Первообразная: определение, неопределенный интеграл и его свойства, таблица, примеры

п.1. Понятие первообразной

Функция (F (x) ) называется первообразной для функции (f (x) ) на интервале (X ), если для каждого (x in X ) выполняется равенство (F ‘ (х) = е (х)).

На практике интервал (X ) считается определением функции (F (x)).

Например:

1. Функция (F (x) = x ^ 2 ) является примитивом для (f (x) = 2x ), потому что для каждого (x ) производная (F ‘(x) = f (Икс)).
2. Функция (F (x) = cos⁡x ) является примитивом для (f (x) = sin⁡x ), поскольку для каждого (x ) производная (F ‘(x) = е (х)).

Поиск производной заданной функции называется дифференцированием. Поиск первообразной данной функции называется интегрированием. Дифференциация и интеграция — взаимно обратные операции.

Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Каждая производная функции (f (x) ) имеет вид (F (x) + C ), где (F (x) ) — одно из этих простых чисел, (C ) — произвольное постоянный.

Действительно, согласно правилу нахождения производной суммы: $$ (F (x) + C) ‘= F’ (x) + C ‘= f (x) + 0 = f (x) $$ То есть первообразная определяется с точностью до константы.
Например:

Поскольку (f (x) = sin⁡x)
Производные: begin {gather *} F (x) = cos⁡x, F (x) = cos⁡x + 1, F (x) = cos⁡x-2, F (x) = cos ⁡ x + 0.100500 end {gather *} и т.д.

Множество всех производных функции (f (x) ) называется неопределенным интегралом этой функции: $$ int f (x) dx = F (x) + C $

Например: $$ int x ^ 2 dx = frac {x ^ 3} {3} + C, int frac {dx} { sqrt {x}} = 2 sqrt {x} + C $

Таблица неопределенных интегралов

Используя результаты, полученные для производных (см. Главу 8 этого руководства), мы можем составить таблицу неопределенных интегралов.

Таблица неопределенных интегралов (f (x) ) ( int f (x) dx = F (x) + C ) (0 ) (C ) (1 ) (x + C ) (x ) ( frac {x ^ 2} {2} + C ) (x ^ q, q ne -1 ) ( frac {x ^ {q + 1}} {q-1} + C ) ( frac1x ) ( ln | x | + C ) (sinx ) (- cosx + C ) (cosx ) (sinx + C ) ( frac {1} {cos ^ 2x} ) (tgx + C ) ( frac {1} {sin ^ 2x} ) (- ctgx + C ) (e ^ x ) (e ^ x + C ) (a ^ x ) ( frac {a ^ x} { ln a})

Если мы возьмем производную функции в правом столбце, мы получим функцию в левом столбце. В этом легко убедиться самому.

Правила нахождения первообразных

Антипроизводная суммы равна сумме антипроизводных.

Если (F (x) ) и (G (x) ) являются производными для функций (f (x) ) и (g (x)), тогда (F (x) + G (x) ) — примитив функции (f (x) + g (x)).

Фактически, $$ begin {cases} F ‘(x) = f (x) G’ (x) = g (x) end {ases} Right left arrow (F (x) + G (x) right) ‘= F’ (x) + G ‘(x) = f (x) + g (x) $

Например:

Найти первообразную функции (y = x ^ 5 + sin⁡x)

Это сумма двух функций (f_1 (x) = x ^ 5, f_2 (x) = sin⁡x).

Соответствующие антипроизводные (F_1 (x) = frac {x ^ 6} {3}, F_2 (x) = — cos⁡x)

Общая антипроизводная с учетом постоянного члена:
(F (x) = frac {x ^ 6} {3} -cosx + C)

Постоянный множитель функции — это постоянный множитель примитива.

Если (F (x) ) является производной от (f (x)),тогда (kF (x) ) — первообразная для (kf (x)).

На самом деле $$ left (kF (x) right) ‘= kF’ (x) = kf (x) $

Например:

Найти производную функции (y = 5sinx + 2 = 5 cdot sinx + 2 cdot 1)

Антипроизводная на синус (F_1 (x) = — cosx ), антипроизводная на единицу (F_2 (x) = ⁡x)

Общая антипроизводная
(F (x) = — 5cosx + 2x)

Линейное преобразование аргумента функции.

Если (F (x) ) является производной от (f (x)), поэтому для функции с одним аргументом (f (kx + b) ) первообразная будет ( frac1k F (kx + b)).

Действительно

Для (x ) получаем цепочку отображений: (x rightarrow kx + b rightarrow F (kx + b))

Согласно правилу дифференцирования комплексной функции (см. §45 настоящего руководства) begin {gather *} left ( frac1k F (kx + b) right) ‘= frac1k cdot F’ (kx + b) cdot (kx + b) ‘= frac1k cdot F’ (kx + b) cdot k = F ‘(kx + b) = = f (kx + b) end {собрать*}

Например:

Найти первообразную функции (y = sin (5x + 2) )

Мы знаем, что примитив для (f (x) = sin⁡x, F = -cos⁡x)

При преобразовании аргумента (x rightarrow 5x + 2 ) новая первообразная будет иметь новый аргумент и множитель ( frac1k = frac15 ). У нас есть:
(F (x) = — frac15 cos (5x + 2))

Свойства неопределенных интегралов

Свойства неопределенных интегралов являются прямым следствием свойств первообразных.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $$ int (f (x) + g (x)) dx = int f (x) dx + int g (x) dx $$ Константа Множитель перед функцией можно принять за знак интеграла: $ $ int kf (x) dx = k int f (x) dx $$ Линейное преобразование аргумента подынтегральной функции: $$ int f (xk + б) dx = frac1k F (kx + b) + C $$, где (F (x) ) — производная для (f (x), k n и 0)

Например:

Найдите интеграл ( int left (x sqrt {x} + frac {1} {cos ^ 2 (2x + 1)} right) dx)

Подынтегральное выражение представляет собой сумму двух функций, производные которых равны: begin {gather *} F_1 (x) = frac {x ^ { frac32 + 1}} { frac32 + 1} = frac {x ^ { frac52}} { frac52} = frac25x ^ 2 sqrt {x} F_2 (x) = frac12 cdot tg (2x-1) end {gather *} Получаем: begin {gather * } int left (x sqrt {x} + frac {1} {cos ^ 2 (2x-1)} right) dx = frac25x ^ 2 sqrt {x} + frac12 tg (2x-1) + C end {gather *} Проверьте результат интегрирования для дифференциации: begin {gather *} left ( frac25x ^ 2 sqrt {x} + frac12 tg (2x-1) + C right) ‘= frac25 cdot frac52 x ^ { frac52-1} + frac12 cdot frac {1} {cos ^ 2 (2x-1)} cdot (2x-1) ‘+ 0 = = x sqrt {x} + frac {1} {cos ^ 2 (2x-1)} end {gather *}

Мы получили исходное подынтегральное выражение. Результат интеграции правильный.

Примеры

• Пример 1. Докажите, что функция (F (x) ) примитивна для (f (x) ), если:

(F (x) = x ^ 2 sqrt {x} + 14sin3x)
(е (х) = frac52 x sqrt {x} + 42cos 3x)
Найдите производную (F ‘(x) ) $$ F’ (x) = frac52 cdot x ^ { frac52-1} +14 cdot cos3x cdot (3x) ‘= frac52 x sqrt { x} + 42cos3x = f (x) $$ Это именно то, что требовалось доказать.

(F (x) = tg5x-4e ^ x)
(f (x) = frac {5} {cos ^ 2 5x} -4e ^ x ) $$ F ‘(x) = frac {1} {cos ^ 2 5x} cdot (5x)’ — 4e ^ x = frac {5} {cos ^ 2 5x} -4e ^ x = f (x) $$ Что и требовалось доказать.

• Пример 2. Найдите первообразную функции, которая проходит через заданную точку:

(y = sinx, A left ( frac pi 3; frac14 right))

Общий вид производных для синуса: $$ F (x) = — cosx + C $$ Чтобы найти первообразную, проходящую через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки: $$ frac14 = — cos frac pi 3+ C Стрелка вправо C = frac14 + cos frac pi 3 = frac14 + frac12 = frac34 $$ Антипроизводная: $$ F (x) = — cosx + frac34 $

(y = (x + 2) (3x-1), A (0; 4))

Получаем квадратный трехчлен: (y = 3x ^ 2 + 5x-6)

Общий вид первообразной: $$ F (x) = 3 cdot frac {x ^ 3} {3} +5 cdot frac {x ^ 2} {2} -6 cdot x + C = x ^ 3 + 2.5x ^ 2-x + C $$

Антипроизводная, проходящая через заданную точку: $$ 4 = 0 ^ 3 + 2.5 cdot 0 ^ 2-0 + C Стрелка вправо C = 4 $$ $ F (х) = х ^ 3 + 2.5x ^ 2-x + 4 $
c *) (y = frac {x} {x + 3}, A (-2; 1))

Выбираем всю часть: (y = frac {x} {x + 3} = frac {(x + 3) -3} {x + 3} = 1- frac {3} {x + 3})

Общий вид антипроизводной: $$ F (x) = x-3 cdot ln (x + 3) + C $$ Антипроизводная, проходящая через заданную точку: $$ 1 = -2-3 cdot ln (-2 +3) + C = -2-3 cdot 0 + C = -2 + C Стрелка вправо C = 3 $$ Требуемый примитив: $$ F (x) = x-3 ln (х + 3) +3 $
r *) (y = frac {cos2x} {cos ^ 2x}, A left ( frac pi 4; frac pi 2 right))

Преобразуем тригонометрическое выражение: (y = frac {cos2x} {cos ^ 2x} = frac {2cos ^ 2x-1} {cos ^ 2x} = 2- frac {1} {cos ^ 2x})
Общий вид антипроизводной: $$ F (x) = 2x-tgx + C $$ Антипроизводная, проходящая через заданную точку: $$ frac pi 2 = 2 cdot frac pi 4-tg frac pi 4 + C = frac pi 2-1 + C Стрелка вправо C = 1 $$ Требуемая антипроизводная: $$ F (x) = 2x-tgx + 1 $

Пример 3. Найдите неопределенный интеграл и проверьте результат путем вывода:

$$ int left (e ^ x + frac1x right) dx = e ^ x + ln | х | + C $$ Проверка: $$ (e ^ x + ln | x | + C) ‘= e ^ x + frac1x + 0 = e ^ x + frac1x $$ Получена интегрированная функция. Ответ правильный.

$$ int left ( frac1x- frac {4} {x ^ 2} — frac {3} {sin ^ 2x} right) dx = ln | х | -4 cdot frac {x ^ {- 2 + 1}} {- 2 + 1} +3 cdot ctgx + C = ln | х | + frac4x + 3ctgx + C $$ Проверить: $$ ( ln | x | + frac4x + 3ctgx + C) ‘= frac14 + 4 cdot left (- frac {1} {x ^ 2} right) +3 cdot left (- frac {1} {sin ^ 2x} right) + 0 = frac1x- frac {4} {x ^ 2} — frac {3} {sin ^ 2x} $$ Получите подынтегральное выражение. Ответ правильный.

begin {gather *} int frac { pi ^ x-1} { pi ^ x- pi ^ {2x}} dx = — int frac { pi ^ x-1} { pi ^ {2x} — pi ^ x} dx = — int frac { pi ^ x-1} { pi ^ x ( pi ^ x-1)} dx = — int pi ^ { -x} dx = = — (- 2) frac { pi ^ x} { ln pi} + C = frac { pi ^ {- x}} { ln pi} + C end {gather *} Проверить: begin {gather *} left ( frac { pi ^ {- x}} { ln pi} + C right) ‘= frac { pi ^ {- x} ln pi cdot (-x) ‘} { ln pi} + 0 = pi ^ {- x} = — frac {1} { pi ^ x} = — frac { pi ^ x -1} { pi ^ x ( pi ^ x-1)} = = — frac { pi ^ x-1} { pi ^ {2x} — pi ^ x} = frac { pi ^ x-1} { pi ^ x- pi ^ {2x}} end {gather *} Получено интегрирование. Ответ правильный.

begin {gather *} int frac {4} {1-cosx} dx = int frac {4} {2sin ^ 2 frac x2} dx = 2 int frac {dx} {sin ^ 2 frac x2} = — 2 cdot 2ctg frac x2 + C = -4ctg frac x2 + C end {gather *} Проверить: begin {gather *} left (-4ctg frac x2 + C right) ‘= — 4 cdot left (- frac {1} {sin ^ 2 frac x2} right) cdot left ( frac x2 right)’ + 0 = frac {4} {2sin ^ 2 frac x2} = frac {4} {1-cosx} end {gather *} Мы получили подынтегральное выражение. Ответ правильный.

