НОД и НОК чисел с решением

Как пользоваться калькулятором

• Введите числа в поле ввода
• Если вы введете неправильные символы, поле ввода будет выделено красным
• нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»

Пример нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Найдите наибольший общий делитель двух чисел 630 и 434.

1. Разделите число 630 на 434. Остаток — 196.
2. Разделите число 434 на 196. Остаток 42.
3. Разделите число 196 на 42. Остаток — 28.
4. Разделите число 42 на 28. Остаток равен 14.
5. Разделите число 28 на 14. Остаток равен 0.

На шаге 5 остаток от деления равен 0. Следовательно, наибольший общий делитель 630 и 434 равен 14. Обратите внимание, что 2 и 7 также являются делителями 630 и 434.

Взаимно простые числа

Если пара чисел не имеет общих делителей, то эта пара называется взаимно простой. MCD для таких пар всегда равен единице, и, в зависимости от связи между делителями и кратными, LCM для взаимно простых чисел равняется их произведению. Например, числа 25 и 28 взаимно просты, потому что у них нет общих делителей, а НОК (25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Любые два неделимых числа всегда будут просты по отношению друг к другу.

Общий делитель и многократный калькулятор

С помощью нашего калькулятора вы можете рассчитать НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задачи на вычисление общих и кратных делителей можно найти в арифметике в 5, 6 классах, однако НОД и НОК являются ключевыми понятиями в математике и используются в теории чисел, плане этажа и коммуникативной алгебре.

Как вводить числа

• Цифры вводятся через пробел, точку или запятую
• Длина вводимых чисел не ограничена, поэтому найти НОД и НОК длинных чисел несложно

Наибольший общий делитель

Даны два положительных числа a1 и a21). Вам нужно найти общий делитель этих чисел, т.е найти число, которое одновременно делит числа a1 и a2. Опишем алгоритм.

В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Пусть a1 ≥ a2 и пусть, где m1, a3 — целые числа, a3

Предположим, что он делит a1 и a2, тогда он делит m1a2, а λ делит a1 — m1a2 = a3. Отсюда следует, что любой общий делитель a1 и a2 является общим делителем a2 и a3. Верно и обратное, если это общий делитель a2 и a3, то m1a2 и a1 = m1a2 + a3 также делятся на. Таким образом, общий делитель a2 и a3 также является общим делителем a1 и a2. От а3<a2≤a1, a1=»» a2=»» то=»» можно=»» сказать,=»» что=»» решение=»» задачи=»» по=»» нахождению=»» сведено=»» к=»» более=»» простой=»» задаче=»» нахождения=»» общего=»» делителя=»» чисел=»» и=»»></a2≤a1,>

Если a3 ≠ 0, то a2 делится на a3. Тогда, где m1 и a4 — некоторые целые числа, (a4 — остаток от деления a2 на a3 (a4).

Каждый общий делитель чисел a1 и a2 также является делителем чисел a2 и a3, a3 и a4, .. an и an + 1. Верно и обратное, общие делители чисел an и an + 1 также являются делителями чисел an — 1 и an,…., a2 и a3, a1 и a2. Но общий делитель чисел an и an + 1 — это число an + 1, поскольку an и an + 1 делятся на an + 1 без остатка (помните, что an + 2 = 0). Следовательно, a + 1 также является делителем чисел a1 и a2.

Обратите внимание, что число an + 1 является наибольшим делителем чисел an и an + 1, поскольку наибольшим делителем числа an + 1 является само +1. Если a + 1 можно представить как произведение целых чисел, то эти числа также являются общими делителями чисел a1 и a2. Число an + 1 называется наибольшим общим делителем чисел a1 и a2.

Числа a1 и a2 могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Если одно из чисел равно нулю, наибольший общий делитель этих чисел будет равен абсолютному значению другого числа. Наибольший общий делитель нулевых чисел не определен.

Вышеупомянутый алгоритм называется алгоритмом Евклида для поиска наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется для нахождения общего знаменателя нескольких дробей. Предположим, что в арифметической задаче необходимо сложить 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Чтобы сложить дроби, выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателя в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь вам нужно вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как отношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные факторы появятся как:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Далее умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Мы легко можем сложить эти дроби и получить результат в виде 159/360. Уменьшаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращается до НОД.

Наименьшее общее кратное нескольких чисел — это наименьшее число, которое равно делится на каждое из исходных чисел. Наименьшее общее кратное сокращается до НОК.

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим ряд чисел

необходимо найти такие числа, которые делятся на каждое из этих чисел.

Если число делится на a1, то оно имеет вид sa1, где s — число. Если q — наибольший общий делитель чисел a1 и a2, то

• а1 = qa1′,
• а2 = qa2′,

где a1 ‘и a2’ взаимно простые числа (поскольку у них нет общих делителей). Поскольку sa1 = sqa1 ‘должно делиться на a2 = qa2’, тогда sa1 ‘должно делиться на a2’, а поскольку a1 ‘и a2’ взаимно простые числа, следовательно, в силу следствия 2 s должно делиться на a2 ‘. Тогда s должен иметь следующий вид

s = s1a2’,

где s1 — целое число. Следовательно

sa1 = sqa1 ‘= s1a2’a1’q.

То есть все кратные числа a1 и a2 должны иметь форму (2), и наоборот, все числа формы (2) делятся как на a1 = qa1 ‘, так и на a2 = qa2’. Но все числа, кратные a1 и a2, кратны = a2’a1’q. Таким образом, это наименьшее общее кратное для a1 и a2.

В частном случае, когда числа a1 и a2 взаимно просты, то наименьшее общее кратное чисел a1 и a2, так как наибольший общий делитель взаимно простых чисел q = 1.

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, вы можете использовать некоторые свойства делимости чисел. Таким образом, комбинируя их, можно проверить делимость некоторых из них и их комбинаций.

Некоторые признаки делимости чисел

• Критерий делимости числа на 2
  Чтобы определить, делится ли число на два (если оно четное), просто посмотрите на последнюю цифру этого числа: если это 0, 2, 4, 6 или 8, то число четное, что означает, что оно делится на 2.
  Пример: определяет, делится ли 34938 на 2.
  Решение: посмотрите на последнюю цифру: 8 означает, что число делится на два.
• Знак делимости числа на 3
  Число делится на 3, если сумма его цифр делится на три. Следовательно, чтобы определить, делится ли число на 3, необходимо вычислить сумму цифр и проверить, делится ли оно на 3. Даже если сумма цифр очень велика, можно повторить тот же процесс.
  Пример: определяет, делится ли 34938 на 3.
  Решение: подсчет суммы цифр: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 делится на 3, что означает, что число делится на три.
• Знак делимости числа на 5
  Число делится на 5, если его последняя цифра равна нулю или пяти.
  Пример: определяет, делится ли 34938 на 5.
  Решение: посмотрите на последнюю цифру: 8 означает, что число НЕ делится на пять.
• Знак делимости числа на 9
  Эта функция очень похожа на делимость на три: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
  Пример: определяет, делится ли 34938 на 9.
  Решение: подсчет суммы цифр: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 делится на 9, что означает, что число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Самый простой способ вычислить наибольший общий делитель двух чисел — найти все возможные делители этих чисел и выбрать наибольшее.

Рассмотрим этот метод на примере поиска НОД (28, 36):

1. Разложите на множители оба числа: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Мы находим общие множители, то есть те, у которых есть оба числа: 1, 2 и 2.
3. Вычислите произведение этих множителей: 1 · 2 · 2 = 4 — это наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Есть два наиболее распространенных способа найти наименьшее кратное двум числам. Первый способ состоит в том, что вы можете написать первые кратные двух чисел, а затем выбрать между ними число, которое будет общим для обоих чисел и одновременно наименьшим. И второй — найти НОД этих чисел. Давайте просто рассмотрим это.

Чтобы вычислить НОК, необходимо вычислить произведение исходных чисел, а затем разделить его на найденное ранее НОК. Находим НОК для тех же чисел 28 и 36:

1. Найдите произведение чисел 28 и 36: 28 36 = 1008
2. НОД (28, 36), как уже известно, равен 4
3. MCM (28, 36) = 1008/4 = 252.