Ось абсцисс и ординат

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт предложил использовать математические вычисления вместо геометрических построений. Так появился координатный метод, о котором мы сейчас и поговорим.

Координаты — это набор чисел, которые определяют положение объекта на линии, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать цифрами — они помогут нам понять, где именно находится наша школа. Та же история с точками на самолете.

Координатами можно назвать номер таблицы в полосе, широту и долготу на географической карте, расположение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем объект набором букв, цифр или других символов, тем самым мы устанавливаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, изобретенная математиком Рене Декартом, также называемая «декартовой системой координат». Представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом в точке их пересечения.

Чтобы узнать координаты, нужны ориентиры, с которых начнется обратный отсчет. На одном уровне эту роль будут играть две числовые оси.

Рисунок начинается с горизонтальной оси, называемой осью абсцисс, и обозначается латинской буквой x (x). Ось пишется так: Ох. Положительное направление оси абсцисс указано стрелкой слева направо.

Затем проводится вертикальная ось, которая называется осью y и обозначается y (зазор). Ось Oy зарегистрирована. Положительное направление оси ординат показано стрелкой, направленной снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит, угол между ними составляет 90 °. Точка пересечения является исходной точкой для каждой из осей и обозначается как: O. Исходная точка делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Прямоугольная система координат

  • Оси координат — это прямые линии, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — это вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой расположена система координат. Обозначается это так: x0y.
  • Единичный сегмент — это величина, которая принимается за единицу в геометрических конструкциях. В декартовой системе координат на каждой оси нанесена единичная линия. Длина сегмента показывает, сколько раз отдельный сегмент и его части помещаются в данный сегмент.

Единичные линии расположены слева и справа от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy расположены слева или справа, на оси Oy — под ней. Чаще всего единичные сегменты двух осей соответствуют друг другу, но есть задачи, в которых они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре четверти координат.

Каждая из согласованных кварталов имеет свой номер и обозначение в виде римской цифры. Обратный отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • левый верхний угол — вторая четверть II;
  • левый нижний угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

четыре согласованных квартала

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, необходимо опустить перпендикуляр от точки к каждой оси и посчитать количество единичных сегментов от нулевой отметки до освобожденного перпендикуляра. В скобках записаны координаты, первая по оси Ox, вторая по оси Oy.

Согласованные правила:

  • Если обе координаты положительны, точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата x отрицательна, а координата y положительна, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, число находится в третьей четверти.
  • Если координата x положительна, а координата y отрицательна, точка находится в четвертой четверти.

Четверти

План разделен на 4 части согласованными осями, они обозначены римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрантом». Другие названия: «согласованный угол» или «четверть». Четверти нумеруются против часовой стрелки в порядке, показанном на рисунке ниже.


Четверти координатной плоскости

  1. В квадранте I значения $ x $ и $ y $ будут больше 0 (или положительны). Отсюда следует, что если координаты объекта $ x $ и $ y $ положительные числа, то он находится в квадранте I.
  2. В квадранте II значения $ y $ также будут положительными, а координаты $ x $ будут иметь знак минус.
  3. В квадранте III обе координаты $ x $ и $ y $ будут иметь отрицательные значения.
  4. В последнем 4-м квадранте значение $ x $ будет положительным, а значение $ y $ — отрицательным.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных линий: Ox, Oy, Oz, где Oz — приложенная ось. По направлению осей координат происходит разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом координат. Каждая ось имеет положительное направление, обозначенное стрелкой. Если при повороте Ox против часовой стрелки на 90 ° его положительное направление совпадает с положительным направлением Oy, то это относится к положительному направлению Oz. Такая система считается справедливой. Объясняю на пальцах! Если мы сравним направление X с большим пальцем, указательный палец отвечает за Y, а средний — за Z.

Также формируется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не будут совпадать.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Немного из истории

На латыни слово «координата» происходит от двух других: co — «совместно» и ordinatus — «определенный», «упорядоченный».

Впервые необходимость определения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовались широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Таким образом, они начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но французский математик Рене Декарт организовал и систематизировал все знания в 17 веке. Поэтому прямоугольную систему координат еще называют «декартовой».

Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример. Определить, в каких квадрантах (четверти, рисунок с квадрантами — в конце абзаца «Прямоугольная декартова система координат на плоскости») может находиться точка M (x; y), если

  1. ху> 0;
  2. ху <0;
  3. х — у = 0;
  4. х + у = 0;
  5. х + у> 0;
  6. х + у <0;
  7. х — у> 0;
  8. х — у <0.

Правильное решение и ответ .

Пример. В декартовой системе координат точки даны на плоскости

А (-2; 5);

В (3; -5);

Найдите координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Применение метода координат

Координатный метод — это способ определения местоположения точки или тела с помощью чисел и других символов и системы координат.

Координаты и координатный метод применяются и используются в различных сферах нашей жизни.

Например, координаты на картах и ​​планах даны числами. Для каждой точки на земной поверхности можно определить пару чисел (широту и долготу).

Координаты врача в больнице фиксируются по номеру этажа и номера кабинета.

Место в партере определяется парой чисел: номером ряда и номером места в ряду.

Место в поезде, указанное в билете, определяется двумя цифрами: номером вагона и номером полки.

Некоторые изображения прямоугольной системы координат можно встретить в известных играх, таких как шахматы и морской бой».

На шахматной доске каждая клетка имеет свои координаты: буквы латинского алфавита и цифры.

С помощью имени столбца и имени строки (например, координатных осей) вы можете определить положение шахматных фигур на игровом поле — их координаты.

Похожая ситуация складывается в игре «Морской бой».

На игровом поле (поле состоит из квадрата 10х10, выстроенного в клетку) условные корабли изображаются в виде прямоугольников и квадратов.

Задача игроков — определить положение кораблей, тем самым уничтожив их — «уничтожив» их с поля боя.

Это же поле (10х10) рисуется пустым для отметки координат сбитых кораблей противника.

Строки и столбцы дают нам подобие координатных осей, и каждый квадрат поля имеет свои координаты: букву и число.

Координатный метод используется при создании различных типов таблиц.

Таблицы часто содержат большой объем отсортированной информации.

Опять же, строки и столбцы дают нам подобие координатных осей, а координаты каждой ячейки в таблице задаются парой символов или чисел (в зависимости от специфики таблицы).

Например, расписание уроков.

Конкретный урок соответствует определенному времени и классу.

Существуют специальные компьютерные программы, с помощью которых можно создавать таблицы, выполнять вычисления и анализировать данные.

Любая ячейка в этой таблице соответствует двум символам, которые однозначно определяют ее: это пара «цифра-буква».

Использование набора чисел для описания положения точки — очень полезный инструмент.

Системы координат широко используются в современной науке и технике.

В геодезии и картографии широта и долгота определяются исключительно положением на поверхности земного шара.

В военной печати используется прямоугольная система координат: поверхность суши на военных картах условно делится на прямоугольники определенных размеров.

Положение точки на этой карте отмечено как в декартовой системе координат.

Помимо географических объектов, военная карта содержит информацию о составе войск, их дислокации и позициях, количестве и расположении военной техники, составе войск, текущих и планируемых боевых действиях и многое другое.

В космонавтике и астрономии с помощью специальных систем координат определяют положение звезд и других небесных тел, вспомогательные точки на небесной сфере, а также положение и траектории самолетов.

В авиации часто используются одновременно три разные системы координат: наземная, сопряженная и высокоскоростная.

Земное устройство жестко связано с Землей, оно используется для определения плоскости (как точки) по отношению к земным объектам.

Для расчета взлета, посадки и ближнемагистральных рейсов используется прямоугольная система координат, в остальных случаях используется более сложная система расчета и координат.

Соответствующая система координат используется для определения положения объектов внутри самолета.

Высокоскоростной используется для определения положения самолета относительно воздушного потока и расчета аэродинамических параметров корабля.

В морской навигации (навигация, судоходство) географические координаты измеряются с помощью координатной сетки, состоящей из линий, параллельных друг другу.

  • Горизонтальные линии — это параллельные линии.
  • Вертикальные линии — это линии меридиана.

