Параметрическое уравнение прямой — условия составления уравнения

Краткое описание

В геометрии прямая линия — это набор обычных точек, которые соединяют любые две точки в пространстве отрезком небольшой длины. Это неотъемлемая часть обучения. Любые изогнутые линии, которые пересекаются в двух фиксированных точках, со временем приобретут большую длину, поэтому их нельзя назвать прямыми. Разобраться во всех тонкостях поможет универсальная параметризация (моделирование и проектирование с использованием параметров элементов модели и взаимосвязей между ними).

В геометрии принято различать разные типы параметрических уравнений. С их помощью можно лаконично и правильно описать окружность прямой в двухмерном или трехмерном пространстве. Специалисты различают следующие типы уравнений:

• параметрический;
• вектор;
• общий тип;
• в сегментах;
• канонический (симметричный).

начать изучение параметрического уравнения прямой в пространстве лучше всего с векторного примера.

Этот метод чаще всего используется в школах при объяснении темы. Также будет полезно выяснить связь параметрического уравнения с симметричным. В каждом случае есть свои правила, которые нельзя игнорировать.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направленный вектор линии — это вектор, отличный от нуля, коллинеарный этой линии, то есть принадлежащий ей или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве заданы точка и ненулевой вектор. Необходимо составить уравнение прямой, выровненной по вектору и проходящей через точку .

Выбираем произвольную точку на прямой. Обозначим — радиус-векторы точек.

Точка принадлежит данной линии тогда и только тогда, когда векторы и выровнены. Запишем условие коллинеарности:, где это действительное число (параметр). Учитывая это, получаем векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — вектор направления линии, а — радиус-вектор данной точки, принадлежащей линии.

Координатная форма уравнения называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

где — координаты вектора направления линии. Параметр в уравнениях имеет следующий геометрический смысл: значение пропорционально расстоянию от заданной точки до точки. Физический смысл параметра в параметрических уравнениях — время равномерного и прямолинейного движения точки по прямой. Когда точка совпадает с данной точкой. При увеличении параметра движение происходит в направлении вектора направления.

Ключевые особенности

Представление прямой K в уравнении имеет обычную формулировку: в = в1 + nr / c = c1 + wr. В этом случае b1 и c1 — координаты точки M1 на прямой K. Вектор q = {m, w} считается направляющим элементом сегмента K. Используемый символ r представляет собой определенный параметр.

При написании уравнения вектор направления не обязательно должен быть нулевым. Чтобы самостоятельно построить отрезок на поверхности в прямоугольной декартовой системе координат, заданной соответствующими уравнениями, достаточно задать два разных значения параметра r, правильно вычислить b, а также провести через них параллельные линии два очка.

Чтобы сформировать нормальное уравнение прямой на плоскости K, достаточно иметь точку на этой прямой и вектор направления (его можно заменить двумя точками). В первом случае необходимо вставить в структуру все координаты точки и вектора направления. Во второй ситуации первый шаг — найти вектор направления для прямой q = {m, w}. Важно вычислить разницу между точками M1 и M2: b = b2-b1, w = c2-c1. После этого остается только правильно заменить координаты одной из точек и вектор направления (q).

При желании также можно вывести формулу для параметрического уравнения, когда линия проходит через две точки одновременно. Для этого нужно подставить значения m = b2-b1, w = c2-c1. Благодаря этому можно получить уравнение отрезка на плоскости, проходящего через точки M1 (b1, c1) и M2 (b2, c2). Решение таких проблем считается элементарным, но важно не запутаться во всех формулировках.

Значение векторного типа

Все виды геометрических примеров тесно связаны друг с другом. Основой для них служит векторное уравнение, так как оно следует из некоторой прямой. Например, мы можем рассмотреть ситуацию, когда точка Y (t0, e0, x0) задана в пространстве. По условиям известно, что он принадлежит прямой. В этом случае вы можете нарисовать бесконечное количество линий.

Чтобы нарисовать единую прямую линию, нужно правильно задать направление, которое определяется вектором. Для обозначения можно использовать v (a, b, c). Символы в скобках — это координаты. Для всех точек W (s, z, m), находящихся на определенной линии, можно записать логическое равенство: (s, z, m) = (t0, e0, x0) + a * v— (a, b , в).

В приведенном примере был взят символ a, который может принимать любое значение. Если вы попытаетесь умножить вектор на определенное число, в итоге можно будет изменить не только исходную форму, но и направление. Это равенство обычно называют векторным уравнением для прямой в трехмерном пространстве. Если мы правильно оперируем параметром a, в итоге мы сможем получить все точки (s, z, m), которые будут формировать линию.

принято называть вектор v- (a, b, c) в уравнении в качестве ориентира. Длина линии бесконечна, к тому же у нее нет четкого направления. Все эти факторы означают, что любой вектор, полученный путем v-умножения на действительное число, также будет служить ориентиром для прямой линии.

Если необходимо определить точку Y (t0, e0, x0), например, вместо нее можно использовать произвольную точку, лежащую на прямой. Сравнивая данный пример с двумерной реальностью, можно будет получить следующую формулу: (s, z) = (t0, e0) + a * (a; b). Результат почти идентичен предыдущему случаю, но только в этой ситуации используются две координаты вместо обычных трех для обозначения всех векторов и точек.

Универсальное каноническое уравнение

Специалисты доказали, что все уравнения, определяющие прямую на плоскости и в пространстве, зависят друг от друга. Лучше всего рассмотреть способ получения канонического уравнения из параметрического на конкретном примере. Для пространственного случая характерны следующие данные:

1. L = l0 + g * a.
2. Е = е0 + д * Ь.
3. S = s0 + g * c.

Теперь вы можете выразить требуемый параметр в любом равенстве: g = (l — l0) / a; g = (e — e 0) / b; g = (s — s0) / c. Поскольку все левые части равенства идентичны, правые части также будут равны друг другу. Пример: g = (l — l0) / a = (e — e0) / b = (s — s0) / c. Это обычное каноническое уравнение для линии в пространстве. В любом выражении значение определенного знаменателя является соответствующей координатой вектора направления.

Необходимые значения в числителе обязательно вычитаются из любой переменной. Благодаря полученному результату можно построить уравнение таким образом, чтобы получить ответ в виде проекции на согласованные плоскости.

Наглядный пример

Параметрическое уравнение прямой на плоскости может быть получено при полном раскрытии векторного примера. Если все сделать правильно, в итоге можно получить следующие данные:

• d = d0 + jxa;
• f = f0 + jxb;
• v = v0 + jx c.

В этом случае представлен некоторый набор трехстрочных равенств, каждое из которых имеет только одну переменную координату и один параметр j. Последнее обычно называют параметрическим уравнением обыкновенных линий в пространстве. Ничего нового не было введено, потому что смысл соответствующего векторного выражения просто записывался.

Для более глубокого понимания этой темы следует учесть один важный момент: число j произвольно, но для всех трех равенств оно одинаково. Например, если j = -2,5 для первого равенства, это значение будет присвоено второму и третьему при определении координат конкретной точки.

Правильное решение параметрических уравнений онлайн пользуется большим спросом, но для лучшего понимания этого направления в геометрии нужно искать правильный ответ не только с помощью калькулятора, но и самостоятельно. Если внимательно изучить теорию, можно сделать вывод, что параметризация линии на плоскости идентична пространственному случаю. А это значит, что для того, чтобы составить уравнение параметрической линии, необходимо написать для нее векторное уравнение в явном виде.

Переход от общего уравнение к каноническому

• Для перехода от общего уравнения прямой к каноническомунеобходимо сделать следующее:

1. найти какое-либо решение системы, определив таким образом координаты точки, принадлежащей прямой;
2. найти вектор направления прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
3. запишите каноническое уравнение (4.34) с учетом точек 1 и 2.

• Для перехода от канонического уравнения к общему достаточно записать двойное равенство в виде системы и приведите одинаковых членов.
• Для перехода от канонического к параметрическому уравнению необходимо каждую дробь уравнения приравнять к параметру t и записать полученные равенства в виде системы.
• Если координаты точки фиксированы в каноническом уравнении прямой, а коэффициентам заданы произвольные значения (не равные нулю при этом), то получим уравнение пучка прямых линии с центром в точке, то есть совокупность всех прямых, проходящих через точку .
• Параметрическое и каноническоеуравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют одинаковый вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) даны вершины треугольника. Необходимо:

• составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;
• составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису треугольника.

Решение

• Общее уравнение прямой получено в примере: Переходим от общего уравнения к каноническому.

