Переход к полярным координатам в двойном интеграле: как сделать вычисления

Содержание
  1. Двойной интеграл
  2. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
  3. Свойства двойного интеграла
  4. Геометрический смысл двойного интеграла
  5. Двойной интеграл в полярных координатах
  6. Примеры с решением
  7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  8. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
  9. Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла
  10. Полярная система координат и криволинейный сектор
  11. Полярные координаты
  12. Связь между прямоугольными и полярными координатами
  13. Параметрические уравнения линии
  14. Параметрические уравнения циклоиды
  15. Полярная система координат
  16. Площадь криволинейного сектора — вывод формулы
  17. Примеры вычисления площади криволинейного сектора
  18. Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли
  19. Площадь фигуры, границей которой является кардиоида
  20. Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля
  21. Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль
  22. Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Двойной интеграл

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл

На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования

Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.

Пусть функция Двойной интегралили Двойной интегралгде Двойной интеграл
определена и непрерывна в замкнутой области Двойной интегралплоскости Двойной интегралто есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями) Двойной интеграл, с учетом точек линии Двойной интеграл— пределы области.

Выполним такую (стандартную) процедуру:

  • разобьем область Двойной интеграл
    произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями Двойной интеграл
    (или просто — на Двойной интеграл
    плоскостей Двойной интеграл
    (рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем диаметром плоскости Двойной интеграл
    а максимальный среди них Двойной интеграл— диаметром разбиения области Двойной интеграл
  • выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке Двойной интеграл
    Двойной интеграл
    вычислим Двойной интеграл
    и найдем произведения Двойной интеграл
  • составим сумму всех таких произведений

Двойной интеграл

которую назовем интегральной суммой для функции Двойной интеграл
в области Двойной интеграл

вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26.1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте Двойной интеграл
то естьДвойной интеграл
вместе с Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.1

Конечна граница Двойной интеграл
интегральной суммы Двойной интеграл
когда диаметр разбиения стремится к нулю Двойной интеграл
а Двойной интеграл
называется двойным интегралом (от) функции Двойной интеграл
по области Двойной интеграл
и обозначается так:

Двойной интеграл
или Двойной интеграл

где Двойной интеграл
— знак (символ) двойного интеграла;

Двойной интеграл
— область интегрирования;

Двойной интеграл
— подынтегральная функция;

Двойной интеграл
— подынтегральное выражение;

Двойной интеграл
— переменные интегрирования;

Двойной интеграл
— элемент площади, или дифференциал площади.

Следовательно, по определению

Двойной интеграл

Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.

Теорему приводим без доказательства.
Функция Двойной интеграл
для которой существует двойной интеграл по области Двойной интеграл
называется интегрируемой на этой области.

Согласно теореме 26.1 разбиения области Двойной интеграл
можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат Двойной интеграл
— прямыми, параллельными координатным осям.

Двойной интеграл

Рис. 26.2

В этом случае плоскость — прямоугольник со сторонами Двойной интеграл
который образуется при переходе от точки Двойной интеграл
к точке Двойной интеграл
где Двойной интеграл
Поэтому Двойной интеграл
потому приросты независимых переменных Двойной интеграл
равны их дифференциалам: Двойной интеграл

Таким образом, можно записать:

Двойной интеграл

Свойства двойного интеграла

Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.

  • Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:

Двойной интеграл

  • Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

Двойной интеграл

  • Если область Двойной интегралразбить на две области Двойной интеграли Двойной интегралкоторые не имеют общих внутренних точек, и функция Двойной интегралнепрерывна в области Двойной интегралто

Двойной интеграл

  • Если Двойной интегралв области Двойной интегралто

Двойной интеграл

  • Если в каждой точке области Двойной интегралфункции Двойной интеграли Двойной интегралнепрерывны и удовлетворяют условию Двойной интегралто

Двойной интеграл

  • Если функция Двойной интегралнепрерывна в области Двойной интеграли удовлетворяет двойное неравенство Двойной интегралгде Двойной интеграли Двойной интеграл— наименьшее и наибольшее значение функции Двойной интегралв области Двойной интеграл, то

