- Арксинус
- Определение и обозначения
- Пример №1
- Пример №2
- График функции арксинус
- Арккосинус
- Определение и обозначения
- Пример №3
- Пример №4
- График функции арккосинус
- Определение Арктангенса
- Пример №5
- Пример №6
- Определение Арккотангенса
- Пример №7
- Пример №8
- Четность
- Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
- Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
- Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
- Таблица Брадиса: таблица arcsin, arccos, cos и sin
- Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
- Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
- Примеры заданий и их решения
- Пример №9
- Пример №10
- Пример №11
- Пример №12
- Пример №13
- Пример №14
- Пример №15
- Пример №16
- Пример №17
- Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
- Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
- Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
- Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса
Арксинус
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
- Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = – arcsin x.
- Y = 0 при x = 0.
- На всей своей протяженности график возрастает.
Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Определение и обозначения
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений:
- –π/2 ≤ y ≤ π/2.
- sin(arcsin x) = x ;
- arcsin(sin x) = x .
Пример №1
Вычислите:
Решение:
так как
Пример №2
Найдите значение выражения:
Решение:
так как
(рис. 95, б).
Заметим, что
( рис.95) Так как углы, соответствующие точкам
и
где
с ординатами
и
отличаются только знаком, то
для любого числа
(рис. 96).
Пусть
тогда
Так как точки
имеют противоположные ординаты, то
Поскольку
то по определению арксинуса
Так как
то
для любого числа
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения
Так как
Отметим, что областью определения выражения
является отрезок
Если
то выражение
не имеет смысла.
Например, выражения
не имеют смысла, так как
Выражение
не имеет смысла, так как
Из определения арксинуса числа следует, что
если
Например,
Рассмотрим промежуток
на котором функция
возрастает и принимает все значения от
до 1. Для любого числа
из промежутка
существует единственное число
такое, что
График функции арксинус
График функции y = arcsin x
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус
Arccos числа а – это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
- Функция определена на отрезке [-1; 1].
- ОДЗ для arccos – [0, π].
- График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
- Y = 0 при x = 1.
- Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 – 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Определение и обозначения
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений:
- 0 ≤ y ≤ π.
- cos(arccos x) = x ;
- arccos(cos x) = x .
Пример №3
Вычислите:
Решение:
Пример №4
Найдите значение выражения:
Решение:
так как
( рис. 98.а)
( рис.98.б)
Заметим, что
( см.98)
Пусть
Так как точки
имеют противоположные абсциссы, то
Поскольку
то по определению арккосинуса
Так как
для любого числа
(рис. 99).
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения
Так как
Областью определения выражения
является отрезок
Если
то выражение
не имеет смысла.
Так, выражения
не имеют смысла, поскольку
Выражение
не имеет смысла, так как
Из определения арккосинуса числа следует, что
если
и
Например,
На промежутке монотонности
функции
существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу
График функции арккосинус
График функции y = arccos x
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Определение Арктангенса
Арктангенсом числа
называется угол, принадлежащий промежутку
тангенс которого равен
(рис. 100).
Этот угол обозначают
Так,
поскольку
и
Пример №5
Вычислите:
Решение:
так как
и
и
Для любого числа
верно равенство
(рис. 101).
Пример №6
Найдите значение выражения
Решение:
Так как
Из определения арктангенса числа следует, что
при
Например,
На промежутке монотонности
функции
существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу
Определение Арккотангенса
Арккотангенсом числа
называется угол, принадлежащий промежутку
котангенс которого равен
(рис. 102).
Этот угол обозначают
Например,
поскольку
Пример №7
Вычислите:
Решение:
так как
Для любого числа
верно равенство
(рис. 103).
Пример №8
Найдите значение выражения
Решение:
Так как
Из определения арккотангенса числа следует, что
если
и
Например,
Четность
- Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x - Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x
Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
y = arcsin x | y = arccos x | |
Область определения и непрерывность | – 1 ≤ x ≤ 1 | – 1 ≤ x ≤ 1 |
Область значений | ||
Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Максимумы | ||
Минимумы | ||
Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числапомогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.
Для четкого понимания рассмотрим пример.
Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.
Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:
sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1
Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.
Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.
α | -1 | -32 | -22 | -12 | 0 | 12 | 22 | 32 | |
arcsin αкак угол | в радианах | -π2 | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
в градусах | -90° | -60° | -45° | -30° | 0° | 30° | 45° | 60° | |
arcsin α как число | -π2 | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:
cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1
Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание
Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:
arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0
Таблица арккосинусов.
α | -1 | -32 | -22 | -12 | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 | |
arccos αкак угол | в радианах | π | 5π6 | 3π4 | 2π3 | π2 | π3 | π4 | π6 | 0 |
в градусах | 180° | 150° | 135° | 120° | 90° | 60° | 45° | 30° | 0° | |
arccos α как число | π | 5π6 | 3π4 | 2π3 | π2 | π3 | π4 | π6 | 0 |
Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.
α | -3 | -1 | -33 | 0 | 33 | 1 | 3 | |
arctg aкак угол | в радианах | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
в градусах | -60° | -45° | -30° | 0° | 30° | 45° | 60° | |
arctg a как число | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
Таблица Брадиса: таблица arcsin, arccos, cos и sin
Рисунок 1. Таблица Брадиса таблица значений arcsin и arccos.
Рисунок 2. Таблица.
