- Двойной интеграл
- Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
- Свойства двойного интеграла
- Геометрический смысл двойного интеграла
- Двойной интеграл в полярных координатах
- Примеры с решением
- Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
- Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла
- Полярная система координат и криволинейный сектор
- Полярные координаты
- Связь между прямоугольными и полярными координатами
- Параметрические уравнения линии
- Параметрические уравнения циклоиды
- Полярная система координат
- Площадь криволинейного сектора — вывод формулы
- Примеры вычисления площади криволинейного сектора
- Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли
- Площадь фигуры, границей которой является кардиоида
- Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля
- Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль
- Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов
Двойной интеграл
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл
На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.
Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.
Пусть функция или
где
определена и непрерывна в замкнутой области плоскости
то есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями)
, с учетом точек линии
— пределы области.
Выполним такую (стандартную) процедуру:
- разобьем область
произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями
(или просто — на
плоскостей
(рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем диаметром плоскости
а максимальный среди них— диаметром разбиения области
- выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке
вычислим
и найдем произведения - составим сумму всех таких произведений
которую назовем интегральной суммой для функции
в области
вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26.1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте
то есть
вместе с
Рис. 26.1
Конечна граница
интегральной суммы
когда диаметр разбиения стремится к нулю
а
называется двойным интегралом (от) функции
по области
и обозначается так:
или
где
— знак (символ) двойного интеграла;
— область интегрирования;
— подынтегральная функция;
— подынтегральное выражение;
— переменные интегрирования;
— элемент площади, или дифференциал площади.
Следовательно, по определению
Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.
Теорему приводим без доказательства.
Функция
для которой существует двойной интеграл по области
называется интегрируемой на этой области.
Согласно теореме 26.1 разбиения области
можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат
— прямыми, параллельными координатным осям.
Рис. 26.2
В этом случае плоскость — прямоугольник со сторонами
который образуется при переходе от точки
к точке
где
Поэтому
потому приросты независимых переменных
равны их дифференциалам:
Таким образом, можно записать:
Свойства двойного интеграла
Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.
- Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:
- Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
- Если область
разбить на две области
и
которые не имеют общих внутренних точек, и функция
непрерывна в области
то
- Если
в области
то
- Если в каждой точке области
функции
и
непрерывны и удовлетворяют условию
то
- Если функция
непрерывна в области
и удовлетворяет двойное неравенство
где
и
— наименьшее и наибольшее значение функции
в области
, то
где
— площадь области
- Если функция
непрерывна в области
то в этой области существует такая точка
что
где
— площадь области
Значение
называется средним значением функции
в области
Геометрический смысл двойного интеграла
В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью
плоскостью
и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси
а направляющей предел
области
(рис. 26.3), коротко будем называть цилиндрическим телом для функции
на (области)
Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области
функции
приходим к выводу: каждое слагаемое
интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания
и высотой
(рис. 26.3), а интегральная сумма численно дает приближенное значение
объема
цилиндрического тела для функции
на области
Рис. 26.3
Двойной интеграл в полярных координатах
При переходе в двойном интеграле от декартовых координат
и
к полярным
и
используют связь между координатами
и
(24.4):
и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:
Соответствующая формула перехода имеет вид:
где
и
— полярные координаты точек области
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными
и
.
Если область
является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью
углы
и
и кривыми
и
где
то
Рис. 26.11
Если область
ограничена сомкнутой линией
и начало координат лежит внутри области, то
Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области
содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса
Вычислим
где
— круг
Пределом области
является окружность радиуса 2 с центром в точке
Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:
В координатах
уравнение границы области
примет вид:
Построим в декартовых координатах круг
или
(рис. 26.12). В полярных координатах соответствующая область интегрирования — криволинейный сектор, ограниченный лучами
а полярный радиус
меняется от
до
Рис. 26.12
По формуле (26.17) имеем:
Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:
Для этого рассмотрим двойной интеграл
где
— четверть круга некоторого радиуса
расположенного в первом квадранте декартовой системы координат:
Для вычисления
перейдем к полярным координатам:
тогда
Если теперь неограниченно увеличивать радиус
то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при
область
Рис. 26.13
расширяется так, что любая точка первой четверти
попадет в
и останется в ней, а
направляться в
С другой стороны, при
и
и
поэтому можно записать:
поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Таким образом,
откуда:
Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ, а внутренний — по радиусу r.
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D.
Примеры с решением
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Установим формулы для вычисления двойного интеграла
опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла:
(26.11) где
— площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси
а
и
= — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.
Область
плоскости
называется правильной, или простой, в направлении оси
если она ограничена прямыми
и двумя непрерывными кривыми
и
а любая прямая
параллельная оси
пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).
Рис. 26.4
Рассмотрим цилиндрическое тело для функции
на правильной в направлении оси
области
(рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости
В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции
где
фиксировано, а
меняется от
Таким образом, площадь сечения равна:
Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:
Рис. 26.5
С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:
Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:
или в более удобной (для использования) форме:
Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции
по области
В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной
— внешним интегралом
Согласно формуле (26.12) сначала проводят интегрирования по переменной
то есть находят внутренний интеграл
(при этом переменная
считается постоянной), после чего полученную функцию от
интегрируют в пределах от
до
с переменной
то есть вычисляют внешний интеграл.
Аналогично область
плоскости
называется правильной, или простой, в направлении оси
если она ограничена прямыми
и
и двумя непрерывными кривыми
и
а любая прямая
, параллельная оси
пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).
Рис. 26.6
Для правильной в направлении оси
области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:
Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:
- Строим область интегрирования
ограниченную заданными линиями;
- анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
- применяем одну из формул, (26.12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем — внешний (с постоянными пределами интегрирования).
Рис. 26.7
Если область
не является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:
Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область
является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).
В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:
и в каком порядке интегрировать сначала по переменной
а затем по переменной
или наоборот, не имеет значения.
Вычислим
если область
— прямоугольник:
По формуле (26.15) имеем:
Если подынтегральная функция является произведением функции от
с функцией от
и пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.
Вычислим
если область
ограничена линиями:
и
Построим область интегрирования
(рис. 26.8). Она является правильным в направлении оси
поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной
а внешнее — по
Рис. 26.8
Вычислим
если область
ограничена линиями:
и
Построим область
(рис. 26.9).
Рис. 26.9
Она является правильной в направлении оси
поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной
а внешнее — по
Вычислим
если область
ограничена линиями:
и
Построим область
(рис. 26.10).
Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих
.
Линии
— пересекаются в начале координат
Рис. 26.10
Область
не является правильным ни в направлении оси
ни в направлении оси
Разобьем ее прямой
на две правильные в направлении оси
области
и
По формуле (26.14) имеем:
Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
Если в формуле (26.3):
положить
то интегральная сумма для функции
в области
давать приближенно площадь этой области
а за ее точное значение принимается значение интеграла:
Если область
— разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) — заданная в полярной системе координат неровностями
то
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями:
Построим плоскую фигуру (рис. 26.14) и определим точки пересечения заданных линий — гиперболы и прямой, — решив систему их уравнений:
Рис. 26.14
Решим первое уравнение:
откуда
тогда
Следующим образом:
. (Вторая ветвь гиперболы
не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой
Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси
и в направлении оси
Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной
от
до
а внутренний — по переменной
от
к
Вычислим площадь плоской области
ограниченной кругом
и прямыми
Построим область
для чего предварительно сведем уравнение окружности
к каноническому виду
(рис. 26.15).
Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах:
Запишем уравнение окружности
в координатах
или
По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол
изменяется от
до
Таким образом, согласно формуле (26.20) имеем:
Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла
По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл
равен объему тела, ограниченного поверхностью
областью
плоскости
и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области
и образующими, параллельными оси
а именно:
Найдем объем тела, ограниченного поверхностями:
Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования
Заданное пространственное тело ограничено: сверху — плоскостью
боков — двумя параболическими цилиндрами
и
с образующими, параллельными оси
снизу — областью
которая «вырезается» на плоскости
цилиндрическими поверхностями и плоскостью
(рис. 26.16).
Рис. 26.16
По формуле (26.3) получаем:
Найдем объем тела, ограниченного параболоидом
и плоскостями
(в I октанте).
Построим область интегрирования
согласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем
осуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности
запишется как
а прямые
и
образуют с осью
углы
и
в соответствии.
Рис. 26.17
Итак, по формуле (26.17) получим:
Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.
- Пусть
— область посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке
известна урожайность
этой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина
численно равна урожая, который можно собрать с области
при отсутствии потерь. - Аналогично, если функция
описывает плотность населения в точке
некоторого региона-области
то величина
численно равна численности населения этого региона.
В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.
Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (
-мерные, ) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению
-кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции
по пространственной (трехмерной) области
ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.
