- Основные формулы
- Общие правила интегрирования функций
- Интегралы от рациональных функций
- Интегралы от трансцендентных функций
- Интегралы от иррациональных функций
- Интегралы от тригонометрических функций
- Неопределённый интеграл
- Свойства неопределённого интеграла
- Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)
- Таблица основных интегралов
- Непосредственное интегрирование
- Первообразная
- Интегрирование методом подстановки (замена переменной)
- Интегрирование по частям
- Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен
- Интегрирование рациональных функций
- Неопределенный интеграл и его определение
- Задача пример №1
- Задача пример №2
- Интеграл постоинной и степенной функции
- Задача пример №3
- Задача пример №4
- Свойства неопределенного интеграла
- Задача пример 5
- Задача пример 6
- Задача пример №7
- Интегралы тригонометрических функций
- Задача пример №8
- Задача пример №9
- Задача пример №10
- Задача пример №11
- Задания на нахождение постоянной интегрирования
- Задания на реальную жизненную ситуацию
- Пример задачи на прирост населения
Основные формулы
1. |
|
||
2. |
|
||
3. |
|
||
4. |
|
||
5. |
|
||
6. |
|
||
7. |
|
||
8. |
|
||
9. |
|
||
10. |
|
||
11. |
|
||
12. |
|
||
13. |
|
||
14. |
|
Общие правила интегрирования функций
∫ | cf(x) dx = c | ∫ | f(x) dx |
∫ | [ f(x) + g(x)] dx = | ∫ | f(x) dx + | ∫ | g(x) dx |
∫ | [ f(x) — g(x)] dx = | ∫ | f(x) dx — | ∫ | g(x) dx |
∫ | f(x)g(x) dx = f(x) | ∫ | g(x) dx — | ∫∫ | g(x) dxdf(x) |
Интегралы от рациональных функций
1. |
|
||||
2. |
|
||||
3. |
|
||||
4. |
|
||||
5. |
|
||||
6. |
|
||||
7. |
|
||||
8. |
|
||||
9. |
|
||||
10. |
|
||||
11. |
|
||||
12. |
|
||||
13. |
|
||||
14. |
|
||||
15. |
|
||||
16. |
|
||||
17. |
|
||||
18. |
|
||||
19. |
|
||||
20. |
|
||||
21. |
|
||||
22. |
|
||||
23. |
|
Интегралы от трансцендентных функций
1. |
|
||||
2. |
|
||||
3. |
|
||||
4. |
|
||||
5. |
|
||||
6. |
|
||||
7. |
|
||||
8. |
|
||||
9. |
|
||||
10. |
|
||||
11. |
|
||||
12. |
|
||||
13. |
|
||||
14. |
|
||||
15. |
|
Интегралы от иррациональных функций
1. |
|
||||
2. |
|
||||
3. |
|
||||
4. |
|
||||
5. |
|
||||
6. |
|
||||
7. |
|
||||
8. |
|
||||
9. |
|
||||
10. |
|
||||
11. |
|
||||
12. |
|
||||
13. |
|
||||
14. |
|
||||
15. |
|
||||
16. |
|
||||
17. |
|
||||
18. |
|
||||
19. |
|
||||
20. |
|
||||
21. |
|
||||
22. |
|
||||
23. |
|
||||
24. |
|
||||
25. |
|
||||
26. |
|
||||
27. |
|
Интегралы от тригонометрических функций
1. |
|
||||
2. |
|
||||
3. |
|
||||
4. |
|
||||
5. |
|
||||
6. |
|
||||
7. |
|
||||
8. |
|
||||
9. |
|
||||
10. |
|
||||
11. |
|
||||
12. |
|
||||
13. |
|
||||
14. |
|
||||
15. |
|
||||
16. |
|
||||
17. |
|
||||
18. |
|
||||
19. |
|
||||
20. |
|
||||
21. |
|
||||
22. |
|
||||
23. |
|
||||
24. |
|
||||
25. |
|
||||
26. |
|
||||
27. |
|
||||
28. |
|
||||
29. |
|
||||
30. |
|
||||
31. |
|
Неопределённый интеграл
Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.
Дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находят производную или дифференциал данной функции.
Нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по известному закону движения тела
мы дифференцированием находим скорость , а позже и ускорение <br>; если задано равенство прямой , то легко вычислить угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой: .
Важными являются обратные задачи, например:
- известна скорость движения тела, установить закон его движения.
- дан угловой коэффициент касательной к кривой, найти уравнение этой кривой.
Иначе говоря, по данной производной надо найти функцию, от которой найдена эта производная, то есть выполнить действие обратное дифференцированию. Это действие называют интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалом функции находят саму функцию, которую называют первоначальной.
Дифференцированная функция называется первоначальной для функции на промежутке , если для каждого .
Так, для функции первоначальной является функция , поскольку Отметим, что данная функция имеет не единственную первоначальную. Например, функция
которые отличаются только на постоянную, тоже удовлетворяют условие
Докажем теорему: если — первоначальна для на некотором промежутке, то и функция , где любая постоянная, также является первоначальной для функции на этом промежутке.
Доказательство:
Следовательно, достаточно найти для функции только одну первоначальную функцию , чтобы найти все её первоначальные, так как она отличаются одна от другой только на постоянную величину С.
Совокупность всех первоначальных функций на интервале называют неопределённым интегралом от функции на этом интервале и обозначают .
Тут подынтегральное выражение, — подынтегральная функция, х— переменная интегрирования, С— произвольная постоянная.
Например:
Геометрически выражение можно изобразить как семейство кривых, полученных параллельным переносом любой из них вдоль оси OY (рис. 1).
Если функция f(х) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первоначальную, то её называют интегрированной на этом промежутке.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равный подынтегральному выражению:
- Неопределённый интеграл от дифференциала функции равный этой функции:
- Постоянный множитель можно вынести за знак интервала:
- Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равный такой же самой алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:
- Если функция F(х) является первоначальной для f(х), где k и b произвольные числа (), то
Для доказательства свойств 1 — 5 достаточно найти производные обоих частей равенства.
Например, докажем свойство 4:
и производная левой части
Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)
Из каждой формулы дифференцирования выходит соответствующая её формула интегрирования. Например, с того, что
, следует равенство
Таблица основных интегралов
Справедливость этих формул легко проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ нахождения интеграла, когда путём тождественных преобразований подынтегральных функций и использованием свойств неопределённого интеграла приходим к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 1. Найти интеграл
Решение: Используем свойство степени с отрицательным показателем
и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:
Ответ:
Пример 2. Найти интеграл
Решение: Используем свойство степени с дробным показателем
и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:
Ответ:
Пример 3. Найти интеграл
Решение: Используем свойство степени с дробным показателем и правилом умножения степени с одинаковыми основами
Найдём неопределённый интеграл от степенной функции:
Ответ:
Пример 4. Найти интеграл
Решение: Используем свойства степени с дробным показателем, правила действий над степенями с одинаковыми основами и найдём интеграл от каждого слагаемого отдельно:
Ответ:
Пример 5. Найти интеграл
Решение: Откроем скобки по формуле
и неопределённый интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределённых интегралов от каждой функции:
Ответ:
Пример 6. Найти интеграл:
Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой
и свойствами неопределённого интеграла:
Ответ:
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать формулы, которые вытекают из свойства 5:
Так, при нахождении
можно использовать формулу:
Первообразная
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).
Например, функция F(x) = х2 является первообразной для функции f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2)’ = 2x = f(x).
Основное свойство первообразной
Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.
Например.Функция F(x) = х2 + 1 является первообразной для функции f(x) = 2х, так как F'(x) = (х2 + 1)’ = 2x = f(x); функция F(x) = х2 – 1 является первообразной для функции f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2 – 1)’ = 2x = f(x); функция F(x) = х2 – 3 является первообразной для функции f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2 –3)’ = 2x = f(x); любая функция F(x) = х2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х. |
Правила вычисления первообразных
- Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x). Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.