1. Найдите решение системы, например, (это координаты точки).
2. Найдите вектор направления прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей
3. Запишем каноническое уравнение.

• Для начала составим каноническое уравнение прямой. Для этого нужно найти вектор направления этой линии. Принимая во внимание, что диагональ ромба является биссектрисой, где и — единичные векторы, направленные в том же направлении, что и векторы и, соответственно.

Составим каноническое уравнение прямой.

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой

Задача с параметрическими прямыми на плоскости

актуален именно этот пример, так как он чаще всего используется применительно к прямоугольной системе координат. В задачах первого типа задаются определенные координаты точек, которые иногда могут принадлежать прямой, подробно описываемой геометрическими уравнениями.

Чтобы найти правильное решение, вы должны полагаться на следующий факт: числа (f, r) всегда определяются стандартным уравнением: f <> f1 + af * ϰ / r = r1 + ar * ϰ. В примере используется реальное значение?, При котором полученные координаты точки относятся к линии, описываемой этими параметрическими уравнениями.

В геометрии также часто можно встретить проблему, когда некоторая точка E0 (x0, y0) задана на плоскости в прямоугольной системе координат. Студент должен определить, принадлежит ли конкретная точка прямой. Для преобразования используйте следующую формулу: x = x1 + ax * ϰ / y = y1 + ay * ϰ. Для правильного решения задачи необходимо подставить координаты заданной точки в известные уравнения. Можно ли после проведенных манипуляций определить что? знак равно 0, при котором оба уравнения верны, то данная точка принадлежит определенному отрезку.

Задачи второго типа предназначены для соискателя решения необходимого геометрического уравнения прямой на плоскости в прямоугольной математической системе координат. Чтобы найти правильное решение, необходимо совершить элементарный переход от одной математической конструкции к другой. Но в задачах третьего типа необходимо без проблем преобразовывать параметрические уравнения данной линии в уравнения других типов, которые ее определяют. Изучите проблему на примере.

Прямая линия задается в прямоугольной системе координат, которую можно определить по обычному уравнению x = 1-3 / 4 * ϰ / y = -1 + ϰ. Цель задачи — найти правильные координаты любого вектора прямой. Решение основано на том, что для достижения желаемого результата необходимо перевести в общее уравнение:

1. Х = 1-¾ * ϰ / у = -1 + ϰ.
2. ϰ = x1 / -¾ / ϰ = y + 1/1.
3. Х-1 / -¾ = у + 1/1.
4. 1 * (х-1) = — ¾ * (п + 1).
5. Х + ¾y-¼ = 0.

Коэффициенты x позволяют получить все необходимые координаты вектора. Это означает, что вектор линии x = 1-¾ * ϰ / y = -1 + ϰ после выполненных манипуляций будет иметь координаты 1, ¾.

Использование трёх точек

Такие задачи отличаются повышенной сложностью, так как для их решения необходимо обладать необходимыми знаниями. Для лучшего понимания этой темы вам следует изучить следующий пример. По условиям задачи задавались координаты трех точек:

1. Н (5; 3; -1).
2. D (2; 2; 0).
3. W (1; -1; -5).

необходимо правильно определить, все ли эти точки лежат на одной прямой. Прежде всего, вам нужно сделать следующее: составить уравнение по прямой для любых двух точек одновременно и только потом заменить координаты третьей точки, чтобы проверить, соответствуют ли они полученному равенству. Лучше написать уравнение в параметрической форме через H и D. Для решения лучше использовать обычную формулу, адаптированную для трехмерного случая. В результате можно получить:

• С = 5 + а * (- 3);
• В = 3 + а * (- 1);
• К-1 + А * 1.

После этого остается поочередно заменять координаты точки W в этих выражениях и подбирать значение параметра альфа, которое максимально соответствует ему. Решение:

• 1 = 5 + а * (- 3) => а = 4/3;
• -1 = 3 + а * (- 1) => а = 4;
• -5 = -1 + а * 1 => а = -4.

Проанализировав результат, можно понять, что все три равенства будут верными, но только если каждое из них получит разное значение параметра a. Конечно, этот последний факт логически противоречит условию параметрического геометрического уравнения линии, в котором значение a должно быть одинаковым для всех примеров. Это означает, что W не принадлежит линии HD, поэтому все три точки никак не могут лежать в одной плоскости.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдите расстояние от точки до прямой, заданное каноническим уравнением. Требуемое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах.