Полное исследование функции и построение графика

Общая схема исследования

Какая польза от этого исследования, спросите вы, если существует множество сервисов, которые используют графику для более сложных функций? Чтобы узнать свойства и характеристики заданной функции: как она ведет себя на бесконечности, как быстро меняет знак, как быстро увеличивается или уменьшается, куда направлены «выпуклости» выпуклости, где значения не определены и т д.

И уже на основе этих «характеристик» строится графический макет — изображение, которое фактически является второстепенным (хотя в учебных целях оно важно и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно, с плана. Изучение функции — задача объемная (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом рисунка), поэтому, чтобы не забывать, что делать в каком порядке, давайте следуйте пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

1. Найдите домен. Выберите специальные точки (точки останова).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найдите точки пересечения с осями координат.
4. Определяет, является ли функция нечетной или четной.
5. Определяет, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
6. Найдите крайние точки и монотонные интервалы.
7. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклой вогнутости.
8. Найдите наклонные асимптоты. Бесконечно исследуйте поведение.
9. Выберите дополнительные точки и вычислите их координаты.
10. Графическая диаграмма и асимптоты.

В разных источниках (учебники, руководства, уроки вашего учителя) список может выглядеть иначе: одни элементы обмениваются, объединяются с другими, сокращаются или удаляются. При разработке решения учитывайте потребности / предпочтения вашего учителя.

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решения неравенства мы используем интервалы приращения и убывания с условиями f ‘(x) ≥0 и f’ (x) ≤0 соответственно.

Стационарные точки — это те точки, которые приводят производную к нулю.

Критические точки — это точки внутри области, где производная функции равна нулю или не существует.

При принятии решения следует учитывать следующие замечания:

• при имеющихся интервалах увеличения и уменьшения неравенств вида f ‘(x)> 0 критические точки в решение не входят;
• точки, в которых функция определена без конечной производной, должны быть включены в интервалы увеличения и уменьшения (например, y = x3, где точка x = 0 определяет функцию, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y ‘ = 13 x23, y ‘(0) = 10 = ∞, x = 0 входит в возрастающий интервал);
• во избежание разногласий рекомендуется пользоваться математической литературой, рекомендованной министерством образования.

Включение критических точек в интервалы нарастания и убывания, если они удовлетворяют области определения функции.

Чтобы определить интервалы увеличения и уменьшения функции, вам необходимо найти:

• производная;
• критические точки;
• разделите область определения с помощью критических точек на интервалы;
• определить знак производной в каждом из интервалов, где + — увеличение, а — — уменьшение.

Пример 3

Найдите производную в области f ‘(x) = x2’ (4×2-1) -x24x2-1 ‘(4×2-1) 2 = -2x (4×2-1) 2.

Решение

Для решения вам потребуется:

• найти стационарные точки, в этом примере x = 0;
• находит нули знаменателя, пример принимает нулевое значение в x = ± 12.

Мы выставляем точки на числовой оси, чтобы определить производную на каждом интервале. Для этого просто возьмите любую точку из диапазона и выполните расчет. Если результат положительный, мы наносим + на график, что означает увеличение функции, а — указывает на ее уменьшение.

Например, f ‘(- 1) = — 2 · (-1) 4-12-12 = 29> 0, что означает, что первый интервал слева имеет знак +. Рассмотрим числовую прямую.

Отвечать:

• функция возрастает в интервале -∞; -12 и (-12,0</a>;
• наблюдается уменьшение интервала </a>0; 12) и 12; +∞.

На диаграмме использование + и — представляет положительность и отрицательность функции, а стрелки — уменьшение и увеличение.

Крайние точки функции — это точки, в которых функция определяется и через которые производная меняет знак.

Пример 4

Если рассматривать пример, где x = 0, то значение функции в нем равно f (0) = 024 02-1 = 0. Когда знак производной меняется с + на — и проходит через точку x = 0, то точка с координатами (0; 0) считается точкой максимума. Когда знак меняется с — на +, мы получаем минимальный балл.

Полный пример решения онлайн

Выполните полное исследование и постройте функцию $$ y (x) = frac {x ^ 2 + 8} {1-x}. $

• Область определения функции. Поскольку функция дробная, вам нужно найти нули знаменателя. $$ 1-x = 0, quad Rightarrow quad x = 1. $$ Исключаем единственную точку $ x = 1 $ из области определения функции и получаем: $$ D (y) = (- infty; 1) чашка (1; + infty). $
• Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва. Находим односторонние ограничения:
• Поскольку пределы равны бесконечности, точка $ x = 1 $ — разрыв второго типа, прямая $ x = 1 $ — вертикальная асимптота.

Определите точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдите точки пересечения с осью y $ Oy $, для которых мы отождествляем $ x = 0$:

Следовательно, точка пересечения с осью $ Oy $ имеет координаты $ (0; 8)$.

Найдите точки пересечения с осью абсцисс $ Ox $, для которых положим $ y = 0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому нет пересечений с осью $ Ox.

Обратите внимание, что $ x ^ 2 + 8> 0 $ для любого $ x $. Следовательно, для $ x in (- infty; 1) $ функция $ y> 0 $ (принимает положительные значения, график находится выше оси x), для $ x in (1; + infty) $ функция $ y lt 0 $ (принимает отрицательные значения, график находится под осью абсцисс).

• Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку:
• Рассмотрим функцию на периодичность. Функция не периодическая, так как является дробно-рациональной функцией.
• Разберем функцию по крайностям и монотонности. Для этого находим первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и находим стационарные точки (где $ y ‘= 0$):

У нас есть три критических точки: $ x = -2, x = 1, x = 4 $. Разобьем всю область определения функции на интервалы с точками данных и определим знаки производной в каждом интервале:

Для $ x in (- infty; -2), (4; + infty) $ производная равна $ y ‘ lt 0 $, поэтому функция убывает по этим интервалам.

При $ x in (-2; 1), (1; 4) $ производная $ y ‘> 0 $ функция возрастает на заданных интервалах.

В этом случае $ x = -2 $ — точка локального минимума (функция убывает, а затем увеличивается), $ x = 4 $ — точка локального максимума (функция увеличивается, а затем уменьшается).

Находим значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума — $ (- 2; 4) $, точка максимума — $ (4; -8)$.

• Рассмотрим функцию перегибов и выпуклостей. Находим вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому нет точек перегиба. Также при выполнении $ x in (- infty; 1) $ $ y » gt 0 $, т.е функция является вогнутой, когда выполняется $ x in (1; + infty) $ $ y ‘ ‘ lt 0 $, т.е функция выпуклая.

• Исследуем поведение функции на бесконечности, т. Е. A .

Поскольку пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты вида $ y = kx + b $. Рассчитываем значения $ k, b $ по известным формулам:

Мы получили, что функция имеет наклонную асимптоту $ y = -x-1$.

• Дополнительные баллы. Мы вычисляем значение функции в другом месте, чтобы построить более точный график.

$$ y (-5) = 5,5; quad y (2) = — 12; quad y (7) = — 9,5. $

10) На основе полученных данных строим график, интегрируем его с асимптотами $ x = 1 $ (синий), $ y = -x-1 $ (зеленый) и отмечаем характерные точки (фиолетовое пересечение с ось заказанного, оранжевые крайности, дополнительные черные точки):

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции есть вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Пример

Например, считайте, что граничные точки равны x = ± 12.

Затем необходимо провести исследование функции, чтобы найти односторонний предел. Получаем: limx → -12-0f (x) = limx → -12-0x24x2-1 == limx → -12-0x2 (2x-1) (2x + 1) = 14 (-2) -0 = + ∞limx → -12 + 0f (x) = limx → -12 + 0x24x-1 == limx → -12 + 0x2 (2x-1) (2x + 1) = 14 (-2) (+0) = — limx → 12-0f (x) = limx → 12-0x24x2-1 == limx → 12-0x2 (2x-1) (2x + 1) = 14 (-0) 2 = -∞limx → 12 -0f (x) = предел → 12-0x24x2-1 == предел → 12-0x2 (2x-1) (2x + 1) = 14 (+0) 2=+∞

Таким образом, видно, что односторонние пределы бесконечны, а это означает, что прямые x = ± 12 являются вертикальными асимптотами графика.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы график получился более точным, рекомендуется находить разные значения функции в промежуточных точках.

Пример

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках x = -2, x = -1, x = -34, x = -14. Поскольку функция четная, мы получаем, что значения совпадают со значениями в этих точках, то есть получаем x = 2, x = 1, x = 34, x = 14.

Пишем и решаем:

f (-2) = f (2) = 224 22-1 = 415≈0,27 f (-1) -f (1) = 12412-1 = 13≈0,33 f-34 = f34 = 3424342-1 = 920 = 0 0,45 f-14 = f14 = 1424142-1 = -112≈-0,08

Примеры решений по исследованию функции

Различные функции (полиномы, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при изучении (разрывы, асимптоты, количество крайностей, ограниченная область определения), поэтому здесь мы постарались собрать примеры из управляющих функций для изучения наиболее распространенных типов. Удачи в твоей студии!

