Определение устойчивости по Ляпунову: что это такое

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

где функция f(t,x) определена и непрерывна для
и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную . Пусть функция

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Пусть, далее, функция

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Предполагается, что решения определены для всех неограниченно продолжаемы вправо.

Решение уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого такое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

следует неравенство

для всех (всегда можно считать, что

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению остаются близкими и при всех
Геометрически это означает следующее. Решениеуравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую , все достаточно близкие к ней в начальный момент
интегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех
(рис. 1).

Если при сколь угодно малом
хотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение
этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при

Определение:

Решение
уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1. решение устойчиво;
2. существует такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию
   имеем

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению , не только остаются близкими к нему при , но и неограниченно сближаются с ним при

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

уравнения

Решение , очевидно, удовлетворяет начальному условию

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

имеет вид

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была -полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует , например, такое, что любая интегральная кривая для которой целиком содержится в указанной полоске для всех

Следовательно, решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение при не стремится к прямой х = 0.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

имеет вид

Возьмем любое > 0 и рассмотрим разность решений

Поскольку для всех , из выражения (***) следует, что существует например, такое, что при имеем

Согласно определению (1) это означает, что решение
уравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

поэтому решение асимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

уравнения

неустойчиво.

В самом деле, при сколь угодно малом
решение

этого уравнения не удовлетворяет условию

при достаточно больших t > to. Более того, при любых
имеем

(рис.4).

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

где функции fi определены для
из некоторой области D изменения
и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при

Решение

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого > 0 существует такое, что для всякого решения той же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

выполняются неравенства

для всех т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения не все неравенства (5) выполняются, то решение называется неустойчивым.

Решение

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1. решение это устойчиво;
2. существует такое, что всякое решение системы, для которого

удовлетворяет условию

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

удовлетворяющее начальным условиям

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям
имеет вид

Возьмем произвольное > 0 и покажем, что существует такое, что при выполняются неравенствадля всех

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение
системы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

то при
будут иметь место неравенства

для всех
т.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Решение, удовлетворяющее начальному условию
имеет вид

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого существует например такое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство
удовлетворяет условию

Последнее означает, что решение устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Оно имеет очевидные решения

Интегрируя уравнение (6), находим

Все решения (7) и (8) ограничены на
Однако решение неустойчиво при так как при любом имеем(рис. 6).

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

другой системы заменой

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение
этого уравнения. Положим, что

(величину называют возмущением). Тогдаи подстановка в (*) приводит к равенству

Но — решение уравнения (*), поэтомуи из (**) имеемОбозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Это уравнение имеет решение так как при его левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Таким образом, вопрос об устойчивости решения уравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Условия устойчивости

Для устойчивости системы с неизменным временем должны быть выполнены следующие два условия:

1. Она сама будет создавать ограниченный вывод для каждого входа; если вход отсутствует, выход должен иметь нулевое значение, независимо от каких-либо начальных условий.
2. Стабильность системы можно назвать абсолютной или относительной устойчивостью. Представленный термин используется в отношении исследования, в ходе которого сравниваются определенные величины, их условий эксплуатации. Стабильность — это конечный результат, создаваемый в результате.

Если выход системы бесконечен, даже когда конечный вход применяется к ней, то ее будут называть неустойчивой, то есть стабильная по своей сути она имеет ограниченное завершение в том случае, когда ограниченное начало применяется к ней самой.

При этом под входом понимаются различные точки приложения влияния внешней среды на систему. Выход является конечным продуктом ее деятельности, который имеет вид преобразованных входных данных.

В непрерывной системе линейного времени условие устойчивости может быть записано для конкретной импульсной характеристики.

В том случае, когда она является дискретной, показатель стабильности также может быть записан для конкретной импульсной характеристики.

Для неустойчивого условия как в непрерывной, так и в ограниченной системе эти выражения будут бесконечными.

Типы устойчивости и возмущения

Под статической устойчивостью системы понимают ее способность, обеспечивающую восстановление исходного (или близкого к исходному) режима после малого возмущения. Под представленным понятием в данном контексте рассматривают колебание, которое влияет на ее поведение независимо от того, где появляется всплеск или падение, и какова их величина. На основании этого эти режимы, близкие к начальному, позволяют рассматривать ее как линейную.

