Линейное однородное дифференциальное уравнение: как решить ЛОДУ 2 порядка

Содержание
  1. Дифференциальное уравнение
  2. Интегрирование дифференциального уравнения
  3. Общее решение ДУ
  4. Частное решение ДУ
  5. Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами
  6. Дифференциальные уравнения второго порядка
  7. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случай понижения порядка
  8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
  9. Метод вариации произвольных постоянных
  10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядке с постоянными коэффициентами
  11. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
  12. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
  13. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  14. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка
  15. Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
  16. Пример №1
  17. Пример №2
  18. Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка
  19. Пример №3
  20. Пример №4
  21. Пример №5
  22. Пример №6

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

  • y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Пример 2

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

  • ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y»,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0  — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

  • задачи Коши;
  • задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
  • краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f»(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, неизвестную
функцию y и первую и вторую производные от этой функции:
F (x, y, y’, y») = 0.                                                                                             (7.23)

Определение. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y = φ (x, C1, C2), которая удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольных значениях C1 и C2.

Любое частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при определенных значениях C1 и C2 и удовлетворяет определенным начальным условиям. Начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка является задание значений функции и ее первой производной в некоторой точке x0:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка формулируется так:

найти частное решение дифференциального уравнения (7.23), которое удовлетворяет начальным условиям.

Геометрический смысл частных решений — это интегральная кривая, которая проходит через точку (x0, y0) в данном направлении, то есть задан угловой коэффициент касательной к интегральной кривой.

Рассмотрим задачу, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка.

Согласно теории Дж. Хикса, со стабильным ростом затрат труда при неизменных других факторах производства стоимость выпуска продукции также растет. Скорость ее роста является постоянной положительной величиной V0. Однако, дополнительное привлечение фактора затрат труда ведет к снижению предельного значения выпуска продукции, причем темпы такого снижения можно считать постоянной отрицательной величиной a0.

Пусть начальный выпуск продукции характеризуется стоимостью C0 при затратах труда L0. Надо найти величину стоимости выпуска продукции при затратах труда, равных L1.
Дифференциальные уравнения второго порядка

Обозначим U (L) — стоимость выпуска продукции при затратах труда, равных L. Тогда
Дифференциальные уравнения второго порядка
— скорость роста стоимости продукции относительно затрат труда L;  Дифференциальные уравнения второго порядка
— темпы изменения скорости роста стоимости продукции относительно затрат труда L.

По условию задачи Дифференциальные уравнения второго порядка,   проинтегрируем по L:   Дифференциальные уравнения второго порядка,еще раз проинтегрируем по L, имеем:  Дифференциальные уравнения второго порядка .
Определим постоянные a1 и a2 :
Дифференциальные уравнения второго порядка

В нашем случае получим a2 = 62,5; a1 = 1.

Итак,  Дифференциальные уравнения второго порядка откуда
Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение относительно неизвестной функции, ее первой и второй производной.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде можно записать так:

Дифференциальные уравнения второго порядка

где

  • Дифференциальные уравнения второго порядка— функция своих аргументов,
  • Дифференциальные уравнения второго порядка— независимая переменная,
  • Дифференциальные уравнения второго порядка— искомая функция,
  • Дифференциальные уравнения второго порядка— ее производные.

Если равенство (1) разрешимо относительно Дифференциальные уравнения второго порядкато уравнение принимает вид

Дифференциальные уравнения второго порядка

Решением дифференциального уравнения второго порядка называют любую функцию, обращающую данное уравнение в тождество.

Задача Коши:

Найти решение Дифференциальные уравнения второго порядка
дифференциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

Дифференциальные уравнения второго порядка
при Дифференциальные уравнения второго порядка
или Дифференциальные уравнения второго порядка

где Дифференциальные уравнения второго порядка— заданные числа.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называют функцию Дифференциальные уравнения второго порядка, обладающую следующими свойствами:

  1. при любых значениях произвольных постоянных Дифференциальные уравнения второго порядкаи Дифференциальные уравнения второго порядкафункция обращает уравнение в тождество;
  2. постоянные Дифференциальные уравнения второго порядкаи Дифференциальные уравнения второго порядкаможно определить так, чтобы выполнялись условия:Дифференциальные уравнения второго порядка
    Дифференциальные уравнения второго порядкапри Дифференциальные уравнения второго порядка, гдеДифференциальные уравнения второго порядка— любые числа из области задания уравнения (т.е. можно решить задачу Коши).

Общим интегралом дифференциального уравнения второго порядка называют его общее решение, заданное в неявном виде

Дифференциальные уравнения второго порядка

Частным решением называют решение, полученное из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных:

Дифференциальные уравнения второго порядка, где Дифференциальные уравнения второго порядка— некоторые числа.

Частным интегралом называют решение, полученное из общего интеграла фиксированием произвольных постоянных:

Дифференциальные уравнения второго порядка, где Дифференциальные уравнения второго порядка— числа.

Если известно общее решение Дифференциальные уравнения второго порядка, то решение задачи Коши сводится к определению Дифференциальные уравнения второго порядкаиз системы уравнений Дифференциальные уравнения второго порядка

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случай понижения порядка

Простейшими дифференциальными уравнениями второго порядка Дифференциальные уравнения второго порядка
являются уравнения, в которых функция зависит только от одного из аргументов:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Общее решение первого уравнения находится с помощью двукратного интегрирования. При интегрировании второго и третьего

уравнения пользуются подстановкой Дифференциальные уравнения второго порядка. С помощью этой подстановки уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка

приводятся к уравнениям первого порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
y» + p (x) y’ + g (x) y = 0.                                                                                  (7.24)

Очевидно, что y ≡ 0 является решением уравнения (7.24). Это решение называют нулевым или тривиальным. В дальнейшем мы будем искать только нетривиальные решения дифференциального уравнения (7.24).

Установим некоторые свойства его решений.

  1. Если y (x) является решением уравнения (7.24), то Cy (x) также является решением этого уравнения.
  2. Если y1 (x) и y2 (x) — частные решения уравнения (7.24), то y1 (x) + y2 (x) также является решением этого уравнения.

ТЕОРЕМА. Если y1 (x) и y2 (x) — частные решения уравнения (7.24), то решением этого уравнения является также функция   y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x).                                 (7.25)

Доказательство. Подставим функцию (7.25) в уравнение (7.24), имеем:Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка

Выражения в скобках тождественно равны нулю, так как y1 (x) и y2 (x) — решения уравнения (7.24), а это означает, что правая часть уравнения равна нулю. Итак, функция (7.25) является решением уравнения (7.24).

Определение. Система функций y1 (x) и y2 (x) называется линейно независимой на отрезке [a, b], если равенство
C1 y1  + C2 y2≡ 0                                                                                                  (7.26)
выполняется для всех x тогда и только тогда, когда C1  = C2 = 0.

Если равенство (7.26) выполняется, когда хотя бы один из Ci ≠ 0 , то система называется линейно зависимой.

Пусть C1 y1  + C2 y2≡ 0  ; если C1 ≠ 0, тогда  Дифференциальные уравнения второго порядка
или  Дифференциальные уравнения второго порядка откуда Дифференциальные уравнения второго порядка где λ — постоянное число.

Иными словами, две функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны.

Определение. Линейно независимая система решений линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений.

ТЕОРЕМА (о структуре решения однородного дифференциального уравнения). Если y1 (x) и y2 (x) образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.24), то y = C1 y1 (x) +     C2 y2 (x), где C1, C2 — произвольные постоянные, является общим решением уравнения (7.24).

Доказательство. Известно, что решение называется общим, если из него при определенных числовых значениях постоянных можно получить любое частное решение. А по теореме о существовании и единстве любое частное решение однозначно определяется начальными условиями.

Покажем, что можно найти C1 и C2 такие, чтобы удовлетворялись начальные условия:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Пусть, когда x = x0, имеем:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Тогда
Дифференциальные уравнения второго порядка

Решим эту систему относительно C1 и C2, получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Поскольку Δ0 ≠ 0, так как система решений y1  и y2  фундаментальна, то для C1 и C2 действительно найдем нужные значения.

Таким образом, из решения  y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)  можно найти любое частное решение, то есть решение, соответствующее любым начальным условиям, а это значит, что решение y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)  является общим решением уравнения (7.24).

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение.Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение:
y» + p (x) y’ + g (x) y = f (x),                                                                                      (7.27)
где функция f (x) называется правой частью уравнения.

Уравнение  y» + p (x) y’ + g (x) y = 0,  которое получается из уравнения (7.27), когда f (x) = 0, называется однородным уравнением, отвечающим уравнению (7.27).

ТЕОРЕМА (о структуре решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и любого частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

В дальнейшем будем пользоваться обозначением:
y = yо.о. + yч.н.,                                                                                             (7.28)
где  у — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка; yо.о. — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; yч.н. — любое частное решение линейного неоднородного уравнения.

Доказательство. Найдем производные:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Подставим y = yо.о. + yч.н.  и найденные производные y’, y» в уравнение (7.27), получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка
или
Дифференциальные уравнения второго порядка
Поскольку yо.о. является общим решением однородного уравнения
y» + p (x) y’ + g (x) y = 0, то в последнем равенстве Дифференциальные уравнения второго порядка
.
А из того, что yч.н. — частное решение уравнения (7.27), имеем тождество: Дифференциальные уравнения второго порядка

Итак, мы доказали, что функция y = yо.о. + yч.н. — решение дифференциального уравнения (7.27).

Легко показать, что каждое решение уравнения (7.27), которое удовлетворяет любые начальные условия (из определенной области их определения), можно найти из функции y = yо.о. + yч.н.. Следовательно, эта функция является общим решением. Доказать это утверждение можно аналогично доказательству такого же утверждение для соответствующего однородного уравнения, которое мы привели выше, поэтому здесь на этом доказательстве не останавливаемся.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения.

Суть этого метода заключается в следующем: чтобы найти частное решение неоднородного линейного уравнения (7.27), достаточно в выражение для общего решения y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) соответствующего однородного уравнения вместо постоянных C1 и C2 подставить функции независимой переменной x, производные от которых Дифференциальные уравнения второго порядка
и  Дифференциальные уравнения второго порядка
удовлетворяют такую систему алгебраических уравнений:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Докажем это утверждение.
Запишем решение дифференциального уравнения в виде:
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
Найдем производную:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы хотим определить две функции C1 (x) и C2 (x).

Одно соотношение между ними мы можем выбрать произвольным. Поставим требование, чтобы  C1 (x) и C2 (x)  удовлетворяли равенство Дифференциальные уравнения второго порядка
тогда Дифференциальные уравнения второго порядка

Найдем вторую производную:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставим значение  y, y’, y»  в дифференциальное уравнение (7.27), получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Поскольку y1 (x) и y2 (x) являются решениями однородного уравнения, то выражения:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Отсюда Дифференциальные уравнения второго порядка.

Итак, для того чтобы функция y = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x), которая удовлетворяет условию Дифференциальные уравнения второго порядка,  была решением уравнения (7.27), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: Дифференциальные уравнения второго порядка.
Таким образом получаем систему
Дифференциальные уравнения второго порядка

из которой определяем Дифференциальные уравнения второго порядка
и  Дифференциальные уравнения второго порядка. Эта система имеет единственное решение, потому что по нашему предположению y1 (x) и y2 (x) — линейно независимые решения однородного уравнения.

Пусть Дифференциальные уравнения второго порядка
и  Дифференциальные уравнения второго порядка,  тогда, интегрируя, получим Дифференциальные уравнения второго порядка, где  Дифференциальные уравнения второго порядка— произвольные постоянные. Подставим найденные C1 (x) и C2 (x)  в соотношение y = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) и получим общее решение дифференциального уравнения (7.27).

Пример. Найти общее решение уравнения Дифференциальные уравнения второго порядка.
Решение. Найдем общее решение этого уравнения методом вариации произвольных постоянных. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 0
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Интегрируя обе части уравнения, получим
Дифференциальные уравнения второго порядка,  откуда   Дифференциальные уравнения второго порядка.

Теперь предположим, что C1 и C2 являются функциями от x, и складываем систему для нахожденияДифференциальные уравнения второго порядка
и  Дифференциальные уравнения второго порядка:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Откуда  Дифференциальные уравнения второго порядка.
В результате интегрирования, имеем
Дифференциальные уравнения второго порядка ,  где Дифференциальные уравнения второго порядка— произвольные постоянные.

Подставляем C1 (x) и C2 (x) в общее решение соответствующего однородного уравнения

y = C1 (x) x2 + C2 (x) ,
получим общее решение данного уравнения:
Дифференциальные уравнения второго порядка
или   Дифференциальные уравнения второго порядка .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядке с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение
y» + py’ + gy = f (x),                                                                                                (7.34)
где p, g — постоянные числа, f (x) ≠ 0, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

По теореме о структуре решения линейного неоднородного уравнения второго порядка общее решение уравнения (7.34) является суммою общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Это утверждение записано формулой (7.28): y = yо.о. + yч.н. .