Рисунок 3. Таблица.
Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.
Рассмотрим решение нахождения значений arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.
Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.
Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.
Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.
Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.
Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).
При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:
arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.
Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.
Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.
При поиске значения арктангенса 0,9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.
Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.
Примеры заданий и их решения
Пример №9
Верно ли, что:
Решение:
а) Верно, так как
б) верно, так как
в) неверно, так как
г) неверно, так как
Пример №10
Вычислите:
Решение:
Пример №11
Найдите значение выражения:
Решение:
Пример №12
Оцените значение выражения
Решение:
По определению арктангенса числа
Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим:
Пример №13
Найдите область определения выражения:
Решение:
а) По определению арксинуса числа
это угол, синус которого равен
б) По определению арккосинуса числа
это угол, косинус которого равен
Пример №14
Найдите значение выражения:
Решение:
Пример №15
Вычислите
Решение:
Пример №16
Найдите значение выражения
Решение:
Воспользуемся формулой
при
Поскольку
то эту формулу сразу применить нельзя.
Так как
Пример №17
Найдите значение выражения
Решение:
Так как
при
при
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа
- sinarcsin a=a, a∈1; -1;
- cosarccos a=a, a∈1; -1;
- tg(arctg a)=a, a∈-∞; +∞;
- ctg(arcctg a)=a, a∈-∞; +∞.
Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа — это такой угол или число, синус которого равен числу a. При этом число a лежит в пределах от -1 до +1 включительно. В виде формулы определение запишется так:
sin(arcsin a)=a
Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.
Свойства обратных тригонометрических функций
sin(arcsin(0,3)=0,3cosarccos-32=-32tg(arctg(8))=8ctg(arcctg(1589))=1589
Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a. Так, при a, лежащем вне пределов отрезка -1, 1, арксинус и арккосинус не определены и записи arcsin a и arccos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos(arccos(9)), так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.
arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
- arcsin-a=-arcsin a, a∈-1, 1;
- arccos-a=π-arccos a, a∈-1, 1;
- arctg-a=-arctg a, a∈-∞, +∞;
- arcctg-a=π-arcctg a, a∈-∞, +∞.
Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При -1≤a≤1 имеет место равенство arcsin-a=-arcsin a. Согласно дефиниции, arcsin(-a) — это угол (число) в пределах от -π2 до π2, синус которого равен -a. Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что -arcsin a лежит в тех же пределах от -π2 до π2, что и arcsin(-a). Также необходимо обосновать, что sin(-arcsin a)=-a.
Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство -π2≤arcsin a≤π2. Умножим каждую часть неравенства на -1 и получим эквивалентное неравенство π2≥-arcsin a≥-π2. Переписав его, получим -π2≤-arcsin a≤π2.
Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin(-arcsin a)=-a. Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin-arcsin a=-sinarcsin a. С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.
sin-arcsin a=-sinarcsin a=-a
Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.
Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.
Для того, чтобы доказать, что arccos-a=π-arccos a при a∈-1, 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.
Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0≤arccos a≤π. Умножив каждую часть неравенства на — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0≥-arccos a≥-π. Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π. Получим π≥π-arccos a≥0, или 0≤π-arccos a≤π.
Теперь покажем, что cosπ-arccos a=-a. Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cosπ-arccos a=-cos(arccos a). Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.
cosπ-arccos a=-cos(arccos a)=-a.
Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.
Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:
arcsin-12=-arcsin12arccos-557=π-arccos557arctg-1=-arctg1arcctg(-3)=π-arcctg3
Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.
Сумма arcsin и arccos
arcsin a+arccos a=π2, a∈-1, 1
Соответственно, для арктангенса и арккотангенса
Сумма arctg и arcctg
arctg a+arcctg a=π2, a∈-∞, +∞
Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде arcsin a=π2-arccos a. Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от -π2 до π2, синус которого равен a.
Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0≤arccos a≤π. Умножим все его части на -1, а затем прибавим к каждой части π2. Получим:
0≤arccos a≤π0≥-arccos a≥-ππ2≥π2-arccos a≥-π2-π2≤π2-arccos a≤π2
Завершая доказательство, покажем, что sinπ2-arccos a=a. Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.
sinπ2-arccos a=cosarccos a=a
Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π2. По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.
Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.
Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса
Известно, что arcsin6-22=π12. Найдем арккосинус этого числа.
arcsin6-22+arccos6-22=π2arccos6-22=π2-arcsin6-22arccos6-22=π2-π12=5π12
Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса
Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса
- arcsin(sin α)=α, -π2≤α≤π2;
- arccos(cos α)=α, 0≤α≤π;
- arctg(tg α)=α, -π2≤α≤π2;
- arcctg(ctg α)=α, 0≤α≤π.
Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что arcsin(sin α)=α при -π2≤α≤π2.
Обозначим sinα через a. a — число, лежащее в интервале от -1 до +1. Тогда равенство arcsin(sin α)=α можно переписать в виде arcsin a=α. Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что arcsin(sin α)=α при -π2≤α≤π2.
Выражение arcsin(sin α) имеет смысл не только при α, лежащем в пределах от -π2 до π2. Однако, равенство arcsin(sin α)=α выполняется только при соблюдении условия -π2≤α≤π2.
Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
К примеру, запись arcsin(sin8π3)=8π3 будет ошибочной, так как число 8π3 не удовлетворяет условиям неравенства.
Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями.