Математическое ожидание случайной величины

Краткая теория

Математическое ожидание дискретной случайной величины, набор возможных значений которой конечен, представляет собой сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Кроме того, математическое ожидание существует, если ряд справа абсолютно сходится.

Математическое ожидание примерно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством:

где — плотность распределения случайной величины. Предполагается, что интеграл абсолютно сходится.

В частности, если все возможные значения принадлежат диапазону, то:

Все свойства указанного математического ожидания для дискретных случайных величин сохраняются для непрерывных переменных.

Свойства математического ожидания

  1. Математическое ожидание константы равно этой константе:
  2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
  3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий условий:
  4. Математическое ожидание произведения случайных величин:

где — ковариация случайных величин, а

В частности, если и независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий факторов:

Примеры решения задач

Пример 1

Произведено 3 выстрела с вероятностью поражения цели p1 = 0,4; p2 = 0,3 и p3 = 0,6. Найдите ожидаемое значение общего количества совпадений.

Решение

Количество совпадений при первом попадании — это случайная величина, которая может принимать только два значения:

1 — попадание с вероятностью

0 — проиграть с вероятностью

Математическое ожидание количества совпадений при первом попадании:

Точно так же мы находим математические ожидания количества совпадений во втором и третьем попаданиях:

Общее количество совпадений также является случайной величиной, состоящей из суммы совпадений в каждом из трех совпадений:

Желаемое математическое ожидание:

Пример 2

Для случайных величин X, Y известны характеристики M (X) = 3, M (Y) = 7, D (X) = 16, D (Y) = 49, ρXY = 0,35

Найдите математическое ожидание M (XY).

Решение

Коэффициент корреляции:

Желаемое математическое ожидание:

Пример 3

Приведены законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

xi -2 0 1
пи 0,3 0,2 0,5
да -1 1 2
пи 0,1 0,7 0,2

Необходимо:

  1. разработать закон распределения случайной величины Z = 3X-Y;
  2. найти числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;
  3. проверить свойство M (Z) = 3M (X) -M (Y);
  4. построить функцию распределения для Z и построить ее график.

Решение

Если сейчас вам не нужна платная помощь со стандартным поиском неисправностей, тестами и расчетами, но она может потребоваться в будущем, то для того, чтобы не потерять связь
присоединяйся к группе ВК
сохранить контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните свой контакт Telegram (@helptask) .

Составляем закон распределения :

-5 -7 -восемь 1 -1 -2 4 2 1
0,03 0,21 0,06 0,02 0,14 0,04 0,05 0,35 0,1

или

-восемь -7 -5 -2 -1 1 2 4
0,06 0,21 0,03 0,04 0,14 0,12 0,35 0,05

Закон распределения количества :

-восемь -7 -5 -2 -1 1 2 4
0,06 0,21 0,03 0,04 0,14 0,12 0,35 0,05

Находим математические ожидания:

Проверим свойство:

Находим отклонения:

Стандартное отклонение:

Запишем функцию распределения:

График функции распределения

Пример 4

Найдите математическое ожидание суммы количества очков, которые могут выпасть при броске двух кубиков.

Решение

Обозначим количество точек, которые могут выпасть на первый кубик, на сквозной, а на второй — на сквозной .

Возможные значения этих величин одинаковы и одинаковы: 1,2,3,4,5 и 6.

Более того, вероятность каждого из этих значений составляет 1/6.

Математическое ожидание количества очков, потерянных на первом кубике:

Точно так же математическое ожидание количества очков, выпавших на втором кубике:

Желаемое математическое ожидание:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев одно только математическое ожидание не может адекватно характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Значение X Шанс
-0,1 0,1
-0,01 0,2
0 0,4
0,01 0,2
0,1 0,1
Значение Y Шанс
-ветры 0,3
-10 0,1
0 0,2
10 0,1
ветры 0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы — равны нулю:

Однако характер их распространения разный. Случайная величина X может принимать значения, лишь немного отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, которые значительно отличаются от математического ожидания. Похожий пример: по средней заработной плате невозможно судить о соотношении высоко и низкооплачиваемых рабочих. Другими словами, по математическому ожиданию невозможно судить, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого вам нужно найти дисперсию случайной величины.

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие, как найти M (X), используя приведенные выше формулы.

