- Определение обратных тригонометрических функций
- Свойства обратных тригонометрических функций
- Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
- Таблица арксинусов и арккосинусов
- Таблица арктангенсов и арккотангенсов
- Графики обратных тригонометрических функций
- Основные соотношения обратных тригонометрических функций.
- Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
- Формулы суммы и разности обратных тригонометрических функций.
- Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
- Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
- Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
- Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
- Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
- Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
- Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
- Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
- Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
- Прочие формулы с обратными функциями
- Нахождение значения аргумента
- Определение Арксинуса
- Пример №1
- Пример №2
- Определение Арккосинуса
- Пример №3
- Пример №4
- Определение Арктангенса
- Пример №5
- Пример №6
- Определение Арккотангенса
- Пример №7
- Пример №8
- Примеры заданий и их решения
- Пример №9
- Пример №10
- Пример №11
- Пример №12
- Пример №13
- Пример №14
- Пример №15
- Пример №16
- Пример №17
Определение обратных тригонометрических функций
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x, при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения.
Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x. Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y.
Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.
- Арксинус ( y = arcsin x )– это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арккосинус ( y = arccos x )– это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арктангенс ( y = arctg x )– это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
- Арккотангенс ( y = arcctg x )– это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .
Свойства обратных тригонометрических функций
sin(arcsinx)=x | -1 ≤ x ≤ 1 |
cos(arccosx)=x | -1 ≤ x ≤ 1 |
arcsin(sinx)=x | -π2 ≤ x ≤ π2 |
arccos(cosx)=x | 0 ≤ x ≤ π |
tg(arctgx)=x | x-любое |
ctg(arcctgx)=x | x-любое |
arctg(tgx)=x | -π2 ≤ x ≤ π2 |
arcctg(ctgx)=x | 0 < x < π |
arcsin(- x)= — arcsinx | -1 ≤ x ≤ 1 |
arccos(- x)= π — arccosx | -1 ≤ x ≤ 1 |
arctg(- x)= — arctgx | x — любое |
arcctg(- x)= π — arcctgx | x — любое |
arcsinx + arccosx = π2 | -1 ≤ x ≤ 1 |
arctgx + arcctgx = π2 | x — любое |
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:
sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1
Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.
Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.
α | -1 | -32 | -22 | -12 | 0 | 12 | 22 | 32 | |
arcsin αкак угол | в радианах | -π2 | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
в градусах | -90° | -60° | -45° | -30° | 0° | 30° | 45° | 60° | |
arcsin α как число | -π2 | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:
cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1
Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание
Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:
arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0
Таблица арккосинусов.
α | -1 | -32 | -22 | -12 | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 | |
arccos αкак угол | в радианах | π | 5π6 | 3π4 | 2π3 | π2 | π3 | π4 | π6 | 0 |
в градусах | 180° | 150° | 135° | 120° | 90° | 60° | 45° | 30° | 0° | |
arccos α как число | π | 5π6 | 3π4 | 2π3 | π2 | π3 | π4 | π6 | 0 |
Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.
α | -3 | -1 | -33 | 0 | 33 | 1 | 3 | |
arctg aкак угол | в радианах | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
в градусах | -60° | -45° | -30° | 0° | 30° | 45° | 60° | |
arctg a как число | -π3 | -π4 | -π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
Таблица арксинусов и арккосинусов
В ниже приведенной таблице вы найдете значения обратных тригонометрических функций, таких как: арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
x | arcsin x | arccos x | ||
град. | рад. | град. | рад. | |
– 1 | – 90° | – ![]() |
180° | π |
– ![]() |
– 60° | – ![]() |
150° | ![]() |
– ![]() |
– 45° | – ![]() |
135° | ![]() |
– ![]() |
– 30° | – ![]() |
120° | ![]() |
0 | 0° | 0 | 90° | ![]() |
![]() |
30° | ![]() |
60° | ![]() |
![]() |
45° | ![]() |
45° | ![]() |
![]() |
60° | ![]() |
30° | ![]() |
1 | 90° | ![]() |
0° | 0 |
≈ 0,7071067811865476;
≈ 0,8660254037844386.
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В ниже приведенной таблице вы найдете значения обратных тригонометрических функций, таких как: арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
x | arctg x | arcctg x | ||
град. | рад. | град. | рад. | |
– ∞ | – 90° | – ![]() |
180° | π |
– ![]() |
– 60° | – ![]() |
150° | ![]() |
– 1 | – 45° | – ![]() |
135° | ![]() |
– ![]() |
– 30° | – ![]() |
120° | ![]() |
0 | 0° | 0 | 90° | ![]() |
![]() |
30° | ![]() |
60° | ![]() |
1 | 45° | ![]() |
45° | ![]() |
![]() |
60° | ![]() |
30° | ![]() |
+ ∞ | 90° | ![]() |
0° | 0 |
≈ 0,5773502691896258;
≈ 1,7320508075688772.
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
Основные соотношения обратных тригонометрических функций.
Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями:
где k – всякое целое число. При k = 0 у нас есть главные значения.
Формулы суммы и разности обратных тригонометрических функций.
Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.
Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.
Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.
для α∈-1, 1 sin(arccis α)=α, cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞) tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α
Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.
Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
для -π2≤α≤π2 arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<><><><>
Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.
Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:
Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.
для α∈-1, 1 arccis (-α)=-arcsin α, arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞) arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α
Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.
Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
Они выглядят следующим образом:
для α∈-1, 1 arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞) arctg α+arcctg α=π2
Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.
Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.
