Объединение и пересечение множеств: основные операции с примерами

Теория множеств

Говоря простым языком, множество — это элементарный математический объект, который содержит определенный набор данных, предметов или чисел. Это исходное математическое понятие, которое невозможно представить другими терминами. Именно поэтому множество описывается как набор разрозненных элементов, мыслимое как единое целое. Понятие множества ввел немецкий математик Георг Кантор, который развил собственную теорию трансфинитных чисел, позволяющую оперировать вполне упорядоченными бесконечными множествами.

Георг Кантор разработал уникальную программу стандартизации всех математических знаний, согласно которой любой математический объект является тем или иным множеством. К примеру, согласно канторовской теории, любое натуральное число — это одноэлементное множество, принадлежащее надмножеству натурального ряда. Натуральный ряд, в свою очередь, считается подмножеством целого ряда, а целое множество — подмножеством действительного или вещественного ряда.

Теория Георга Кантора вызвала широкий резонанс в математических кругах. Многие современники негативно отзывались о его работах, особенно его учитель Леопольд Кронекер, который не принимал канторовского определения натурального числа. Несмотря на это, теория множеств получила признание позже, когда группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки предприняла попытку перевести весь математический аппарат на теоретико-множественный язык.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Множество в математике

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Виды множеств

Выделяют три вида множеств:

  • конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
  • бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
  • пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Множество натуральных чисел

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множества целых и рациональных чисел

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Операции над множествами

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Объединение

Объединение

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:

$$ A cap B = {x|x in Bbb A и x in Bbb B } $$

Пересечение множеств

Если множества не пересекаются, то $A cap B = varnothing $ — пустое множество в пересечении. Если $B subseteq A$ — подмножество, то $A cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cap B$ = {3;5}.

Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A cap B$ = {f|f-квадрат}.

Если A = ${n|n⋮3, n in Bbb N }$ — натуральные числа, кратные 3, B = ${n|n⋮5, n in Bbb N }$ — натуральные числа, кратные 5, то $A cap B = {n|n⋮15, n in Bbb N}$ — натуральные числа, кратные 15.

Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A cap B = varnothing$.

Дополнение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

Универсум и отрицание

Примеры универсумов:

  1. При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
  2. При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
  3. При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A — множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:

$$ bar{A} = {x|x notin A } $$

Читается «не A».

У отрицания есть любопытное свойство: $bar{bar{Α}} = Α $(два раза «нет» — это «да»).

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A

Например:

Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $bar{A} = {1;2;6;7}$

Если U = ${x|x in Bbb R}$ — все действительные числа, A = ${x|x gt 0, x in Bbb R }$ — все положительные действительные числа, то $ bar{A} = {x|x le 0, x in Bbb R}$.

Разность множеств

Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:

$$ AB = {x|x in Bbb A , x notin B} $$

Читается «A без B».

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Разность множеств 1
Разность множеств 2

Получается, что отрицание – частный случай разности: $ bar{A} = {x|x in Bbb U, x notin A } $= UA

«Не A» — это «универсум без A».

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A cap B)$.

Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A cup B)$?

Формулы включений и исключений 1

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A cup B) = n(A)+ n(B)-n(A cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Формулы включений и исключений 2

Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A cap B cap C)$; значит, его нужно «вернуть».

Получаем:

$$ n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$

$$ -(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )+n(A cap B cap C) $$

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Свойства операций над множествами

Коммутативность – переместительные законы:

  • умножения S ∩ D = D ∩ S;
  • сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

  • умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
  • сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

  • умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
  • умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
  • сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

Транзитивность — законы включения:

  • если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
  • если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

  • S ∩ S = S;
  • S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Свойства операций над множествами

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Счетное множество

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.

Несчетное множество

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча. Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$. Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) cup {36,6} cup (36,6, +∞)$.

Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым. Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой. Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как

$(−∞, 36,6] cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) cup [36,6, +∞)$.

Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей).

Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ {14} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] cup (14, 51]$, $(5, 14) cup [14, 51]$. Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества ${51}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) cup {51}$.

Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ {−6} ∪ (−6, 0) ∪ {0} ∪ (0, 7) ∪ {7} ∪ (7, +∞)$.

С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.

На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения — полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки — сплошной точкой, невхождение – полой.

Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.

Пример 1

Найти пересечение и объединение множеств $A = [-3, 4)$ и $B = [0, 7)$ .

Для решения применим графический метод:

Графическое решение задачи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Графическое решение задачи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видно, что объединение множеств представляет собой диапазон от крайней левой точки $-3$ включительно до крайней правой $7$ исключая ее. Пересечение множеств начинается от числа $0$. Оно входит в оба множества и ограничивает пересечение слева. Правой границей пересечения является $4$, но оно не входит в первое множество, поэтому здесь граница интервала будет открытой.

Ответ:

$A cap B = [0, 4); A cup B = [-3, 7); $

Примеры из реальной жизни

Геометрические фигуры

Допустим, существует множество X, которое содержит прямоугольники с разными длинами сторон. Также существует множество Y, содержащее ромбы с разными углами. Из курса геометрии мы знаем, что ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны все углы. В множествах X и Y могут встретиться ромбы с углами по 90 градусов или прямоугольники с одинаковыми сторонами. Фигура, у которой все углы прямые, а все стороны равны — это квадрат. Соответственно, пересечением множеств ромбов X и прямоугольников Y является множество квадратов Z.

Отрезки

Пусть у нас есть два отрезка, которые задаются координатами X = [1, 3] и Y = [2, 4]. Пересечением данных множеств будет отрезок [2, 3], так как именно эти числа входят в диапазон значений обоих отрезков на числовой оси.

Еще пример

Давайте попробуем узнать пересечение пятиэлементных множеств простых и четных чисел. Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу. Четное число — число, которое делится на 2 без остатка. Итак, наши множества S = {2, 3, 5, 7, 11} и E = {2, 4, 6, 8, 10}. Введем эти данные в онлайн-калькулятор и получим результат в виде P = {2}.

Оцените статью
Блог про прикладную математику