Обратная тригонометрическая функция: свойства и графики

Содержание
  1. Определение обратных тригонометрических функций
  2. Свойства обратных тригонометрических функций
  3. Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
  4. Таблица арксинусов и арккосинусов
  5. Таблица арктангенсов и арккотангенсов
  6. Графики обратных тригонометрических функций
  7. Основные соотношения обратных тригонометрических функций.
  8. Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
  9. Формулы суммы и разности обратных тригонометрических функций.
  10. Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
  11. Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
  12. Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
  13. Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
  14. Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
  15. Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
  16. Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
  17. Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
  18. Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
  19. Прочие формулы с обратными функциями
  20. Нахождение значения аргумента
  21. Определение Арксинуса
  22. Пример №1
  23. Пример №2
  24. Определение Арккосинуса
  25. Пример №3
  26. Пример №4
  27. Определение Арктангенса
  28. Пример №5
  29. Пример №6
  30. Определение Арккотангенса
  31. Пример №7
  32. Пример №8
  33. Примеры заданий и их решения
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Пример №11
  37. Пример №12
  38. Пример №13
  39. Пример №14
  40. Пример №15
  41. Пример №16
  42. Пример №17

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение   y = sin x,   при заданном   ,   имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x   такой корень, то и   x + 2πn   (где n целое) тоже будет корнем уравнения.

Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус:   y = sin x.   Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция   y = sin x   монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом:   x = arcsin y.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

  1. Арксинус ( y = arcsin x )– это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений .
  2. Арккосинус ( y = arccos x )– это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
  3. Арктангенс ( y = arctg x )– это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
  4. Арккотангенс ( y = arcctg x )– это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Свойства обратных тригонометрических функций

sin(arcsinx)=x -1 ≤ x ≤ 1
cos(arccosx)=x -1 ≤ x ≤ 1
arcsin(sinx)=x -π2 ≤ x ≤ π2
arccos(cosx)=x 0 ≤ x ≤ π
tg(arctgx)=x x-любое
ctg(arcctgx)=x x-любое
arctg(tgx)=x -π2 ≤ x ≤ π2
arcctg(ctgx)=x 0 < x < π
arcsin(- x)= — arcsinx -1 ≤ x ≤ 1
arccos(- x)= π — arccosx -1 ≤ x ≤ 1
arctg(- x)= — arctgx x — любое
arcctg(- x)= π — arcctgx x — любое
arcsinx + arccosx = π2 -1 ≤ x ≤ 1
arctgx + arcctgx = π2 x — любое

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол в радианах -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол в радианах π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Таблица арксинусов и арккосинусов

В ниже приведенной таблице вы найдете значения обратных тригонометрических функций, таких как: арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
– 1 – 90° – frac{pi}2 180° π
– frac{sqrt{3}}2 – 60° – frac{pi}3 150° frac{5pi}6
– frac{sqrt{2}}2 – 45° – frac{pi}4 135° frac{3pi}4
– frac{1}2 – 30° – frac{pi}6 120° frac{2pi}3
0 0 90° frac{pi}2
frac{1}2 30° frac{pi}6 60° frac{pi}3
frac{sqrt{2}}2 45° frac{pi}4 45° frac{pi}4
frac{sqrt{3}}2 60° frac{pi}3 30° frac{pi}6
1 90° frac{pi}2 0

 

Описание: frac{sqrt{2}}2
≈ 0,7071067811865476;

Описание: frac{sqrt{3}}2
≈ 0,8660254037844386.

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В ниже приведенной таблице вы найдете значения обратных тригонометрических функций, таких как: арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arctg x arcctg x
град. рад. град. рад.
– ∞ – 90° – frac{pi}2 180° π
– sqrt{3} – 60° – frac{pi}3 150° frac{5pi}6
– 1 – 45° – frac{pi}4 135° frac{3pi}4
– frac{1}{sqrt3} – 30° – frac{pi}6 120° frac{2pi}3
0 0 90° frac{pi}2
frac{1}{sqrt3} 30° frac{pi}6 60° frac{pi}3
1 45° frac{pi}4 45° frac{pi}4
sqrt{3} 60° frac{pi}3 30° frac{pi}6
+ ∞ 90° frac{pi}2 0

 

Описание: frac{1}{sqrt3}
≈ 0,5773502691896258;

*
≈ 1,7320508075688772.

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x.

График функции y=arcsin(x)
y = arcsin xГрафик функции y=arccos(x)
y = arccos xГрафик функции y=arctg(x)
y = arctg xГрафик функции y=arcctg(x)
y = arcctg x

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Обратные тригонометрические функции.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через  Arcsin x,  Arccos x,  Arctan x,  Arccot x  и сохраним обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями:

Обратные тригонометрические функции.

где  k – всякое целое число. При  k = 0  у нас есть главные значения.

Формулы суммы и разности обратных тригонометрических функций.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<><><><>

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

-1≤α≤1,sin (arcsin α)=α -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
-1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 -1≤α≤1,cos (arccos α)=α -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2
-1<> α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α α≠0 ,tg (arcctg α)=1α
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α -1<> α≠0,ctg (arctg α)=1α -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Пример 1

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Пример 2

Вычислить синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<><><><>

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

  • sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

  • sinα=tgα1+tgα, -π2<><>

Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

  • sinα=11+ctg2α, 0<><>

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

  • Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

  • Из cosα=11+tg2α, -π2<><π2 следует,=»»>
  • Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<><>

следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

  • Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<><π2. получаем=»» tg(arcsin α)=»sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2″ при=»» условии,=»» что=»»><>
  • Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).

  • Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<><>

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<><><>

Формула выражения арктангенса:

arctgα=arcsinα1+α2, -∞<>

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<>

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и=»» постараемся=»» вывести=»»>

Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 числа=»» арксинус=»» есть=»» и=»» это=»» –=»»></a<1>

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<>

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Пример 3

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<><>

В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin2α2=1-cosα2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sinα2=1-cosα2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

arccosα2=arcsin1-α2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На единичной окружности найдем точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
ординаты которых равны Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этим точкам соответствуют углы Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то на нем функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения такое что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так на промежутке Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственное значение аргумента, при котором значение функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияравно Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения — это угол равный Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис.93)

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арксинуса

Арксинусом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 94).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №1

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №2

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 95, б).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
где Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
с ординатами Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
отличаются только знаком, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 96).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
тогда Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как точкиАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
имеют противоположные ординаты, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то по определению арксинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениядля любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Отметим, что областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияне имеет смысла.

Например, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеют смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияне имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арксинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Рассмотрим промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения на котором функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
возрастает и принимает все значения от Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениядо 1. Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения такое, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккосинуса

Арккосинусом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениякосинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 97).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №3

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №4

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис. 98.а)

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( рис.98.б)

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
( см.98)

Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
имеют противоположные абсциссы, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениято по определению арккосинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениядля любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения(рис. 99).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияне имеет смысла.

Так, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеют смысла, поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арккосинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияфункции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениясуществует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арктангенса

Арктангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения тангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 100).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияи Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №5

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 101).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №6

Найдите значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арктангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккотангенса

Арккотангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения котангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 102).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияпоскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №7

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
(рис. 103).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №8

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Из определения арккотангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

  • Верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
  • верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
  • неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
  • неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №10

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №11

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №12

Оцените значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

По определению арктангенса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

  • По определению арксинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
    это угол, синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
    Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
  •  По определению арккосинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
    это угол, косинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
    Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №14

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №15

Вычислите Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №16

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №17

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Оцените статью
Блог про прикладную математику