-1≤α≤1,sin (arcsin α)=α | -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 | -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 | -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2 |
-1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 | -1≤α≤1,cos (arccos α)=α | -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 | -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2 |
-1<> | α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α | -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α | α≠0 ,tg (arcctg α)=1α |
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α | -1<> | α≠0,ctg (arctg α)=1α | -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α |
Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.
Пример 1
Вычислите косинус арктангенса из 5.
Решение
У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2
Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26
Пример 2
Вычислить синус арккосинуса 12.
Решение
Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2
Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32
Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32
Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.
Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание
Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:
sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α
Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:
sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<><><><>
У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.
Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса.
Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.
Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.
Все наши расчеты можно сформулировать более емко:
- sinα=1-cos2α, 0≤α≤π
Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2
- sinα=tgα1+tgα, -π2<><>
Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2
- sinα=11+ctg2α, 0<><>
Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.
Их мы выведем по имеющемуся шаблону:
- Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что
cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2
- Из cosα=11+tg2α, -π2<><π2 следует,=»»>
- Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<><>
следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2
Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
- Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<><π2. получаем=»» tg(arcsin α)=»sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2″ при=»» условии,=»» что=»»><>
- Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем
tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).
- Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.
Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:
ctgα=1tgα
Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.
Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.
Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:
arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<><>
А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:
arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<><><>
Формула выражения арктангенса:
arctgα=arcsinα1+α2, -∞<>
Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:
arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<>
Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.
Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и=»» постараемся=»» вывести=»»>
Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:
sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α
Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 числа=»» арксинус=»» есть=»» и=»» это=»» –=»»></a<1>
Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<>
Прочие формулы доказываются по аналогии.
В завершение разберем один пример применения формул на практике.
Пример 3
Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.
Решение
Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<><>
В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2 sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Прочие формулы с обратными функциями
Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.
Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:
sin2α2=1-cosα2
Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:
sinα2=1-cosα2
Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:
sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2
Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:
arccosα2=arcsin1-α2
Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.
Нахождение значения аргумента
Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции
На единичной окружности найдем точки
ординаты которых равны
Этим точкам соответствуют углы
и
и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток то на нем функция
возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа
из промежутка
существует единственное число такое что
Так на промежутке
существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно
— это угол равный
( рис.93)
Определение Арксинуса
Арксинусом числа
называется угол, принадлежащий промежутку
синус которого равен
(рис. 94).
Этот угол обозначают
Так, поскольку
и
Пример №1
Вычислите:
Решение:
так как
Пример №2
Найдите значение выражения:
Решение:
так как
(рис. 95, б).
Заметим, что
( рис.95) Так как углы, соответствующие точкам
и
где
с ординатами
и
отличаются только знаком, то
для любого числа
(рис. 96).
Пусть
тогда
Так как точки
имеют противоположные ординаты, то
Поскольку то по определению арксинуса
Так как то
для любого числа
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения
Так как
Отметим, что областью определения выражения
является отрезок Если
то выражение не имеет смысла.
Например, выражения
не имеют смысла, так как
Выражение не имеет смысла, так как
Из определения арксинуса числа следует, что
если
Например,
Рассмотрим промежуток на котором функция
возрастает и принимает все значения от до 1. Для любого числа
из промежутка
существует единственное число такое, что
Определение Арккосинуса
Арккосинусом числа
называется угол, принадлежащий промежутку
косинус которого равен
(рис. 97).
Этот угол обозначают
Например: поскольку
и
Пример №3
Вычислите:
Решение:
Пример №4
Найдите значение выражения:
Решение:
так как
( рис. 98.а)
( рис.98.б)
Заметим, что
( см.98)
Пусть
Так как точки
имеют противоположные абсциссы, то
Поскольку то по определению арккосинуса
Так как для любого числа
(рис. 99).
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения
Так как
Областью определения выражения является отрезок
Если то выражение
не имеет смысла.
Так, выражения
не имеют смысла, поскольку
Выражение
не имеет смысла, так как
Из определения арккосинуса числа следует, что
если и
Например,
На промежутке монотонности функции
существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу
Определение Арктангенса
Арктангенсом числа
называется угол, принадлежащий промежутку
тангенс которого равен
(рис. 100).
Этот угол обозначают
Так, поскольку
и
Пример №5
Вычислите:
Решение:
так как
и
и
Для любого числа
верно равенство
(рис. 101).
Пример №6
Найдите значение выражения
Решение:
Так как
Из определения арктангенса числа следует, что
при
Например,
На промежутке монотонности
функции
существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу
Определение Арккотангенса
Арккотангенсом числа
называется угол, принадлежащий промежутку
котангенс которого равен
(рис. 102).
Этот угол обозначают
Например, поскольку
Пример №7
Вычислите:
Решение:
так как
Для любого числа
верно равенство
(рис. 103).
Пример №8
Найдите значение выражения
Решение:
Так как
Из определения арккотангенса числа следует, что
если
и
Например,
Примеры заданий и их решения
Пример №9
Верно ли, что:
Решение:
- Верно, так как
- верно, так как
- неверно, так как
- неверно, так как
Пример №10
Вычислите:
Решение:
Пример №11
Найдите значение выражения:
Решение:
Пример №12
Оцените значение выражения
Решение:
По определению арктангенса числа
Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим:
Пример №13
Найдите область определения выражения:
Решение:
- По определению арксинуса числа
это угол, синус которого равен
- По определению арккосинуса числа
это угол, косинус которого равен
Пример №14
Найдите значение выражения:
Решение:
Пример №15
Вычислите
Решение:
Пример №16
Найдите значение выражения
Решение:
Воспользуемся формулой
при
Поскольку
то эту формулу сразу применить нельзя.
Так как
Пример №17
Найдите значение выражения
Решение:
Так как
при
при