- Прямоугольная декартова система координат
- Четверти
- Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
- Немного из истории
- Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения
- Применение метода координат
- Примеры решения задач с помощью прямоугольной системы координат
- Координаты точки в декартовой системе координат
- Дополнительный материал
- Положительное и отрицательное направление
- Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт предложил использовать математические вычисления вместо геометрических построений. Так появился координатный метод, о котором мы сейчас и поговорим.
Координаты — это набор чисел, которые определяют положение объекта на линии, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать цифрами — они помогут нам понять, где именно находится наша школа. Та же история с точками на самолете.
Координатами можно назвать номер таблицы в полосе, широту и долготу на географической карте, расположение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем объект набором букв, цифр или других символов, тем самым мы устанавливаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, изобретенная математиком Рене Декартом, также называемая «декартовой системой координат». Представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом в точке их пересечения.
Чтобы узнать координаты, нужны ориентиры, с которых начнется обратный отсчет. На одном уровне эту роль будут играть две числовые оси.
Рисунок начинается с горизонтальной оси, называемой осью абсцисс, и обозначается латинской буквой x (x). Ось пишется так: Ох. Положительное направление оси абсцисс указано стрелкой слева направо.
Затем проводится вертикальная ось, которая называется осью y и обозначается y (зазор). Ось Oy зарегистрирована. Положительное направление оси ординат показано стрелкой, направленной снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит, угол между ними составляет 90 °. Точка пересечения является исходной точкой для каждой из осей и обозначается как: O. Исходная точка делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Оси координат — это прямые линии, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — это вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой расположена система координат. Обозначается это так: x0y.
- Единичный сегмент — это величина, которая принимается за единицу в геометрических конструкциях. В декартовой системе координат на каждой оси нанесена единичная линия. Длина сегмента показывает, сколько раз отдельный сегмент и его части помещаются в данный сегмент.
Единичные линии расположены слева и справа от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy расположены слева или справа, на оси Oy — под ней. Чаще всего единичные сегменты двух осей соответствуют друг другу, но есть задачи, в которых они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре четверти координат.
Каждая из согласованных кварталов имеет свой номер и обозначение в виде римской цифры. Обратный отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- левый верхний угол — вторая четверть II;
- левый нижний угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, необходимо опустить перпендикуляр от точки к каждой оси и посчитать количество единичных сегментов от нулевой отметки до освобожденного перпендикуляра. В скобках записаны координаты, первая по оси Ox, вторая по оси Oy.
Согласованные правила:
- Если обе координаты положительны, точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата x отрицательна, а координата y положительна, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, число находится в третьей четверти.
- Если координата x положительна, а координата y отрицательна, точка находится в четвертой четверти.
Четверти
План разделен на 4 части согласованными осями, они обозначены римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрантом». Другие названия: «согласованный угол» или «четверть». Четверти нумеруются против часовой стрелки в порядке, показанном на рисунке ниже.
Четверти координатной плоскости
- В квадранте I значения $ x $ и $ y $ будут больше 0 (или положительны). Отсюда следует, что если координаты объекта $ x $ и $ y $ положительные числа, то он находится в квадранте I.
- В квадранте II значения $ y $ также будут положительными, а координаты $ x $ будут иметь знак минус.
- В квадранте III обе координаты $ x $ и $ y $ будут иметь отрицательные значения.
- В последнем 4-м квадранте значение $ x $ будет положительным, а значение $ y $ — отрицательным.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных линий: Ox, Oy, Oz, где Oz — приложенная ось. По направлению осей координат происходит разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом координат. Каждая ось имеет положительное направление, обозначенное стрелкой. Если при повороте Ox против часовой стрелки на 90 ° его положительное направление совпадает с положительным направлением Oy, то это относится к положительному направлению Oz. Такая система считается справедливой. Объясняю на пальцах! Если мы сравним направление X с большим пальцем, указательный палец отвечает за Y, а средний — за Z.
Также формируется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не будут совпадать.
Немного из истории
На латыни слово «координата» происходит от двух других: co — «совместно» и ordinatus — «определенный», «упорядоченный».