• Пример 4 *. Найти производную для функции (f (x) = 3x ^ 3-4 ), для графика которой касательная линия равна (y = -x + 2)

Общий вид первообразной: (F (x) = 3 cdot frac {x ^ 4} {4} -4 cdot x + C = frac34 x ^ 4-4x + C)

Уравнение касательной (см. §47 настоящего руководства) к производной: $$ y = underbrace {F ‘(x_0)} _ {= f (x_0)} (x-x_0) + F (x_0) = f (x_0) cdot x + (F (x_0) -f (x_0) cdot x_0) $$ По условию (y = -x + 2 Rightarrow begin {cases} f (x_0) = — 1 F (x_0) -f (x_0) cdot x_0 = 2 end {case} )

Из первого уравнения находим абсциссу точки контакта: $$ 3x_0 ^ 3-4 = -1 Rightarrow 3x_0 ^ 3 = 3 Rightarrow x_0 ^ 3 = 1 Rightarrow x_0 = 1 $$ Затем из второго уравнения: $$ F (x_0) = f (x_0) x_0 + 2 = -1 cdot 1 + 2 = 1 $$ Получаем: $$ 1 = frac34 cdot 1 ^ 4-4 cdot 1 + C = -3 frac14 + C Стрелка вправо C = 1 + 3 frac14 = 4 frac14 $$ Антипроизводная: $$ F (x) = frac34x ^ 4-4x + 4 frac14 $

Неопределенный интеграл

Множество всех производных функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается

Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл функции f (x) по dx» .

Если F (x) является примитивом f (x), то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) следующий:

Однако для простоты принято записывать формулу (2) в форме, подразумевая, но не указывая конкретно, что c — любое число.

В формуле (3) функция f (x) называется подынтегральной функцией, выражение f (x) dx называется подынтегральной функцией, а число c называется константой интегрирования.

Операция вычисления (взятия) интеграла по известному подынтегральному выражению называется интегрированием функций.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые вытекают непосредственно из правил вычисления производных.

• Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Равенство справедливо

где k — любое число.

Другими словами, интеграл произведения числа и функции равен произведению этого числа и интеграла функции.

• Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций.

• Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов этих функций.

• Правило 4 (Интеграция по переменной). Из справедливости формулы

следует, что

если определены все функции f (φ (x)), φ ‘(x), F (φ (x)), входящие в формулу (4.

Доказательство правила 4. Используя формулу производной сложной функции, вычисляем производную правой части формулы (4):

Как и требовалось, мы получили подынтегральное выражение из левой части формулы (4.

Комментарий. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция (x) является линейной функцией, т. Е

(х) = kx + b ,

что k и b — произвольные числа, .

В этом случае

φ ‘(x) = k ,

а формула (4) принимает вид

Формула (5) часто используется для решения задач.

Примеры решения задач

• Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Используя свойства степеней, а значит, правила интегрирования и формулы таблицы неопределенных интегралов для формул таблицы неопределенных интегралов, получаем

Отвечать.

• Пример 2. Значение примитива F (x) функции f (x) = — 4 sin x в точке x = 0 равно 9. Найти .

Решение. С

F (x) = 4 cos x + c,

Подставляя значение x = 0 в формулу (6), находим значение постоянной интегрирования c:

F (0) = 4 cos 0 + c = 9,

4 + с = 9, с = 5.

Следовательно,

F (х) = 4 соз х + 5

Здесь потому что

Отвечать. 7

• Пример 3. Найти первообразную F (x) функции

если F (2π) = 2e + 3.

Решение. Используя табличную формулу неопределенных интегралов, табличную формулу неопределенных интегралов

для функции φ (x) = cos x получаем

Следовательно,

Подставляя значение x = 2π в формулу (7), находим значение постоянной интегрирования c:

Нравится,

с = 3e +3 .

• Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Используя табличную формулу неопределенных интегралов, табличную формулу неопределенных интегралов

для функции φ (x) = ex получаем