Определение непрерывности функции в точке: понятие

Приращение аргумента и приращение функции

Приращением аргумента называют разность $$ triangle x= x-x_0 $$ где x — произвольное число, которое мало отличается от начальной точки (x_0). Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.

Приращением функции называют соответствующую разность $$ triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Например:

Пусть (y=3x-1) (x_0=1, x=1,1 ) Тогда begin{gather*} triangle x=x-x_0=0,1 triangle y=(3x-1)-(3x_0-1)= =3(x-x_0 )=3triangle x=0,3 end{gather*} В данном случае приращение функции всегда в 3 три раза больше приращения аргумента. Чем меньше будет (triangle x), тем меньшим будет (triangle y). Если записать через предел: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y=0 $$

Непрерывность и разрывы функций

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций

Элементарные функции: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные им, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком , при котором они имеют определенное значение.

Обратим внимание на свойства непрерывных функций.

• Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции
  , а если, кроме того , то и , являются непрерывными в точке .
• Теорема 2. Непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией.

Функция, определенная на некотором отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на отрезке.

• Теорема 3. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена.
• Теорема 4. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.
• Теорема 5. (Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное.

Следствие из теоремы Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует точка, в которой функция обращается в ноль.

Заметим, что последний факт полезен при нахождении корней уравнений точно или приближенно.

Локальные свойства непрерывной функции

Теорема 3.2. Если функция : X → непрерывна в точке a, то она локально ограничена в ней. Если, кроме того,
(a) 0, то найдется такая окрестность Ua точки a, что(x) 0, sgn (x) = sgn (a), ∀x ∈ XUa.

Если a — изолированная точка множества X , то утверждения очевидны. Если же a — предельная точка множества X , то утверждения следуют из соответствующих локальных свойств функции, имеющей в точке конечный предел.

Теорема 3.3.Если функции и , определенные на множестве X, непрерывны в точке a, то функции  ± , f · и, если  (a) 6= 0,    непрерывны в  точке a.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 3.2.

Теорема 3.4. Пусть функция: X → Y имеет конечный предел в точке a, lim = b, b ∈ Y , функция : Y → непрерывна в точке b. Тогда a существует предел суперпозиции функций и , при этом lim ◦= (b).

Фиксируем произвольную последовательность
{xn}: xn ∈ X, xn
a, xn→ a.

Поскольку : X → Y и = b, то (xn) ∈ Y, n ∈, (xn) → b. Обозначим a yn = (xn). Тогда последовательность {yn} обладает свойствами: yn ∈ Y, ∀n ∈ , yn → b. По условию функция непрерывна в точке b, поэтому (yn) → (b). Следовательно, ◦ f (xn) → (b), и, по определению Гейне предела функции, существует предел ◦ f = (b).

Следствие. Если функция : X → Y непрерывна в точке x0, а функция : Y → R непрерывна в точке y0 = (x0), то функция ◦
непрерывна в точке x0 .

Из теорем 3.3 и 3.4 и примеров 2, 3 следует, что многочлен

,является непрерывной на множестве функцией, а рациональная функция , где P (x) и Q(x) — многочлены, непрерывна в своей области определения.

Глобальные свойства непрерывных функций

Описательно говоря, глобальными называются свойства, справедливые в области определения функции.

Теорема 3.5. Если функция непрерывна на множестве X и X1 ⊂ X, то сужение |х1 — непрерывная функция на X1.

Пусть a — некоторая точка множества X1 . Так как
∈ C(X), то

∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ X
Ua(δ) ⇒ |
(x) —
(a)|
ε.

Поэтому ∀x ∈ X1Ua(δ) ⇒ |(x) — (a)| ε, то есть

∀x ∈ X1
Ua(δ) ⇒ |
|x1(x) —
|x1(a)|
ε,

Это означает непрерывность |х1 в точке a и то, что |х1 ∈ C(X1).

Замечание. Из того, что функция |х1 непрерывна в точке x0, не следует непрерывность функции в ней. Чтобы подтвердить это, рассмотрим пример.

Пример 3.9. Функция Дирихле, рассмотренная в примере 7, терпит разрыв в каждой точке x0 ∈ , однако, функции D |, D |является непрерывными в каждой точке их области определения.

Теорема 3.6 (Больцано-Коши о промежуточном значении). Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и на концах его принимает различные значения, то есть (a) (b), то для любого числа C, находящегося между (a) и (b), найдется такая точка γ ∈ (a, b), что (γ) = C.

Для определенности будем считать, что (a) (b). Фиксируем произволь­ное число C такое, что (a) C (b).

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой α1. Может случиться, что (α1) = C. Тогда задача решена и в качестве γ возьмем α1 . Если же (α1) C, то из двух полученных отрезков выбираем тот, обозначим его [a1 , b1], на концах которого выполняются условия (a1) C (b1). Такой отрезок обязательно существует: [a1 , b1] = [α1 , b], если (α1) C, и [a1 , b1] = [a, α1], если (α1) > C.

Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой α2. Если (α2) = C, то γ = α2 и задача решена. Если(α2) C, то из полученных отрезков возьмем тот, обозначим его [a2, b2], для которого (a2) C (b2). Продолжая, в случае необходимости, этот процесс далее, либо на n0 шаге получим точку αn0 — се­редину [an0-1 , bn0-1], в которой (αn0) = C, либо получим систему вложенных отрезков [an, bn], n ∈ , таких, что bn — an= при n → ∞, иf(an)C(bn), n∈ (3.1)

В первом случае полагаем γ = αn0 , что приводит к решению задачи. Во втором случае по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка γ , принадлежащая всем отрезкам системы, такая что
lim an = lim bn = γ.