Двойной интеграл

где Двойной интеграл
— площадь области Двойной интеграл

  • Если функция Двойной интеграл непрерывна в области Двойной интегралто в этой области существует такая точка Двойной интегралчто

Двойной интеграл

где Двойной интеграл
— площадь области Двойной интеграл

Значение Двойной интеграл
называется средним значением функцииДвойной интеграл
в области Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью Двойной интеграл
плоскостью Двойной интеграл
и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Двойной интеграл
а направляющей предел Двойной интеграл
области Двойной интеграл
(рис. 26.3), коротко будем называть цилиндрическим телом для функции Двойной интеграл
на (области) Двойной интеграл

Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области Двойной интеграл
функции Двойной интеграл
приходим к выводу: каждое слагаемоеДвойной интеграл
интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания Двойной интеграл
и высотой Двойной интеграл
(рис. 26.3), а интегральная сумма численно дает приближенное значение Двойной интеграл
объема Двойной интеграл
цилиндрического тела для функции Двойной интеграл
на области Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.3

Двойной интеграл в полярных координатах

При переходе в двойном интеграле от декартовых координат Двойной интеграл
и Двойной интеграл
к полярным Двойной интеграл
и Двойной интеграл
используют связь между координатами Двойной интеграл
и Двойной интеграл
(24.4):

Двойной интеграл

и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:

Двойной интеграл

Соответствующая формула перехода имеет вид:

Двойной интеграл

где Двойной интеграл
и Двойной интеграл
— полярные координаты точек области Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными Двойной интеграл
и Двойной интеграл
.

Если область Двойной интеграл
является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью Двойной интеграл
углы Двойной интеграл
и Двойной интеграл
и кривыми Двойной интеграл
и Двойной интеграл
где Двойной интеграл
Двойной интеграл
то

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.11

Если область Двойной интеграл
ограничена сомкнутой линией Двойной интеграл
и начало координат лежит внутри области, то

Двойной интеграл

Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области Двойной интеграл
содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса Двойной интеграл

Вычислим Двойной интеграл
где Двойной интеграл
— круг Двойной интеграл

Пределом области Двойной интеграл
является окружность радиуса 2 с центром в точке Двойной интеграл

Двойной интеграл

Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:Двойной интеграл
Двойной интеграл

В координатах Двойной интеграл
уравнение границы области Двойной интеграл
примет вид:

Двойной интеграл

Построим в декартовых координатах круг Двойной интеграл
или Двойной интеграл
(рис. 26.12). В полярных координатах соответствующая область интегрирования — криволинейный сектор, ограниченный лучами Двойной интеграл
а полярный радиус Двойной интеграл
меняется от Двойной интеграл
до Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.12

По формуле (26.17) имеем:

Двойной интеграл

Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:

Двойной интеграл

Для этого рассмотрим двойной интеграл Двойной интеграл
где Двойной интеграл
— четверть круга некоторого радиуса Двойной интеграл
расположенного в первом квадранте декартовой системы координат: Двойной интеграл
Для вычисления Двойной интеграл
перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл
Двойной интеграл
тогда

Двойной интеграл

Если теперь неограниченно увеличивать радиус Двойной интеграл
то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при Двойной интеграл
область Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.13

расширяется так, что любая точка первой четверти Двойной интеграл
попадет в Двойной интеграл
и останется в ней, а Двойной интеграл
направляться в Двойной интеграл

Двойной интеграл

С другой стороны, при Двойной интеграл
и Двойной интеграл
и Двойной интеграл
поэтому можно записать:

Двойной интеграл

поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Таким образом, Двойной интеграл
откуда: Двойной интеграл

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ, а внутренний — по радиусу r.

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D.

Примеры с решением

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Установим формулы для вычисления двойного интеграла Двойной интеграл
опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла: Двойной интеграл
(26.11) где Двойной интеграл
— площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Двойной интеграл
а Двойной интеграл
и Двойной интеграл
= — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Область Двойной интеграл
плоскости Двойной интеграл
называется правильной, или простой, в направлении осиДвойной интеграл
если она ограничена прямыми Двойной интеграл
и двумя непрерывными кривыми Двойной интеграл
и Двойной интеграл
а любая прямая Двойной интеграл
параллельная оси Двойной интеграл
пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).