Впервые необходимость определения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовались широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Таким образом, они начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но французский математик Рене Декарт организовал и систематизировал все знания в 17 веке. Поэтому прямоугольную систему координат еще называют «декартовой».
Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример. Определить, в каких квадрантах (четверти, рисунок с квадрантами — в конце абзаца «Прямоугольная декартова система координат на плоскости») может находиться точка M (x; y), если
- ху> 0;
- ху <0;
- х — у = 0;
- х + у = 0;
- х + у> 0;
- х + у <0;
- х — у> 0;
- х — у <0.
Правильное решение и ответ .
Пример. В декартовой системе координат точки даны на плоскости
А (-2; 5);
В (3; -5);
Найдите координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.
Применение метода координат
Координатный метод — это способ определения местоположения точки или тела с помощью чисел и других символов и системы координат.
Координаты и координатный метод применяются и используются в различных сферах нашей жизни.
Например, координаты на картах и планах даны числами. Для каждой точки на земной поверхности можно определить пару чисел (широту и долготу).
Координаты врача в больнице фиксируются по номеру этажа и номера кабинета.
Место в партере определяется парой чисел: номером ряда и номером места в ряду.
Место в поезде, указанное в билете, определяется двумя цифрами: номером вагона и номером полки.
Некоторые изображения прямоугольной системы координат можно встретить в известных играх, таких как шахматы и морской бой».
На шахматной доске каждая клетка имеет свои координаты: буквы латинского алфавита и цифры.
С помощью имени столбца и имени строки (например, координатных осей) вы можете определить положение шахматных фигур на игровом поле — их координаты.
Похожая ситуация складывается в игре «Морской бой».
На игровом поле (поле состоит из квадрата 10х10, выстроенного в клетку) условные корабли изображаются в виде прямоугольников и квадратов.
Задача игроков — определить положение кораблей, тем самым уничтожив их — «уничтожив» их с поля боя.
Это же поле (10х10) рисуется пустым для отметки координат сбитых кораблей противника.
Строки и столбцы дают нам подобие координатных осей, и каждый квадрат поля имеет свои координаты: букву и число.
Координатный метод используется при создании различных типов таблиц.
Таблицы часто содержат большой объем отсортированной информации.
Опять же, строки и столбцы дают нам подобие координатных осей, а координаты каждой ячейки в таблице задаются парой символов или чисел (в зависимости от специфики таблицы).
Например, расписание уроков.
Конкретный урок соответствует определенному времени и классу.
Существуют специальные компьютерные программы, с помощью которых можно создавать таблицы, выполнять вычисления и анализировать данные.
Любая ячейка в этой таблице соответствует двум символам, которые однозначно определяют ее: это пара «цифра-буква».
Использование набора чисел для описания положения точки — очень полезный инструмент.
Системы координат широко используются в современной науке и технике.
В геодезии и картографии широта и долгота определяются исключительно положением на поверхности земного шара.
В военной печати используется прямоугольная система координат: поверхность суши на военных картах условно делится на прямоугольники определенных размеров.
Положение точки на этой карте отмечено как в декартовой системе координат.
Помимо географических объектов, военная карта содержит информацию о составе войск, их дислокации и позициях, количестве и расположении военной техники, составе войск, текущих и планируемых боевых действиях и многое другое.
В космонавтике и астрономии с помощью специальных систем координат определяют положение звезд и других небесных тел, вспомогательные точки на небесной сфере, а также положение и траектории самолетов.
В авиации часто используются одновременно три разные системы координат: наземная, сопряженная и высокоскоростная.
Земное устройство жестко связано с Землей, оно используется для определения плоскости (как точки) по отношению к земным объектам.
Для расчета взлета, посадки и ближнемагистральных рейсов используется прямоугольная система координат, в остальных случаях используется более сложная система расчета и координат.
Соответствующая система координат используется для определения положения объектов внутри самолета.
Высокоскоростной используется для определения положения самолета относительно воздушного потока и расчета аэродинамических параметров корабля.