Поскольку γ ∈ [a, b], то непрерывна в ней иlim (an) = lim (bn) = (γ).ё

Переходя к пределу в неравенствах (3.1), получим (γ) = C. Так как γ ∈ [a, b] и (a) C (b), то γ ∈ (a, b).

Замечание 1. Доказательство теоремы дает алгоритм отыскания корня уравнения (x) = C на отрезке [a, b], если функция непрерывна на отрезке [a, b] и число C находится между значениями (a) и (b) функции на концах отрезка [a, b].

Замечание 2. Теорема утверждает существование, но не единственность точки γ ∈ (a, b) такой, что (γ) = C.

Замечание 3. В теореме 3.6 нельзя опустить требование непрерывности функции на отрезке [a, b]. (В подтверждение можно рассмотреть функцию sgn x на отрезке [-1,1].)

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и на концах его принимает значения разных знаков, тo еcть (a) · (b) 0, то найдется такая точка γ ∈ (a, b), что (γ) = 0.

Следствие 2. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами P (x)    = ,ak ∈ ,  k = 0, 1, 2, .., 2n — 1,    a2n-1  0,    n ∈ ,

имеет по меньшей мере один действительный корень.

Без ограничения общности можно считать a2n-1 = 1. Тогда

В силу определения бесконечно большой функции определенного знака, найдутся точки a и b из , такие что a b и P (a) 0, P (b) > 0. Поскольку P (x) ∈ C(), то P (x) ∈ C ([a, b]) и по следствию 1 теоремы 3.6 получаем нужное.

Теорема 3.7 (1–ая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем.

Предположим, что ∈ C ([a, b]), но не является ограниченной на отрезке [a, b]. Тогда∀ n ∈ ∃ xn ∈ [a, b] : |(xn)| > n.

По лемме Больцано-Вейерштрасса из полученной последовательности {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk }. Пусть.

Тогда γ ∈ [a, b] и по определению Гейне непрерывной функции

f(xnk) → f(γ) при k → ∞.

С другой стороны,(xnk)| > nk, ∀ k ∈ 

Следовательно, |
(xnk)| → +∞ при k → ∞. Полученное противоречие завершает доказательство.

Замечание 1. На промежутке, отличном от отрезка, утверждение теоремы 3.7, вообще говоря, неверно. Например, функция
(x) = 1/x непрерывна на промежутке (0, 1], но не ограничена на нем, поскольку
1/x = +∞. x→+0

Замечание 2. С помощью теоремы 3.7 иногда удается доказать ограниченность функции, непрерывной на промежутке, отличном от отрезка. Например, рассмотрим функцию f(x) = e-1/x, ∀ x ∈ (0, 1]. Так как
∈ C((0, 1]) и  f(x) = 0, то функция

Теорема 3.9 (Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении). Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то образ отрезка [a, b] при отображении совпадает с отрезком [m, M], гдеm
= inf {(x) | x ∈ [a, b]}, M= sup{(x) | x ∈ [a, b]}.

По второй теореме Вейерштрасса существуют точки p, q ∈ [a, b] такие, что f (p) = M,
(q) = mf . Пусть p
q и mM. Поскольку
∈ C ([p, q]), то, применяя к функции
на отрезке [p, q] теорему Больцано-Коши о промежуточном значении, получаем, что [m, M
] ⊂ ([a, b]). С другой стороны, по определениям точных верхней и нижней границ числового множества ([a, b]) ⊂ [m, M]. Следовательно, ([a, b]) = [m, M]. Если же m= M= M , то
(x) = M, ∀x ∈ [a, b], а поэтому ([a, b]) = {M}.

Cледствие. Если функция непрерывна и не убывает (не возрастает) на отрезке [a, b], то ([a, b]) = [(a), (b)] (соответственно, ([a, b]) = [(b), f (a)]).

Замечание 1. Если образом отрезка [a, b] при отображении является отрезок ([a, b]), то отсюда, вообще говоря, не следует, что функция является непрерывной. Подтверждением служит функция

которая терпит разрыв в точке x = 0, однако
([0, 1]) = [-1, 1].

Замечание 2. Можно доказать, что если функция непрерывна и не убывает (не возрастает) на интервале (a, b), то ((a, b)) = (A, B) (соответственно, ((a, b)) = (B, A)), где

Если функция непрерывна и не убывает (не возрастает) на промежутке [a, b), то ([a, b)) = [(a), B) (соответственно, ([a, b)) = (B, (a)]).

Предлагаем читателю доказать эти утверждения самостоятельно.

Теорема 3.10 (o непрерывности монотонной функции). Если функция f монотонна на промежутке X и множество
(X) — промежуток, то функция
непрерывна на X .

Для определенности считаем, что функция не убывает и X = (a, b). Прежде всего, заметим, что в силу теоремы о пределе монотонной функции, в каждой точке x ∈ (a, b) (x — 0) ≤ (x) ≤ (x + 0).

Доказательство теоремы проведём методом «от противного». Предположим, что существует точка c ∈ (a, b), в которой функция f терпит разрыв. Тогда выполняется хотя бы одно из двух неравенств
(c-0) (c), (c) (c+0).

Пусть, например,(c — 0) (c). Поскольку(c-0) = sup(x), (c+0) = inf (x), x∈(a,c)    x∈(c,b)то на интервале (a, c) и (c, b) функцине принимает значений, принадлежащих интервалу ((c — 0), (c)). Но этого не может быть, так как множество
((a, b)) — промежуток. Следовательно, предположение неверно, то есть, функция f непрерывна на промежутке (a, b).

