Общее уравнение плоскости: как его составить

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Теорема 1

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.

Доказательство

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  • Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0. Допустим, задана некоторая плоскость и точка M0(x0, y0, z0), через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n→= (A, B, C). Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задает уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M(x, y, z).В таком случае векторы n→= (A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n→, M0M→=Ax-x0+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)

Примем D=-(Ax0+By0+Cz0) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: Ax + By + Cz + D = 0. Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  • Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А, B, C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M0(x0, y0, z0), координаты которой отвечают уравнению Ax + By + Cz + D = 0, т.е. верным будет равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения Ax + By + Cz + D = 0. Получим уравнение вида

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0, и оно эквивалентно уравнению Ax + By + Cz + D = 0. Докажем, что уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n→=(A, B, C) и M0M→=x-x0, y-y0, z-z0. Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z) задает плоскость, у которой нормальный вектор n→=(A, B, C).

При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0). Иначе говоря, уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y – 5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4x + 5y – 5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, у и z. Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости и его исследование

Рассмотрим уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Уравнение плоскости по трем точками преобразуем его, собрав в одно слагаемое все постоянные

Уравнение плоскости по трем точками, обозначив выражение в скобках одной буквой D, получим:

Уравнение плоскости по трем точкам

Это общее уравнение плоскости.

Равенство нулю отдельных коэффициентов этого уравнения вносит особенности в расположение плоскости.

  • D = 0. Уравнение принимает вид:

Уравнение плоскости по трем точкам
откуда ясно, что точка Уравнение плоскости по трем точкамлежит на плоскости. Другими словами, плоскость проходит через начало координат.

  • А = 0. В таком случае Уравнение плоскости по трем точкам
    Уравнение плоскости по трем точкам
    Получилось, что направляющий вектор оси Уравнение плоскости по трем точкам
    (вектор Уравнение плоскости по трем точкам) ортогонален векторуУравнение плоскости по трем точкам, т. е. плоскость параллельна оси Ох (рис. 18).

Аналогично,Уравнение плоскости по трем точкамплоскость параллельна оси Уравнение плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости по трем точкамплоскость парал- х лельна оси Уравнение плоскости по трем точкам.

  • Уравнение плоскости по трем точкам
    Плоскость параллельна и оси Уравнение плоскости по трем точкам, и оси Уравнение плоскости по трем точкамзначит, она параллельна плоскости Уравнение плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости по трем точкам— плоскость параллельна плоскости Уравнение плоскости по трем точкам<br>;

Уравнение плоскости по трем точкам— плоскость параллельна плоскости Уравнение плоскости по трем точкам.

  • Уравнение плоскости по трем точкам
    Первое условие означает, что плоскость параллельна оси Уравнение плоскости по трем точкам, второе — что она проходит через начало координат. Значит, плоскость проходит через ось Уравнение плоскости по трем точкам. Уравнение плоскости по трем точкам— плоскость проходит через ось Уравнение плоскости по трем точкам<br>;

Уравнение плоскости по трем точкам— плоскость проходит через ось Уравнение плоскости по трем точкам.

  • Уравнение плоскости по трем точкам— координатные плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0, которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n→=(A, B, C) равна единице, т.е. n→=A2+B2+C2=1 , а D≤0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α, cos β, cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n→=(cos α, cos β, cos γ), n→=cos2α+cos2 β+cos2 γ=1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат Oхуz удалена от начала координат на расстояние pв положительном направлении нормального вектора этой плоскости n→=(cos α, cos β, cos γ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Пример 3

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида -14·x-34·y+64·z-7=0 . D=-7≤0 , нормальный вектор этой плоскости n→=-14, -34, 64 имеет длину, равную единице, так как n→=-142+-342+64=1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях Oх, Oу и Oz отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a, b и с. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид xa+yb+zc=1 . Знак чисел а, b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Пример 4

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x-5+y-4+z4=1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x-5+y-4+z4=1 .

Уравнение плоскости в отрезках

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.

Пример 1

Заданы точки M0(1, -1, -3) и N0(0, 2, -8) и плоскость, определяемая уравнением 2x+3y-z-2=0. Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М0 в исходной уравнение плоскости:

2·1+3·(-1)-(-3)-2=0⇔0=0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M0(1, -1, -3) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N0. Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2·0+3·2-(-8)-2=0⇔12=0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N0(0, 2, -8) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М0 принадлежит заданной плоскости; точка N0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n→=(A, B, C) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением  Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Пример 2

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2x+3y-z+5=0. Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x, y, z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n→ исходной плоскости имеет координаты 2, 3, -1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ·n→=λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Ответ:  λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n→=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором  n→=(A, B, C) будет выглядеть так:  Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n→=(A, B, C).

