Окружность и круг: основные формулы

Содержание
  1. Основные определения и свойства
  2. Чем круг отличается от окружности: объяснение
  3. Круг и окружность: примеры, фото
  4. Свойства окружности
  5. Свойство 1
  6. Свойство 2
  7. Свойство 3
  8. Формулы
  9. Формулы для площади круга и его частей
  10. Формулы для длины окружности и её дуг
  11. Формула длины окружности и площади круга: сравнение
  12. Площадь круга
  13. Длина окружности
  14. Как найти длину окружности через диаметр
  15. Как найти длину окружности через радиус
  16. Как вычислить длину окружности через площадь круга
  17. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
  18. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
  19. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
  20. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
  21. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
  22. Длина дуги
  23. Площадь сектора
  24. Площадь сегмента
  25. Уравнение окружности
  26. Касательная окружности и ее свойства
  27. Основные свойства касательных к окружности
  28. Секущая окружности и ее свойства
  29. Основные свойства секущих
  30. Хорда окружности ее длина и свойства
  31. Длина хорды
  32. Основные свойства хорд
  33. Центральный угол, вписанный угол и их свойства
  34. Основные свойства углов
  35. Вписанная окружность
  36. Описанная окружность
  37. Теорема Птолемея
  38. Задачи для решения

Основные определения и свойства

Фигура Рисунок Определения и свойства
Окружность Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Окружность
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

  •       Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
  •       Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

  •       Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Чем круг отличается от окружности: объяснение

Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

  • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
  • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
  • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
  • У круга и окружности единый центр;
  • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
  • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

Круг и окружность: примеры, фото

Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

Сравнение между кругом и окружностью
Сравнение между кругом и окружностью

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Касание двух окружностей

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

Формулы

  • Диаметр окружности (d):

Формула нахождения диаметра окружности

  • Длина окружности (С):

Формула нахождения длины окружности

  • Радиус окружности (R):

Формула нахождения радиуса окружности

Формулы для площади круга и его частей

Числовая характеристика Рисунок Формула
Площадь круга Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи ,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

 

Площадь сектора Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи ,

если величина угла α выражена в радианах

 

,

если величина угла α выражена в градусах

 

Площадь сегмента Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи ,

если величина угла α выражена в радианах

 

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

 

Площадь сектора
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

,

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

,

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

Числовая характеристика Рисунок Формула
Длина окружности Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи C = 2πR = π D,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

 

Длина дуги Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи L(α) = αR,

если величина угла α выражена в радианах

 

,

если величина угла α выражена в градусах

 

Длина окружности
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

C = 2πR = π D,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

 

Длина дуги
Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

L(α) = αR,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формула длины окружности и площади круга: сравнение

Формула длины окружности L=2 πR

Формула площади круга S= πR²

Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан – угольникnправильный   (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Формулы для площади круга сектора сегмента число пи

Рис.1

равнаR, – угольника, вписанного в окружность радиуса nПлощадь правильного

, равна1 – угольника, вписанного в окружность радиуса nПлощадь правильного

Следовательно,

Поскольку π, стремится к 1 – угольника, вписанного в окружность радиуса n площадь правильного nпри увеличении , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.

Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR2.

Длина окружности

Рассмотрим – угольникnправильный     B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центра O окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Формулы для длины окружности и её дуг число пи

Рис.2

Поскольку – угольникаnплощадь   B1B2…Bn   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = 2πR.

Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Как найти длину окружности через диаметр

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Формула длины окружности через диаметр:

l=πd, где

π— число пи — математическая константа, равная 3,14

d — диаметр окружности
диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

l=2πr , где

π — число пи, равное 3,14

r — радиус окружности
радиус окружности

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

формула вычисления длины окружности

где:

  • π — число пи, равное 3,14
  • S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
окружность с вписанным в нее прямоугольником

l=πd, где

  • π — число пи, равное 3,14
  • d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
окружность, вписанная в квадрат

l=πa, где

  • π — математическая константа, равная 3,14
  • a — сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

формула поиска длины окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

где:

  • π — математическая константа, она всегда равна 3,14
  • a — первая сторона треугольника
  • b — вторая сторона треугольника
  • c — третья сторона треугольника
  • S — площадь треугольника
    иллюстрация разбираемой формулы поиска длины окружности

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

формула поиска длины окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

где:

  • π — математическая константа, равная 3,14
  • S — площадь треугольника
  • p — полупериметр треугольника
    иллюстрация разбираемой формулы с полупериметром

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности:
Формула вычисления длины окружности

где:

  • π — математическая константа, равная 3,14
  • a — сторона многоугольника
  • N — количество сторон многоугольника
    сторона многоугольника, вписанного в окружность

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Рис.3

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Рис.4

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Рис.5

Уравнение окружности

  • Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

  • Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r2 = (x — a)2 + (y — b)2

  • Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
{ x = a + r cos t
y = b + r sin t

Касательная окружности и ее свойства

Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

  • Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
  • Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.касательная
  • Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

AB = AC

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

∠ОAС = ∠OAB

Секущая окружности и ее свойства

Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

Секущая

  • Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

Секущая

  • Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

AQ ∙ BQ = CQ2

Хорда окружности ее длина и свойства

Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

Длина хорды

длина хорды через центральный угол

  • Длина хорды через центральный угол и радиус:

AB = 2r sin α2

длина хорды через вписанный угол

  • Длина хорды через вписанный угол и радиус:

AB = 2r sin α

Основные свойства хорд

хорды

  • Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

хорды

  • Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡ AD = ◡ BC

хорды

  • Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

если OD ┴ AB, то

AC = BC

хорды

  • Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

хорды

  • Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ON = OK

хорды

  • Чем больше хорда тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ON < OK

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.

Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

вписанные уголы опирающиеся на одну дугу

 

  • Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны. вписанный угол опирающийся на диаметр
  • Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°). вписанный и центральный угол
  • Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу

β = α2

вписанные углы опирающиеся на одну хорду

  • Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°

Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.Определение.Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла,который ограничивает эту дугу своими сторонами. длина дуги
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙ α

Определение.Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.Определение.Полукруг (◓) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.Определение.Сектор (◔) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.сектор
Формула.Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = πr2360°∙ α

Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.

Кольцо — часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Вписанная окружность

Окружность называетсявписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.


Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

S=pr
,

здесь p— полупериметр многоугольника, r— радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен r=S/p

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:


AB+DC=AD+BC

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.


Радиус вписанной окружности равен r=S/p
. Здесь p={a+b+c}/2

Описанная окружность

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна180^{circ}
.

A
+∠C
=∠B
+∠D=180^{circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:


Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

R=a/{2sinA}=b/{2sinB}=c/{2sinC}

R={abc}/{4S}

Где a,~~b,~~c— длины сторон треугольника, S— его площадь.

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

AC*BD=AB*CD+BC*AD

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

  • Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

l=πd

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

l=πd=3,14·5=15,7(см)

Ответ: 15,7 (см)

  • Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен значение радиуса окружности в задаче 2
Подставим туда наши переменные и получим формула поиска радиуса окружности задачи 2

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Так и сделаем:

l=2πr=2·π·4≈2·3,14·4=25,12(дм)

Ответ: l=25,12(дм)

Оцените статью
Блог про прикладную математику