Следствие. Если функция f монотонна на промежутке X , то следующие условия эквивалентны:

• функциянепрерывна на промежутке X ,
•    (X) — промежуток.

Теорема 3.11 (о непрерывности функции, обратной к монотонной). Если функция
возрастает (убывает) на отрезке [a, b] и непрерывна на нем, то ее обратная функция -1 : [
(a),
(b)] → [a, b] (соответственно, -1 : [(b), (a)] → [a, b] ) непрерывна.

Будем считать для определенности, что функция
возрастает на отрезке [a, b]. В силу следствия из теоремы 3.9,
([a, b]) = [(a),
(b)]. По теореме о существовании обратной функции к монотонной существует функция -1 : [(a), (b)] → [a, b], которая возрастает.

Наконец, по определению обратной функции -1 ([(a),
(b)]) = [a, b]. Тогда по теореме 3.10 функция -1 непрерывна на [(a), (b)].

Замечание. Аналогично, с учетом замечания 2 к теореме 3.9 можно доказать, что если функция
возрастает (убывает) на промежутке X и непрерывна на нём, то обратная функция
-1 возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке f (X).

Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 3.10. Пусть
(x) = xn, n ∈ , n ≥ 2, x ∈ [0, +∞). В этом случае степенная функция
(x) = xn возрастает на промежутке [0, +∞) и непрерывна на нем. Поскольку
xn = +∞,
(0) = 0, то по замечанию 2) к теореме 3.9 и x→∞
по теоремам 1.1, 3.11 существует обратная функция -1 : [0, +∞) → [0, +∞), которая также возрастает и непрерывна. Её называют арифметическим корнем n–ой степени и обозначают x = .

Графики (см.рисунок выше) функций y = xn и y =
симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Пример 3.11. Функция
(x) = sin x, x ∈ [-π/2, π/2] возрастает и непрерывна. Поскольку
(±π/2) = ±1, то по теоремам 1.1, 3.9, 3.11 существует обратная функция
-1 : [-1, 1] → [-π/2, π/2], которая возрастает и непрерывна. Её называют функцией «арксинус»и обозначают arcsin. Следовательно, функция arcsin каждому числу x ∈ [-1, 1] ставит в соответствие такое число из отрезка 
синус которого равен x.

Графики (см. рисунок) функций y = sin x, x ∈ 
и y = arcsin x, x ∈ [-1, 1] симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Замечание. Аналогично вводятся и рассматриваются непрерывная убывающая функция y = arccos x, которая действует из [-1, 1] в [0, π], и непрерывная возрастающая функция y = arctg x, которая действует из
в (-π/2, π/2).

Показательная, логарифмическая и степенная функции

В школьном курсе алгебры и начал анализа определена степень ar числа a > 0 с рациональным показателем r, то есть на множестве Q рациональных чисел определена показательная функция (r) = ar, выяснены некоторые ее свойства:

•    ar > 0, ∀r ∈ Q,
• возрастает на Q, если a > 1; убывает на Q, если a ∈ (0, 1),
• ap · aq = ap+q, ∀p, q ∈ Q,
• (ap)q = ap·q, ∀p,q ∈ Q,
• (a·b)p=ap·bp, ∀p∈ Q,∀a > 0∀b> 0.

Докажем следующие утверждения.

Лемма 3.2. Если : Q → , (r) = ar, то (r) = 1.

Для определенности будем считать a > 1. Так как

то ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ : ∀n > N

|a1/n — 1| ε, |a-1/n — 1| ε.

Пусть n0 ∈ и n0 > N . Тогда1 — ε a-1/n0a1/n01 + ε.

Следовательно, если δ =   , то ∀ r ∈ (-δ, δ)
Q
1-ε
a-1/n0
ar
a1/n0
1+ε.

Иными словами, ∀ ε > 0 ∃δ => 0 : ∀r ∈ (-δ, δ) Q справедливо неравенство |ar — 1| ε, что завершает доказательство.

Случай a ∈ (0, 1) рассматривается аналогично.

Лемма 3.3. Пусть a > 0, {rn} — сходящаяся последовательность рациональных чисел. Тогда последовательность {arn} сходится.

Для определенности будем считать, что a > 1.

Покажем, что числовая последовательность {arn} является фундаментальной. Заметим, что ∀n, m ∈
|arn -arm| =arm|arn-rm — 1|.

Так как последовательность {rn} сходится, то существует такое рациональное число A, что rn ≤ A, ∀n ∈ . Следовательно, ∀n ∈
arn ≤ aA = B.

По лемме 3.2 ∀ ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀r ∈ (-δ, δ)
выполняется неравенство |ar-1|.

Из фундаментальности последовательности {rn} получаем:

∃N = N(δ) ∈ : ∀n > N, ∀m > N |rn -rm| δ.

Отсюда ∀n > N, ∀m > N
|arn -arm| =arm|arn-rm — 1| B·=ε,
B что означает фундаментальность последовательности {arn}.

Определение 3.12. Пусть a > 0, x0 ∈ , {rn} — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x0 . Положимax0 =

Лемма 3.4. Определение 3.12 корректно в том смысле, что величина предела arn не зависит от выбора последовательности рациональных чисел {rn}, сходящейся к x0.

Пусть {rn/}, {rn//} — произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к x0. Согласно лемме 3.3 соответствующие последовательности {arn0}, {arn00} сходятся. Докажем, что .

Составим новую последовательность {rn} такую, что

Ясно, что она сходится к числу x0. По лемме 3.3 последовательность {arn} сходится. Учитывая, что последовательности {arn/}, {arn//} являются подпоследовательностями последовательности {arn }, получим

Замечание. Если x0 = — рациональное число, то величина степени ax0, найденная по определению 3.12, совпадает со значением ap/q в ранее известном из школьного курса алгебры смысле, поскольку среди последовательностей рациональных чисел, сходящихся к x0 = , есть последовательность

Определение 3.13. Пусть a — некоторое положительное число и a
Функцию, определенную законом
∀x ∈
→ ax ,

называют показательной с основанием a.

Изучим некоторые свойства показательной функции.

Теорема 3.12. Если a > 1, то функция
(x) = ax возрастает на . Если же a ∈ (0, 1), то функция
(x) = ax убывает на .

Докажем первую часть утверждения.
Фиксируем произвольные числа x1 , x2 ∈ такие, что x1x2 . По принципу
Архимеда существуют рациональные числа r1 , r2 такие, что x1r1r2 x2 .

Пусть {rn/}, {rn//} — последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2 , причемrn/r1r2{rn// , ∀n ∈ .

По свойству 2 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел,arn/ar1ar2 arn// , ∀n ∈ .

Переходя в крайних неравенствах к пределу при n → ∞ и учитывая определение 3.12, получимax1 ≤ ar1ar2 ≤ ax2 .

Итак,∀x1 , x2 ∈ : x1x2 ⇒ ax1ax2 ,что доказывает возрастание функции f(x) = ax на множестве , если a > 1.

Случай a ∈ (0, 1) рассматривается аналогично.

Теорема 3.13. Показательная функция
(x) = ax на принимает только положительные значения.

Для определенности рассмотрим показательную функцию с основанием a > 1.

Пусть x0 — произвольное действительное число. По принципу Архимеда найдется целое число n0 такое, что n0 ≤ x0
n0 + 1. В силу возрастания функции
(x) = ax, имеем:an0 ≤ ax0

Но по свойству 1 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел, an0 > 0. Поэтому ax0 > 0.

Теорема 3.14. Показательная функция
(x) = ax непрерывна на множестве R действительных чисел.
Функция f монотонна на множестве , поэтому имеет конечные односторонние пределы в точке x = 0. Поскольк,то (+0) =(-0) = 1. Следовательно, существует пределчто означает непрерывность функции в точке x = 0.

Фиксируем теперь произвольную точку x0
0 и произвольное число ε > 0. Заметим, что|(x) —(x0)| = |ax-ax0| = ax0|ax-x0 -1|.

Так как функция непрерывна в точке x = 0, то
∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ , |x — xo| δ ⇒ |ax — 1|  

Поэтому ∀x ∈ : |x — x0| δ ⇒ |ax — ax0|ax0 . = ε, что доказывает непрерывность функции в произвольной точке x0 ∈ a.

Теорема 3.15.Если (x) = ax, то () = (0, +∞).

Для определённости будем считать, что a > 1. В силу теоремы 3.12 функция y = ax возрастает на . Далее, существуют следующие пределы

Но, как мы знаем, . Поэтому по теореме Гейне о пределе функции

По замечанию 2 к теореме 3.9 f (-∞, +∞) = (0, +∞).

Согласно теореме 3.11 о непрерывности обратной функции к монотонной на интервале, показательная функция
(x) = ax имеет обратную -1 : (0, +∞) → R, которая непрерывна, возрастает, если a > 1, и убывает, если a ∈ (0, 1). Её называют логарифмической с основанием a (a > 0, a 1) и обозначают loga : (0, +∞) → . В случае, если a = e, логарифм называют натуральным и обозначают символом ln.

Определение 3.14. Пусть α — некоторое действительное число, отличное от нуля. Функция, которая каждому положительному x ставит в соответствие xα, называется степенной, α — её показателем.

Теорема 3.16.Степенная функция
(x) = xα непрерывна на интервале (0, +∞).

Утверждение следует из теоремы 3.4 о непрерывности суперпозиции функций, так как
(x) = eαlnx.
При α > 0 полагают 0α = 0 и доопределяют степенную функцию в точке x = 0, то есть при α > 0 считают, что степенная функция определена на множестве [0, +∞). При этом

Следовательно, функция xα, α > 0, непрерывна на множестве [0, +∞).

Теорема 3.17. Пусть функции u(x) и v(x) определены и непрерывны на множестве X. Если u(x) > 0 для всех x ∈ X, то функция (u(x))v(x) непрерывна на X .

Утверждение, так как (u(x))v(x) = ev(x)lnu(x), ∀x ∈ X.

Некоторые замечательные пределы

Лемма 3.5. Если a > 0, a 1, то
Пусть : X = (-1, 0)∪(0, +∞) → , (x) = 
Поскольку (x) = loga(1 + x)1/x, ∀x ∈ X, (1 + x)1/x → e при x → 0 и функция loga x непрерывна в точке x = e, то

Следствие 1. Если а > 0, 

Следствие 2.  

Лемма 3.6. Если a > 0, a 1, то  = ln a.
Положим ax  -1 = t, ∀x ∈ . Тогда x = loga(1 + t) — непрерывная на множестве (-1, +∞) функция. Поэтому при t → 0, x(t) → 0 и

Следствие. Если а > 0, а 1, то ax -1 ~ x ln а при x → 0

В частности, ex — 1 ~ x при x → 0.

Лемма 3.7. Если μ ∈ ∖{0}, то .
Утверждение верно, так как (1 + x)μ = eμ ln(1+x)

Следствие. Если μ ∈ ∖{0}, то (1 + x)μ — 1 ~ μx при x → 0.

3.7 Равномерная непрерывность функции

Функция : X → R называется равномерно непрерывной на множестве X , если для любого числа ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) > 0,что для любых точек x/ и x// из X таких, что |x/ — x// | δ, выполняется неравенство | x/ ) — (x// )| ε.

С помощью символики это определение записывается так:

функция : X → R равномерно непрерывна на X ⇔(∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀x/, x// ∈ X, |x/ — x//| δ ⇒ |(x/) — (x//)| ε.)

Очевидно, что если функция
равномерно непрерывна на множестве X , то она непрерывна на нем, то есть непрерывность — необходимое условие равномерной непрерывности. Однако непрерывность функции на множестве, вообще говоря, не влечет ее равномерной непрерывности на этом множестве, поскольку∈ C(X) ⇔ ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0∃δ= δ(x0,ε) > 0 😐(x) — (x0)| ε, ∀x ∈ X : |x — x0| δ.

В этом определении число δ зависит не только от ε, но и от точки x0 ∈ X .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.12. Покажем, что функция
(x) =
равномерно непрерывна на множестве [1, +∞), но не является равномерно непрерывной на множестве (0, 1].

• Пусть X = [1, +∞). Для любых двух точек x/ и x// из [1, +∞)

.

Зафиксируем ε > 0 и положим δ = ε. Тогда

∀x/, x// ∈ [1, +∞) |x/ — x// |
δ ⇒ || (x/ ) —
(x// )| ≤ | x/ — x//|
δ = ε.

Поэтому функция | равномерно непрерывна на множестве [1, +∞).

• Теперь покажем, что функция
  (x) = — не является равномерно непрерывной на промежутке (0, 1], хотя и непрерывна на нём. В связи с этим запишем отрицание свойства равномерной непрерывности функции:
  функция | : X → R не является равномерно непрерывной на X
  |
  ∃ ε > 0 : ∀δ > 0 ∃ x/δ, x//δ ∈ X : |x/δ — x//δ |
  δ, но |
  (x/δ) — f(x//δ) |≥ ε.

Зафиксируем произвольно δ ∈ (0, 1). Пусть x/δ — произвольная точка из интервала (0, δ) ⊂ (0,1), а . Тогда x/δ — x//δ∈ (0,1],

Следовательно, для числа ε = 1 и для любого — > 0 ∃ x/δ, x//δ ∈ (0, 1] :

,то есть  не является равномерно непрерывной на промежутке (0, 1].

Пример 3.13. Покажем, что функция
(x) = sin — не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1), хотя является ограниченной и непрерывной на нем.

Для доказательства рассмотрим последовательность точек

​​

Очевидно, что xn ∈ (0,1), ∀n ∈ , и xn → 0 при n → +∞. Поэтому∀δ ∈ (0, 1), ∃n0 ∈ : |xn| δ, ∀n > n0.

Учитывая, что (xn) = sin  = (—1)n, получим, что 

Следовательно, ∃ ε0 = 2 : ∀ δ ∈ (0, 1), ∃ x/δ = xn, x//δ = xn+1 , n > n0 :

|x/δ- x//δ |= |xn- χn+1|δ, но |(x/δ)- (x//δ )|≥ εo.

Это означает, что рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).

Пример 3.14. Докажем, что функция
(x) = x2 не является равномерно непрерывной на множестве [1, +∞).

Рассмотрим последовательность точек xn = . Очевидно, что xn ∈ [1, +∞), и

В то же время,  |(xn) — (xn+1 )| = |n -(n+1) | = 1.
Так как → 0 при n → +∞, то n
значит, ∣xn — xn+1 ∣ = δ для n > n0. Пусть ε = 1, δ — произвольное положительное число. Положим x/δ = , x//δ = , n > n0. Тогда ∀δ > 0∃x/δ,x//δ ∈ [1, +∞) : |x/δ — x//δ| δ, |(x/δ) — f(x//δ)| = 1 = ε.

Следовательно, функция (x) = x2 не является равномерно непрерывной на [1, +∞).

Теорема 3.18 (Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.

Предположим, что ∈ C ([a, b]), но не является равномерно непрерывной на отрезке [a,b]. Тогда cуществует ε0 > 0 такое, что для любого δ > 0 найдутся точки x/δ, x//δ ∈ [a, b], ∣x/δ — x//δ| δ, но |f (x/δ) — f (x//δ)| ≥ ε0. Возьмем, например, последовательность чисел δn = , ∀ n ∈ . Тогда найдутся последовательности {x/n}, {x//n} ∈ [a, b] такие, что

Поскольку последовательность {x/n} ограничена, по лемме Больцано-Вейершт-расса она имеет сходящуюся подпоследовательность {x/nk }. Пусть
x/nk = γ.

Очевидно, что γ ∈ [a, b]. Далее, в силу выбора последовательностей,

Поскольку lim nk = +∞, то подпоследовательность {x//nk } сходится к той же точке γ. Далее,
(x/nk) →(γ) ,(x//nk) →(γ)→ при k → ∞, поэтому разность (x/nk ) — (x//nk) обязана быть бесконечно малой. С другой стороны,в силу выбора элементов x/nk, x//nk, |(x/nk ) — (x//nk)| ≥ ε0, ∀ k ∈ . Следовательно, число 0 не является пределом последовательности {(x/nk ) — (x//nk )}. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Замечание 1. Приведенные примеры показывают, что в условиях теоремы Кантора нельзя заменить отрезок на промежуток другого вида.

Замечание 2. Из доказательства теоремы Кантора следует, что она остаётся в силе на ограниченном множестве X , содержащем все свои предельные точки.

Свойства непрерывных функций

Определение 11.1. Пусть
подмножество во множестве действительных чисел R. Х называется ограниченным сверху (снизу), если  такое число М(m), что выполняется неравенство

При этом M(m) называется верхней (нижней) гранью множества Х. Наименьшая из всех возможных верхних граней множества Х называется точной верхней гранью множества Х и обозначается sup X (латинское supremum (супремум) – наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества Х называется точной нижней гранью множества Х и обозначается inf X (латинское infimum (инфимум) – наинизшее).

П р и м е р 11.1



Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество 
имеет конечные точные верхние и нижние грани sup X и inf X .
Для функции
определяются, как sup f( X) и inf f(X ) – множества значений f(X ) функции y=f(x) при .
П р и м е р 11.2

Теорема 11.1 . (теорема Вейерштрасса). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней, то есть
такие, что 

При этом
Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал ( a,b ) или полуинтервал, то она не выполняется.
Например, для y=f(x) из примера 11.2

не имеет минимума на множестве ( -1,1).

Найти  на этих множествах.
Теорема 11.2. (теорема Больцано–Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то , такая, что f(c)=0.
П р и м е р 11.3
Проверить, что уравнение cosx= x имеет корень на интервале рис. 11.3.

Р е ш е н и е
Функция y=cos x — x непрерывна . 

по теореме 2 0;  такая что f(c)=0.

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций

Понятие непрерывности функции тесно связано с ее пределом. Оно является характеристикой многих процессов, происходящих непрерывно: непрерывность времени, непрерывность изменения температуры, непрерывность роста дохода и др.

Пусть функция , с областью определения , определенная в точке , которой соответствует значение функции , и — произвольная точка из некоторой окрестности точки (рис. 14.1).

Рис. 14.1

Величина, на которую изменилось значение аргумента при переходе от точки
в , называется приростом аргумента в точке :

а соответствующее изменение значения функции называют приростом функции в точке :

или

Приросты могут быть как положительными, так и отрицательными; например, на рис. 14.1 , при этом .

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке она определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малый прирост функции, а именно

Заметим, что при определении непрерывности, в отличие от границы, функция в точке
обязательно должна быть определена.

Покажем, что функция  непрерывна в каждой точке  области определения . Действительно, предоставим значению аргумента , прирост , тогда .

Найдем границу прироста функции при :

Поскольку — произвольная точка из , то функция непрерывная

Аналогично можно доказать непрерывность любой из основных элементарных функций

Теорема 14.1(о непрерывности основных элементарных функций). Основные элементарные функции непрерывные в каждой точке своей области определения.

Доказательство осуществляется для каждой функции отдельно.

Теорема 14.2(критерий непрерывности «языком границы»). Функция
непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда граница функции в этой точке равна значению функции в ней:

Доказательство. Справедливость (14.4) следует из определения непрерывности и свойств предела.

Необходимость. Исходя из (14.3), имеем:

Если обозначить , то при имеем, что .

Отсюда

Следовательно,

Достаточность. Пусть функция определена в точке и непрерывна в ней.
Тогда в соответствии с определением (14.4)

Таким образом, имеем два определения непрерывности функции в точке, Соответствующие формулам (14.3) и (14 .4):

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Замечания. Если функция непрерывна в точке , то для вычисления предела функции в этой точке достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента
его пороговое значение, то есть осуществить предельный переход, в результате которого получим определенное число (а не неопределенность!). Формально это означает, что символ границы и символ функции можно переставлять, а именно:

Например, вычислим границу 
в точке 

Теорема 14.3(критерий непрерывности «языком односторонних границ»). Функция   непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда односторонние пределы в этой точке равны между собой и равны значению функции в ней:

Доказательство. Действительно, соотношение (14.7) базируется непосредственно на теореме существования конечного предела «языком односторонних границ» и определении непрерывности функции в точке (14.4):

Проверить в точке непрерывность функции:

Вычислим односторонние пределы этой функции:

то есть предел слева не равен пределу справа, следовательно, функция в точке является разрывной.

Рассмотрим далее две функции: и , который является непрерывными в точке .

Теорема 14.4 (о арифметические свойства непрерывных функций). Если функции 

непрерывные в точке , то их сумма (разница), произведение, часть (если знаменатель в данной точке не равен нулю) является непрерывной функцией в точке .

Доказательство теоремы осуществляется на основе арифметических свойств предела. Покажем ее справедливость для доли функций.
Согласно (14.4)

Обозначим долю функций через , тогда по свойству предела доли

Предлагаем другие выводы теоремы доказать самостоятельно.

Относительно функций, образованных из основных элементарных функций с помощью суперпозиции, возникает вопрос, какой с точки зрения «непрерывности» будет составлена функция, если ее составляющие являются непрерывными функциями.

Теорема 14.5(о непрерывности сложной функции). Если функция
непрерывна при , а
является непрерывной в точке , то составленная функция
непрерывна в точке .

Доказательство. Обозначим закон связи переменной
с аргументом через , то есть . Учитывая непрерывность функции , а именно: , найдем границу , когда :

На основании арифметических свойств непрерывных функций, непрерывности сложной функции и теоремы 14.1 (о непрерывности основных элементарных функций) делаем вывод: все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области существования.

Теорема 14.6 (о непрерывности обратной функции). Если функция
является определенной, возрастающей (или убывающей) и непрерывной на сегменте , то и обратная к ней функция или , является определенной, возрастающей ( или убывающей) и непрерывной на отрезке
(или на отрезке , если функция убывающая) (рис. 14.2):

Рис. 14.2

Разрывы функций и их классификация

Если функция
не является непрерывной в точке , то говорят, что в этой точке она имеет разрыв, а точка  называется точкой разрыва. Точки разрыва и сами разрывы классифицируются в зависимости от того, как нарушается критерий непрерывности (14.7):

• Различают следующие случаи:
  Существуют односторонние пределы (конечные), которые равны между собой
  но или не существует, тогда говорят, что является точкой устранимого разрыва .

Название разрыва «устранимый» связана с тем, что достаточно в той точке, где исследуется непрерывность функции, задать значение функции, которое бы равнялось значению односторонних границ, или изменить значение функции на значение предела в этой точке, то есть положить

Например, классический устранимый разрыв дает функция в точке (рис. 14.3). Поскольку , а

то есть

то для того чтобы функция была непрерывной, достаточно до определить функцию в точке
следующим образом:

Рис. 14.3

• Существуют конечные односторонние пределы, но , тогда называют точкой разрыва I рода.
• Не существует хотя бы одного из односторонних пределов, или по крайней мере один из них бесконечен, тогда точка
  является точкой разрыва II рода.

Примером функции, имеющей разрыв второго рода, есть функция , поскольку она не имеет границы в нуле ни слева, ни справа.

Под исследованием на непрерывность функции в некоторой точке понимают установления факта непрерывности (если, конечно, имеет место), или типы разрыва в противном случае.

Если функция элементарная, то исследованию подлежат только точки, в которых функция не определена. При задании функции различными аналитическими выражениями на разных промежутках области существования исследование подлежат точки, которые являются пределами соответствующих промежутков.

Исследовать на непрерывность функцию

Областью определения функции является вся числовая ось, кроме
(знаменатель равен нулю). Следовательно, на непрерывность функцию исследуем в точках
и 

• односторонние границы при :

Следовательно, точка — является точкой разрыва II-го рода;

• односторонние границы при

В точке функция не существует, то есть

Таким образом точка является точкой устранимого разрыва (рис. 14.4 а).

Исследуем на непрерывность функцию:

Имеем неэлементарную функцию, которую задано тремя формулами. На каждом из указанных промежутков функция непрерывна, как элементарная на области своего существования, следовательно, область определения этой функции . Необходимо рассмотреть точки стыковки элементарных функций различного вида, то есть точки
и .

• Односторонние границы при :

Таким образом, функция в точке
непрерывна.

• Односторонние границы при :

Поскольку f, то функция в этой точке имеет разрыв І рода (рис. 14.4 б).

Рис. 14.4 б

Исследовать на непрерывность функцию

Область определения функции . В точке односторонние границы:

Рис. 14.4 в

Точки разрыва первого рода

Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ НО:либо точка (x_0) НЕ принадлежит области определения функции (xnotin D);
либо предел НЕ равен значению функции в точке (x_0): (lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0))
Например:

(y=frac{x^2-4}{x-2}, x_0=2) Эта функция эквивалентна системе $$ y=frac{x^2-4}{x-2} Leftrightarrow begin{cases} y=x+2 xne 2 end{cases} $$ При этом (lim_{xrightarrow 2-0}(x+2)=lim_{xrightarrow 2+0}(x+2)=4) В точке (x_0=2notin D) функция имеет устранимый разрыв.

Разрыв можно устранить (функцию можно «склеить»), отдельно задав «гладкое» значение в особой точке: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2 4, x=2 end{cases} $$ В таком случае система станет эквивалентна всей прямой, т.е. станет непрерывной функцией: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2 4, x=2 end{cases} Leftrightarrow y=x+2 $$

Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке (x_0) конечны, но не равны: $$ begin{cases} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=aneinfty lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=bneinfty ane b end{cases} $$ Такой разрыв также называют скачком.
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ triangle y=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)- lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=b-a $$
Например:

(y= begin{cases} x+1, xlt 2 3-x^2, xgeq 2 end{cases} , x_0=2) Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}f(x)= lim_{xrightarrow 2-0}(x+1)=3 lim_{xrightarrow 2+0}f(x)= lim_{xrightarrow 2+0}(3-x^2)=-1 end{gather*} Пределы не равны, но конечны. Функция в точке (x_0=2) делает скачок вниз. Величина скачка: $$ triangle y=-1-3=-4 $$

Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Например:

(y=e^frac1x, x_0=0) (x_0=0ne D) — точка не входит в ОДЗ Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}e^frac1x=e^{frac{1}{-0}}=e^{-infty}=0 lim_{xrightarrow +0}e^frac1x=e^{frac{1}{+0}}=e^{+infty}=+infty end{gather*} Пределы не равны между собой, и один и них бесконечен. Точка (x_0=0) – точка разрыва второго рода.

На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».

Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях

В теоретических исследованиях и на практике применяются теоремы, которые отражают свойства непрерывных функций не в отдельно взятой точке, а на множестве точек, то есть на промежутке.

Функцию называют непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала. Функцию
называют непрерывной на отрезке, если она непрерывна на интервале и, кроме этого, непрерывная дело в точке и — слева в точке .

Сформулированные ниже теоремы примем без доказательства. Для лучшего понимания их содержания подадим в каждой теореме соответствующую геометрическую иллюстрацию, которая поможет, надеемся, осознать справедливость теорем на интуитивном уровне.

Сначала приведены определения. Если функция определена на множестве и существует такое значение , что для всех выполняется условие  , то число fназывается наибольшим — , (наименьшим — ) значением функции на множестве .

Теорема 14.7 (о наименьшем и наибольшем значении непрерывной функции). Если функция
непрерывна на отрезке , то среди ее значений на этом отрезке существуют наименьшее и наибольшее (рис. 14.5). То есть для любых
выполняется условие:

Если функция задан на интервале или , то она такие свойства может и не иметь.

Рис.14.5

Например, функция ни малейшего, ни наибольшего значений не имеет.

Для функции  на отрезке <br>; наименьшим является значение , а наибольшим — значение , которое она принимает на концах отрезка.

Функция на отрезке , достигает наименьшего значения , в точке , но не имеет большого значения, так как в точке она не определена.

Функция на отрезке достигает наименьшего значения в точке и наибольшего значения в точке .

Теорема 14.8(об ограниченности непрерывной функции). Если функция
определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (рис. 14.5), то есть существуют такие числа и , выполняется неравенство:

Теорема 14.9(о нуле непрерывной функции). Если непрерывна на отрезке и ее значения на концах данного отрезка имеют разные знаки, то между и существует хотя бы одна точка , где , то есть которая является нулем функции (рис. 14.6).

Рис. 14.6

Теорема 14.10(о промежуточных значениях функции). Если функция непрерывна на отрезке
и ее наименьшим и наибольшим значениями являются, соответственно, и , а число , тогда на отрезке
найдется хотя бы одна точка такая, что

Заметим, что все рассмотренные вопросы непрерывности функции являются по сути применением понятия границ к исследованию функций и построения их графиков.

Что такое непрерывное изменение функции?

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m, то есть l = f(m), m≥0.

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l. Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f(m) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f(m) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки
то выполняются равенства:
В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что
Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций
при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

• находят область определения функции; точки, в которых функция не определена, являются точками подозрительными на разрыв: если функция задана словесным образом, т.е. описывается разными формулами на разных интервалах, то точками подозрительными на разрыв являются точки, определяющие границы интервалов;
• исследуют подозрительные на разрыв точки, для чего вычисляют лево- и правосторонние пределы; классифицируют точки разрыва;
• при наличии точек разрыва строят график функции в малой
  -окрестности точки .

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

• 
  точка
  является точкой подозрительной на разрыв.
• вычислим левосторонний и правосторонний
  пределы; так как пределы бесконечные, то точка является точкой разрыва второго рода;
• построим график функции в небольшой окрестности точки разрыва (Рис. 65).

Рис. 65. Поведение графика функции
в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Примеры

Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:

•  ( y=frac{x+3}{x-1} )
  ОДЗ: (x-1ne 0Rightarrow xne 1)
  (x_0=1notin D) — точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
  Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x+3}{x-1}=frac{1-0+3}{1-0-1}=frac{4}{-0}=-infty lim_{xrightarrow 1+0}frac{x+3}{x-1}=frac{1+0+3}{1+0-1}=frac{4}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
  Точка (x_0=1) — точка разрыва 2-го рода.
• ( y=frac{x}{sqrt{x+2}-2} )
  ОДЗ: ( begin{cases} x+2geq 0 sqrt{x+2}-2ne 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2 sqrt{x+2}ne 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2 xne 2 end{cases} )
  (x_0=-2) — левая граница ОДЗ
  (x_1=2notin D)- точка не входит в ОДЗ
  Точки (x_0) и (x_1) — подозрительные на разрыв

Исследуем (x_0=-2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} — text{предел не существует} lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{-2+0}{sqrt{-2+0+2}-2}=frac{-2}{-2}=1 end{gather*} Один из односторонних пределов не существует.

Точка (x_0=-2) — точка разрыва 2-го рода.

Исследуем (x_1=2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} =frac{2-0}{sqrt{2-0+2}-2}=frac{2}{-0}=-infty lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{2+0}{sqrt{2+0+2}-2}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=2) — точка разрыва 2-го рода.

• ( y=frac{tgx}{3x} )
  ОДЗ: (xne 0)
  (x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
  Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13 lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.

Точка (x_0=0) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
г) ( y= begin{cases} x+1, xlt 3 x^2+3, xgeq 3 end{cases} )
ОДЗ: (xinmathbb{R})
(x_0=3)- точка сшивания, подозрительная на разрыв.

Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 3-0}y=lim_{xrightarrow 3-0}(x+1)=3+1=4 lim_{xrightarrow 3+0}y=lim_{xrightarrow 3+0}(x^2+3)=3^2+3=12 end{gather*} Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка (x_0=3) — точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: (lim_{xrightarrow 3+0}y-lim_{xrightarrow 3-0}y=12-4=8)

Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:

•  ( y=frac{2x^3-x^2}{7x} )
  ОДЗ: (xne 0)
  (x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.

Упростим выражение: (frac{2x^3-x^2}{7x}=frac{x^2(2x-1)}{7x}=frac{x(2x-1)}{7}) $$ y=frac{2x^3-x^2}{7x}Leftrightarrow y= begin{cases} frac{x(2x-1)}{7} xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{x(2x-1)}{7}=0, lim_{xrightarrow +0}frac{x(2x-1)}{7}=0 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.

Точка (x_0=0) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=0).

Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{2x^3-x^2}{7x}, xne 0 0, x=0 end{cases} $$ б) ( y=frac{1-cos4x}{x^2} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.

Упростим выражение: (frac{1-cos4x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{frac{(2x)^2}{4}}=8left(frac{sin2x}{2x}right)^2) $$ y=frac{1-cos4x}{x^2}Leftrightarrow y= begin{cases} 8left(frac{sin2x}{2x}right)^2 xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8, lim_{xrightarrow +0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.

Точка (x_0=0) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=8).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{1-cos4x}{x^2}, xne 0 8, x=0 end{cases} $$