В морской навигации (навигация, судоходство) географические координаты измеряются с помощью координатной сетки, состоящей из линий, параллельных друг другу.
- Горизонтальные линии — это параллельные линии.
- Вертикальные линии — это линии меридиана.
Шкала широты точки нанесена на крайний левый и крайний правый меридианы.
На верхней и нижней параллелях есть шкалы для измерения долготы точки.
Современные навигационные устройства, конечно, во многом превосходят бумажные устройства прошлого, поскольку они способны не только находить координаты точки, но и открывать к ней безопасный маршрут.
Опять же, нужна только электронная карта и система координат.
Программирование запрограммированных станков также тесно связано с применением системы координат.
Перемещение рабочих частей станка в пространстве при изготовлении детали задается в прямоугольной системе координат.
Как видите, координаты и метод координат широко используются во многих сферах нашей жизни.
Использование координатного метода позволяет определять положение объекта как на плоскости, так и в пространстве.
Чтобы определить положение тела на плоскости, объект изображается точкой, координата которой лежит на двух осях пространства.
Рассмотрим алгоритмы решения математических задач с использованием прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.
- Определение координат заданных точек на координатной плоскости.
Если на координатной плоскости задана некоторая точка A и необходимо найти ее координаты, это делается следующим образом.
Для точки A проведены две прямые: одна параллельна оси Oy, вторая — оси Ox.
Линия, параллельная оси Oy, будет пересекать ось Ox в точке, которая является абсциссой точки A.
Прямая, параллельная оси Ox, будет пересекать ось Oy в точке, которая является ординатой точки A.
Координата точки A записывается следующим образом:
А (хА; уА)
xA — абсцисса точки A (координата по оси Ox).
yA — ордината точки A (координата по оси Oy).
Создает точку на координатной плоскости с использованием указанных координат.
Чтобы построить точки на плоскости с заданными координатами, действуйте в обратном порядке.
Нанесите абсциссу точки A на ось быка и проведите линию, перпендикулярную оси быка, через координату с запаздыванием xA.
По оси Oy отложите ординату точки A и проведите линию, перпендикулярную оси Oy, через отложенную координату yA.
На пересечении получившихся перпендикуляров получится точка A (xA; yA).
Примеры решения задач с помощью прямоугольной системы координат
Рассмотрим простейшие примеры решения математических задач с использованием прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.
Цель 1.
Постройте точку M (-4; 2) на координатной плоскости.
Решение.
Мы представляем прямоугольную систему координат с единичным сегментом, где 1 деление = 1 единица.
Для построения точки M вам потребуется:
- Верните число (-4) на ось быка (слева от нуля) и проведите линию, перпендикулярную оси быка через эту точку.
- Нанесите число (2) на ось Oy и проведите через эту точку прямую, перпендикулярную оси Oy.
- На пересечении проведенных перпендикуляров получаем точку M (-4; 2).
Цель 2.
Определите координату точки A в прямоугольной системе координат с единичной линией, где 1 деление = 1 единица.
Решение.
- Для точки A проведем линию, параллельную оси Oy.
- Прямая линия пересечет ось быка в точке с координатой (-3) — это абсцисса точки А.
- Для точки А проводим линию, параллельную оси быка.
- Прямая пересекает ось Oy в точке с координатой (2) — это ордината точки A.
- Запишем полученную координату точки A: A (-3; 2).
Цель 3.
По координатным знакам точки легко определить, в какой четверти координат точка находится.
Определяет, какая четверть координаты прямоугольной системы координат является точкой B (-21; 25).
Решение.
Обратите внимание, что абсцисса и ордината точки B имеют большие значения; поэтому определение положения этой точки по заданным координатам нецелесообразно.
Мы используем другой метод.
- Мы знаем, что все четверти координатной плоскости определяются знаками каждой из координат.
- Координата x точки B (абсцисса точки B) — отрицательное число (-21 <0).
- Это означает, что точка B находится слева от оси Oy, например, как во второй, так и в третьей четверти.
- Координата в точке B (ордината точки B) — положительное число (25> 0).