Шкала широты точки нанесена на крайний левый и крайний правый меридианы.

На верхней и нижней параллелях есть шкалы для измерения долготы точки.

Современные навигационные устройства, конечно, во многом превосходят бумажные устройства прошлого, поскольку они способны не только находить координаты точки, но и открывать к ней безопасный маршрут.

Опять же, нужна только электронная карта и система координат.

Программирование запрограммированных станков также тесно связано с применением системы координат.

Перемещение рабочих частей станка в пространстве при изготовлении детали задается в прямоугольной системе координат.

Как видите, координаты и метод координат широко используются во многих сферах нашей жизни.

Использование координатного метода позволяет определять положение объекта как на плоскости, так и в пространстве.

Чтобы определить положение тела на плоскости, объект изображается точкой, координата которой лежит на двух осях пространства.

Рассмотрим алгоритмы решения математических задач с использованием прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

  • Определение координат заданных точек на координатной плоскости.

Если на координатной плоскости задана некоторая точка A и необходимо найти ее координаты, это делается следующим образом.

Для точки A проведены две прямые: одна параллельна оси Oy, вторая — оси Ox.

Линия, параллельная оси Oy, будет пересекать ось Ox в точке, которая является абсциссой точки A.

Прямая, параллельная оси Ox, будет пересекать ось Oy в точке, которая является ординатой точки A.

Координата точки A записывается следующим образом:

А (хА; уА)

xA — абсцисса точки A (координата по оси Ox).

yA — ордината точки A (координата по оси Oy).

Создает точку на координатной плоскости с использованием указанных координат.

Чтобы построить точки на плоскости с заданными координатами, действуйте в обратном порядке.

Нанесите абсциссу точки A на ось быка и проведите линию, перпендикулярную оси быка, через координату с запаздыванием xA.

По оси Oy отложите ординату точки A и проведите линию, перпендикулярную оси Oy, через отложенную координату yA.

На пересечении получившихся перпендикуляров получится точка A (xA; yA).

Примеры решения задач с помощью прямоугольной системы координат

Рассмотрим простейшие примеры решения математических задач с использованием прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

Цель 1.

Постройте точку M (-4; 2) на координатной плоскости.

Решение.

Мы представляем прямоугольную систему координат с единичным сегментом, где 1 деление = 1 единица.

Для построения точки M вам потребуется:

  1. Верните число (-4) на ось быка (слева от нуля) и проведите линию, перпендикулярную оси быка через эту точку.
  2. Нанесите число (2) на ось Oy и проведите через эту точку прямую, перпендикулярную оси Oy.
  3. На пересечении проведенных перпендикуляров получаем точку M (-4; 2).

Цель 2.

Определите координату точки A в прямоугольной системе координат с единичной линией, где 1 деление = 1 единица.

Решение.

  1. Для точки A проведем линию, параллельную оси Oy.
  2. Прямая линия пересечет ось быка в точке с координатой (-3) — это абсцисса точки А.
  3. Для точки А проводим линию, параллельную оси быка.
  4. Прямая пересекает ось Oy в точке с координатой (2) — это ордината точки A.
  5. Запишем полученную координату точки A: A (-3; 2).

Цель 3.

По координатным знакам точки легко определить, в какой четверти координат точка находится.

Определяет, какая четверть координаты прямоугольной системы координат является точкой B (-21; 25).

Решение.

Обратите внимание, что абсцисса и ордината точки B имеют большие значения; поэтому определение положения этой точки по заданным координатам нецелесообразно.

Мы используем другой метод.

  1. Мы знаем, что все четверти координатной плоскости определяются знаками каждой из координат.
  2. Координата x точки B (абсцисса точки B) — отрицательное число (-21 <0).
  3. Это означает, что точка B находится слева от оси Oy, например, как во второй, так и в третьей четверти.
  4. Координата в точке B (ордината точки B) — положительное число (25> 0).
  5. Это означает, что точка B находится выше оси быка.
  6. Если точка находится слева от оси Oy и выше оси Ox (x <0, y> 0), то она находится в верхнем левом углу, и это вторая координатная четверть прямоугольной системы координат.

