞.

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1×2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x=1, 2, 3,…, n,….

11>14>19>116>…>1n2>…

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0. См. на картинке:

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

x=-1, -2, -3,…, -n,…

11>14>19>116>…>1-n2>…

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ:  Верность данного в условии равенства подтверждена.

Пример 2

Вычислите предел limx→∞e110x.

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f(x)=e110x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x=1, 4, 9, 16, 25,…, 102,…→+∞.

e110; e410; e910; e1610; e2510;…; e10010;…==1,10; 1,49; 2,45; 4,95; 12,18;…;22026,46;…

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f(x)=limx→+∞e110x=+∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x=-1, -4, -9, -16,-25,…, -102,…→-∞.

e-110; e-410; e-910; e-1610; e-2510;…;e-10010;…==0,90; 0,67; 0,40; 0,20; 0,08;…;0,000045;…x=1, 4, 9, 16, 25,…,102 ,…→∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f(x)=limx→∞1e10x=0.

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Ответ:limx→∞e110x=+∞, при x→+∞0, при x→-∞.

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание Определение 3

Число B является пределом функции f(x) слева при x→a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции xn, сходящейся к a, если при этом ее значения остаются меньше a (xn<>

Такой предел на письме обозначается как limx→a-0f(x)=B.

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Число B является пределом функции f(x) справа при x→a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции xn, сходящейся к a, если при этом ее значения остаются больше a (xn>a).

Этот предел мы записываем как limx→a+0f(x)=B.

Мы можем найти предел функции f(x) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. limx→af(x)=limx→a-0f(x)=limx→a+0f(x)=B. В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Пример 3

Докажите, что существует конечный предел функции  f(x)=16(x-8)2-8 в точке x0=2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x0=2, если xn<2:

f(-2); f(0); f(1); f112; f134; f178; f11516;…; f110231024;…==8,667; 2,667; 0,167; -0,958; -1,489; -1,747; -1,874;…; -1,998;…→-2

Поскольку приведенная последовательность сводится к -2, мы можем записать, что limx→2-016x-82-8=-2.

Далее докажем наличие предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x0=2, если xn>2:

6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,…, 211024,…→2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f(6); f(4); f(3); f212; f234; f278; f21516;…; f210231024;…==-7,333; -5,333; -3,833; -2,958; -2,489; -2,247;-2,124;…, -2,001,…→-2

Данная последовательность также сходится к -2, значит, limx→2+016(x-8)2-8=-2.

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f(x)=16(x-8)2-8 в точке  x0=2 существует, и limx→216(x-8)2-8=-2.

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к xn<2, синие – к xn>2).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и limx→216(x-8)2-8=-2.

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Предел функции по Гейне

Значение А является пределом (предельным значением) функцииf (x) в точке  x0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к  x0, но которая не содержит  x0как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности  x0), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши

Значение A будет являться пределом функцииf (x) в точке  x0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 < | x – x0 | < δ, будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε.

Предел последовательности

Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения.

А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.

Начиная с 13 значения все последующие находятся так близко друг к другу, что попадают в этот предел. Хотя, конечно не равны ему, а «колеблются» то влево то вправо на предельно малую величину ε. На картинке +ε и -ε. И почти все члены последовательности за исключением первых 13 находятся в интервале (s-ε; s+ε).

ε — это произвольное положительное число.

Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».

Можно сказать и так:

Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно.

Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.

Математическим языком можно записать так: s-ε < xn < s+ε или|xn— s| < ε

То есть, все точки будут находится в полосе шириной 2ε на сигму правее и на сигму левее. Чем дальше вверх, тем ближе значения будут к s, но не «выпадут» из + или — сигма. Определение предела в математике не то чтобы сложно, оно контринтуитивно. Приходится подключать фантазию, чтобы понять, что на самом деле все просто и понятно.

Все еще достаточно «математически», попробуем человеческим языком:

Самое понятное объяснение таково. Предел последовательности, это такая величина в которую «почти упираются» все ее значения. Некий виртуальный потолок, до которого никак не допрыгнуть, хотя всегда остается совсем чуть-чуть.

Вот, например последовательность n/n+1. Тут видно, что какое значение «n» не подставляй, знаменатель всегда будет на 1 больше. Возьмем «единицу»  1/1+1=0,5, возьмем «десятку» 10/10+1=0,909, а если «двадцатку»  — 0,952, а если «сотню» — 0,990099. какое бы число мы не подставляли, значение всегда будет стремится к единице, но никогда не будет равно единице.

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела. Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.

Зачем нужны пределы

Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.

Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.

Вот какой график получится, если взять функцию y=x2-4/x-2

В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.

В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.

lim x2-4/x-2

при х→2 lim x2-4/x-2→4

Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.

Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.

x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.

Примеры из жизни

Зачем все это нужно где применяется пределы в реальных расчетах?

Простое объяснение пределов невозможно, если не привести наглядный пример. Но только где его взять? Существует ли какой-то физический смысл пределов? Не точный аналог но что-то похожее есть.

Можно провести простой эксперимент, взять, например, спичку. Или что-угодно, чего не жалко. Начинаем пытаться сломать спичку, сначала одно усилие, потом чуть больше и еще больше. В один из моментов спичка треснет пополам.

Поздравляем, вы достигли предела прочности. Можно повторить эксперимент с другими спичками и установить, значение при котором спичка ломается.

Что тут общего с пределами из математики, кроме названия.

Есть множество значений силы до предела прочности и оно ограничено, и множество значений после предела прочности, их неограниченное множество. Ведь спичка уже сломана, любое усилие выше предела прочности будет ломать новую и новую спичку. Точно так же как и с пределом функции или множества.

Все, что лежит за пределом, уже не имеет практического значения — спичка не устоит.

Еще один пример, это «практический потолок» летательного аппарата. Это максимальная высота на которую может «взобраться» самолет, чтобы подняться выше будет уже не хватать подъемной силы. Хотя на есть еще и понятие «динамический потолок» — это высота на которую можно подняться хорошенько разогнавшись.

Но, выскочив на эту высоту, через некоторое время самолет все равно опустится на свой «потолок».

Мост так раскачивается из-за того, что собственная частота колебания совпадает с той частотой с которой его раскачивает ветер, амплитуда колебаний постоянно возрастает и мост разрушается. В этом случае амплитуда стремится к бесконечности, так как в знаменателе формулы находится выражение w0-w (собственная частота колебаний минус вынужденная частота), а так как обе w равны, получается то самое деление на ноль, а значит амплитуда → ∞.

Самое понятное объяснений пределов в реальности, с которым может столкнуться каждый — это сложные банковские проценты по кредиту. И если вы не умеете рассчитывать сложны проценты, не берите кредит. Для тех, кто силен в матанализе совет будет не лишним.

Также может понадобится рассчитать предельную стоимость товара, зная зависимость (функцию) цены от объема продаж или предельный объем производства или много еще чего.

Самый наглядный пример, возможно, это предел в маркетинге. Вот зависимость стоимости клика от количества кликов в контекстной рекламе.

Очевидно, что предел этой функции стремится к 30 кликам, если стоимость клика стремится к бесконечности. Даже без знания матанализа становится понятно, даже при повышении ставки за клик до $4 или $5 долларов, нельзя будет добиться большего количества кликов, чем 30. А раз так, то зачем повышать ставки?

И все же, в повседневной жизни обыватель редко встречается с таким понятием как предел функции или последовательности. Поэтому и так сложно понять и принять абстрактные математические формулировки.

Но, если постараться, математика может открыть новые грани реальности, по крайней мере, все это уже не будет казаться таким скучным и непонятным.

Найти предел функции.

Найти предел функции — будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A, записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x, может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции, лучше всего посмотреть примеры решения.

Пример 1:

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции. Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x. Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Ответ

Пример 2:

Необходимо вычислить предел функции 

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x3, выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Пример 3:

Необходимо рассчитать предел
Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x2 + 2x  — 3:

D = 22 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 →√D = √16 = 4

x1,2  = (-2 ± 4) / 2 → x1 = -3; x2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида
   или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть ∞. Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо ∞ — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо ∞. Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

• 3 – 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

• При x = 1, y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2
• При x = 10, y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124
• При x = 100, y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x2 + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

• Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

• Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

• Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

• В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

• Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

• Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2×2 – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

• Получаем вот такой видоизмененный предел:

• Дробь можно сократить на (x – 1):

• Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом: