Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Вид общего решения

Мы рассматриваем однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Ее решение можно получить, следуя общему методу беспорядка.

Однако проще сразу получить фундаментальную систему из n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. В этом случае вся процедура решения сводится к следующим этапам.

Ищем решение уравнения в виде. Получаем характеристическое уравнение. У него n корней. Решаем уравнение  и находим его корни. Тогда характеристическое уравнение можно представить следующим образом.

Каждый корень соответствует одному из линейно независимых решений фундаментальной системы решений уравнения . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид.

Действительные корни

Рассмотрим истинные корни. Пусть корень будет холостым. То есть коэффициент включается в характеристическое уравнение только один раз. Итак, решение соответствует этому корню.

Позвольте быть кратным корнем кратности p. В этом случае коэффициент входит в характеристическое уравнение p раз.
Эти кратные (равные) корни соответствуют p линейно независимым решениям исходного уравнения.

Комплексные корни

Рассмотрим комплексные корни характеристического уравнения. Мы выражаем сложный корень через действительную и мнимую части.
Поскольку коэффициенты исходного уравнения действительны, значит, помимо корня, существует комплексно сопряженный корень.

Пусть комплексный корень будет простым. Тогда пара корней соответствует двум линейно независимым решениям уравнения.

Позвольте быть комплексным кратным корнем кратности p. Тогда комплексно сопряженное значение также является корнем характеристического уравнения кратности p, и фактор входит в факторизацию p раз.
Эти 2p-корни соответствуют линейно независимым 2p-решениям.

Найдя фундаментальную систему линейно независимых решений, по формуле получаем общее решение уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами представляет собой уравнение вида

у » + py ‘+ qy = 0,

где p и q постоянны.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной искомой функции, а его однородность указывается нулем справа. Уже упомянутые выше значения называются постоянными коэффициентами.

Для решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами необходимо сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k² + pq + q = 0,

которое, как видите, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения существуют три различных варианта решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые мы сейчас проанализируем. Для полноты предположим, что все частные решения проверены определителем Вронского и что он не равен нулю во всех случаях. Сомнения, однако, могут проверить это сами.

Корни характеристического уравнения действительны и различны

Другими словами, . В этом случае решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид.

• Решение однородного линейного дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет форму, свои корни, они действительны и различны. Соответствующие частные решения уравнения: e. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

• Решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет форму, свои корни, они действительны и различны. Соответствующие частные решения уравнения. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

Корни характеристического уравнения действительны и равны

В этом случае решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид.

• Решение однородного линейного дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни. Соответствующие частные решения уравнения: e. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

• Решение однородного линейного дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни. Соответствующие частные решения уравнения: e. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

Корни характеристического уравнения сложные

В этом случае решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид.

• Решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и. Следовательно, и. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

• Решение однородного линейного дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

Примеры решений задач

Пример 1

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения седьмого порядка с постоянными коэффициентами.

Решение

Ищем подходящее решение. Составим характеристическое уравнение.
Преобразуем это.

Рассмотрим корни этого уравнения. У нас есть четыре комплексных корня кратности 2.
Они соответствуют четырем линейно независимым решениям исходного уравнения.

У нас также есть три действительных корня кратности 3.
Они соответствуют трем линейно независимым решениям.

Общее решение исходного уравнения имеет вид.

Пример 2

это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Ищем подходящее решение. Составим характеристическое уравнение. Решите уравнение второй степени.

У нас два сложных корня. Они соответствуют двум линейно независимым решениям.

Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь решение некоторых типов неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где и — постоянные действительные числа, — известная непрерывная функция в интервале. Чтобы найти общее решение этого дифференциального уравнения, необходимо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения и частное решение. Рассмотрим несколько случаев:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Мы также ищем частное решение дифференциального уравнения в виде квадратного трехчлена:

Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получаем тождество, из которого находим коэффициенты.

Если ноль — единственный корень характеристического уравнения, то

Если ноль — двукратный корень характеристического уравнения, то

Аналогичная ситуация, если это многочлен произвольной степени

Решение

Решаем соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Находим частное решение неоднородной диффузии:

Подставляя найденные производные в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Частное решение искало:

Общее решение исходной дифракции:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Ищем частное решение в виде, где — неопределенный коэффициент.

Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получаем тождество, из которого находим коэффициент.

Если это корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищется в форме, когда это единственный корень, а когда это двойной корень.

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Находим частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения:

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Общее решение дифференциального уравнения.