Линейное однородное дифференциальное уравнение: как решить ЛОДУ 2 порядка

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

• y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Пример 2

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

• ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y»,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0  — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f»(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, неизвестную
функцию y и первую и вторую производные от этой функции:
F (x, y, y’, y») = 0.                                                                                             (7.23)

Определение. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y = φ (x, C1, C2), которая удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольных значениях C1 и C2.

Любое частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при определенных значениях C1 и C2 и удовлетворяет определенным начальным условиям. Начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка является задание значений функции и ее первой производной в некоторой точке x0:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка формулируется так:

найти частное решение дифференциального уравнения (7.23), которое удовлетворяет начальным условиям.

Геометрический смысл частных решений — это интегральная кривая, которая проходит через точку (x0, y0) в данном направлении, то есть задан угловой коэффициент касательной к интегральной кривой.

Рассмотрим задачу, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка.

Согласно теории Дж. Хикса, со стабильным ростом затрат труда при неизменных других факторах производства стоимость выпуска продукции также растет. Скорость ее роста является постоянной положительной величиной V0. Однако, дополнительное привлечение фактора затрат труда ведет к снижению предельного значения выпуска продукции, причем темпы такого снижения можно считать постоянной отрицательной величиной a0.

Пусть начальный выпуск продукции характеризуется стоимостью C0 при затратах труда L0. Надо найти величину стоимости выпуска продукции при затратах труда, равных L1.

Обозначим U (L) — стоимость выпуска продукции при затратах труда, равных L. Тогда

— скорость роста стоимости продукции относительно затрат труда L;  
— темпы изменения скорости роста стоимости продукции относительно затрат труда L.

По условию задачи ,   проинтегрируем по L:   ,еще раз проинтегрируем по L, имеем:   .
Определим постоянные a1 и a2 :

В нашем случае получим a2 = 62,5; a1 = 1.

Итак,   откуда
.

Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение относительно неизвестной функции, ее первой и второй производной.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде можно записать так:

где

• — функция своих аргументов,
• — независимая переменная,
• — искомая функция,
• — ее производные.

Если равенство (1) разрешимо относительно то уравнение принимает вид

Решением дифференциального уравнения второго порядка называют любую функцию, обращающую данное уравнение в тождество.

Задача Коши:

Найти решение
дифференциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

при
или

где — заданные числа.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называют функцию , обладающую следующими свойствами:

1. при любых значениях произвольных постоянных и функция обращает уравнение в тождество;
2. постоянные и можно определить так, чтобы выполнялись условия:
   при , где— любые числа из области задания уравнения (т.е. можно решить задачу Коши).

Общим интегралом дифференциального уравнения второго порядка называют его общее решение, заданное в неявном виде

Частным решением называют решение, полученное из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных:

, где — некоторые числа.

Частным интегралом называют решение, полученное из общего интеграла фиксированием произвольных постоянных:

, где — числа.

Если известно общее решение , то решение задачи Коши сводится к определению из системы уравнений

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случай понижения порядка

Простейшими дифференциальными уравнениями второго порядка
являются уравнения, в которых функция зависит только от одного из аргументов:

Общее решение первого уравнения находится с помощью двукратного интегрирования. При интегрировании второго и третьего

уравнения пользуются подстановкой . С помощью этой подстановки уравнения

приводятся к уравнениям первого порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
y» + p (x) y’ + g (x) y = 0.                                                                                  (7.24)

Очевидно, что y ≡ 0 является решением уравнения (7.24). Это решение называют нулевым или тривиальным. В дальнейшем мы будем искать только нетривиальные решения дифференциального уравнения (7.24).

Установим некоторые свойства его решений.

1. Если y (x) является решением уравнения (7.24), то Cy (x) также является решением этого уравнения.
2. Если y1 (x) и y2 (x) — частные решения уравнения (7.24), то y1 (x) + y2 (x) также является решением этого уравнения.

