Неопределенный интеграл и его свойства: формулы и таблица

Содержание
  1. Основные формулы
  2. Общие правила интегрирования функций
  3. Интегралы от рациональных функций
  4. Интегралы от трансцендентных функций
  5. Интегралы от иррациональных функций
  6. Интегралы от тригонометрических функций
  7. Неопределённый интеграл
  8. Свойства неопределённого интеграла
  9. Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)
  10. Таблица основных интегралов
  11. Непосредственное интегрирование
  12. Первообразная
  13. Интегрирование методом подстановки (замена переменной)
  14. Интегрирование по частям
  15. Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен
  16. Интегрирование рациональных функций
  17. Неопределенный интеграл и его определение
  18. Задача пример №1
  19. Задача пример №2
  20. Интеграл постоинной и степенной функции
  21. Задача пример №3
  22. Задача пример №4
  23. Свойства неопределенного интеграла
  24. Задача пример 5
  25. Задача пример 6
  26. Задача пример №7
  27. Интегралы тригонометрических функций
  28. Задача пример №8
  29. Задача пример №9
  30. Задача пример №10
  31. Задача пример №11
  32. Задания на нахождение постоянной интегрирования
  33. Задания на реальную жизненную ситуацию
  34. Пример задачи на прирост населения

Основные формулы

1.
0·dx = C
2.
a dx = ax + C      (a = const)
3.
xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
4.
dxx = ln |x| + C
5.
ax dx = axln a + C
6.
ex dx = ex + C
7.
sin x dx = -cos x + C
8.
cos x dx = sin x + C
9.
dxsin2x = -ctg x + C
10.
dxcos2x = tg x + C
11.
dxa2 — x2 = arcsin xa + C = -arccos xa + C      (x < a)
12.
dxa2 + x2 = 1a arctg xa + C = -1a arcctg xa + C
13.
dxa2 — x2 = 12a ln x + ax — a + C      (|x| ≠ a) — «Высокий логарифм»
14.
dxx2 ± a2 = ln |x + x2 ± a2|

Общие правила интегрирования функций

cf(x) dx = c f(x) dx
[ f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
[ f(x) — g(x)] dx = f(x) dx — g(x) dx
f(x)g(x) dx = f(x) g(x) dx — ∫∫ g(x) dxdf(x)

Интегралы от рациональных функций

1.
xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
2.
(ax + b)n dx = (ax + b)n+1a(n + 1) + C      (n ≠ -1)
3.
dxx = ln |x| + C
4.
dxax + b = 1a ln |ax + b| + C
5.
ax + bcx + ddx = acx + bc — adc2 ln |cx + d| + C
6.
dx(x + a)(x + b) = 1a — b ln |x + bx + a| + C
7.
dxx2 — a2 = 12a ln |x — ax + a| + C
8.
x dx(x + a)(x + b) = 1a — b (a ln |x + a| — b ln|x + b|) + C
9.
x dxx2 — a2 = 12 ln |x2 — a2| + C
10.
dxx2 + a2 = 1a arctg (xa) + C
11.
x dxx2 + a2 = 12 ln |x2 + a2| + C
12.
dx(x2 + a2)2 = 12a2xx2 + a2 + 12a3 arctg (xa) + C
13.
x dx(x2 + a2)2 = -121×2 + a2 + C
14.
x dx(x2 + a2)3 = -141(x2 + a2)2 + C
15.
dxax2 + bx + c = 1b2 — 4ac ln2ax + b — b2 — 4ac2ax + b + b2 — 4ac + C     (b2 — 4ac > 0)
16.
dxax2 + bx + c = 14ac — b2 arctg2ax + b4ac — b2 + C     (b2 — 4ac < 0)
17.
x dxax2 + bx + c = 12a ln|ax2 + bx + c| — b2a dxax2 + bx + c
18.
x dxax + b = 1a2(ax + b — b ln |ax + b|) + C
19.
x2dxax + b = 1a3(12(ax + b)2 -2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|) + C
20.
dxx(ax + b) = 1b ln ax + bx + C
21.
dxx2(ax + b) = — 1bx + ab2 ln ax + bx + C
22.
x dx(ax + b)2 = 1a2(ln |ax + b | + bax + b) + C
23.
x2dx(ax + b)2 = 1a3(ax + b — 2b ln |ax + b | — b2ax + b) + C

Интегралы от трансцендентных функций

1.
ex dx = ex + C
2.
ax dx = axln a + C
3.
dxx ln x = ln |ln x| + C
4.
xn ln xdx = xn + 1(ln xn + 1 — 1(n + 1)2) + C
5.
eax ln xdx = eax ln xa — 1a eaxxdx
6.
xn lnmxdx = xn + 1n + 1 lnmx — mn + 1 xn lnm — 1xdx
7.
xnlnmxdx = -xn + 1(m — 1) lnm — 1x + n + 1m — 1 xnlnm — 1xdx
8.
ln x dx = x ln x — x + C
9.
arcsin x dx = x arcsin x + 1 — x2 + C
10.
arctg x dx = x arctg x — ln 1 + x2 + C
11.
eax dx = eaxa + C
12.
x eax dx = eaxa2(ax — 1) + C
13.
axxn dx = ax(n — 1)xn — 1 + ln an — 1 axxn — 1
14.
sh(x) dx = ch(x) + C
15.
ch(x) dx = sh(x) + C

Интегралы от иррациональных функций

1.
dxax + b = 2aax + b + C
2.
ax + bdx = 23a(ax + b)1.5 + C
3.
x dxax + b = 2(ax — 2b)3a2ax + b + C
4.
xax + bdx = 2(3ax — 2b)15a2(ax + b)1.5 + C
5.
dx(x + c)ax + b = 1b — ac lnax + b — b — acax + b + b — ac + C     (b — ac > 0)
6.
dx(x + c)ax + b = 1ac — b arctgax + bac — b + C     (b — ac < 0)
7.
ax + bcx + ddx = 1c(ax + b)(cx + d) — ad — bccac arctg a(cx + d)c(ax + b) + C
8.
dxxax + b = 1b lnax + b — bax + b + b + C     (b > 0)
9.
dxxax + b = 1-b arctgax + b-b + C     (b < 0)
10.
dxx2ax + b = -ax + bbx — a2b dxxax + b
11.
ax + bxdx = 2ax + b + b dxxax + b
12.
a — xb + xdx = (a — x)(b + x) + (a + b)arcsinx + ba — x + C
13.
a + xb — xdx = -(a + x)(b — x) — (a + b)arcsinb — xa + x + C
14.
dxax2 + bx + c = 1a ln|2ax + b + a(ax2 + bx + c)| + C
15.
dxax2 + bx + c = -1a arcsin2ax + bb2 — 4ac + C
16.
ax2 + bx + cdx = 2ax + b4aax2 + bx + c + 4ac — b28a dxax2 + bx + c
17.
x2 + a2dx = x2x2 + a2 + a22 ln |x + x2 + a2| + C
18.
x2 — a2dx = x2x2 — a2 — a22 ln |x + x2 — a2| + C
19.
dxx2 + a2 = ln|x + x2 + a2)| + C
20.
dxx2 — a2 = ln|x + x2 — a2)| + C
21.
x dxx2 + a2 = x2 + a2 + C
22.
x2 — a2xdx = x2 — a2 + a arcsin (xa) + C
23.
a2 — x2dx = x2a2 — x2 + a22 arcsin (xa) + C
24.
a2 — x2xdx = a2 — x2 + a ln (xa + a2 — x2) + C
25.
dxa2 — x2 = arcsin (xa) + C
26.
x dxa2 — x2 = -a2 — x2 + C
27.
dxxa2 — x2 = 1a ln |xa + a2 — x2| + C

Интегралы от тригонометрических функций

1.
sin (x) dx = -cos (x) + C
2.
cos (x) dx = sin (x) + C
3.
sin2 (x) dx = x2 — 14 sin (2x) + C
4.
cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.
sinn (x) dx = -1n sinn — 1 (x) cos (x) + n — 1n sinn — 2 (x) dx
6.
cosn (x) dx = 1n cosn — 1 (x) sin (x) + n — 1n cosn — 2 (x) dx
7.
dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.
dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.
dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.
dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.
sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.
sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.
sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.
sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x — 132sin (4x) + C
15.
tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.
ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.
sin (x)cos2 (x)dx = 1cos (x) + C
18.
cos (x)sin2 (x)dx = -1sin (x) + C
19.
sin2 (x)cos2 (x)dx = tg (x) — x + C
20.
cos2 (x)sin2 (x)dx = -ctg (x) — x + C
21.
sin2 (x)cos (x)dx = ln|ctg(x2)| — sin (x) + C
22.
cos2 (x)sin (x)dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.
dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.
dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.
dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.
dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) — ctg(x) + C
27.
dxsinn (x) = -1n — 1cos (x)sinn — 1 (x) + n — 2n — 1 dxsinn — 2 (x)
28.
tgn (x) dx = tgn — 1 (x)n — 1 — tgn — 2 (x) dx
29.
ctgn (x) dx = -ctgn — 1 (x)n — 1 — ctgn — 2 (x) dx
30.
sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.
cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находят производную или дифференциал данной функции.

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по известному закону движения тела Неопределенный интеграл с примерами решения
мы дифференцированием находим скорость Неопределенный интеграл с примерами решения, а позже и ускорение Неопределенный интеграл с примерами решения<br>; если задано равенство прямой Неопределенный интеграл с примерами решения, то легко вычислить угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой: Неопределенный интеграл с примерами решения.

Важными являются обратные задачи, например:

  1. известна скорость движения тела, установить закон его движения.
  2. дан угловой коэффициент касательной к кривой, найти уравнение этой кривой.

Иначе говоря, по данной производной надо найти функцию, от которой найдена эта производная, то есть выполнить действие обратное дифференцированию. Это действие называют интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалом функции находят саму функцию, которую называют первоначальной.

Дифференцированная функция Неопределенный интеграл с примерами решения называется первоначальной для функции Неопределенный интеграл с примерами решения на промежутке Неопределенный интеграл с примерами решения, если Неопределенный интеграл с примерами решения для каждого Неопределенный интеграл с примерами решения.

Так, для функции Неопределенный интеграл с примерами решения первоначальной является функция Неопределенный интеграл с примерами решения, поскольку Неопределенный интеграл с примерами решения Отметим, что данная функция имеет не единственную первоначальную. Например, функция Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения которые отличаются только на постоянную, тоже удовлетворяют условие  Неопределенный интеграл с примерами решения

Докажем теорему: если Неопределенный интеграл с примерами решения — первоначальна для Неопределенный интеграл с примерами решения на некотором промежутке, то и функция Неопределенный интеграл с примерами решения, где Неопределенный интеграл с примерами решения любая постоянная, также является первоначальной для функции  Неопределенный интеграл с примерами решения на этом промежутке.

Доказательство:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Следовательно, достаточно найти для функции Неопределенный интеграл с примерами решения только одну первоначальную функцию Неопределенный интеграл с примерами решения, чтобы найти все её первоначальные, так как она отличаются одна от другой только на постоянную величину С.

Совокупность Неопределенный интеграл с примерами решения всех первоначальных функций Неопределенный интеграл с примерами решения на интервале Неопределенный интеграл с примерами решения называют неопределённым интегралом от функции Неопределенный интеграл с примерами решения на этом интервале и обозначают Неопределенный интеграл с примерами решения.

Тут Неопределенный интеграл с примерами решения подынтегральное выражение,  Неопределенный интеграл с примерами решения — подынтегральная функция, х— переменная интегрирования, С— произвольная постоянная.

Например:Неопределенный интеграл с примерами решения

Геометрически выражение Неопределенный интеграл с примерами решения можно изобразить как семейство кривых, полученных параллельным переносом любой из них вдоль оси OY (рис. 1).

Неопределенный интеграл с примерами решения

Если функция f(х) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первоначальную, то её называют интегрированной на этом промежутке.

Свойства неопределённого интеграла

  • Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равный подынтегральному выражению:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • Неопределённый интеграл от дифференциала функции равный этой функции:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • Постоянный множитель можно вынести за знак интервала:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равный такой же самой алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • Если функция F(х) является первоначальной для f(х), где k и b произвольные числа (Неопределенный интеграл с примерами решения), то

Неопределенный интеграл с примерами решения

Для доказательства свойств 1 — 5 достаточно найти производные обоих частей равенства.

Например, докажем свойство 4:

Неопределенный интеграл с примерами решения

и производная левой части

Неопределенный интеграл с примерами решения

Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)

Из каждой формулы дифференцирования выходит соответствующая её формула интегрирования. Например, с того, что Неопределенный интеграл с примерами решения
, следует равенство

Неопределенный интеграл с примерами решения

Таблица основных интегралов

Неопределенный интеграл с примерами решения

Справедливость этих формул легко проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ нахождения интеграла, когда путём тождественных преобразований подынтегральных функций и использованием свойств неопределённого интеграла приходим к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Используем свойство степени с отрицательным показателем Неопределенный интеграл с примерами решения
и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ: Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 2. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем Неопределенный интеграл с примерами решения
и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 3. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем и правилом умножения степени с одинаковыми основами Неопределенный интеграл с примерами решения

Найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 4. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Используем свойства степени с дробным показателем, правила действий над степенями с одинаковыми основами и найдём интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 5. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Откроем скобки по формуле Неопределенный интеграл с примерами решения
и неопределённый интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределённых интегралов от каждой функции:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 6. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения
Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой Неопределенный интеграл с примерами решения
и свойствами неопределённого интеграла:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать формулы, которые вытекают из свойства 5:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Так, при нахождении Неопределенный интеграл с примерами решения
можно использовать формулу:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной для функции  f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = х2  является первообразной для функции  f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2)’ = 2x = f(x).

Основное свойство первообразной

Если  F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Например.Функция F(x) = х2  + 1 является первообразной для функции  f(x) = 2х, так как F'(x) = (х2 + 1)’ = 2x = f(x);
функция F(x) = х2  – 1 является первообразной для функции  f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2 – 1)’ = 2x = f(x);
функция F(x) = х2  – 3 является первообразной для функции  f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2 –3)’ = 2x = f(x);
любая функция F(x) = х2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции  f(x) = 2х.

Правила вычисления первообразных

  1. Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x). Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.
  2. Если F(x) — первообразная для f(x), и k — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x). Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  3. Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то  1/k · F(kx + b) — первообразная для  f(kx + b).

Интегрирование методом подстановки (замена переменной)

Если интеграл невозможно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то одним из способов интегрирования является метод подстановки (замены переменной).

Суть метода подстановки заключается в следующем: заменяют новую переменную на такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получаем ту часть, что осталась (не учитывая постоянного множителя, на который всегда можно перемножить или разделить соответствующее выражение). В результате введения замены подынтегральное выражение должно принять вид:

Неопределенный интеграл с примерами решениячто позволяет привести интеграл к табличному виду.

Пример 7. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Сделаем подстановку Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Припер 8. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Припер 9. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Пусть Неопределенный интеграл с примерами решения
тогда Неопределенный интеграл с примерами решения
Далее получим:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 10. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Пусть Неопределенный интеграл с примерами решения, тогда Неопределенный интеграл с примерами решения отсюда Неопределенный интеграл с примерами решения
Получаем:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ: Неопределенный интеграл с примерами решения

Интегрирование по частям

Выведем формулу интегрирования по частям. Известно, что:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Как видим, нахождениеНеопределенный интеграл с примерами решения сводится к нахождению Неопределенный интеграл с примерами решения, который должен выявиться больше простым или табличным интегралом.

При использовании метода интегрирования по частям подынтегральную функцию представляют в виде произведения двух множителей u и dv, и находят du и v. Если полученный интегралНеопределенный интеграл с примерами решения
окажется сложным, то можно попробовать поменять значения u и dv. Для удобства выражения u, dv, du, v оформляют в виде таблицы.

Метод интегрирования по частям часто используют при интегрировании функций, которые содержат произведение, логарифмы и обратные тригонометрические функции.

Пример 11. Найти интеграл:Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 12. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 13. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен

Неопределенный интеграл с примерами решения

Для нахождения указанных интегралов квадратный трёхчлен преобразуют в квадратный двучлен, выделяя полный квадрат

Неопределенный интеграл с примерами решения

Такие представления подынтегрального выражения позволяет свести искомые интегралы к табличным или к интегралам вида

Неопределенный интеграл с примерами решения

Приведём примеры.

Пример 14. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

Неопределенный интеграл с примерами решения

тогда интеграл приобретёт вид

Неопределенный интеграл с примерами решения

Выведем замену: Неопределенный интеграл с примерами решения
, получим

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 15. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

Неопределенный интеграл с примерами решения

и введём замену Неопределенный интеграл с примерами решения
Тогда

Неопределенный интеграл с примерами решения

Первый из полученных интегралов, Неопределенный интеграл с примерами решения
, табличный

Неопределенный интеграл с примерами решения

а второй, Неопределенный интеграл с примерами решения
, находим замену Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

Вернёмся к переменной х и запишем результат

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ: Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 16. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена

Неопределенный интеграл с примерами решения

и введём замену Неопределенный интеграл с примерами решения<br>; получим

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 17. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

Неопределенный интеграл с примерами решения

и введём замену Неопределенный интеграл с примерами решения
. Тогда

Неопределенный интеграл с примерами решения

Первый интеграл, Неопределенный интеграл с примерами решения
, находим введя замену

Неопределенный интеграл с примерами решения

Второй интеграл является табличным

Неопределенный интеграл с примерами решения

Подставим найденные интегралы и вернёмся к переменной х, получим

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ:Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 18. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

Неопределенный интеграл с примерами решения

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив Неопределенный интеграл с примерами решения
вычисляем

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ: Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 19. Найти интеграл: Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

Неопределенный интеграл с примерами решения

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив Неопределенный интеграл с примерами решения
вычисляем

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ: Неопределенный интеграл с примерами решения

Интегрирование рациональных функций

Целая рациональная функция — это многочлен, который интегрируется непосредственно:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл от дробной рациональной функции Неопределенный интеграл с примерами решения
многочлены, можно выразить через элементарные функции путём разложения на слагаемые, если степень числителя меньше степени знаменателя. Такую рациональную дробь называют правильной, в других случаях — неправильной дробью. Неправильная рациональная дробь всегда можно преобразовать в правильную, разделив числитель на знаменатель.

Правильную рациональную дробь можно разложить на слагаемые следующих двух видов:

Неопределенный интеграл с примерами решениягде m, n — целые положительные числа.

Для разложения правильной рациональной дроби Неопределенный интеграл с примерами решения на слагаемые необходимо:

  • Разложить знаменатель Неопределенный интеграл с примерами решения
    на простейшие действительные множители, то есть записать в виде

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • Записать схему разложения дроби на элементарные слагаемые

Неопределенный интеграл с примерами решения

где Неопределенный интеграл с примерами решения
неизвестные постоянные. Слагаемых с соответствующими знаменателями столько, какая степень каждого множителя вразложении Неопределенный интеграл с примерами решения

  • Освободиться от знаменателей, умножив обе части на Неопределенный интеграл с примерами решения
  • Составить систему уравнений относительно неизвестных

Неопределенный интеграл с примерами решения

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих частях.

  • Полученные в разложении дроби приводятся к интегралам типа

Неопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл I3 находят по правилам рассмотренным в параграфе.

Пример 20. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: Выполним действия согласно приведённой схеме:

  • разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • освободимся от знаменателей, умножив обе части на Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • составим систему равенств для определения неизвестных А, В, В1, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • решим полученную систему:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Неопределенный интеграл с примерами решения

Ответ: Неопределенный интеграл с примерами решения

Пример 21. Найти интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

  • разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • освободимся от знаменателей, умножив обе части на Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • составим систему равенств для определения неизвестных Неопределенный интеграл с примерами решения, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • решим полученную систему: Неопределенный интеграл с примерами решения
  • запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Неопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл I запишем в виде

Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл и его определение

Множество всех первообразных для функции Неопределенный интеграл с примерами решенияназывается неопределенным интегралом, обозначается Неопределенный интеграл с примерами решенияи читается как «интеграл эф от икс де икс».

Если функция Неопределенный интеграл с примерами решенияявляется одной из первообразных для Неопределенный интеграл с примерами решения, то по определению Неопределенный интеграл с примерами решения.

  • Здесь Неопределенный интеграл с примерами решения-знак интеграла,
  • Неопределенный интеграл с примерами решения — подынтегральная функция,
  • Неопределенный интеграл с примерами решения — переменная интегрирования,
  • Неопределенный интеграл с примерами решения — постоянная интегрирования.

За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Задача пример №1

По определению найдите неопределенные интегралы.

Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Так как: Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №2

Найдите интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения.

Решение:

подумаем, производной какой функции является функция Неопределенный интеграл с примерами решения. Например, известно, что производной функции Неопределенный интеграл с примерами решенияявляется функция Неопределенный интеграл с примерами решения. Значит, множителем искомой функции является дробь Неопределенный интеграл с примерами решения, которая потом сократиться с коэффициентом 4 и получится Неопределенный интеграл с примерами решения. Такой функцией является функция Неопределенный интеграл с примерами решения. Значит, Неопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл постоинной и степенной функции

Интеграл постоянной:Неопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл с примерами решения

Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №3

Найдите неопределенный интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №4

Найдите общий вид первообразных функции Неопределенный интеграл с примерами решения.

Решение:

Так как функция Неопределенный интеграл с примерами решенияодна из первообразных функции Неопределенный интеграл с примерами решения, то одна из первообразных функции Неопределенный интеграл с примерами решениябудет Неопределенный интеграл с примерами решения. Тогда общий вид первообразных имеет вид: Неопределенный интеграл с примерами решения. Значит, Неопределенный интеграл с примерами решения.

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

  1. Неопределенный интеграл с примерами решения
  2. Неопределенный интеграл с примерами решения
  3. Неопределенный интеграл с примерами решения
  4. Неопределенный интеграл с примерами решения
  5. Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример 5

Найдите интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения.

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения

В отличии от произвордной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Задача пример 6

Найдите первообразнуюфункции Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

запишем заданную функцию в виде Неопределенный интеграл с примерами решения

Тогда получим, Неопределенный интеграл с примерами решения

Интегралы показательной функции и функции Неопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл показательной функцииНеопределенный интеграл с примерами решения

Интеграл функцииНеопределенный интеграл с примерами решения
:

При Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения

При Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения

При Неопределенный интеграл с примерами решения
в любом промежутке Неопределенный интеграл с примерами решения

В общем случае: Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №7

Найдите неопределенные интегралы: a) Неопределенный интеграл с примерами решения<br>; b) Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение: a) Неопределенный интеграл с примерами решения
b) Неопределенный интеграл с примерами решения

Интегралы тригонометрических функций

Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №8

Найдите интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения

Решение:

Неопределенный интеграл с примерами решения

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Задача пример №9

Найдите первообразную функции Неопределенный интеграл с примерами решения
.

Решение:

Так как Неопределенный интеграл с примерами решения
, то Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №10

Вычислите интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения.

Решение:

Воспользуемся тождеством Неопределенный интеграл с примерами решения. Тогда, Неопределенный интеграл с примерами решения

Задача пример №11

Найдите интеграл Неопределенный интеграл с примерами решения.

Решение:

Воспользуемся формулой Неопределенный интеграл с примерами решения:

Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения
Неопределенный интеграл с примерами решения

Задания на нахождение постоянной интегрирования

Найдите первообразную функции Неопределенный интеграл с примерами решения, график которой проходит через точку: а) М(2;2); Ь) Р(-1;3).

Решение:

Сначала запишем общий вид первообразных функции Неопределенный интеграл с примерами решенияна промежутке Неопределенный интеграл с примерами решения.

  • По условию Неопределенный интеграл с примерами решения. Тогда Неопределенный интеграл с примерами решения, отсюда Неопределенный интеграл с примерами решения= -2. Значит, первообразная функции Неопределенный интеграл с примерами решения, график которой проходит через точку М(2;2), имеет вид Неопределенный интеграл с примерами решения.

Неопределенный интеграл с примерами решения

  • По условию Неопределенный интеграл с примерами решения. Тогда 1 + Неопределенный интеграл с примерами решения= 3, отсюда Неопределенный интеграл с примерами решения= 2. Значит, первообразная функции Неопределенный интеграл с примерами решения, график которой проходит через точку Р(-1;3), имеет вид: Неопределенный интеграл с примерами решения.

Задания на реальную жизненную ситуацию

Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Неопределенный интеграл с примерами решения. Здесь Неопределенный интеграл с примерами решения
показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через Неопределенный интеграл с примерами решения
секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение:

так как Неопределенный интеграл с примерами решения, то для функции Неопределенный интеграл с примерами решениянеопределенным интегралом является функция Неопределенный интеграл с примерами решения:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Как можно найти постоянную Неопределенный интеграл с примерами решения?

Мяч брошен с высоты 1 м. Т.е. в момент Неопределенный интеграл с примерами решениямяч находился на высоте 1 м и Неопределенный интеграл с примерами решения= 1. Тогда 1 = -4,9 • 0 +12 • 0 + Неопределенный интеграл с примерами решения, отсюда Неопределенный интеграл с примерами решения= 1. Значит, в момент Неопределенный интеграл с примерами решениявысоту на которой находится мяч, можно найти по формуле Неопределенный интеграл с примерами решения. При Неопределенный интеграл с примерами решения= 2 получим

Неопределенный интеграл с примерами решения. Т.е. в момент Неопределенный интеграл с примерами решения= 2 секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример задачи на прирост населения

Статистические исследования показывают, что при помощи отношения Неопределенный интеграл с примерами решения
можно найти прирост городского населения за год. Здесь Неопределенный интеграл с примерами решенияпоказывает количество лет после 1960 года, Неопределенный интеграл с примерами решения— численность населения в данный (Неопределенный интеграл с примерами решения-ый) год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение:

найдем первообразную для функции Неопределенный интеграл с примерами решения, показывающую численность населения, соответствующую функции Неопределенный интеграл с примерами решения:

Неопределенный интеграл с примерами решения

Теперь найдем постоянную Неопределенный интеграл с примерами решения.

Например, по условию при Неопределенный интеграл с примерами решения
= 30 (1960 — 1990) численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Неопределенный интеграл с примерами решения. Тогда Неопределенный интеграл с примерами решения.

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции Неопределенный интеграл с примерами решения
в Неопределенный интеграл с примерами решения= 60: Неопределенный интеграл с примерами решения

Т.е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Оцените статью
Блог про прикладную математику