- Это означает, что точка B находится выше оси быка.
- Если точка находится слева от оси Oy и выше оси Ox (x <0, y> 0), то она находится в верхнем левом углу, и это вторая координатная четверть прямоугольной системы координат.
Задача 4.
Коля нанес на координатной плоскости координаты углов комнаты A (0; 0), B (5; 0), C (0; 3), D (5; 3), в которой он хочет произвести ремонт.
Сколько квадратных метров линолеума понадобится Коле для комнаты?
Решение:
Отметим точки на координатной плоскости в заданных координатах.
Соединяем эти точки, получаем прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м — это длина и ширина комнаты Коли.
Находим площадь этого прямоугольника, выясняем площадь комнаты и затем площадь линолеума, который понадобится Коле.
Находим площадь прямоугольника по формуле ( mathbf {S = a cdot b})
( mathbf {S = 5 cdot 3 = 15} ) (м2) линолеума Коля нуждается в ремонте комнаты.
Ответ: S = 15 м2
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала поставьте точку М на оси быка. Любое действительное число xM равно единственной точке M, лежащей на этой прямой. В этом случае начало координатных линий всегда равно нулю.
Каждая точка M, которая находится на Ox, равна действительному числу xM. Это действительное число равно нулю, если точка M находится в начале координат, то есть на пересечении Ox и Oy. Если точка удаляется в положительном направлении, длина сегмента положительна, и наоборот.
Число xM — это координата точки M на данной координатной прямой.
Пусть точка является проекцией точки Mx в Ox и My в Oy. Это означает, что через точку M можно провести прямые, перпендикулярные осям Ox и Oy, после чего мы получим соответствующие точки пересечения Mx и My. Тогда точке Mx на оси Ox соответствует номер xM, а My на Oy — yM. Как это отображается на осях координат:
Каждой точке M на данной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса M — xM, ордината M — yM.
верно и обратное: каждой паре (xM, yM) соответствует точка на плоскости.
Дополнительный материал
Легенды об изобретении декартовой системы координат.
- Первая легенда.
Рене Декарт, посещая театры Парижа, каждый раз удивлялся неразберихе, неразберихе, склокам, а иногда и даже дуэльным вызовам, возникавшим из-за отсутствия четкого распределения зрителей по местам зала.
Система нумерации, предложенная Декартом, в которой каждое место получало номер строки и порядковый номер с края линии, разрешала все споры и разногласия.
так была изобретена декартова система координат.
- Вторая легенда.
Однажды Рене Декарт весь день провел в постели, думая о чем-то важном.
Над ним раздражающе жужжала и летала муха, не давая ему сконцентрироваться.
Он стал думать, как математически описать положение мухи в любой момент и, предвидя ее движение, суметь раздавить ее…
так была изобретена декартова система координат.
Положительное и отрицательное направление
Для осей стрелка задает положительное направление:
- поэтому направление вправо обычно считается положительным на оси $ Ox;
- на оси $ Oy $ направление снизу вверх считается положительным.
В этом случае часть прямой $ Ox $ слева от точки $ O $ примет отрицательные значения. Точно так же часть линии $ Oy $ ниже контрольной точки $ O $ также примет отрицательные значения.
Итак все вместе:
- начало координат $ О$
- пересекающиеся под прямым углом оси $ Ox $ и $ Oy $ с заданными направлениями
- данный единичный сегмент
в математике они образуют прямоугольную систему координат, плоскость называется координатой.
Или другими словами:
Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных осей координат с заданными направлениями, единицы длины и контрольной точки на их пересечении.
В письменной форме указывается система координат $ Oxy$
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости
A1 (x1; y1) и A2 (x2; y2)
рассчитывается по формуле
Испытание. Рассмотрим рисунок 6.
Рисунок 6
Так как в прямоугольном треугольнике A1A2B длина стороны A1B равна | x2 — x1 | а длина ноги A2B равна | y2 — y1 | , поэтому по теореме Пифагора
| A1A2 | 2 =
= (х2 — х1) 2 + (у2 — у1) 2 .
Поэтому по мере необходимости.