  • Пример 1: Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной рядом: $$ x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 p_i quad 0,1 quad 0,2 quad 0,3 квад 0,3 квад 0,1 $

Мы используем формулу для дискретной случайной величины: $$ M (X) = sum_ {i = 1} ^ {n} {x_i cdot p_i}. $$ Получаем: $$ M (X) = sum_ {i = 1} ^ {n} {x_i cdot p_i} = -1 cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5 cdot 0.3 +10 cdot 0.3 + 20 cdot 0,1 = 6,8. $$ В этом примере 2 также описывается определение дисперсии X.

  • Пример 2: Найдите математическое ожидание непрерывно распределенной величины X с плотностью $ f (x) = 12 (x ^ 2-x ^ 3) $ для $ x in (0,1) $ e $ f (x) = $ 0 в другом месте.

Используем для нахождения формулы ожидания mat: $$ M (X) = int _ {- infty} ^ {+ infty} f (x) cdot x dx. $$ Замените плотность вероятности из условия и вычислите значение интеграла: $$ M (X) = int _ {- infty} ^ {+ infty} f (x) cdot x dx = int_ { 0} ^ {1} 12 (x ^ 2-x ^ 3) cdot x dx = int_ {0} ^ {1} 12 (x ^ 3-x ^ 4) dx = = left (3x ^ 4- frac {12} {5} x ^ 5) right | _0 ^ 1 = 3- frac {12} {5} = frac {3} {5} = 0,6. $

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины X — это математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Стандартное отклонение случайной величины X называется арифметическим значением квадратного корня из ее дисперсии.

  • Пример 3. Вычисляет дисперсии и стандартные отклонения случайных величин X и Y, законы распределения которых показаны в предыдущих таблицах.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y, как обнаружено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии в E (x) = E (y) = 0 получаем:

Тогда стандартные отклонения случайных величин X и Y равны.

Следовательно, при тех же математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайная величина Y значима. Это следствие разницы в их распространении.

  • Пример 4. У инвестора 4 альтернативных инвестиционных проекта. В таблице представлена ​​ожидаемая прибыль по этим проектам с соответствующей вероятностью.
Проект 1 Проект 2 Проект 3 Проект 4
500, P = 1 1000, P = 0,5 500, P = 0,5 500, P = 0,5
0, P = 0,5 1000, P = 0,25 10500, Р = 0,25
0, P = 0,25 9500, Р = 0,25

Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение для каждой альтернативы.

Решение. Мы покажем, как эти значения рассчитываются для третьего варианта.

В таблице приведены значения, найденные для всех альтернатив.

Проект 1 Проект 2 Проект 3 Проект 4
μ 500 500 500 500
² 0 2500 1250 500 000
0 500 354 7071

Все альтернативы имеют одинаковые математические ожидания. Это означает, что в конечном итоге у всех будет одинаковый доход. Стандартное отклонение можно интерпретировать как меру риска: чем оно больше, тем выше риск инвестиций. Инвестор, который не хочет большого риска, выберет проект 1, так как он имеет наименьшее стандартное отклонение (0). Если инвестор отдает предпочтение риску и большой доходности за короткий период, он выберет проект с наибольшим стандартным отклонением — проект 4.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр масс для единицы массы непрерывно распределен по оси абсцисс с плотностью f (x). В отличие от дискретной случайной величины, для которой аргумент функции xi изменяется скачком, для непрерывной случайной величины аргумент изменяется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с ее средним значением.

Чтобы найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, необходимо найти определенные интегралы. Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она переходит непосредственно в подынтегральное выражение. Если задана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя ее, нужно найти функцию плотности.

Среднее арифметическое всех возможных значений непрерывной случайной величины называется ее математическим ожиданием и обозначается символом или .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, плотность вероятности которой является функцией f (x), находится как значение интеграла, если оно сходится абсолютно.

Дисперсия непрерывной случайной величины — это значение интеграла, если оно сходится.

Стандартное отклонение непрерывной случайной величины определяется как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
  2. За знаком математического ожидания можно вынести постоянный множитель:
  3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
  4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
  5. Если все значения случайной величины X уменьшаются (увеличиваются) на одно и то же число C, ее математическое ожидание будет уменьшаться (увеличиваться) на такое же число.
Оцените статью
Блог про прикладную математику