Двойной интеграл

Рис. 26.4

Рассмотрим цилиндрическое тело для функции Двойной интеграл
на правильной в направлении оси Двойной интеграл
области Двойной интеграл
(рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости Двойной интеграл
В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции Двойной интеграл
где Двойной интеграл
фиксировано, а Двойной интеграл
меняется от Двойной интеграл
Таким образом, площадь сечения равна:

Двойной интеграл

Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.5

С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:

Двойной интеграл

Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:

Двойной интеграл

или в более удобной (для использования) форме:

Двойной интеграл

Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции Двойной интеграл
по области Двойной интеграл
В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной Двойной интеграл
— внешним интегралом

Согласно формуле (26.12) сначала проводят интегрирования по переменной Двойной интеграл
то есть находят внутренний интеграл Двойной интеграл
(при этом переменная Двойной интеграл
считается постоянной), после чего полученную функцию от Двойной интеграл
интегрируют в пределах от Двойной интеграл
до Двойной интеграл
с переменной Двойной интеграл
то есть вычисляют внешний интеграл.

Аналогично область Двойной интеграл
плоскости Двойной интеграл
называется правильной, или простой, в направлении оси Двойной интеграл
если она ограничена прямыми Двойной интеграл
и Двойной интеграл
Двойной интеграл
и двумя непрерывными кривыми Двойной интеграл
и Двойной интеграл
а любая прямая Двойной интеграл
Двойной интеграл
, параллельная оси Двойной интеграл
пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).

Двойной интеграл

Рис. 26.6

Для правильной в направлении оси Двойной интеграл
области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:

Двойной интеграл

Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:

  1. Строим область интегрирования Двойной интегралограниченную заданными линиями;
  2. анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
  3. применяем одну из формул, (26.12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем — внешний (с постоянными пределами интегрирования).

Двойной интеграл

Рис. 26.7

Если область Двойной интеграл
не является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:

Двойной интеграл

Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область Двойной интеграл
является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).

В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:

Двойной интеграл

и в каком порядке интегрировать сначала по переменной Двойной интеграл
а затем по переменной Двойной интеграл
или наоборот, не имеет значения.

Вычислим Двойной интеграл
если область Двойной интеграл
— прямоугольник: Двойной интеграл
Двойной интеграл

По формуле (26.15) имеем:

Двойной интеграл

Если подынтегральная функция является произведением функции от Двойной интеграл
с функцией от Двойной интеграл
и пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.

Вычислим Двойной интеграл
если область Двойной интеграл
ограничена линиями: Двойной интеграл
Двойной интеграл
и Двойной интеграл

Построим область интегрирования Двойной интеграл
(рис. 26.8). Она является правильным в направлении оси Двойной интеграл
поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной Двойной интеграл
а внешнее — по Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.8

Вычислим Двойной интеграл
если область Двойной интеграл
ограничена линиями:
Двойной интеграл
и Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл
(рис. 26.9).

Двойной интеграл

Рис. 26.9

Она является правильной в направлении оси Двойной интеграл
поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной Двойной интеграл
а внешнее — по Двойной интеграл

Двойной интеграл

Вычислим Двойной интеграл
если область Двойной интеграл
ограничена линиями:
Двойной интеграл
и Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл
(рис. 26.10).
Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих Двойной интеграл
.
Линии Двойной интеграл
— пересекаются в начале координат Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.10

Область Двойной интеграл
не является правильным ни в направлении оси Двойной интеграл
ни в направлении оси Двойной интеграл
Разобьем ее прямой Двойной интеграл
на две правильные в направлении оси Двойной интеграл
области Двойной интеграл
и Двойной интеграл
По формуле (26.14) имеем:

Двойной интеграл

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла

Если в формуле (26.3): Двойной интеграл
положить Двойной интеграл
Двойной интеграл
то интегральная сумма для функции Двойной интеграл
в области Двойной интеграл
давать приближенно площадь этой области Двойной интеграл

Двойной интеграл

а за ее точное значение принимается значение интеграла:

Двойной интеграл

Если область Двойной интеграл
— разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) — заданная в полярной системе координат неровностямиДвойной интеграл
Двойной интеграл
то