Общее решение однородного уравнения мы подробно рассмотрели выше. Теперь перейдем к нахождению частного решения неоднородных уравнений со специальной правой частью, решение которых можно найти не прибегая к интегрированию.

  • Пусть правая часть уравнения (7.34) имеет вид Дифференциальные уравнения второго порядка
    ,  где Pn (x) — многочлен n-й степени. Здесь возможны два случая:
  1. α — не является корнем характеристического уравнения, тогда Дифференциальные уравнения второго порядка, где   Qn (x) — многочлен n-й степени с неопределенными коэффициентами.
  2. α — является корнем характеристического уравнения кратности r (r = 1 или r = 2), тогда Дифференциальные уравнения второго порядка.

Замечание. Если f (x) = Pn(x) , то считаем, что α = 0 и проверяем, является ли 0 корнем характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения
Дифференциальные уравнения второго порядка.                                                                             (7.35)

Решение. Общее решение ищем в виде y = yо.о. + yч.н. .
Сначала найдем общее решение yо.о. соответствующего однородного уравнения:
Дифференциальные уравнения второго порядка
yо.о. = Дифференциальные уравнения второго порядка .

Частное решение  yч.н.  неоднородного уравнения ищем в виде правой части уравнения, а именно  Дифференциальные уравнения второго порядка,  поскольку  α = 2  не является корнем характеристического уравнения. Здесь нужно найти неопределенные коэффициенты A и В. Для этого найдем  Дифференциальные уравнения второго порядка и    Дифференциальные уравнения второго порядка, имеем:
Дифференциальные уравнения второго порядка ;

Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставляем  Дифференциальные уравнения второго порядкав уравнение (7.35), получим:
8Axe2x + 8Be2x + 8Ae2x – 2Axe2x – 2Be2x – Ae2x – Axe2x – Be2x = 4xe2x.

Разделим левую и правую части уравнения на e2x, имеем:
8Ax + 8B + 8A – 2Ax – 2B – A – Ax – B = 4 x,
5Ax + 5B + 7A = 4x.

Известно, что многочлены равны между собой тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях  x левой и правой частей, то есть
Дифференциальные уравнения второго порядка
откуда     Дифференциальные уравнения второго порядка.
Итак, Дифференциальные уравнения второго порядка
и общее решение будет  Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения
y» — 2 y’ + y = 1 + x,                                                                                                   (7.36)
удовлетворяющего начальным условиям Дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение. Здесь характеристическое уравнение k2 – 2k + 1 = 0 имеет действительные, равные корни  k1 = k2= 1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет yо.о. =Дифференциальные уравнения второго порядка

Правая часть уравнения (7.36) имеет вид Pn (x) = 1 + x,  причем α = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде  yч.н.= Ax + B. Продифференцировав yч.н., подставим в уравнение (7.36), имеем:
–2A + Аx + B = 1 + x, откуда  A = 1;   –2A + B = 1;     B = 3.

Частным решением данного уравнения является функция yч.н.= x + 3, а его общим решением функция
Дифференциальные уравнения второго порядка.

Найдем теперь частное решение уравнения (7.36), которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Для этого найдем
Дифференциальные уравнения второго порядка,   тогда

Дифференциальные уравнения второго порядка
Откуда С1 = -1 , С2 = -3.

Искомым частным решением будет Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:
y» — 7 y’ + 6 y = (x — 2) ex.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: k2 — 7 k + 6 = 0,  k1 = 1,   k2 = 6;
yо.о.= Дифференциальные уравнения второго порядка.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Дифференциальные уравнения второго порядка, потому что α = 1  является корнем характеристического уравнения. Выполнив необходимые вычисления, найдем
Дифференциальные уравнения второго порядка
Тогда   Дифференциальные уравнения второго порядка.
Итак, общее решение заданного уравнения будет
Дифференциальные уравнения второго порядка

  • Пусть правая часть уравнения (7.34) имеет вид
    Дифференциальные уравнения второго порядка.
    Проверяем, является ли  Дифференциальные уравнения второго порядка
  • корнем характеристического уравнения:
  1.   Дифференциальные уравнения второго порядка не является корнем характеристического уравнения, тогдаДифференциальные уравнения второго порядка  где Дифференциальные уравнения второго порядка— многочлены k-й степени с неопределенными коэффициентами (k = max (m, n)).
  2. Дифференциальные уравнения второго порядка  является корнем характеристического уравнения, тогдаДифференциальные уравнения второго порядка.

Замечание 1. Если α = 0, то проверяем, является ли β корнем характеристического уравнения.

Замечание 2. Если в правой части есть одна из тригонометрических функций, например, cos x, то в частное решение должна входить и функция sin x.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение:
y» + y’ — 2 y = ex сos x.                                                                                            (7.37)

Решение. Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k2 + k — 2 = 0; k1 = -2, k2 = 1.

Общее решение однородного уравнения  Дифференциальные уравнения второго порядка .
Правая часть неоднородного уравнения f (x) = ex cos x, то есть имеет вид
Дифференциальные уравнения второго порядка,
где Дифференциальные уравнения второго порядка

Поскольку α + βi = 1 + i  не является корнем характеристического уравнения,
а   Дифференциальные уравнения второго порядка
многочлены нулевого степени, то
Дифференциальные уравнения второго порядка
Найдем  Дифференциальные уравнения второго порядка и  Дифференциальные уравнения второго порядка
:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Подставляем Дифференциальные уравнения второго порядка
и Дифференциальные уравнения второго порядка
в уравнение (7.37):
Дифференциальные уравнения второго порядка
Сокращая обе части равенства на ex и сводя подобные члены, получим:
(–3A – B) sin x + (3B – A) cos x = cos x

Уравнивая коэффициенты при сos x и sin x в обеих частях
уравнения, получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Откуда   Дифференциальные уравнения второго порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка

Общее решение уравнения (7.37) будет:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример 5. Решить уравнение y» — 2 y + y = xex.

Решение.k2 — 2k + 1 = 0,k1 = k2 = 1,  Дифференциальные уравнения второго порядка.
f (x) = xex, α = 1. Число 1 — двукратный корень характеристического уравнения. Итак, r = 2.
Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставляем Дифференциальные уравнения второго порядка
в данное уравнение:
Дифференциальные уравнения второго порядка

или 6Ax + 2B = x, отсюда 6A = 1,2B = 0.
Итак,  Дифференциальные уравнения второго порядка
Поэтому Дифференциальные уравнения второго порядка,
а Дифференциальные уравнения второго порядка
— общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 6. Решить уравнение y» – 3 y’ = x2 + 1.

Решение.Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Число 0 — корень характеристического уравнения, поэтому r = 1.
Итак, Дифференциальные уравнения второго порядка
или  Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка
Подставляем  Дифференциальные уравнения второго порядка
в данное уравнение:
6Ax + 2B – 6Ax2 – 4Bx – 2C = x2 + 1 или
–6Ax2 + (6A – 4B) x + 2B – 2C = x2 + 1;
Дифференциальные уравнения второго порядка
Отсюда,  Дифференциальные уравнения второго порядка
Итак,  Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка
— общее решение данного уравнения.

Пример 7.  Найти частное решение уравнения  y » — 2 y ‘= e x (x2 + x — 3), удовлетворяющее начальным условиям Дифференциальные уравнения второго порядка

Решение. Ищем сначала общее решение данного уравнения. Для этого найдем уо.о. и уч.н.:
k2 — 2k = 0,   k (k – 2) = 0, k1 = 0, k2 = 2.

Поэтому уо.о. = С1 + С2e2x

Дифференциальные уравнения второго порядка, (Дифференциальные уравнения второго порядка = 1 — не является корнем характеристического уравнения).
Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставляем  Дифференциальные уравнения второго порядка
в данное уравнение, получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка
или  Дифференциальные уравнения второго порядка.
Отсюда
Дифференциальные уравнения второго порядка

Итак, Дифференциальные уравнения второго порядка
а    Дифференциальные уравнения второго порядка — общее решение данного уравнения.

Решим задачу Коши.
Дифференциальные уравнения второго порядка

Используем начальные условия

Дифференциальные уравнения второго порядка

Итак, y = e2x + ex (–x2 – x + 1) — искомое частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Пример 8. Решить уравнение у’ + 2 у = 5 x cos x + 3 sin x.

Решение. k2 + 2 = 0, k2 = –2,Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка
α = 0, β = 1, α + βi = i,   i — не является корнем характеристического уравнения.

Поэтому r = 0.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка
(Cx D) sin x.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставляем Дифференциальные уравнения второго порядка
данное уравнение, получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка

Таким образом, Дифференциальные уравнения второго порядка
а общее решение Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы рассмотрели метод неопределенных коэффициентов для отыскания частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Рассмотрим пример, когда частное решение уравнения нельзя найти методом неопределенных коэффициентов.

Пример 9. Решить методом вариации произвольных постоянных уравнение
Дифференциальные уравнения второго порядка

Решение. Ищем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид k2 + 3k + 2 = 0, корни которого k1 = -2; k2 = –1, поэтому общее решение однородного уравнения запишется:Дифференциальные уравнения второго порядка
Положим С1 = С1 (x),  С2 = С2 (x) и запишем систему уравнений:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Решаем систему уравнений относительно Дифференциальные уравнения второго порядка
и C’ (x) .  Из первого уравнения:
Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставим Дифференциальные уравнения второго порядка
во второе уравнение, получим:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка

Тогда аналогично найдем Дифференциальные уравнения второго порядка
и соответственно C1 (x):
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка

Подставим найденные C1 (x) и C2 (x) в общее решение однородного уравнения, получим общее решение данного неоднородного уравнения:
Дифференциальные уравнения второго порядка
или
Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение имеет вид Дифференциальные уравнения второго порядка, где Дифференциальные уравнения второго порядка— числа. Алгебраическое уравнение Дифференциальные уравнения второго порядка
называют характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения. Корни характеристического уравнения вычисляются по формуле Дифференциальные уравнения второго порядка

В зависимости от этих корней определяется общее решение дифференциального уравнения.

Если корни действительные и разные Дифференциальные уравнения второго порядка, то общее решение дифференциального уравнения выражается формулой

Дифференциальные уравнения второго порядка

В случае равных корней Дифференциальные уравнения второго порядкаобщее решение имеет вид

Дифференциальные уравнения второго порядка

Когда корни комплексно-сопряженные: Дифференциальные уравнения второго порядка, то общее решение дифференциального уравнения определяется формулой:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Если корни чисто мнимые Дифференциальные уравнения второго порядка, то

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение вида Дифференциальные уравнения второго порядка, где Дифференциальные уравнения второго порядка— числа, Дифференциальные уравнения второго порядка-заданная функция. Общее решение такого уравнения определяется формулой

Дифференциальные уравнения второго порядка, или Дифференциальные уравнения второго порядкагде Дифференциальные уравнения второго порядка
— общее решение соответствующего однородного уравнения , a Дифференциальные уравнения второго порядка— частное решение данного неоднородного уравнения. Это частное решение в простейших случаях Дифференциальные уравнения второго порядка— полином алгебраический или тригонометрический находится способом неопределенных коэффициентов.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(24.2.1)

где р и q — постоянные числа. Нахождение общего решения уравнения (24.2.1) сводится к чисто алгебраическим операциям.

Вид уравнения (24.2.1) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать, прежде всего, среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Таким свойством обладает показательная функция. Поэтому будем искать частные решения в видеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Так какЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то подставив в (24.2.1) значения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

МножительЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, не обращается в нуль ни при каких значениях х. Поэтому функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
тогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, когда число к является корнем уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(24.2.2)

Алгебраическое квадратное уравнение (24.2.2) называют характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (24.2.1). Его корни находятся по формулам:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

При этом могут представиться различные случаи, которые мы проанализируем подробнее.

  • Корни характеристического уравнения действительны и различны: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

В этом случае частными решениями будут функции:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

так как каждому из корней соответствует частное решение. Эти решения линейно независимы, потому что их отношение не равно постоянной величине:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда, в силу теоремы 24.1.6, общее решение уравнения (24.2.1) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

В силу, изложенного выше, составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и находим его корни: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как корни характеристического уравнения различны, то общее решение задается функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Частные решения можно записывать в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (24.2.1). Легко показать, что если какая-либо комплексная функция

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(24.2.3)

действительного аргумента удовлетворяет уравнению (24.2.1), то тгому уравнению удовлетворяют и функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Действительно, подставляя (24.2.3) в (24.2.1), получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Комплексная функция равняется нулю, когда равны нулю ее действительная и мнимая части. Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это означает, что функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияявляются решениями уравнения (24.2.1), если функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— решение уравнения (24.2.1).

Перепишем теперь комплексные частные решения в виде суммы действительной и мнимой частей: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда, частными решениями будут действительные функции:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Так как функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
линейно независимы, то общее решение уравнения (24.2.1) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

или

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— произвольные постоянные.

Заметим, что если в уравнении (24.2.2) р = 0,то характеристические корни чисто мнимые Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и решение

(24.2.4) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Согласно изложенному выше, составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и находим его корни: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Следовательно, общее решение определяется функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и найдем его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Поэтому, обutec решение будет определяться функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Корни характеристического уравнения действительные и равные: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения.

В этом случае, на основании случая 1, имеем одно частное решение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Нужно найти второе линейно независимое с первым. Будем его искать в виде Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где и(х) — неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя решениеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
находим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Подставляя функциюЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи се производные Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияв уравнение (24.2.1), и выполняя элементарные преобразования, получаем

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— кратный корень характеристического уравнения,

то Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Кроме того,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и поэтому в выражении (24.2.5) остается одно слагаемое, равное нулю: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Следовательно, для нахождения и(х) нужно решить уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Последовательно интегрируя уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, получаем: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. В частности, можно положить Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять функцию Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Это решение линейно независимое с первым:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения.

Поэтому общим решением будет функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и находим его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Так как корни характеристического уравнения кратные действительные, то общее решение определяется функцией:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

В этом параграфе мы остановимся на изучении структуры общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, т. с. уравнения вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Предположим, что уравнение (25.1.1) задано в области

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
называется общим решением уравнения (25.1.1) в области D, если для любой точки областиЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
равенства

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

разрешимы относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Иначе: функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
есть общее решение уравнения (25.1.1), если для любой точки из области D, можно указать такие значения постоянных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
что выполняются равенства (25.1.2), н, при таких значениях постоянных, функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
удовлетворяет уравнению (25.1.1).

Структура общего решения уравнения (25.1.1) определяется следующей теоремой.

Теорема 25.1.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (25.1.1) представляет сумму частного решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (24.1.1).

Доказательство. Пусть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и Y соответственно частное решение уравнения (25.1.1) и общее решение соответствующего однородного уравнения (24.1.1). Нужно доказать, что произвольные постоянные, входящие в него, можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия: приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— линейно независимые решения уравнения (24.1.1), то нужно доказать, что функция:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
является общим решением уравнения (25.1.1), т.е. нужно доказать, что равенства:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
разрешимы относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Подставляя в эти равенства начальные условия, получим систему относительно неизвестных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Эту систему можно переписать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Определитель последней системы является определителем Вронского, для функций Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. И так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решеннс. ОпределивЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, найдем функцию Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, которая определяет решение уравнения (25.1.1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Теорема 25.1.2. Если правая часть неоднородного уравнения (25.1.1) равна сумме двух функций:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(25.1.3)

то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Доказательство. Пусть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
частные решения уравнений (25.1.4). Тогда при подстановке их в уравнение (25.1.3), получим тождества:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Складывая, правые и левые части тождеств, получаем:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

откуда следует, что сумма Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
является решением уравнения (25.1.1).

Таким образом, для решения неоднородного линейного уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного и какое-либо частное решение исходного уравнения. Частное решение неоднородного линейного уравнения найти, вообще говоря, трудно Д1я уравнения (25.1.1). Мы остановимся на неоднородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, т.е. уравнениях вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
где р и q- постоянные коэффициенты, для которых существуют общие методы нахождения частных решений в зависимости от вида правой части.

Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Пусть задано уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(25.2.1)

где р и q — действительные числа. Покажем, что частное решение уравнения (25.2.1) иногда можно найти, не прибегая к интегрированию, а методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим эти случаи.

  • Правая часть уравнения (25.1.1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен n -ой степени.

Если число а не является корнем характеристического уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, составленного для соответствующего однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то частное решение нужно искать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени n с неопределенными коэффициентами Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Действительно, подставляя Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
в уравнение (25.2.1) и сокращая все члены на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
получаем:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени n. Значит в левой и правой частях равенства (25.2.3) записаны многочлены степени n, которые будут равными, если равны коэффициенты при равных степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из n + 1 уравнений для определения коэффициентов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Если же число а простой корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.

Действительно, если бы в этом случае стали искать частное решение в форме (25.2.2), то в равенстве (25.2.3) слева получили бы многочлен степени n-1, так как коэффициент при Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, т.е. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, равен нулю. Следовательно, ни при каких значениях Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
равенство (25.2.3) не было бы тождеством. Поэтому мы Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
умножаем на х.

Если же число а двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, так как кроме коэффициента при Q„(x), в равенстве (25.2.3), равен нулю и коэффициент приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и слева этого равенства будет стоять многочлен степени n — 2. При этом свободный член многочлена Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, в этом случае, и член первой степени исчезнут при дифференцировании и их можно не включать в частное решение.

Замечание. Если правая часть уравнения (25.2.1) не содержит множителя Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то следует рассматривать а = 0 и частное решение искать в виде Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, учитывая при этом какой кратности нуль является корнем характеристического уравнения.

Пример №1

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Вначале находим общее решение соответствующего однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Оно имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Далее ищем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть заданного уравнения равна произведению многочлена на экспоненциальную функциюЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и так как коэффициент 3 в показателе экспоненты не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Вычисляя первую и вторую производные этого выражения и подставляя в дифференциальное уравнение, получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Сокращая на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

решая которую, находим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Следовательно, частным решением является функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Общее решение заданного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Пусть теперь правом часть уравнения (25.2.1) представляет собой произведение многочленов на тригонометрические функции и показательную функцию’.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— многочлены степени n и m. Тогда частное решение определяется следующим образом:

если число Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияне является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения<br>;

если число Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияявляется корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Заметим, что формы частных решений (25.2.5) и (25.2.6) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (25.2.1) один из многочленов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
тождественно равен нулю, т.е. когда

правая часть равнаЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Кроме того, если правая часть уравнения (25.2.1) имеет вид:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,

где М и N — постоянные числа, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,

где А и В постоянные, подлежащие определению, когда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияне являются корнем характеристического уравнения; если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияявляется корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример №2

Найти общее решение линейного неоднородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения определяется функцией:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Согласно теории, изложенной выше, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где А и В -постоянные, подлежащие определению. Их определим, подставляя частное решение и его производные в заданное уравнение:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosx и sinx, получаем систему из двух уравнений:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решая эту систему, находим:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения.

Следовательно, частное решение определяется функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
а общее — функцией:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно производной Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида (25.3.1) относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части, зависит только от одного из трех аргументов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Рассмотрим также уравнения, допускающие понижение порядка, в которых функция зависит только от двух из трех аргументов: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Общее решение уравнения (25.3.2) находится двукратным интегрированием. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример №3

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Вычислим интегралы от обеих частей заданного уравнения, представив вторую производную в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Поскольку интеграл от производной функции равен самой функции, то, последовательно интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

При интегрировании уравнения (25.3.3) вводится подстановка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Тогда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и уравнение принимает вид Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— Аналогично, подстановкойЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияуравнение (25.3.4) приводится к виду Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Преобразованные уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример №4

Найти частное решение дифференциального уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, удовлетворяющее условиям: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
при х = 1.

Решение:

Заданное уравнение относится к виду (25.3.3). Положим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Подставив, получим уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
с разделяющимися переменными. Умножив на dy, и вычислив интегралы от обеих частей, последовательно находим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Выполним обратную подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
или Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Решение этого уравнения найдем, вычислив интегралы от обеих частей. Интеграл Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
при помощи подстановки Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
сводится к интегралу от рациональной дроби Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, который вычисляем, разложив рациональную дробь в сумму элементарных дробей:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

УравнениеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения(25.3.5) подстановкой Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияприводится к уравнению первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияc неизвестной функцией p.

Пример №5

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Положим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и заданное уравнение примет видЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Это линейное уравнение, которое интегрируем при помощи интегрирующего множителя

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Умножив на интегрирующим множитель, получимЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Проинтегрировав обе части, последовательно находим z: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Подставив Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Вычислив интегралы левой и правой частей уравнения, находим общий интеграл:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Уравнение (25.3.6), Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, подстановкой Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
сводится к уравнению

первого порядка:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, в котором z функция, а у аргумент.

Пример №6

Проинтегрировать уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Заданное уравнение имеет вид (25.3.6). Применим подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Тогда исходное уравнение преобразуются к уравнению с разделяющимися переменными: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Разделив переменные, последовательно находим:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Выполнив обратную подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, получим два уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,. Интегрируя эти уравнения, найдем:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Оцените статью
Блог про прикладную математику