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n→=(A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Пример 3

Задана точка М0(-1, 2, -3), через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n→=(3, 7, -5). Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  • Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x0=-1, y0=2, z0=-3, A=3, B=7, C=-5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

И получим:

3(x-(-1))+7(y-2)-5(z-(-3))=0⇔3x+7y-5z-26=0

  • Допустим, М (x, y, z) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M0M→ по координатам точек начала и конца:

M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0)=(x+1, y-2, z+3)

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n→, M0M→=0⇔3(x+1)+7(y-2)-5(z+3)=0⇔⇔3x+7y-5z-26=0

Ответ: 3x+7y-5z-26=0

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Рассмотрим цель − вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Так как эти точки не лежат на одной прямой, векторы
и
не коллинеарны. Следовательно точка M(x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2, M3 тогда и тольно тогда, когда векторы M1M2, M1M3 и
компланарны. Но векторы M1M2, M1M3, M1M компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя смешанное произведение векторов M1M2, M1M3, M1M в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки M(x, y, z) к указанной плоскости:

уравнение плоскости

Разложив определитель в левой части выражения, например, по первому столбцу и упростив, получим уравнение плоскости в общей форме, проходящий по точкам M1, M2, M3:

Ax+By+Cz+D=0.

Пример 1. Построить уравнение плоскости, проходящую через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2).

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) имеет следующий вид:

уравнение плоскости (1)

Подставляя координаты точек A, B, C в (1), получим:

Упростим:

Разложим определитель по первому столбцу:



Упростим выражение:


или

Ответ:

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2) имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий нормаль n

Пример 2. Построить плоскость, проходящую через точку M0(-1, 2, 1) и имеюший нормаль n(1, 4/5, 1).

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормаль n(A, B, C) имеет следующий вид:

(2)

Подставляя координаты векторов M0 и n в (2), получим:

или

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала — теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x1, y1, z1);N = (x2, y2, z2);K = (x3, y3, z3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

уравнение плоскости через определитель

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

подставляем в определитель конкретные точки.

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x, y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

составляем уравнение плоскости через определитель

Снова раскрываем определитель:

  1. a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
  2. b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
  3. d = a − b = z − (x + y) = z − x − y;
  4. d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x2 или x3, а в какой — просто x. Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

  1. M = (x1, y1, z1);
  2. N = (x2, y2, z2);
  3. K = (x3, y3, z3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x, y, z)

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

  1. MN = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1);
  2. MK = (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1);
  3. MT = (x − x1, y − y1, z − z1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы — и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

уравнение плоскости через определитель

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN, MKи MT, равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x, y, z) — как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2. Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

замена опорной точки в определителе

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x; y; z) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

замена строк в определителе

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x, y и z, которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

формат определителя для составления уравнения плоскости

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

определитель с переменными в нижней строчке

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0.

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x, y, z не внизу, а вверху:

строчка с переменными записана вверху

Вновь раскрываем полученный определитель:

  1. a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
  2. b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
  3. d = a − b = 2 − x − z − y;
  4. d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0)или D1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называютполным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  • В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:

A·0+B·0+C·0=0⇔0≡0

Неполное общее уравнение плоскости

  • Если А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, или А ≠ 0, В = 0, С ≠0, или А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.
  • При А=0, В=0, С≠0, или А=0, В≠0, С=0, или А≠0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 ⇔z+DC=0⇔z=-DC⇔z=λ, λ∈R или By+D=0⇔y+DB=0⇔y=-DB⇔y=λ, λ∈R или Ax+D=0⇔x+DA=0⇔x=-DA⇔x=λ, λ∈R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0

соответственно.

Неполное общее уравнение плоскости

Пример 4

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая через точку М0(7, -2, 3). Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz, а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости Ax+D=0, A≠0⇔x+DA=0. Поскольку точка M0(7, -2, 3) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости  x+DA=0, иначе говоря, должно быть верным равенство  7+DA=0 . Преобразуем: DA=-7, тогда требуемое уравнение  имеет вид: x-7=0.