Динамическая устойчивость систем является способностью последней к восстановлению исходное состояние после большого возмущения.

Под большим колебанием понимают такое движение, характер влияния которого и соответствующее его поведение обуславливают время существования, величина и место его появления.

На основании этого систему в данном диапазоне определяют как нелинейную.

Критерии определения устойчивости

Основным условием устойчивости линейной системы является не характер возмущения, а ее структура. Считается, что эта стабильность «в малом» определяется в том случае, если не устанавливаются ее границы. Устойчивость «в большом» определяется пределами и соответствием реальных отклонений этим установленным рамкам.

Для определения устойчивости системы пользуются следующими критериями:

• корневым критерием;
• критерием Стодолы;
• критерием Гурвица;
• критерием Найквиста;
• критерием Михайлова и др.

Корневой критерий и оценочная методика Стодолы используют при определении устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица – алгебраический, позволяет определить стабильность замкнутых систем без запаздывания. Критерии Найквиста и Михайлова являются частотными. Ими пользуются для определения устойчивости замкнутых систем на основании их частотных характеристик.

Корневой критерий

Он позволяет определить устойчивость системы, исходя из вида передаточной функции. Свойства поведения ее описываются характеристическим многочленом (знаменатель передаточной функции). Если приравнять знаменатель к нулю, корни полученного уравнения позволят определить степень устойчивости.

Согласно данному критерию, линейная система будет стабильной, если все корни уравнения будут находиться в левой полуплоскости. В случае расположения хотя бы одного из них на границе устойчивости, сама она также будет находиться на пределе. В случае, если хотя бы один из них находится в правой полуплоскости, систему можно считать неустойчивой.

Критерий Стодолы

Он вытекает из корневого определения. В соответствии с критерием Стодолы линейную систему можно считать устойчивой в том случае, когда все коэффициенты многочлена являются положительными.

Критерий Гурвица

Данный критерий используют для характеристического многочлена замкнутой системы. Согласно этой методике, достаточным условием устойчивости является тот факт, что значение определителя и всех главных диагональных миноров матрицы больше нуля. В случае равенства хотя бы одного из них нулю, она рассматривается на границе устойчивости. При наличии хотя бы одного отрицательного определителя ее следует считать неустойчивой.

Критерий Найквиста

В основе данной методики лежит построение кривой, соединяющей концы вектора переменной величины, отображающей передаточную функцию. Формулировка критерия сводится к следующему: замкнутая система считается устойчивой, если кривая функции не охватывает на комплексной плоскости точку c координатами (-1, j0).

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Тогда система функций

будет решением системы (1). Точку
фазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

системы (1) устойчива, если для любого
существует такое что любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент все время затем остается в шаре

Точка покоя асимптотически устойчива, если:

1. она устойчива;
2. существует такое что каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области стремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Поясним это определение примерами.

Пример:

Рассмотрим систему

Траектории здесь — концентрические окружности

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять
то любая траектория, начинающаяся в круге , остается все время внутри , а следовательно, и внутри , так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при и точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

Ее решения:

Отсюда имеем

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать
Любая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри , остается все время в круге и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при

Следовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Пример:

Возьмем, наконец, систему

Здесь также

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Решение будем искать в виде

Для определения
получаем характеристическое уравнение

Величины
с точностью до постоянного множителя определяются из системы

Возможны следующие случаи.

А. Корни
характеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

• Пусть
  Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей
  все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент
  в произвольной окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой,
  окрестности начала координат, а при стремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Пусть теперь и (для определенности)

Тогда в силу (4)

т. е. все траектории (исключая лучи в окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

(рис. 9).

• Если
  то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Пример:

Рассмотрим систему

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

имеет корни
так что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Оно имеет решения

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

• Пусть теперь тогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

в направлении от начала неограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

в направлении к началу координат . Если так и при траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни

Перейдем к одному уравнению

интегрируя которое получаем

Уравнение (6) имеет также решения

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Б. Корни
характеристического уравнения — комплексные:
Общее решение системы (2) можно представить в виде

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а
— некоторые линейные комбинации этих постоянных

• Пусть
  в этом случае множитель стремится к нулю при а вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции.Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
• Если то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
• Если же то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение

не стремится к нулю при

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Характеристическое уравнение системы

имеет комплексные корни

Перейдем от системы к одному уравнению

и введем полярные координаты
Тогда

Следовательно,

Используя уравнение (9), находим, что

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при
в зависимости от того, будет ли а < 0 или а > 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни
характеристического уравнения кратные:
Случай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

(
— некоторые линейные комбинации С1, С2).