Задача 4.

Коля нанес на координатной плоскости координаты углов комнаты A (0; 0), B (5; 0), C (0; 3), D (5; 3), в которой он хочет произвести ремонт.

Сколько квадратных метров линолеума понадобится Коле для комнаты?

Решение:

Отметим точки на координатной плоскости в заданных координатах.

Соединяем эти точки, получаем прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м — это длина и ширина комнаты Коли.

Находим площадь этого прямоугольника, выясняем площадь комнаты и затем площадь линолеума, который понадобится Коле.

Находим площадь прямоугольника по формуле ( mathbf {S = a cdot b})

( mathbf {S = 5 cdot 3 = 15} ) (м2) линолеума Коля нуждается в ремонте комнаты.

Ответ: S = 15 м2

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала поставьте точку М на оси быка. Любое действительное число xM равно единственной точке M, лежащей на этой прямой. В этом случае начало координатных линий всегда равно нулю.

Каждая точка M, которая находится на Ox, равна действительному числу xM. Это действительное число равно нулю, если точка M находится в начале координат, то есть на пересечении Ox и Oy. Если точка удаляется в положительном направлении, длина сегмента положительна, и наоборот.

Число xM — это координата точки M на данной координатной прямой.

Пусть точка является проекцией точки Mx в Ox и My в Oy. Это означает, что через точку M можно провести прямые, перпендикулярные осям Ox и Oy, после чего мы получим соответствующие точки пересечения Mx и My. Тогда точке Mx на оси Ox соответствует номер xM, а My на Oy — yM. Как это отображается на осях координат:

Координаты точки в декартовой системе координат

Каждой точке M на данной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса M — xM, ордината M — yM.

верно и обратное: каждой паре (xM, yM) соответствует точка на плоскости.

Дополнительный материал

Легенды об изобретении декартовой системы координат.

  • Первая легенда.

Рене Декарт, посещая театры Парижа, каждый раз удивлялся неразберихе, неразберихе, склокам, а иногда и даже дуэльным вызовам, возникавшим из-за отсутствия четкого распределения зрителей по местам зала.

Система нумерации, предложенная Декартом, в которой каждое место получало номер строки и порядковый номер с края линии, разрешала все споры и разногласия.

так была изобретена декартова система координат.

  • Вторая легенда.

Однажды Рене Декарт весь день провел в постели, думая о чем-то важном.

Над ним раздражающе жужжала и летала муха, не давая ему сконцентрироваться.

Он стал думать, как математически описать положение мухи в любой момент и, предвидя ее движение, суметь раздавить ее…

так была изобретена декартова система координат.

Положительное и отрицательное направление

Для осей стрелка задает положительное направление:

  • поэтому направление вправо обычно считается положительным на оси $ Ox;
  • на оси $ Oy $ направление снизу вверх считается положительным.

В этом случае часть прямой $ Ox $ слева от точки $ O $ примет отрицательные значения. Точно так же часть линии $ Oy $ ниже контрольной точки $ O $ также примет отрицательные значения.

Итак все вместе:

  • начало координат $ О$
  • пересекающиеся под прямым углом оси $ Ox $ и $ Oy $ с заданными направлениями
  • данный единичный сегмент

в математике они образуют прямоугольную систему координат, плоскость называется координатой.

Или другими словами:

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных осей координат с заданными направлениями, единицы длины и контрольной точки на их пересечении.

В письменной форме указывается система координат $ Oxy$

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A1 (x1; y1) и A2 (x2; y2)

рассчитывается по формуле

Испытание. Рассмотрим рисунок 6.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости ординаты оси абсцисс четвертого квадранта
Прямоугольная декартова система координат на плоскости ординаты оси абсцисс четвертого квадранта

Рисунок 6

Так как в прямоугольном треугольнике A1A2B длина стороны A1B равна | x2 — x1 | а длина ноги A2B равна | y2 — y1 | , поэтому по теореме Пифагора

| A1A2 | 2 =
= (х2 — х1) 2 + (у2 — у1) 2 .

Поэтому по мере необходимости.

Оцените статью
Блог про прикладную математику