ТЕОРЕМА. Если y1 (x) и y2 (x) — частные решения уравнения (7.24), то решением этого уравнения является также функция   y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x).                                 (7.25)

Доказательство. Подставим функцию (7.25) в уравнение (7.24), имеем:

Выражения в скобках тождественно равны нулю, так как y1 (x) и y2 (x) — решения уравнения (7.24), а это означает, что правая часть уравнения равна нулю. Итак, функция (7.25) является решением уравнения (7.24).

Определение. Система функций y1 (x) и y2 (x) называется линейно независимой на отрезке [a, b], если равенство
C1 y1  + C2 y2≡ 0                                                                                                  (7.26)
выполняется для всех x тогда и только тогда, когда C1  = C2 = 0.

Если равенство (7.26) выполняется, когда хотя бы один из Ci ≠ 0 , то система называется линейно зависимой.

Пусть C1 y1  + C2 y2≡ 0  ; если C1 ≠ 0, тогда 
или   откуда где λ — постоянное число.

Иными словами, две функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны.

Определение. Линейно независимая система решений линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений.

ТЕОРЕМА (о структуре решения однородного дифференциального уравнения). Если y1 (x) и y2 (x) образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.24), то y = C1 y1 (x) +     C2 y2 (x), где C1, C2 — произвольные постоянные, является общим решением уравнения (7.24).

Доказательство. Известно, что решение называется общим, если из него при определенных числовых значениях постоянных можно получить любое частное решение. А по теореме о существовании и единстве любое частное решение однозначно определяется начальными условиями.

Покажем, что можно найти C1 и C2 такие, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Пусть, когда x = x0, имеем:

Тогда

Решим эту систему относительно C1 и C2, получим:

Поскольку Δ0 ≠ 0, так как система решений y1  и y2  фундаментальна, то для C1 и C2 действительно найдем нужные значения.

Таким образом, из решения  y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)  можно найти любое частное решение, то есть решение, соответствующее любым начальным условиям, а это значит, что решение y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)  является общим решением уравнения (7.24).

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение.Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение:
y» + p (x) y’ + g (x) y = f (x),                                                                                      (7.27)
где функция f (x) называется правой частью уравнения.

Уравнение  y» + p (x) y’ + g (x) y = 0,  которое получается из уравнения (7.27), когда f (x) = 0, называется однородным уравнением, отвечающим уравнению (7.27).

ТЕОРЕМА (о структуре решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и любого частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

В дальнейшем будем пользоваться обозначением:
y = yо.о. + yч.н.,                                                                                             (7.28)
где  у — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка; yо.о. — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; yч.н. — любое частное решение линейного неоднородного уравнения.

Доказательство. Найдем производные:

Подставим y = yо.о. + yч.н.  и найденные производные y’, y» в уравнение (7.27), получим:

или

Поскольку yо.о. является общим решением однородного уравнения
y» + p (x) y’ + g (x) y = 0, то в последнем равенстве
.
А из того, что yч.н. — частное решение уравнения (7.27), имеем тождество:

Итак, мы доказали, что функция y = yо.о. + yч.н. — решение дифференциального уравнения (7.27).

Легко показать, что каждое решение уравнения (7.27), которое удовлетворяет любые начальные условия (из определенной области их определения), можно найти из функции y = yо.о. + yч.н.. Следовательно, эта функция является общим решением. Доказать это утверждение можно аналогично доказательству такого же утверждение для соответствующего однородного уравнения, которое мы привели выше, поэтому здесь на этом доказательстве не останавливаемся.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения.

Суть этого метода заключается в следующем: чтобы найти частное решение неоднородного линейного уравнения (7.27), достаточно в выражение для общего решения y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) соответствующего однородного уравнения вместо постоянных C1 и C2 подставить функции независимой переменной x, производные от которых
и 
удовлетворяют такую систему алгебраических уравнений:

Докажем это утверждение.
Запишем решение дифференциального уравнения в виде:
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
Найдем производную:

Мы хотим определить две функции C1 (x) и C2 (x).

Одно соотношение между ними мы можем выбрать произвольным. Поставим требование, чтобы  C1 (x) и C2 (x)  удовлетворяли равенство
тогда

Найдем вторую производную:

Подставим значение  y, y’, y»  в дифференциальное уравнение (7.27), получим:

Поскольку y1 (x) и y2 (x) являются решениями однородного уравнения, то выражения:

Отсюда .

Итак, для того чтобы функция y = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x), которая удовлетворяет условию ,  была решением уравнения (7.27), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: .
Таким образом получаем систему

из которой определяем 
и  . Эта система имеет единственное решение, потому что по нашему предположению y1 (x) и y2 (x) — линейно независимые решения однородного уравнения.

Пусть
и  ,  тогда, интегрируя, получим , где  — произвольные постоянные. Подставим найденные C1 (x) и C2 (x)  в соотношение y = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) и получим общее решение дифференциального уравнения (7.27).

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Найдем общее решение этого уравнения методом вариации произвольных постоянных. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 0
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
,  откуда   .

Теперь предположим, что C1 и C2 являются функциями от x, и складываем систему для нахождения
и  :

Откуда  .
В результате интегрирования, имеем
 ,  где — произвольные постоянные.

Подставляем C1 (x) и C2 (x) в общее решение соответствующего однородного уравнения

y = C1 (x) x2 + C2 (x) ,
получим общее решение данного уравнения:

или    .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядке с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение
y» + py’ + gy = f (x),                                                                                                (7.34)
где p, g — постоянные числа, f (x) ≠ 0, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

По теореме о структуре решения линейного неоднородного уравнения второго порядка общее решение уравнения (7.34) является суммою общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Это утверждение записано формулой (7.28): y = yо.о. + yч.н. .

Общее решение однородного уравнения мы подробно рассмотрели выше. Теперь перейдем к нахождению частного решения неоднородных уравнений со специальной правой частью, решение которых можно найти не прибегая к интегрированию.

• Пусть правая часть уравнения (7.34) имеет вид
  ,  где Pn (x) — многочлен n-й степени. Здесь возможны два случая:

1. α — не является корнем характеристического уравнения, тогда , где   Qn (x) — многочлен n-й степени с неопределенными коэффициентами.
2. α — является корнем характеристического уравнения кратности r (r = 1 или r = 2), тогда .

Замечание. Если f (x) = Pn(x) , то считаем, что α = 0 и проверяем, является ли 0 корнем характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения
.                                                                             (7.35)

Решение. Общее решение ищем в виде y = yо.о. + yч.н. .
Сначала найдем общее решение yо.о. соответствующего однородного уравнения:

yо.о. =  .

Частное решение  yч.н.  неоднородного уравнения ищем в виде правой части уравнения, а именно  ,  поскольку  α = 2  не является корнем характеристического уравнения. Здесь нужно найти неопределенные коэффициенты A и В. Для этого найдем   и    , имеем:
 ;

Подставляем  в уравнение (7.35), получим:
8Axe2x + 8Be2x + 8Ae2x – 2Axe2x – 2Be2x – Ae2x – Axe2x – Be2x = 4xe2x.

Разделим левую и правую части уравнения на e2x, имеем:
8Ax + 8B + 8A – 2Ax – 2B – A – Ax – B = 4 x,
5Ax + 5B + 7A = 4x.

Известно, что многочлены равны между собой тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях  x левой и правой частей, то есть

откуда     .
Итак,
и общее решение будет  

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения
y» — 2 y’ + y = 1 + x,                                                                                                   (7.36)
удовлетворяющего начальным условиям .

Решение. Здесь характеристическое уравнение k2 – 2k + 1 = 0 имеет действительные, равные корни  k1 = k2= 1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет yо.о. =

Правая часть уравнения (7.36) имеет вид Pn (x) = 1 + x,  причем α = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде  yч.н.= Ax + B. Продифференцировав yч.н., подставим в уравнение (7.36), имеем:
–2A + Аx + B = 1 + x, откуда  A = 1;   –2A + B = 1;     B = 3.

Частным решением данного уравнения является функция yч.н.= x + 3, а его общим решением функция
.

Найдем теперь частное решение уравнения (7.36), которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Для этого найдем
,   тогда

Откуда С1 = -1 , С2 = -3.

Искомым частным решением будет

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:
y» — 7 y’ + 6 y = (x — 2) ex.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: k2 — 7 k + 6 = 0,  k1 = 1,   k2 = 6;
yо.о.= .
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , потому что α = 1  является корнем характеристического уравнения. Выполнив необходимые вычисления, найдем

Тогда   .
Итак, общее решение заданного уравнения будет

• Пусть правая часть уравнения (7.34) имеет вид
  .
  Проверяем, является ли 
• корнем характеристического уравнения:

1.   не является корнем характеристического уравнения, тогда  где — многочлены k-й степени с неопределенными коэффициентами (k = max (m, n)).
2.   является корнем характеристического уравнения, тогда.

Замечание 1. Если α = 0, то проверяем, является ли β корнем характеристического уравнения.

Замечание 2. Если в правой части есть одна из тригонометрических функций, например, cos x, то в частное решение должна входить и функция sin x.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение:
y» + y’ — 2 y = ex сos x.                                                                                            (7.37)

Решение. Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k2 + k — 2 = 0; k1 = -2, k2 = 1.

Общее решение однородного уравнения   .
Правая часть неоднородного уравнения f (x) = ex cos x, то есть имеет вид
,
где

Поскольку α + βi = 1 + i  не является корнем характеристического уравнения,
а   
многочлены нулевого степени, то

Найдем   и 
:

Подставляем
и
в уравнение (7.37):

Сокращая обе части равенства на ex и сводя подобные члены, получим:
(–3A – B) sin x + (3B – A) cos x = cos x

Уравнивая коэффициенты при сos x и sin x в обеих частях
уравнения, получим:

Откуда   .

Общее решение уравнения (7.37) будет:

Пример 5. Решить уравнение y» — 2 y + y = xex.

Решение.k2 — 2k + 1 = 0,k1 = k2 = 1,  .
f (x) = xex, α = 1. Число 1 — двукратный корень характеристического уравнения. Итак, r = 2.

Подставляем
в данное уравнение:

или 6Ax + 2B = x, отсюда 6A = 1,2B = 0.
Итак,  
Поэтому ,
а 
— общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 6. Решить уравнение y» – 3 y’ = x2 + 1.

Решение.
.

Число 0 — корень характеристического уравнения, поэтому r = 1.
Итак,
или  

Подставляем  
в данное уравнение:
6Ax + 2B – 6Ax2 – 4Bx – 2C = x2 + 1 или
–6Ax2 + (6A – 4B) x + 2B – 2C = x2 + 1;

Отсюда,  
Итак, 

— общее решение данного уравнения.

Пример 7.  Найти частное решение уравнения  y » — 2 y ‘= e x (x2 + x — 3), удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Ищем сначала общее решение данного уравнения. Для этого найдем уо.о. и уч.н.:
k2 — 2k = 0,   k (k – 2) = 0, k1 = 0, k2 = 2.

Поэтому уо.о. = С1 + С2e2x

, ( = 1 — не является корнем характеристического уравнения).

Подставляем  
в данное уравнение, получим:


или  .
Отсюда

Итак,
а     — общее решение данного уравнения.

Решим задачу Коши.

Используем начальные условия

Итак, y = e2x + ex (–x2 – x + 1) — искомое частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Пример 8. Решить уравнение у’ + 2 у = 5 x cos x + 3 sin x.

Решение. k2 + 2 = 0, k2 = –2,

α = 0, β = 1, α + βi = i,   i — не является корнем характеристического уравнения.

Поэтому r = 0.


(Cx D) sin x.

Подставляем
данное уравнение, получим:

Таким образом,
а общее решение

Мы рассмотрели метод неопределенных коэффициентов для отыскания частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Рассмотрим пример, когда частное решение уравнения нельзя найти методом неопределенных коэффициентов.

Пример 9. Решить методом вариации произвольных постоянных уравнение

Решение. Ищем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид k2 + 3k + 2 = 0, корни которого k1 = -2; k2 = –1, поэтому общее решение однородного уравнения запишется:
Положим С1 = С1 (x),  С2 = С2 (x) и запишем систему уравнений:

Решаем систему уравнений относительно
и C’ (x) .  Из первого уравнения:

Подставим
во второе уравнение, получим:

Тогда аналогично найдем
и соответственно C1 (x):

Подставим найденные C1 (x) и C2 (x) в общее решение однородного уравнения, получим общее решение данного неоднородного уравнения:

или

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение имеет вид , где — числа. Алгебраическое уравнение
называют характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения. Корни характеристического уравнения вычисляются по формуле

В зависимости от этих корней определяется общее решение дифференциального уравнения.

Если корни действительные и разные , то общее решение дифференциального уравнения выражается формулой

В случае равных корней общее решение имеет вид

Когда корни комплексно-сопряженные: , то общее решение дифференциального уравнения определяется формулой:

Если корни чисто мнимые , то

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение вида , где — числа, -заданная функция. Общее решение такого уравнения определяется формулой

, или где
— общее решение соответствующего однородного уравнения , a — частное решение данного неоднородного уравнения. Это частное решение в простейших случаях — полином алгебраический или тригонометрический находится способом неопределенных коэффициентов.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

(24.2.1)

где р и q — постоянные числа. Нахождение общего решения уравнения (24.2.1) сводится к чисто алгебраическим операциям.

Вид уравнения (24.2.1) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать, прежде всего, среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Таким свойством обладает показательная функция. Поэтому будем искать частные решения в виде
Так как, , то подставив в (24.2.1) значения
получим:

Множитель, не обращается в нуль ни при каких значениях х. Поэтому функция
тогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, когда число к является корнем уравнения:

(24.2.2)

Алгебраическое квадратное уравнение (24.2.2) называют характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (24.2.1). Его корни находятся по формулам:

При этом могут представиться различные случаи, которые мы проанализируем подробнее.

• Корни характеристического уравнения действительны и различны:

В этом случае частными решениями будут функции:

так как каждому из корней соответствует частное решение. Эти решения линейно независимы, потому что их отношение не равно постоянной величине:

Тогда, в силу теоремы 24.1.6, общее решение уравнения (24.2.1) имеет вид:

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Решение:

В силу, изложенного выше, составляем характеристическое уравнение
и находим его корни:

Так как корни характеристического уравнения различны, то общее решение задается функцией:

• Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то

Частные решения можно записывать в виде: ,

Это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (24.2.1). Легко показать, что если какая-либо комплексная функция

(24.2.3)

действительного аргумента удовлетворяет уравнению (24.2.1), то тгому уравнению удовлетворяют и функции . Действительно, подставляя (24.2.3) в (24.2.1), получим:

Комплексная функция равняется нулю, когда равны нулю ее действительная и мнимая части. Следовательно,
и

Это означает, что функции являются решениями уравнения (24.2.1), если функция — решение уравнения (24.2.1).

Перепишем теперь комплексные частные решения в виде суммы действительной и мнимой частей: ,

Тогда, частными решениями будут действительные функции:. Так как функции
линейно независимы, то общее решение уравнения (24.2.1) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:

или

где — произвольные постоянные.

Заметим, что если в уравнении (24.2.2) р = 0,то характеристические корни чисто мнимые
и решение

(24.2.4) имеет вид:

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Согласно изложенному выше, составляем характеристическое уравнение
и находим его корни:

Следовательно, общее решение определяется функцией:

Пример:

Найти общее решение уравнения

Решение:

Составим характеристическое уравнение
и найдем его корни . Поэтому, обutec решение будет определяться функцией:

• Корни характеристического уравнения действительные и равные: .

В этом случае, на основании случая 1, имеем одно частное решение
Нужно найти второе линейно независимое с первым. Будем его искать в виде , где и(х) — неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя решение
находим:

Подставляя функциюи се производные в уравнение (24.2.1), и выполняя элементарные преобразования, получаем

Так как — кратный корень характеристического уравнения,

то . Кроме того,
и поэтому в выражении (24.2.5) остается одно слагаемое, равное нулю: . Следовательно, для нахождения и(х) нужно решить уравнение . Последовательно интегрируя уравнение , получаем: . В частности, можно положить . Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять функцию . Это решение линейно независимое с первым:.

Поэтому общим решением будет функция:

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни . Так как корни характеристического уравнения кратные действительные, то общее решение определяется функцией:

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

В этом параграфе мы остановимся на изучении структуры общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, т. с. уравнения вида:

Предположим, что уравнение (25.1.1) задано в области

Функция
называется общим решением уравнения (25.1.1) в области D, если для любой точки области
равенства

разрешимы относительно

Иначе: функция
есть общее решение уравнения (25.1.1), если для любой точки из области D, можно указать такие значения постоянных
что выполняются равенства (25.1.2), н, при таких значениях постоянных, функция
удовлетворяет уравнению (25.1.1).

Структура общего решения уравнения (25.1.1) определяется следующей теоремой.

Теорема 25.1.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (25.1.1) представляет сумму частного решения
этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (24.1.1).

Доказательство. Пусть
и Y соответственно частное решение уравнения (25.1.1) и общее решение соответствующего однородного уравнения (24.1.1). Нужно доказать, что произвольные постоянные, входящие в него, можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия: при

Так как
— линейно независимые решения уравнения (24.1.1), то нужно доказать, что функция:
является общим решением уравнения (25.1.1), т.е. нужно доказать, что равенства:
разрешимы относительно

Подставляя в эти равенства начальные условия, получим систему относительно неизвестных

Эту систему можно переписать в виде:

где

Определитель последней системы является определителем Вронского, для функций . И так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решеннс. Определив, найдем функцию , которая определяет решение уравнения (25.1.1), удовлетворяющее данным начальным условиям.

Теорема 25.1.2. Если правая часть неоднородного уравнения (25.1.1) равна сумме двух функций:

(25.1.3)

то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно

Доказательство. Пусть
частные решения уравнений (25.1.4). Тогда при подстановке их в уравнение (25.1.3), получим тождества:

Складывая, правые и левые части тождеств, получаем:

откуда следует, что сумма
является решением уравнения (25.1.1).

Таким образом, для решения неоднородного линейного уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного и какое-либо частное решение исходного уравнения. Частное решение неоднородного линейного уравнения найти, вообще говоря, трудно Д1я уравнения (25.1.1). Мы остановимся на неоднородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, т.е. уравнениях вида:

где р и q- постоянные коэффициенты, для которых существуют общие методы нахождения частных решений в зависимости от вида правой части.

Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Пусть задано уравнение

(25.2.1)

где р и q — действительные числа. Покажем, что частное решение уравнения (25.2.1) иногда можно найти, не прибегая к интегрированию, а методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим эти случаи.

• Правая часть уравнения (25.1.1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен: , где — многочлен n -ой степени.

Если число а не является корнем характеристического уравнения , составленного для соответствующего однородного уравнения , то частное решение нужно искать в виде:

где — многочлен степени n с неопределенными коэффициентами

Действительно, подставляя
в уравнение (25.2.1) и сокращая все члены на
получаем:

где — многочлен степени — многочлен степени — многочлен степени n. Значит в левой и правой частях равенства (25.2.3) записаны многочлены степени n, которые будут равными, если равны коэффициенты при равных степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из n + 1 уравнений для определения коэффициентов

Если же число а простой корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: , где

— многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.

Действительно, если бы в этом случае стали искать частное решение в форме (25.2.2), то в равенстве (25.2.3) слева получили бы многочлен степени n-1, так как коэффициент при , т.е. , равен нулю. Следовательно, ни при каких значениях
равенство (25.2.3) не было бы тождеством. Поэтому мы
умножаем на х.

Если же число а двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:, так как кроме коэффициента при Q„(x), в равенстве (25.2.3), равен нулю и коэффициент при, и слева этого равенства будет стоять многочлен степени n — 2. При этом свободный член многочлена , в этом случае, и член первой степени исчезнут при дифференцировании и их можно не включать в частное решение.

Замечание. Если правая часть уравнения (25.2.1) не содержит множителя , то следует рассматривать а = 0 и частное решение искать в виде , учитывая при этом какой кратности нуль является корнем характеристического уравнения.

Пример №1

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Вначале находим общее решение соответствующего однородного уравнения . Оно имеет вид:

Далее ищем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть заданного уравнения равна произведению многочлена на экспоненциальную функцию, и так как коэффициент 3 в показателе экспоненты не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Вычисляя первую и вторую производные этого выражения и подставляя в дифференциальное уравнение, получим:

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему:

решая которую, находим:
. Следовательно, частным решением является функция:

Общее решение заданного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

• Пусть теперь правом часть уравнения (25.2.1) представляет собой произведение многочленов на тригонометрические функции и показательную функцию’.

где
— многочлены степени n и m. Тогда частное решение определяется следующим образом:

если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

где
— многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов <br>;

если число является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Заметим, что формы частных решений (25.2.5) и (25.2.6) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (25.2.1) один из многочленов
тождественно равен нулю, т.е. когда

правая часть равна

Кроме того, если правая часть уравнения (25.2.1) имеет вид:,

где М и N — постоянные числа, то частное решение ищем в виде:

,

где А и В постоянные, подлежащие определению, когда не являются корнем характеристического уравнения; если является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Пример №2

Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

Решение:

Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:. Его корни

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения определяется функцией:

Согласно теории, изложенной выше, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где А и В -постоянные, подлежащие определению. Их определим, подставляя частное решение и его производные в заданное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosx и sinx, получаем систему из двух уравнений:

Решая эту систему, находим:.

Следовательно, частное решение определяется функцией:
а общее — функцией:

Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно производной

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида (25.3.1) относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части, зависит только от одного из трех аргументов

Рассмотрим также уравнения, допускающие понижение порядка, в которых функция зависит только от двух из трех аргументов:

Общее решение уравнения (25.3.2) находится двукратным интегрированием. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример №3

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение:

Вычислим интегралы от обеих частей заданного уравнения, представив вторую производную в виде: . Поскольку интеграл от производной функции равен самой функции, то, последовательно интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:

При интегрировании уравнения (25.3.3) вводится подстановка

Тогда , и уравнение принимает вид — Аналогично, подстановкой
уравнение (25.3.4) приводится к виду

Преобразованные уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример №4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям:
при х = 1.

Решение:

Заданное уравнение относится к виду (25.3.3). Положим . Подставив, получим уравнение
с разделяющимися переменными. Умножив на dy, и вычислив интегралы от обеих частей, последовательно находим:

Выполним обратную подстановку . Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
или . Решение этого уравнения найдем, вычислив интегралы от обеих частей. Интеграл
при помощи подстановки

сводится к интегралу от рациональной дроби , который вычисляем, разложив рациональную дробь в сумму элементарных дробей:

Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид:

Уравнение(25.3.5) подстановкой

приводится к уравнению первого порядка

c неизвестной функцией p.

Пример №5

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение:

Положим
и заданное уравнение примет вид. Это линейное уравнение, которое интегрируем при помощи интегрирующего множителя

. Умножив на интегрирующим множитель, получим. Проинтегрировав обе части, последовательно находим z:
Подставив , получим:

Вычислив интегралы левой и правой частей уравнения, находим общий интеграл:

Уравнение (25.3.6), , подстановкой

сводится к уравнению

первого порядка:, в котором z функция, а у аргумент.

Пример №6

Проинтегрировать уравнение

Решение:

Заданное уравнение имеет вид (25.3.6). Применим подстановку
Тогда исходное уравнение преобразуются к уравнению с разделяющимися переменными: . Разделив переменные, последовательно находим:

Выполнив обратную подстановку , получим два уравнения:,. Интегрируя эти уравнения, найдем: