- Основные определения и свойства
- Чем круг отличается от окружности: объяснение
- Круг и окружность: примеры, фото
- Свойства окружности
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Формулы
- Формулы для площади круга и его частей
- Формулы для длины окружности и её дуг
- Формула длины окружности и площади круга: сравнение
- Площадь круга
- Длина окружности
- Как найти длину окружности через диаметр
- Как найти длину окружности через радиус
- Как вычислить длину окружности через площадь круга
- Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
- Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
- Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
- Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
- Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
- Длина дуги
- Площадь сектора
- Площадь сегмента
- Уравнение окружности
- Касательная окружности и ее свойства
- Основные свойства касательных к окружности
- Секущая окружности и ее свойства
- Основные свойства секущих
- Хорда окружности ее длина и свойства
- Длина хорды
- Основные свойства хорд
- Центральный угол, вписанный угол и их свойства
- Основные свойства углов
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Теорема Птолемея
- Задачи для решения
Основные определения и свойства
Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
Окружность | ![]() |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности |
Дуга | ![]() |
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
Круг | ![]() |
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
Сектор | ![]() |
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
Сегмент | ![]() |
Часть круга, ограниченная хордой |
Правильный многоугольник | ![]() |
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны |
![]() |
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
Окружность |
![]() Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности |
Дуга |
![]() Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
Круг |
![]() Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
Сектор |
![]() Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
Сегмент |
![]() Часть круга, ограниченная хордой |
Правильный многоугольник |
![]() Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
- Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
- Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
- Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Чем круг отличается от окружности: объяснение
Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:
- Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
- Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
- Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
- У круга и окружности единый центр;
- В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
- У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.
Круг и окружность: примеры, фото
Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.
Сравнение между кругом и окружностью
Свойства окружности
Свойство 1
Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.
Свойство 2
Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.
Свойство 3
Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.
Формулы
- Диаметр окружности (d):
- Длина окружности (С):
- Радиус окружности (R):
Формулы для площади круга и его частей
Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
Площадь круга | ![]() |
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
|
Площадь сектора | ![]() |
,
если величина угла α выражена в радианах
|
,
если величина угла α выражена в градусах
|
||
Площадь сегмента | ![]() |
,
если величина угла α выражена в радианах
|
,
если величина угла α выражена в градусах |
Площадь круга |
![]() , где R – радиус круга, D – диаметр круга
|
Площадь сектора |
![]() , если величина угла α выражена в радианах если величина угла α выражена в градусах |
Площадь сегмента |
![]() , если величина угла α выражена в радианах если величина угла α выражена в градусах |
Формулы для длины окружности и её дуг
Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
Длина окружности | ![]() |
C = 2πR = π D,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
|
Длина дуги | ![]() |
L(α) = αR,
если величина угла α выражена в радианах
|
,
если величина угла α выражена в градусах
|
Длина окружности |
![]() C = 2πR = π D, где R – радиус круга, D – диаметр круга
|
Длина дуги |
![]() L(α) = αR, если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах |
Формула длины окружности и площади круга: сравнение
Формула длины окружности L=2 πR
Формула площади круга S= πR²
Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан – угольникnправильный (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.
Рис.1
равнаR, – угольника, вписанного в окружность радиуса nПлощадь правильного
, равна1 – угольника, вписанного в окружность радиуса nПлощадь правильного
Следовательно,
Поскольку π, стремится к 1 – угольника, вписанного в окружность радиуса n площадь правильного nпри увеличении , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу πR2.
Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
S = πR2.
Длина окружности
Рассмотрим – угольникnправильный B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центра O окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).
Рис.2
Поскольку – угольникаnплощадь B1B2…Bn равна
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:
C = 2πR.
Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Как найти длину окружности через диаметр
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Формула длины окружности через диаметр:
l=πd, где
π— число пи — математическая константа, равная 3,14
d — диаметр окружности
Как найти длину окружности через радиус
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:
l=2πr , где
π — число пи, равное 3,14
r — радиус окружности
Как вычислить длину окружности через площадь круга
Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:
где:
- π — число пи, равное 3,14
- S — площадь круга
Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
l=πd, где
- π — число пи, равное 3,14
- d — диагональ прямоугольника
Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
l=πa, где
- π — математическая константа, равная 3,14
- a — сторона квадрата
Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:
где:
- π — математическая константа, она всегда равна 3,14
- a — первая сторона треугольника
- b — вторая сторона треугольника
- c — третья сторона треугольника
- S — площадь треугольника
Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.
где:
- π — математическая константа, равная 3,14
- S — площадь треугольника
- p — полупериметр треугольника
Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности:
где:
- π — математическая константа, равная 3,14
- a — сторона многоугольника
- N — количество сторон многоугольника
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.3
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.4
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.5
Уравнение окружности
- Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:
r2 = x2 + y2
- Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
r2 = (x — a)2 + (y — b)2
- Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
{ | x = a + r cos t |
y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее свойства
Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
- Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
- Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
- Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
AB = AC
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
∠ОAС = ∠OAB
Секущая окружности и ее свойства
Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
- Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ
- Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
AQ ∙ BQ = CQ2
Хорда окружности ее длина и свойства
Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
- Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2r sin α2
- Длина хорды через вписанный угол и радиус:
AB = 2r sin α
Основные свойства хорд
- Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
дуги ◡ AB = ◡ CD
- Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
◡ AD = ◡ BC
- Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
если OD ┴ AB, то
AC = BC
- Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC
- Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
ON = OK
- Чем больше хорда тем ближе она к центру.
если CD > AB, то
ON < OK
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.
Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
- Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны.
- Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
- Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
β = α2
- Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
α + β = 180°
Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.Определение.Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла,который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
l = πr180°∙ α
Определение.Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.Определение.Полукруг (◓) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.Определение.Сектор (◔) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула.Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)
S = πr2360°∙ α
Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.
Кольцо — часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.
Вписанная окружность
Окружность называетсявписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле
,
здесь — полупериметр многоугольника,
— радиус вписанной окружности.
Отсюда радиус вписанной окружности равен
Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:
В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Радиус вписанной окружности равен
. Здесь
Описанная окружность
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна
.
∠
+∠
=∠
+∠
Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:
Где — длины сторон треугольника,
— его площадь.
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:
Задачи для решения
Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:
- Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.
Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:
l=πd
Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна
l=πd=3,14·5=15,7(см)
Ответ: 15,7 (см)
- Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм
Решение. Радиус окружности равен
Подставим туда наши переменные и получим
Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Так и сделаем:
l=2πr=2·π·4≈2·3,14·4=25,12(дм)
Ответ: l=25,12(дм)