Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса: свойства и нахождение

Содержание
  1. Арксинус
  2. Определение и обозначения
  3. Пример №1
  4. Пример №2
  5. График функции арксинус
  6. Арккосинус
  7. Определение и обозначения
  8. Пример №3
  9. Пример №4
  10. График функции арккосинус
  11. Определение Арктангенса
  12. Пример №5
  13. Пример №6
  14. Определение Арккотангенса
  15. Пример №7
  16. Пример №8
  17. Четность
  18. Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
  19. Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
  20. Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
  21. Таблица Брадиса: таблица arcsin, arccos, cos и sin
  22. Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
  23. Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
  24. Примеры заданий и их решения
  25. Пример №9
  26. Пример №10
  27. Пример №11
  28. Пример №12
  29. Пример №13
  30. Пример №14
  31. Пример №15
  32. Пример №16
  33. Пример №17
  34. Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
  35. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
  36. Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
  37. Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Арксинус

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

  1. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = – arcsin x.
  2. Y = 0 при x = 0.
  3. На всей своей протяженности график возрастает.

Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Определение и обозначения

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений:

  • –π/2 ≤ y ≤ π/2.
  • sin(arcsin x) = x     ;
  • arcsin(sin x) = x     .

Пример №1

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №2

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 95, б).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
где Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
с ординатами Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
отличаются только знаком, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 96).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
тогда Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как точкиАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
имеют противоположные ординаты, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то по определению арксинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Отметим, что областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеет смысла.

Например, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеют смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арксинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Рассмотрим промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
на котором функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
возрастает и принимает все значения от Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
до 1. Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
такое, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

График функции арксинус

График функции y=arcsin(x)
График функции   y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус

Arccos числа а – это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos – [0, π].
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 – 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Определение и обозначения

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений:

  • 0 ≤ y ≤ π.
  • cos(arccos x) = x     ;
  • arccos(cos x) = x     .

Пример №3

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №4

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис. 98.а)

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис.98.б)

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( см.98)

Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
имеют противоположные абсциссы, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то по определению арккосинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 99).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеет смысла.

Так, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеют смысла, поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арккосинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

График функции арккосинус

График функции y=arccos(x)
График функции   y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Определение Арктангенса

Арктангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  тангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 100).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №5

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 101).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №6

Найдите значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арктангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккотангенса

Арккотангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения котангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 102).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №7

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 103).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №8

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Из определения арккотангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Четность

  1. Функция арксинус является нечетной:
    arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
  2. Функция арккосинус не является четной или нечетной:
    arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числапомогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол в радианах -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол в радианах π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Таблица Брадиса: таблица arcsin, arccos, cos и sin

Таблица Брадиса таблица значений arcsin и arccos. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Таблица Брадиса таблица значений arcsin и arccos.

Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Таблица.

Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Таблица.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

а) Верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

б)    верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

в)    неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

г)    неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №10

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №11

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №12

Оцените значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

По определению арктангенса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

а) По определению арксинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
это угол, синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

б)    По определению арккосинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
это угол, косинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №14

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №15

Вычислите Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №16

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №17

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

  • sinarcsin a=a, a∈1; -1;
  • cosarccos a=a, a∈1; -1;
  • tg(arctg a)=a, a∈-∞; +∞;
  • ctg(arcctg a)=a, a∈-∞; +∞.

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа  — это такой угол или число, синус которого равен числу a. При этом число a лежит в пределах от -1 до +1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin(arcsin a)=a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Свойства обратных тригонометрических функций

sin(arcsin(0,3)=0,3cosarccos-32=-32tg(arctg(8))=8ctg(arcctg(1589))=1589

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a. Так, при a, лежащем вне пределов отрезка -1, 1, арксинус и арккосинус не определены и записи arcsin a и arccos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos(arccos(9)), так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

  • arcsin-a=-arcsin a, a∈-1, 1;
  • arccos-a=π-arccos a, a∈-1, 1;
  • arctg-a=-arctg a, a∈-∞, +∞;
  • arcctg-a=π-arcctg a, a∈-∞, +∞.

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При -1≤a≤1 имеет место равенство arcsin-a=-arcsin a. Согласно дефиниции, arcsin(-a) — это угол (число) в пределах от -π2 до π2, синус которого равен -a. Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что -arcsin a лежит в тех же пределах от -π2 до π2, что и arcsin(-a). Также необходимо обосновать, что sin(-arcsin a)=-a.

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство -π2≤arcsin a≤π2. Умножим каждую часть неравенства на -1 и получим эквивалентное неравенство π2≥-arcsin a≥-π2. Переписав его, получим -π2≤-arcsin a≤π2.

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin(-arcsin a)=-a. Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin-arcsin a=-sinarcsin a. С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin-arcsin a=-sinarcsin a=-a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что arccos-a=π-arccos a при a∈-1, 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0≤arccos a≤π. Умножив каждую часть неравенства на  — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0≥-arccos a≥-π. Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π. Получим π≥π-arccos a≥0, или 0≤π-arccos a≤π.

Теперь покажем, что cosπ-arccos a=-a. Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cosπ-arccos a=-cos(arccos a). Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cosπ-arccos a=-cos(arccos a)=-a.

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

arcsin-12=-arcsin12arccos-557=π-arccos557arctg-1=-arctg1arcctg(-3)=π-arcctg3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

arcsin a+arccos a=π2, a∈-1, 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

arctg a+arcctg a=π2, a∈-∞, +∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде arcsin a=π2-arccos a.  Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от -π2 до π2, синус которого равен a.

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0≤arccos a≤π. Умножим все его части на -1, а затем прибавим к каждой части π2. Получим:

0≤arccos a≤π0≥-arccos a≥-ππ2≥π2-arccos a≥-π2-π2≤π2-arccos a≤π2

Завершая доказательство, покажем, что sinπ2-arccos a=a. Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sinπ2-arccos a=cosarccos a=a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π2. По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что arcsin6-22=π12. Найдем арккосинус этого числа.

arcsin6-22+arccos6-22=π2arccos6-22=π2-arcsin6-22arccos6-22=π2-π12=5π12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

  • arcsin(sin α)=α, -π2≤α≤π2;
  • arccos(cos α)=α, 0≤α≤π;
  • arctg(tg α)=α, -π2≤α≤π2;
  • arcctg(ctg α)=α, 0≤α≤π.

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что arcsin(sin α)=α при -π2≤α≤π2.

Обозначим sinα через a. a — число, лежащее в интервале от -1 до +1. Тогда равенство arcsin(sin α)=α можно переписать в виде arcsin a=α. Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что arcsin(sin α)=α при -π2≤α≤π2.

Выражение arcsin(sin α) имеет смысл не только при α, лежащем в пределах от -π2 до π2. Однако, равенство arcsin(sin α)=α выполняется только при соблюдении условия -π2≤α≤π2.

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись arcsin(sin8π3)=8π3 будет ошибочной, так как число 8π3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями.

Оцените статью
Блог про прикладную математику