Двойной интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Двойной интеграл

Построим плоскую фигуру (рис. 26.14) и определим точки пересечения заданных линий — гиперболы и прямой, — решив систему их уравнений:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.14

Решим первое уравнение: Двойной интеграл
Двойной интеграл
откуда Двойной интеграл
Двойной интеграл
тогда Двойной интеграл
Двойной интеграл
Следующим образом: Двойной интеграл
. (Вторая ветвь гиперболы Двойной интеграл
не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой Двойной интеграл

Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси Двойной интеграл
и в направлении оси Двойной интеграл
Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной Двойной интеграл
от Двойной интеграл
до Двойной интеграл
а внутренний — по переменной Двойной интеграл
от Двойной интеграл
к Двойной интеграл

Двойной интеграл

Вычислим площадь плоской области Двойной интеграл
ограниченной кругом Двойной интеграл
и прямыми Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл
для чего предварительно сведем уравнение окружности Двойной интеграл
к каноническому виду Двойной интеграл
(рис. 26.15).

Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах:Двойной интеграл
Двойной интеграл
Запишем уравнение окружности Двойной интеграл
Двойной интеграл
в координатах Двойной интеграл
или Двойной интеграл
По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол Двойной интеграл
изменяется от Двойной интеграл
до Двойной интеграл
Таким образом, согласно формуле (26.20) имеем:

Двойной интеграл

Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл Двойной интеграл
равен объему тела, ограниченного поверхностью Двойной интеграл
областью Двойной интеграл
плоскости Двойной интеграл
и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области Двойной интеграл
и образующими, параллельными оси Двойной интеграл
а именно:

Двойной интеграл

Найдем объем тела, ограниченного поверхностями: Двойной интеграл
Двойной интеграл
Двойной интеграл

Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования Двойной интеграл
Заданное пространственное тело ограничено: сверху — плоскостью Двойной интеграл
боков — двумя параболическими цилиндрами Двойной интеграл
и Двойной интеграл
с образующими, параллельными оси Двойной интеграл
снизу — областью Двойной интеграл
которая «вырезается» на плоскости Двойной интеграл
цилиндрическими поверхностями и плоскостью Двойной интеграл
(рис. 26.16).

Двойной интеграл

Рис. 26.16

По формуле (26.3) получаем:

Двойной интеграл

Найдем объем тела, ограниченного параболоидом Двойной интеграл
и плоскостями Двойной интеграл
Двойной интеграл
(в I октанте).

Построим область интегрирования Двойной интеграл
согласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем Двойной интеграл
осуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности Двойной интеграл
запишется как Двойной интеграл
а прямые Двойной интеграл
и Двойной интеграл
образуют с осью Двойной интеграл
углы Двойной интеграл
и Двойной интеграл
в соответствии.

Двойной интеграл

Рис. 26.17
Итак, по формуле (26.17) получим:

Двойной интеграл

Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.

  • Пусть Двойной интеграл— область посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке Двойной интеграл
    известна урожайность Двойной интеграл
    этой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина Двойной интеграл
    численно равна урожая, который можно собрать с области Двойной интеграл
    при отсутствии потерь.
  • Аналогично, если функция Двойной интегралописывает плотность населения в точке Двойной интегралнекоторого региона-области Двойной интегралто величина Двойной интеграл
    численно равна численности населения этого региона.

В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.

Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (Двойной интеграл
-мерные, Двойной интеграл) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению Двойной интеграл
-кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции Двойной интеграл
по пространственной (трехмерной) области Двойной интеграл
ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.

 

Двойной интеграл

Полярная система координат и криволинейный сектор

Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ0 и полярный радиус r0≥0. Полярный угол φ0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r0 — это расстояние от заданной точки до начала координат.

На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ0=3π4 и расстоянием до полюса r0=4.

Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью.

Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r=x2+y2φ=arctgyx, x≠0 и обратно x=r·cosφy=r·sinφ.

Координаты красной точки на чертеже 23; 2. Положение этой точки задается углом φ0=arctg223=π6 и расстоянием r0=232+22=4.

В полярной системе координат равенство φ=α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ=0. Равенство r=C>0 задает окружность с центром в начале координат, где  — это радиус.

Функция r=p(φ), φ∈α; β определяет некоторую линию в полярных координатах.

Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r=p(φ), φ∈α; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ=φ0∈α; β. Однако мы будем встречать и отрицательные значенияr=p(φ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

Дадим определение криволинейному сектору.

Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ=α, φ=β и некоторой линией  r=p(φ)≥0, непрерывной на участке α; β.

На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ=-π6, φ=π6, которые не являются ее границами.

Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
и значения ф от 0 до Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
, при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Тогда для произвольной точки М имеем

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

Пример:

Рассмотрим кривую Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
, где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

Параметрические уравнения линии

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
, рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

Пример:

Выведем параметрические уравнения окружности.

Пусть МПолярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
— произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть параметрические уравнения окружности.

Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Выведем параметрические уравнения эллипса.

Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
. Используя формулы (2), имеем

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

Пример:

Построить кривую

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составляем таблицу значений:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
т. е. каноническое уравнение параболы.

Параметрические уравнения циклоиды

Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

——-

Полярная система координат

Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
. Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде: Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(1)

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1.

Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
− лемниската.
Решение.

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Вычислим значения r при различных значениях ϕ :
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Рис.3. Лемниската Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример 2.

а)Построим кривую Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
− кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤  ϕ < 2π и не требовать  r > 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
При этом, если r > 0, то векторы Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
сонаправлены, если r<0, то – противоположно направлены:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Тогда, с учетом (1), кривую r= r(ϕ) можно рассматривать как заданную параметрически в виде:
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
ϕ — параметр.
В этом случае на кривой Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
получаются два дополнительных
лепестка, когда Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
соответствующие случаю r < 0 (см.пример 10 § 17). Фактически, такая кривая – это параметрическая кривая:
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(см.пример 9 § 30).
На кривой Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
каждый из лепестков проходится дважды и
задается параметрически формулами:
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(см.пример 10 § 30).

Пусть r = r(ϕ) – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
. Рассмотрим на плоскости ( x, O, y) криволинейный сектор
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф
соответствует обычная криволинейная трапеция на плоскости (O, r, ϕ)

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
На плоскости (O, r, ϕ) получаем обычное разбиение
трапеции:

Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу:
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Каждое слагаемое в нижней сумме Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
равно площади Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
обычного кругового
сектора радиуса Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения

таким образом,
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(2) для нижних сумм и Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(3)    для верхних сумм Дарбу, где Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Суммы (2) и (3) – суммы Дарбу для функции Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(см.формулы (5) § 24), поэтому Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(4)
Пример 3.

Найти площадь ограниченную лемнискатой Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(см.пример 1).
Решение.

По формуле (4):
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
площадь одного лепестка.
Поэтому Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Пример 4.

Найти площадь фигуры ограниченной линиями: Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
и Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
(вне круга).
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Решение. Найдем точки пересечения кривых: Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
По формуле (4):
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Пример 3.

r=2cosϕ. Вычислим Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
− окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0).
Полярные координаты - определение и вычисление с примерами решения
При изменении ϕ от 0 до 2 π окружность проходится дважды и оба раза против
часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает
удвоенную площадь круга.

Площадь криволинейного сектора — вывод формулы

Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: Sкругового сектора=γ·R22. Задаем внутренний угол γ в радианах.

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами

φ=φ1, φ=φ2,…, φ=φn-1, что α=φ0<><><><>

Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S(G) как сумму площадей секторов S(Gi) на каждом из участков разбиения:

S(G)=∑i=1nS(Gi)

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r=p(φ) на i-ом отрезке φi-1; φi, i=1, 2,…, n как Rmini и Rmaxi . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора Pi и Qi с максимальным и минимальным радиусами Rmini и Rmaxi соответственно.

Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Qi, i=1, 2,…, n; Pi, i=1, 2,…, n , обозначим как P и Q соответственно.

Их площади будут равны S(P)=∑i=1nS(Pi)=∑i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1 и S(Q)=∑i=1nS(Qi)=∑i=1n12(Rmaxi)2·φi-φi-1, причем S(P)≤S(G)≤S(Q).