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости Oyz. Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости Oyz: i→=(1, 0, 0). Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔⇔1·(x-7)+0·(y+2)+0·(z-3)=0⇔⇔x-7=0

Ответ:x-7=0

Пример 5

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости Oxy и проходящая через начало координат и точку М0(-3, 1, 2).

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy определяется общим неполным уравнением плоскости Ax+By+D=0 (А≠0, В≠0). Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D=0 и уравнение плоскости принимает вид Ax+By=0⇔x+BAy=0.

Найдем значение BA. В исходных данных фигурирует точка М0(-3, 1, 2), координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: -3+BA·1=0, откуда определяем BA=3.

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x+3y=0.

Ответ: x+3y=0.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

Пример 1

Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M1(-3, 2, -1), M2(-1, 2, 4), M3 (3, 3, -1). Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.

Решение

Используем поочередно оба способа.

  • Найдем координаты двух нужных нам векторов M1M2→, M1M3→:

M1M2→=-1—3, 2-2, 4—1⇔M1M2→=(2, 0, 5)M1M3→=3—3,3-2, -1—1⇔M1M3→=6, 1, 0

Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

n→=M1M2→×M1M3→=i→j→k→205610=-5·i→+30·j→+2·k→

У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n→=(-5, 30, 2). Далее нам нужно взять одну из точек, например, M1(-3, 2, -1), и записать уравнение для плоскости с вектором n→=(-5, 30, 2). Мы получим, что: -5·(x-(-3))+30·(y-2)+2·(z-(-1))=0 ⇔-5x+30y+2z-73=0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

  • Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в следующем виде:

x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0

Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x1=-3, y1=2, z1=-1, x2=-1, y2=2, z2=4, x3=3, y3=3, z3=-1, в итоге мы получим:

x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=x-(-3)y-2z-(-1)-1-(-3)2-24-(-1)3-(-3)3-2-1-(-1)==x+3y-2z+1205610=-5x+30y+2z-73

Мы получили нужное нам уравнение.

Ответ:-5x+30y+2z-73.

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

Пример 2

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1). Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.

Решение

Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M1M2→ и M1M3→. Подсчитаем их координаты: M1M2→=(-4, 6, 2), M1M3→=-6, 9, 3.

Векторное произведение будет равно:

M1M2→×M1M3→=i→j→k→-462-693=0·i⇀+0·j→+0·k→=0→

Поскольку M1M2→×M1M3→=0→, то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.

Если мы используем второй способ, у нас получится:

x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0⇔x-5y-(-8)z-(-2)1-5-2-(-8)0-(-2)-1-51-(-8)1-(-2)=0⇔⇔x-5y+8z+2-462-693=0⇔0≡0

Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1)находятся на одной прямой.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

  1. Записать уравнение прямой М1М2, М1М3 или М2М3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).
  2. Взять точку M4(x4, y4, z4), которая не лежит на прямой М1М2.
  3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М1, М2 и M4, не лежащих на одной прямой.

Другие уравнения плоскости

  • Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениякоэффициент Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениятогда выполним следующие преобразования

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Введем следующие обозначения Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениятогда уравнение примет вид Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениякоторое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41):

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.

  •  Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
    через которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
    ОЗ. Вектор Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
    называется нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку Плоскость и прямая в пространстве с примерами решенияи образуем вектор Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениясоединяющий точку Плоскость и прямая в пространстве с примерами решенияс точкой М (Рис. 42). Тогда Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.

В силу того, вектор Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениялежит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
Используя условие перпендикулярности векторов Плоскость и прямая в пространстве с примерами решенияв проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору:Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. Плоскость и прямая в пространстве с примерами решенияпараллельно плоскости Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
(см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем: Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(—1; 1 ;2) и В(0; —1; —1) параллельно вектору Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
= (0; 0; -2):

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Решение:

Построим на искомой плоскости вектор Плоскость и прямая в пространстве с примерами решенияи вычислим нормальный вектор Плоскость и прямая в пространстве с примерами решениякак векторное произведение векторов Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
перпендикулярно к заданному векторуПлоскость и прямая в пространстве с примерами решенияимеет вид:Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
брать как точку, через которую проходит искомая плоскость.

  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
    Возьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.

Вектора Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
компланарные, используя условие компланарности векторов Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
получим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки: Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Решение:

Составим определитель третьего порядка Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
Раскроем определитель по элементам первой строки Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения
Вычислим определители второго порядка: -7(x-l) + 5y + 4(z + 2) = 0. Умножив уравнение на (-1) и раскрыв скобки, получим окончательный ответ:Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Оцените статью
Блог про прикладную математику