Задание 1. Изучите функцию методами дифференциального исчисления и постройте график.

$$ y = frac {e ^ x} {x}.$

Задание 2. Изучите функцию и постройте ее график.

$$ y = — frac {1} {4} (x ^ 3-3x ^ 2 + 4).$

Задание 3. Изучите функцию, используя производную, и постройте график.

$$ y = ln frac {x + 1} {x + 2}.$

Задание 4. Провести полное изучение функции и построить график.

$$ y = frac {x} { sqrt {x ^ 2 + x}}.$

Задание 5. Изучите функцию методом дифференциального исчисления и постройте график.

$$ y = frac {x ^ 3-1} {4x ^ 2}.$

Задание 6. Исследуйте функцию на предмет крайностей, монотонности, выпуклости и постройте график.

$$ y = frac {x ^ 3} {x ^ 2-1}.$

Поможем с изучением функции: быстро, подробно От 150 руб за раствор

Задание 7. Проведите исследование функции, построив график.

$$ y = frac {x ^ 3} {2 (x + 5) ^ 2}.$

Задача 8. Построить график функции $ y = y (x) $, заданной параметрически

$$ x = frac {t ^ 2} {t + 1}, y = frac {1} {t} — frac {t ^ 3} {3}.$

Задача 9. Изучить функцию и построить ее график $ r = 1 + tg phi$.

Задача 10. Проанализировать функцию и построить ее график $ (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 = 4x ^ 2y ^ 2$.

Задача 11. Полностью изучить периодическую функцию $ y = cos 3x — 2 sin 6x $ и построить ее график.

Задача 12. Проведите полное исследование и постройте функцию $ y = f (x) $ с помощью Excel. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $ — 3; -1$.

$$ y = frac {4-x ^ 3} {x ^ 2}.$

Задание 13. Провести полное исследование и построить график функции.

$$ f (x) = frac {x} {2} — arccos frac {2x} {1 + x ^ 2}.$

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности необходимо искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты представлены с помощью прямых, определяемых уравнением y = kx + b, где k = limx → ∞f (x) x и b = limx → ∞f (x) -kx.

Для k = 0 и b, не равного бесконечности, мы находим, что наклонная асимптота становится горизонтальной.

Другими словами, асимптоты — это линии, по которым график функции приближается к бесконечности. Это облегчает быстрое отслеживание функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определена на обеих бесконечностях, необходимо вычислить предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как будет вести себя график функции.

Пример

Например, рассмотрим, что

k = limx → ∞f (x) x = limx → ∞x24x2-1x = 0b = limx → ∞ (f (x) -kx) = limx → ∞x24x2-1 = 14⇒y = 14

— горизонтальная асимптота. Ознакомившись с функцией, вы можете приступить к ее созданию.

Задача 2

Изучите функцию и постройте ее график:

Решение

1. Область определения функции:
2. Рассмотрим функцию на предмет нечетной однородности:

Функция нечетная

1. График функции оси координат не пересекается
2. Давайте исследуем функцию на непрерывность, точки излома, вертикальные и наклонные асимптоты:

В точке есть брешь второго рода.

Прямая — вертикальная асимптота.

Чтобы найти наклонную асимптоту, вычислим пределы:

наклонная асимптота

• Давайте рассмотрим функцию с одной стороны. Находим производную функции.

Приравниваем найденную производную к нулю и решаем полученное уравнение:

1. функция увеличивается
2. функция убывает
3. функция убывает
4. функция увеличивается

• Рассмотрим функцию для интервалов выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю во всей области определения

1. график функции выпуклый
2. график функции вогнутый

• График функции выглядит так:

Как построить график онлайн?

Даже если учитель попросит вас сдать рукописное задание с рисунком на листе бумаги в коробке, вам будет чрезвычайно полезно построить график в специальной программе (или сервисе) во время решения, чтобы отслеживать прогресс решения, сравните его внешний вид с тем, что было получено вручную, возможно, обнаружив ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя иначе).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют создавать графику в удобной, быстрой, красивой и конечно же бесплатной практически любой функции. Действительно, существует множество других услуг такого типа, но стоит ли искать лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Формулы вводятся интуитивно (конвертируются на лету), масштаб диаграммы и цвета выбираются автоматически для максимальной ясности. Например, для функции $ y (x) = frac {x ^ 3} {4 (x-2) ^ 2} $ основной график и асимптоты были построены всего за одну минуту, вот что произошло:

При этом сам сайт обозначил важные точки на графике (см. Серым цветом): локальный крайний, пересечение с осями.

Вы можете изменить масштаб, цвета, вид линии; добавлять на диаграмму точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту умеет раскрасить Desmos (а точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но достаточно подходящий для образовательных целей. Вы можете одновременно строить несколько графиков в режиме онлайн, выбирая как нормальные, так и параметрические представления, а также активность в полярных координатах. Цвет и масштаб можно изменить вручную. Вот как представлены диаграммы:

И вот такой график — результат:

Из недостатков видно, что ввести, например, горизонтальные асимптоты не так-то просто: если в Desmos мы просто написали $ x = 2 $, то здесь пришлось ввести параметрическую функцию $ x (t) = 2 , y (t) = t $. Цвета и масштаб тоже приходилось подбирать вручную (иначе все графики были бы красными и маленькими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые менее удобны / функциональны, но также заслуживают внимания:

• ru.numberempire.com Вы можете создавать несколько функций одновременно, цвета выбираются автоматически, график является интерактивным (положение и масштаб можно изменять с помощью мыши).
• mathsolution.ru Вы можете создавать различную графику, выбирая толщину и цвет линии, скрывать / отображать сетку, изменять масштаб, сохранять изображения в файл.
• easyto.me При создании нескольких графиков на поле предыдущие не меняются. В остальном функции такие же, как и раньше: выбор цвета, толщины линии, масштаба рисунка.
• grafikus.ru Помимо обычной графики, вы также можете строить трехмерные (3d). Вы можете построить несколько графиков разных типов (нормальный, параметрический, в полярных координатах). Невозможно выбрать цвет и толщину линии. Нет интерактивности

Больше знаний: теория и практика

Еще несколько ссылок для тех, кто хочет узнать больше по теме. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете как подробные примеры, так и ссылки на предыдущие разделы теории (и невозможно исследовать функцию, не зная ее пределов, производных, концепции непрерывности и т.д.) с не менее подробными объяснение. Все это приправлено долей юмора, что делает его очень «съедобным» даже для цельного чайника в математике: Поиск функций Александра Емелина.

Вторая ссылка удобна для тех, кто хочет научиться создавать красивую графику на Desmos.com (см. Описание выше): Полные инструкции по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта изменился в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться в важных функциях сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видеоуроки на английском языке доступны здесь: Learn Desmos.

Понятие графика функции

График функции y = f (x) — это множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f (x). То же равенство y = f (x) называется уравнением этого графика.

График функции — это набор точек (x; y), где x — аргумент, а y — значение функции, соответствующее определенному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает набор всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив любое число в функцию вместо x.

Например, возьмем простейшую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не нужно вычислять значение функции для каждого аргумента, поскольку они равны, поэтому во всех точках нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Мы сообщаем любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если впоследствии соединить точки, отмеченные наименьшим значением аргумента, с наибольшим, мы получим прямую линию. Итак, график функции y = x представляет собой прямую линию. На графике это выглядит так:

Текст на рисунке y = x — это уравнение графика. На чертеже удобно наносить надпись с уравнением, чтобы не запутаться при решении задач.

важно отметить, что линия бесконечна в обоих направлениях. Хотя мы называем эту часть прямым графиком функции, на самом деле рисунок показывает только небольшую часть графика.

Необязательно рисовать на целом листе тетради, можно выбрать удобную для вас лестницу, которая будет отражать суть дела.

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба

Выпуклость и вогнутость определяются решением неравенств вида f » (x) ≥0 и f » (x) ≤0. Реже название используется выпуклый внизу вместо вогнутого и выпуклый вверху вместо выпуклости.

Для определения интервалов вогнутости и выпуклости необходимо:

• найти вторую производную;
• найти нули второй производной функции;
• разделить область определения на интервалы с отображаемыми точками;
• определить знак разрыва.

Пример

Найдите вторую производную от области.

Решение

f » (x) = — 2x (4×2-1) 2 ‘== (- 2x)’ (4×2-1) 2—2x4x2-12 ‘(4×2-1) 4 = 24×2 + 2 (4×2-1) 3

Мы находим нули числителя и знаменателя, где в нашем примере мы имеем, что нули знаменателя x = ± 12

Теперь вам нужно нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной для каждого интервала. Мы это понимаем

Отвечать:

• функция выпуклая из интервала -12; 12;
• функция вогнута от интервалов -∞; -12 и 12; +∞.

Точка перегиба — это точка вида x0; f (x0). Когда она касается графика функции, то при прохождении через x0 функция меняет знак на противоположный.

Другими словами, это точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках она равна нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере мы видели, что точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак, проходя через точки x = ± 12. Они, в свою очередь, не входят в объем определения.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие y (-x) = y (x), функция считается четной. Это говорит о том, что граф расположен симметрично относительно Oy. Когда выполняется условие y (-x) = — y (x), функция считается нечетной. Это означает, что симметрия относительно начала координат. Если хотя бы одно неравенство не выполняется, получается функция общего вида.

Равенство y (-x) = y (x) означает, что функция четная. При строительстве необходимо учитывать, что на Оу будет симметрия.