Так как функция r=pφ непрерывна на отрезке α; β, то функция 12p2φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S(P) и S(Q) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

limλ→0S(P)=limλ→0S(Q)=S(G)⇒S(G)=limλ→0∑ i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1==limλ→0∑ i=1n12(Rmaxi)·φi-φi-1=12∫βαp2φdφ

Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид: S(G)=12∫βαp2φdφ

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

Пример 1

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r=2sin2φи лучами φ=π6, φ=π3.

Решение

Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r=2sin(2φ)положительна и непрерывна на отрезке φ∈π6, π3.

Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.

S(G)=12∫π6π3(2sin(2φ)2dφ=∫π6π32(sin(2φ)2dφ=∫π6π32·1-cos4φ2dφ=∫π6π3(1-cos(4φ))dφ=φ-14sin(4φ)π6π3==π3-14sin4π3-π6-14sin4π6=π6+34

Ответ: S(G)=π6+34

Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ=φ1, φ=φ2, ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r=p(φ). В этих случаях применить формулу S(G)=12∫αβp2(φ)dφ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p(φ)≥0  для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r=pφ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться  только на область определения и период функции.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r=-3·cos3φ.

Решение

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство -3·cos3φ≥0:

-3·cos3φ≥0⇔cos3φ≤0⇔cos φ≤0⇔⇔π2+2πk≤φ≤3π2+2πk, k∈Z

Построим функцию в полярных координатах на отрезке φ∈π2; 3π2 (при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π2+2πk и 3π2+2πk соответственно для любого целого значения k.

S(G)=12∫π23π2(-3·cos3φ)dφ=92∫π23π2cos6φdφ

Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), где Kn(x)=∫cosn(x)dx.

∫cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+56∫cos4φdφ==sin φ·cos5φ6+56sin φ·cos3φ4+34cos2φdφ==sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+1524sin φ·cos φ2+12∫cos0φdφ==∫π23π2cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+15sin φ·cos φ48+15φ48π23π2==1548·3π2-1548·π2=5π16

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S(G)=92∫π23π2cos6φdφ=92·5π16=45π32.

Ответ: S(G)=45π32

В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

Пример 3

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r=3·cos(3φ).

Решение

Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.

cos(3φ)≥0⇔-π2+2πk≤3φ≤π2+2πk, k∈Z-π6+2π3k≤φ≤π6+2π3k, k∈Z

Таким образом, период функции r=3·cos3φ равен 2π3. Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.

Построим фигуру на графике.

Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φ∈π2; 5π6(при k=1):

12∫π25π69cos(3φ)dφ=12·3sin(3φ)π25π6=32sin3·5π6-sin3·π2=32(1-(-1)=3

Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.

Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли задается уравнением r=α·cos2φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при -π4+π·k≤φ≤π4+π·k, k∈Z.

Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

Для вычисления площади используем нужную формулу:

S(G)=2·12∫-π4π4a2cos(2φ)2φ=a22(sin(2φ))-π4π4==a22sin2·π4-sin2·-π4=a2

Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a.

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r=2a(1+cosφ). В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2π. Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число,  а верхним, то, которое на 2π больше нижнего.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=2a(1+cosφ), для φ∈0; 2π:

S(G)=12∫02π(2a(1+cosφ))2dφ=2a2∫02π(1+2cosφ+cos2φ)dφ==2a2∫02π1+2cosφ+1+cos2φ2dφ==2a2∫02π32+2cosφ+cos(2φ)2dφ==2a232φ+2sin φ+14sin2φ02π=6π·a2

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r=b+2a·cosφ. В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при  b=2a.

Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда  функцию r неотрицательная.

При b<-2a функция r=b+2a·cosφ будет отрицательной для любого значения угла φ.

При b=-2a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

При -2a< b< 0 функция r=b+2a·cosφ неотрицательна для φ∈-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, k∈Z.

При 0<b<2a функция r=b+2a·cosφ неотрицательна напоминает=»» конфигурации=»» по=»» которая=»» фигуру,=»» ограничивает=»» она=»» для φ∈-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, k∈z.=»»></b<2a функция r=b+2a·cosφ неотрицательна>

При b>2a функция r=b+2a·cosφ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b.

Пример 4

Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r=-3+6cosφ и r=5+4cosφ в полярной системе координат.

Решение

Формула r=-3+6cosφ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..

Функция r=-3+6cosφ определена для всех значений угла φ. Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:

-3+6cosφ≥0⇔cosφ≥12⇔-π3+2πk≤φ≤π3+2πk, k∈Z

Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля:

S(G)=12∫-π3π3(-3+6cosφ)2dφ=92∫-π3π3(1-4cosφ+4cos2φ)dφ==92∫-π3π31-4cosφ+4·1+cos2φ2dφ==92∫-π3π3(3-4cosφ+2cos(2φ))dφ=92·3φ-4sinφ+sin(2φ-π3π3==92·3·π3-4sinπ3+sin2π3-3·-π3-4sin-π3+sin-2π3==92·2π-33

Улитка Паскаля, определяемая формулой r=5+4cosφ, соответствует пятому пункту. Функция r=5+4cosφ определена и положительна для всех действительных значений φ. Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:

S(G)=12∫02π(5+4cosφ)2dφ=12∫02π(25+40cosφ+16cos2φ)dφ==12∫02π25+40cosφ+16·1+cos(2φ)2dφ==12∫02π(33+40cosφ+8cos(2φ))dφ=12·33φ+40sinφ+4sin(2φ02π==12·33·2π+40sin(2π+4sin(4π)-33·0+40sin 0+4sin 0=33π

Ответ: S(G)=33π

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r=αφ, α>0, а вторая первым витком логарифмической спирали r=αφ, α>1.

Решение

Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

S(G)=12∫02π(αφ)2dϕ=α22∫02πφ2dφ=α22·φ3302π=4α3π33

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

S(G)=12∫02π(αϕ)2dϕ=12∫02πa2φdφ=14ln a·a2φ02π==14ln a·a4π-1

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ=α, φ=β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ∈α; β функциями r=p1(φ) и r=p2(φ), причем p1(φ)≤p2(φ) для любого угла φ=φ0∈α; β.

Находим площадь фигуры по формуле S(G)=12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ.

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G2 и G1.

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

S(G)=S(G2)-S(G1)=12∫αβp22(φ)dφ-12∫αβp12(φ)dφ==12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Пример 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ=0, φ=π3, r=32, r=12φв полярной системе координат.

Решение

Построим заданную фигуру на графике.

Очевидно, что r=32 больше r=12φ для любого φ∈0; π3. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

S(G)=12∫0π3322-12φ2dφ=12∫0π394-2-2φdφ==12·94φ+12·2-2φln 20π3=12·94φ+1ln 2·122φ+10π3==12·94·π3+1ln 2·122·π3+1-94·0+1ln 2·122·0+1==12·3π4+2-2π3-12·ln 2

Ответ: S(G)=12·3π4+2-2π3-12·ln 2

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

Пример 7

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y=13x, x=3x, окружностями (x-2)2+(y-3)2=13, (x-4)2+(y-3)2=25.

Решение

В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

x=r·cosφy=r·sinφ⇒y=13x⇔r·sinφ=r·cosφ3⇔tgφ=13⇔φ=π6+πky=3x⇔r·sinφ=3·r·cosφ⇔tgφ=3⇔φ=π3+πk(x-2)2+(y-3)2=13⇔x2+y2=4x+6y⇔r=4cosφ+6sinφ(x-4)2+(y-3)2=25⇔x2+y2=8x+6y⇔r=8cosφ+6sinφ

Функция r=8cosφ+6sinφ больше r=4cosφ+6sinφ для любого φ∈π6; π3. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

S(G)=12∫π6π38cosφ+6sinφ2-4cosφ+6sinφ2dφ==12∫π6π3(48cos2φ+48cosφ·sinφ)dφ==24∫π6π3cos2φdφ+24∫π6π3cosφ·sinφdφ==12∫π6π3(1+cos2φ)dφ+24∫π6π3sinφd(sinφ)==12·φ+12sin(2φ)π6π3+12·sin2φπ6π3==12·π3+12sin2π3-π6+12sin2π6+12·sin2π3-sin2π6==12·π6+12·322-122=2π+6

Ответ: S(G)=2π+6

Оцените статью
Блог про прикладную математику