Полярная система координат и криволинейный сектор
Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ0 и полярный радиус r0≥0. Полярный угол φ0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r0 — это расстояние от заданной точки до начала координат.
На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ0=3π4 и расстоянием до полюса r0=4.
Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью.
Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r=x2+y2φ=arctgyx, x≠0 и обратно x=r·cosφy=r·sinφ.
Координаты красной точки на чертеже 23; 2. Положение этой точки задается углом φ0=arctg223=π6 и расстоянием r0=232+22=4.
В полярной системе координат равенство φ=α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ=0. Равенство r=C>0 задает окружность с центром в начале координат, где — это радиус.
Функция r=p(φ), φ∈α; β определяет некоторую линию в полярных координатах.
Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r=p(φ), φ∈α; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ=φ0∈α; β. Однако мы будем встречать и отрицательные значенияr=p(φ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.
На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.
Дадим определение криволинейному сектору.
Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ=α, φ=β и некоторой линией r=p(φ)≥0, непрерывной на участке α; β.
На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.
На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ=-π6, φ=π6, которые не являются ее границами.
Полярные координаты
Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.
Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).
Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол
Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.
Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до
и значения ф от 0 до
, при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие
, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.
Связь между прямоугольными и полярными координатами
Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.
Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).
Тогда для произвольной точки М имеем
Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим
Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем
Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.
Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.
Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.
Пример:
Рассмотрим кривую
, где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:
По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).
Параметрические уравнения линии
Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты
, рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).
Пример:
Выведем параметрические уравнения окружности.
Пусть М
— произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства
Это и есть параметрические уравнения окружности.
Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:
Пример:
Выведем параметрические уравнения эллипса.
Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где
За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох:
. Используя формулы (2), имеем
Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть
Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса
Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.
Пример:
Построить кривую
Решение:
Составляем таблицу значений:
Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).
Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим
т. е. каноническое уравнение параболы.
Параметрические уравнения циклоиды
Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).
Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем
Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:
Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть
——-
Полярная система координат
Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол),
. Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде:
(1)
Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:
Пример 1.
Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
− лемниската.
Решение.
Вычислим значения r при различных значениях ϕ :
Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :
Рис.3. Лемниската
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример 2.
а)Построим кривую
− кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:
Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤ ϕ < 2π и не требовать r > 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).
При этом, если r > 0, то векторы
сонаправлены, если r<0, то – противоположно направлены:
Тогда, с учетом (1), кривую r= r(ϕ) можно рассматривать как заданную параметрически в виде:
ϕ — параметр.
В этом случае на кривой
получаются два дополнительных
лепестка, когда
соответствующие случаю r < 0 (см.пример 10 § 17). Фактически, такая кривая – это параметрическая кривая:
(см.пример 9 § 30).
На кривой
каждый из лепестков проходится дважды и
задается параметрически формулами:
(см.пример 10 § 30).
Пусть r = r(ϕ) – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при
. Рассмотрим на плоскости ( x, O, y) криволинейный сектор
Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф
соответствует обычная криволинейная трапеция на плоскости (O, r, ϕ)
Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами
На плоскости (O, r, ϕ) получаем обычное разбиение
трапеции:
Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу:
Каждое слагаемое в нижней сумме
равно площади
обычного кругового
сектора радиуса
таким образом,
(2) для нижних сумм и
(3) для верхних сумм Дарбу, где
Суммы (2) и (3) – суммы Дарбу для функции
(см.формулы (5) § 24), поэтому
(4)
Пример 3.
Найти площадь ограниченную лемнискатой
(см.пример 1).
Решение.
По формуле (4):
площадь одного лепестка.
Поэтому
Пример 4.
Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
и
(вне круга).
Решение. Найдем точки пересечения кривых:
По формуле (4):
Пример 3.
r=2cosϕ. Вычислим
− окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0).
При изменении ϕ от 0 до 2 π окружность проходится дважды и оба раза против
часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает
удвоенную площадь круга.
Площадь криволинейного сектора — вывод формулы
Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: Sкругового сектора=γ·R22. Задаем внутренний угол γ в радианах.
Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами
φ=φ1, φ=φ2,…, φ=φn-1, что α=φ0<><><><>
Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S(G) как сумму площадей секторов S(Gi) на каждом из участков разбиения:
S(G)=∑i=1nS(Gi)
Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r=p(φ) на i-ом отрезке φi-1; φi, i=1, 2,…, n как Rmini и Rmaxi . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора Pi и Qi с максимальным и минимальным радиусами Rmini и Rmaxi соответственно.
Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Qi, i=1, 2,…, n; Pi, i=1, 2,…, n , обозначим как P и Q соответственно.
Их площади будут равны S(P)=∑i=1nS(Pi)=∑i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1 и S(Q)=∑i=1nS(Qi)=∑i=1n12(Rmaxi)2·φi-φi-1, причем S(P)≤S(G)≤S(Q).
Так как функция r=pφ непрерывна на отрезке α; β, то функция 12p2φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S(P) и S(Q) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:
limλ→0S(P)=limλ→0S(Q)=S(G)⇒S(G)=limλ→0∑ i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1==limλ→0∑ i=1n12(Rmaxi)·φi-φi-1=12∫βαp2φdφ
Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид: S(G)=12∫βαp2φdφ
Примеры вычисления площади криволинейного сектора
Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.
Пример 1
Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r=2sin2φи лучами φ=π6, φ=π3.
Решение
Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r=2sin(2φ)положительна и непрерывна на отрезке φ∈π6, π3.
Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.
S(G)=12∫π6π3(2sin(2φ)2dφ=∫π6π32(sin(2φ)2dφ=∫π6π32·1-cos4φ2dφ=∫π6π3(1-cos(4φ))dφ=φ-14sin(4φ)π6π3==π3-14sin4π3-π6-14sin4π6=π6+34
Ответ: S(G)=π6+34
Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ=φ1, φ=φ2, ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.
Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r=p(φ). В этих случаях применить формулу S(G)=12∫αβp2(φ)dφ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p(φ)≥0 для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r=pφ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться только на область определения и период функции.
Пример 2
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r=-3·cos3φ.
Решение
Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство -3·cos3φ≥0:
-3·cos3φ≥0⇔cos3φ≤0⇔cos φ≤0⇔⇔π2+2πk≤φ≤3π2+2πk, k∈Z
Построим функцию в полярных координатах на отрезке φ∈π2; 3π2 (при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.
Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π2+2πk и 3π2+2πk соответственно для любого целого значения k.
S(G)=12∫π23π2(-3·cos3φ)dφ=92∫π23π2cos6φdφ
Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), где Kn(x)=∫cosn(x)dx.
∫cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+56∫cos4φdφ==sin φ·cos5φ6+56sin φ·cos3φ4+34cos2φdφ==sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+1524sin φ·cos φ2+12∫cos0φdφ==∫π23π2cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+15sin φ·cos φ48+15φ48π23π2==1548·3π2-1548·π2=5π16
Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S(G)=92∫π23π2cos6φdφ=92·5π16=45π32.
Ответ: S(G)=45π32
В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.
Пример 3
Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r=3·cos(3φ).
Решение
Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.
cos(3φ)≥0⇔-π2+2πk≤3φ≤π2+2πk, k∈Z-π6+2π3k≤φ≤π6+2π3k, k∈Z
Таким образом, период функции r=3·cos3φ равен 2π3. Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.
Построим фигуру на графике.
Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φ∈π2; 5π6(при k=1):
12∫π25π69cos(3φ)dφ=12·3sin(3φ)π25π6=32sin3·5π6-sin3·π2=32(1-(-1)=3
Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.
Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.
Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли задается уравнением r=α·cos2φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при -π4+π·k≤φ≤π4+π·k, k∈Z.
Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.
Для вычисления площади используем нужную формулу:
S(G)=2·12∫-π4π4a2cos(2φ)2φ=a22(sin(2φ))-π4π4==a22sin2·π4-sin2·-π4=a2
Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a.
Площадь фигуры, границей которой является кардиоида
В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r=2a(1+cosφ). В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2π. Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число, а верхним, то, которое на 2π больше нижнего.
Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=2a(1+cosφ), для φ∈0; 2π:
S(G)=12∫02π(2a(1+cosφ))2dφ=2a2∫02π(1+2cosφ+cos2φ)dφ==2a2∫02π1+2cosφ+1+cos2φ2dφ==2a2∫02π32+2cosφ+cos(2φ)2dφ==2a232φ+2sin φ+14sin2φ02π=6π·a2
Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля
В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r=b+2a·cosφ. В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при b=2a.
Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда функцию r неотрицательная.
При b<-2a функция r=b+2a·cosφ будет отрицательной для любого значения угла φ.
При b=-2a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.
При -2a< b< 0 функция r=b+2a·cosφ неотрицательна для φ∈-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, k∈Z.
При 0<b<2a функция r=b+2a·cosφ неотрицательна напоминает=»» конфигурации=»» по=»» которая=»» фигуру,=»» ограничивает=»» она=»» для φ∈-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, k∈z.=»»></b<2a функция r=b+2a·cosφ неотрицательна>
При b>2a функция r=b+2a·cosφ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже
Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b.
Пример 4
Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r=-3+6cosφ и r=5+4cosφ в полярной системе координат.
Решение
Формула r=-3+6cosφ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..
Функция r=-3+6cosφ определена для всех значений угла φ. Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:
-3+6cosφ≥0⇔cosφ≥12⇔-π3+2πk≤φ≤π3+2πk, k∈Z
Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля:
S(G)=12∫-π3π3(-3+6cosφ)2dφ=92∫-π3π3(1-4cosφ+4cos2φ)dφ==92∫-π3π31-4cosφ+4·1+cos2φ2dφ==92∫-π3π3(3-4cosφ+2cos(2φ))dφ=92·3φ-4sinφ+sin(2φ-π3π3==92·3·π3-4sinπ3+sin2π3-3·-π3-4sin-π3+sin-2π3==92·2π-33
Улитка Паскаля, определяемая формулой r=5+4cosφ, соответствует пятому пункту. Функция r=5+4cosφ определена и положительна для всех действительных значений φ. Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:
S(G)=12∫02π(5+4cosφ)2dφ=12∫02π(25+40cosφ+16cos2φ)dφ==12∫02π25+40cosφ+16·1+cos(2φ)2dφ==12∫02π(33+40cosφ+8cos(2φ))dφ=12·33φ+40sinφ+4sin(2φ02π==12·33·2π+40sin(2π+4sin(4π)-33·0+40sin 0+4sin 0=33π
Ответ: S(G)=33π
Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль
Сразу обратимся к примеру.
Пример 5
Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r=αφ, α>0, а вторая первым витком логарифмической спирали r=αφ, α>1.
Решение
Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.
Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:
S(G)=12∫02π(αφ)2dϕ=α22∫02πφ2dφ=α22·φ3302π=4α3π33
Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:
S(G)=12∫02π(αϕ)2dϕ=12∫02πa2φdφ=14ln a·a2φ02π==14ln a·a4π-1
Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов
Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ=α, φ=β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ∈α; β функциями r=p1(φ) и r=p2(φ), причем p1(φ)≤p2(φ) для любого угла φ=φ0∈α; β.
Находим площадь фигуры по формуле S(G)=12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ.
Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G2 и G1.
Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:
S(G)=S(G2)-S(G1)=12∫αβp22(φ)dφ-12∫αβp12(φ)dφ==12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ
Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.
Пример 6
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ=0, φ=π3, r=32, r=12φв полярной системе координат.
Решение
Построим заданную фигуру на графике.
Очевидно, что r=32 больше r=12φ для любого φ∈0; π3. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:
S(G)=12∫0π3322-12φ2dφ=12∫0π394-2-2φdφ==12·94φ+12·2-2φln 20π3=12·94φ+1ln 2·122φ+10π3==12·94·π3+1ln 2·122·π3+1-94·0+1ln 2·122·0+1==12·3π4+2-2π3-12·ln 2
Ответ: S(G)=12·3π4+2-2π3-12·ln 2
А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.
Пример 7
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y=13x, x=3x, окружностями (x-2)2+(y-3)2=13, (x-4)2+(y-3)2=25.
Решение
В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.
x=r·cosφy=r·sinφ⇒y=13x⇔r·sinφ=r·cosφ3⇔tgφ=13⇔φ=π6+πky=3x⇔r·sinφ=3·r·cosφ⇔tgφ=3⇔φ=π3+πk(x-2)2+(y-3)2=13⇔x2+y2=4x+6y⇔r=4cosφ+6sinφ(x-4)2+(y-3)2=25⇔x2+y2=8x+6y⇔r=8cosφ+6sinφ
Функция r=8cosφ+6sinφ больше r=4cosφ+6sinφ для любого φ∈π6; π3. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:
S(G)=12∫π6π38cosφ+6sinφ2-4cosφ+6sinφ2dφ==12∫π6π3(48cos2φ+48cosφ·sinφ)dφ==24∫π6π3cos2φdφ+24∫π6π3cosφ·sinφdφ==12∫π6π3(1+cos2φ)dφ+24∫π6π3sinφd(sinφ)==12·φ+12sin(2φ)π6π3+12·sin2φπ6π3==12·π3+12sin2π3-π6+12sin2π6+12·sin2π3-sin2π6==12·π6+12·322-122=2π+6
Ответ: S(G)=2π+6