• Если то из-за наличия множителя решения х(t), y(t) стремятся к нулю при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
• При замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

характеристическое уравнение

имеет кратные корни
Деля второе уравнение системы на первое, найдем

В этом случае

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай
исключен условием

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Характеристическое уравнение для системы (**)

имеет корни

Если 0 < к < 2, то эти корни будут комплексными с отрицательной действительной частью, так что нижнее положение равновесия маятника х = х1 = 0 будет устойчивом фокусом. Решением уравнения (*) является функция

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0 < к < 2 имеют вид, изображенный на рис. 16. При
т. е. с уменьшением коэффициента трения, фокус превращается в центр: маятник будет совершать незатухающие периодические колебания.

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Справедливы следующие предложения:

1. если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители
   стремящиесяк нулю при
2. если хотя бы один корень
   характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;
3. если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции
— так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем, для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя
системы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории
до начала координат

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что
то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Так, в случае n = 3 функции

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция
называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

Например, функция

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при
а именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть
— дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Определение:

Величина
определяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Функций обладающую свойствами:

1. 
   дифференцируема в некоторой окрестности начала координат;
2. 
   определенно-положительна в
   и
3. полная производная
   функции , составленная в силу системы (1),
4. всюду в , называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция , полная производная
которой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя
системы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности
есть знакоположительная функция, для которой
Так как

причем v = 0 лишь при
то начало координат есть точка строгого минимума функции
В окрестности начала координат поверхности уровня

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как
только для
то поверхность

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Линии уровня
представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если
то линия уровня целиком лежит внутри области, ограниченной линией

Зададим

При достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать
такое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v < С (рис. 20).

Рассмотрим траекторию системы (1), выходящую в начальный момент времени t = to из какой-нибудь точки
окрестности начала координат. Эта траектория при возрастании t никогда не пересечет ни одной из линий v(x1,x2) изнутри наружу. В самом деле, если бы такое пересечение было возможным в какой-нибудь точке, то в этой точке или в ее окрестности функция
необходимо имела бы положительную производную
так как при переходе от какой-нибудь линии v = С к другой линии этого семейства, охватывающей первую, функция v(x1,x2) возрастает. Но это невозможно в силу того, что по условию

Значит, если в начальный момент времени какая-нибудь траектория находилась внутри области, ограниченной линией v = С, то она и в дальнейшем будет все время оставаться внутри этой области. Отсюда ясно, что для всякого
существует такое, что любая траектория системы, выходящая в начальный момент времени
окрестности начала координат, для всех
будет содержаться в е-окрестности начала. Это и означает устойчивость точки покоя
системы (1).

Теорема:

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.Если для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция
полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя
системы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Беря опять

Таким образом,
есть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости.Пусть для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция
такая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная
составленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положительные значения, то точка покоя системы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Возьмем функцию

Для нее функция

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например,
вдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

и пусть есть точка покоя системы, т. е.

Будем предполагать, что функции
дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно
Система дифференциальных уравнений (1) примет вид

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Решение
уравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию
имеет вид и перестает существовать при (решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя
системы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни
характеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица
будет диагональной:

где
— матрица из коэффициентов системы (4). Положим

и система (4) преобразуется к виду

Отсюда получаем

или, в силу выбора матрицы Т,

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

причем в
опять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при

Рассмотрим следующие возможности:

• Все корни
  — отрицательные. Положимтогда производная в силу системы (8) будет иметь вид

где
малая более высокого порядка, чем квадратичная форма

Таким образом, в достаточно малой окрестности
точки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная
знакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

• Некоторые из корней положительные, а остальные — отрицательные. Положим
• Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых

Что касается производной то, поскольку отрицательны, производная — знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Система первого приближения имеет вид

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Корни характеристического уравнения
нулевое решение

системы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

неустойчива.

В самом деле, для функции
в силу системы (**) имеем

т.е. — функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

Характеристическое уравнение

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.