- Если F(x) — первообразная для f(x), и k — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x). Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной.
- Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b) — первообразная для f(kx + b).
Интегрирование методом подстановки (замена переменной)
Если интеграл невозможно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то одним из способов интегрирования является метод подстановки (замены переменной).
Суть метода подстановки заключается в следующем: заменяют новую переменную на такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получаем ту часть, что осталась (не учитывая постоянного множителя, на который всегда можно перемножить или разделить соответствующее выражение). В результате введения замены подынтегральное выражение должно принять вид:
что позволяет привести интеграл к табличному виду.
Пример 7. Найти интеграл:
Решение: Сделаем подстановку
Ответ:
Припер 8. Найти интеграл:
Решение:
Ответ:
Припер 9. Найти интеграл:
Решение: Пусть
тогда
Далее получим:
Ответ:
Пример 10. Найти интеграл:
Решение: Пусть , тогда отсюда
Получаем:
Ответ:
Интегрирование по частям
Выведем формулу интегрирования по частям. Известно, что:
Как видим, нахождение сводится к нахождению , который должен выявиться больше простым или табличным интегралом.
При использовании метода интегрирования по частям подынтегральную функцию представляют в виде произведения двух множителей u и dv, и находят du и v. Если полученный интеграл
окажется сложным, то можно попробовать поменять значения u и dv. Для удобства выражения u, dv, du, v оформляют в виде таблицы.
Метод интегрирования по частям часто используют при интегрировании функций, которые содержат произведение, логарифмы и обратные тригонометрические функции.
Пример 11. Найти интеграл:
Решение:
Пример 12. Найти интеграл:
Решение:
Пример 13. Найти интеграл:
Решение:
Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен
Для нахождения указанных интегралов квадратный трёхчлен преобразуют в квадратный двучлен, выделяя полный квадрат
Такие представления подынтегрального выражения позволяет свести искомые интегралы к табличным или к интегралам вида
Приведём примеры.
Пример 14. Найти интеграл:
Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат
тогда интеграл приобретёт вид
Выведем замену:
, получим
Ответ:
Пример 15. Найти интеграл:
Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат
и введём замену
Тогда
Первый из полученных интегралов,
, табличный
а второй,
, находим замену
Вернёмся к переменной х и запишем результат
Ответ:
Пример 16. Найти интеграл
Решение: Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
и введём замену <br>; получим
Ответ:
Пример 17. Найти интеграл
Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат
и введём замену
. Тогда
Первый интеграл,
, находим введя замену
Второй интеграл является табличным
Подставим найденные интегралы и вернёмся к переменной х, получим
Ответ:
Пример 18. Найти интеграл:
Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении
теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив
вычисляем
Ответ:
Пример 19. Найти интеграл:
Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении
теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив
вычисляем
Ответ:
Интегрирование рациональных функций
Целая рациональная функция — это многочлен, который интегрируется непосредственно:
Интеграл от дробной рациональной функции
многочлены, можно выразить через элементарные функции путём разложения на слагаемые, если степень числителя меньше степени знаменателя. Такую рациональную дробь называют правильной, в других случаях — неправильной дробью. Неправильная рациональная дробь всегда можно преобразовать в правильную, разделив числитель на знаменатель.
Правильную рациональную дробь можно разложить на слагаемые следующих двух видов:
где m, n — целые положительные числа.
Для разложения правильной рациональной дроби на слагаемые необходимо:
- Разложить знаменатель
на простейшие действительные множители, то есть записать в виде
- Записать схему разложения дроби на элементарные слагаемые
где
неизвестные постоянные. Слагаемых с соответствующими знаменателями столько, какая степень каждого множителя вразложении
- Освободиться от знаменателей, умножив обе части на
- Составить систему уравнений относительно неизвестных
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих частях.
- Полученные в разложении дроби приводятся к интегралам типа
Интеграл I3 находят по правилам рассмотренным в параграфе.
Пример 20. Найти интеграл
Решение: Выполним действия согласно приведённой схеме:
- разложим знаменатель на простейшие действительные множители:
- запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые
- освободимся от знаменателей, умножив обе части на
- составим систему равенств для определения неизвестных А, В, В1, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:
- решим полученную систему:
- запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем
Ответ:
Пример 21. Найти интеграл
Решение:
- разложим знаменатель на простейшие действительные множители:
- запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые
- освободимся от знаменателей, умножив обе части на
- составим систему равенств для определения неизвестных , приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:
- решим полученную систему:
- запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем
Интеграл I запишем в виде
Неопределенный интеграл и его определение
Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как «интеграл эф от икс де икс».
Если функция является одной из первообразных для , то по определению .
- Здесь -знак интеграла,
- — подынтегральная функция,
- — переменная интегрирования,
- — постоянная интегрирования.
За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.
Задача пример №1
По определению найдите неопределенные интегралы.
Решение:
Так как:
Задача пример №2
Найдите интеграл .
Решение:
подумаем, производной какой функции является функция . Например, известно, что производной функции является функция . Значит, множителем искомой функции является дробь , которая потом сократиться с коэффициентом 4 и получится . Такой функцией является функция . Значит,
Интеграл постоинной и степенной функции
Интеграл постоянной:
Интеграл степенной функции
Задача пример №3
Найдите неопределенный интеграл
Решение:
Задача пример №4
Найдите общий вид первообразных функции .
Решение:
Так как функция одна из первообразных функции , то одна из первообразных функции будет . Тогда общий вид первообразных имеет вид: . Значит, .
Свойства неопределенного интеграла
При интегрировании используют следующие свойства:
Задача пример 5
Найдите интеграл .
Решение:
В отличии от произвордной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.
Задача пример 6
Найдите первообразнуюфункции
Решение:
запишем заданную функцию в виде
Тогда получим,
Интегралы показательной функции и функции
Интеграл показательной функции
Интеграл функции
:
При
При
При
в любом промежутке
В общем случае:
Задача пример №7
Найдите неопределенные интегралы: a) <br>; b)
Решение: a)
b)
Интегралы тригонометрических функций
Задача пример №8
Найдите интеграл
Решение:
При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.
Задача пример №9
Найдите первообразную функции
.
Решение:
Так как
, то
Задача пример №10
Вычислите интеграл .
Решение:
Воспользуемся тождеством . Тогда,
Задача пример №11
Найдите интеграл .
Решение:
Воспользуемся формулой :
Задания на нахождение постоянной интегрирования
Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку: а) М(2;2); Ь) Р(-1;3).
Решение:
Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке .
- По условию . Тогда , отсюда = -2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку М(2;2), имеет вид .
- По условию . Тогда 1 + = 3, отсюда = 2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку Р(-1;3), имеет вид: .
Задания на реальную жизненную ситуацию
Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как . Здесь
показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через
секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.
Решение:
так как , то для функции неопределенным интегралом является функция :
Как можно найти постоянную ?
Мяч брошен с высоты 1 м. Т.е. в момент мяч находился на высоте 1 м и = 1. Тогда 1 = -4,9 • 0 +12 • 0 + , отсюда = 1. Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти по формуле . При = 2 получим
. Т.е. в момент = 2 секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.
Пример задачи на прирост населения
Статистические исследования показывают, что при помощи отношения
можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лет после 1960 года, — численность населения в данный (-ый) год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?
Решение:
найдем первообразную для функции , показывающую численность населения, соответствующую функции :
Теперь найдем постоянную .
Например, по условию при
= 30 (1960 — 1990) численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. . Тогда .
Численность населения в 2020 году соответствует значению функции
в = 60:
Т.е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.