Квадратичная функция, как построить параболу

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» — это переменная функции или аргумент, а «y» — зависимая переменная или значение функции.

Установка функции означает определение правила, согласно которому могут быть найдены соответствующие значения независимой переменной. Вот способы, которыми вы можете его установить:

  • Табличный способ. Помогает быстро определять конкретные значения без дополнительных измерений или расчетов.
  • Графический способ: понятно.
  • Аналитическим путем, с помощью формул. Он компактен, и вы можете вычислить функцию для произвольного значения аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» вы можете подставить произвольные значения в функцию и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — числа, обязательное условие — 0. Уравнение имеет следующее распределение:

  • а — главный коэффициент, отвечающий за ширину параболы. Большое значение a означает узкую параболу, маленькое значение означает большую параболу.
  • b — второй коэффициент, отвечающий за смещение параболы от центра координат.
  • c — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью y.

График квадратичной функции представляет собой параболу, которая при y = x2 имеет следующий вид:

График квадратичной функции

Точки, отмеченные зелеными кружками, называются базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно создать таблицу:

икс -2 −1 0 1 2
да 4 1 0 1 4

Если главный коэффициент в уравнении квадратной функции равен единице, график имеет ту же форму, что и y = x2 для любого значения остальных коэффициентов.

График функции y = –x2 имеет вид перевернутой параболы:

График функции y = –x2

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

икс -2 −1 0 1 2
да −4 −1 0 −1 −4

Глядя на оба графика, вы можете увидеть их симметрию относительно оси OX. Обращаем внимание на важные выводы:

  • Если главный коэффициент больше нуля при> 0, ветви параболы направлены вверх.
  • Если главный коэффициент меньше нуля при <0, ветви параболы направлены вниз.

Как построить график квадратичной функции: учитывать значения x, где функция равна нулю. В противном случае ее можно назвать нулевой функцией. На графике нули функции f (x) — это точки пересечения y = f (x) с осью OX.

Поскольку ордината (y) любой точки на оси OX равна нулю, следовательно, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y = f (x) с осью OX, необходимо решить уравнение е (х) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c, для построения которой необходимо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе мы найдем дискриминант D = b2 — 4ac, который будет дают нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  • Если D <0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью OX. Если a> 0, график выглядит так:
    график при условии D <0
  • Если D = 0, уравнение имеет решение, и парабола пересекает ось OX в точке. Если a> 0, график выглядит так:график при условии D = 0
  • Если D> 0, то уравнение имеет два решения и парабола пересекает ось OX в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a> 0, график выглядит так:

график предоставлен при> 0

Исходя из вышеизложенного, ясно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы понимаем, как будет выглядеть график той или иной функции.график со всеми проанализированными условиями

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим образом:

граф к формуле, чтобы найти координаты вершины параболы

Ось симметрии параболы — это прямая линия, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY.

Для построения графика нам понадобится точка пересечения параболы с осью OY. Поскольку абсцисса каждой точки на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, вам нужно подставить ноль в уравнение вместо x: y (0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении показаны основные параметры графика квадратичной функции:

основные параметры графика квадратичной функции

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстрима — главный шаг в решении многих практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн-калькуляторы, но лучше уметь это делать самому.

Свойства параболы и графика квадратичной функции

Как вы можете это определить? Есть особая формула. Когда b не равно 0, вам нужно найти координаты этой точки.

Формулы поиска саммита:

  • х0 = -b / (2 * а),
  • у0 = у (х0).

Пример.

Есть функция y = 4 * x2 + 16 * x — 25. Находим вершины этой функции.

Для этой строки:

  • х = -16 / (2 * 4) = -2,
  • y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в зависимости от того, как задана квадратичная функция.

Свойства и график квадратичной функции

Функция имеет ось симметрии и центр (крайний). Область определения: все значения по оси абсцисс.

Свойства параболы и графика квадратичной функции

Диапазон значений функции — (-∞, M) или (M, + ∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр M здесь указывает значение функции в верхней части строки.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2×2 + 3x — 5.

Как мы строим:

  1. Определите направление ветвей параболы. Поскольку a = 2> 0, ветви параболы направлены вверх.
  2. Найдите дискриминант квадратного трехчлена 2×2 + 3x — 5.

D = b2 — 4ac = 9-4 * 2 * (-5) = 49> 0

√D = 7

В этом случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью OX. Чтобы найти их координаты, решаем уравнение:

2×2 + 3x — 5 = 0

  1. Координаты вершины параболы:
  • Точка пересечения с осью OY составляет: (0; -5) и симметрична ей.
  • Постройте эти точки на координатной плоскости и постройте параболу:
    график параболы примера 2x2 + 3x - 5 = 0

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + bx + c второй и третий параметры равны 0 и = 1 — вершина находится в точке (0, 0).

Свойства параболы и графика квадратичной функции

Смещение по оси абсцисс или ординат связано с изменением параметров b и c соответственно. Перемещение линии по плоскости будет производиться ровно на то количество единиц, которое равно значению параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классическая форма кривой будет перемещать 2 единичных сегмента по абсциссе и 3 по ординате.

Уравнение параболы в полярной системе координат

Уравнение параболы в полярной системе координат (рис. 3.45, в) имеет вид

где — параметр притчи, а — ее эксцентриситет.

Действительно, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — радиус с началом в точке, перпендикулярной директрисе и не пересекающей ее (рис. 3.45, в). Тогда для произвольной точки, принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (свойству директории) параболы, мы имеем. Поскольку, получаем уравнение параболы в координатной форме:

Обратите внимание, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, так как они отличаются эксцентриситетом (для эллипса, для параболы, для гиперболы).

Как строить параболу по квадратному уравнению

школьникам важно научиться правильно рисовать параболу по указанным параметрам.

Свойства параболы и графика квадратичной функции

Анализируя выражения и уравнения, вы можете увидеть следующее:

  1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное c.
  2. Все точки на графике (по оси абсцисс) будут симметричными относительно главного конца функции.

Кроме того, точки пересечения с OX можно найти, зная дискриминант (D) этой функции:

D = (b2 4 * a * c).

Для этого установите выражение равным нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

  • D ˃ 0, поэтому x1, 2 = (-b ± D0.5) / (2 * a),
  • D = 0, поэтому x1, 2 = -b / (2 * a),
  • D ˂ 0, то точек пересечения с вектором OX нет.

Получаем алгоритм построения параболы:

  • определить направление ветвей,
  • найти координаты вершины,
  • найти пересечение с осью y,
  • найти пересечение с абсциссой.

Пример 1.

Дана функция y = x2 5 * x + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

  1. a = 1, поэтому ветви направлены вверх,
  2. крайние координаты: x = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4,
  3. пересекает ординату при значении y = 4,
  4. найти дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
  5. в поисках корней:
  • Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
  • Х2 = (5-3) / 2 = 1, (1, 0).

Из полученных точек можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции y = 3 * x2 2 * x 1 вам нужно построить параболу. Действуем по заданному алгоритму:

  1. a = 3, поэтому ветви направлены вверх,
  2. крайние координаты: x = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3) 2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
  3. ось y будет пересекаться при значении y = -1,
  4. найти дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Итак, корни:
  • Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1.0),
  • Х2 = (2-4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

Из полученных точек можно построить параболу.

Гипербола

Гипербола — это прямая линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которой до двух заданных точек Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений— постоянное значение (не равно нулю и меньше расстояния между Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений).

Точки Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийих называют огнями гиперболы. Пусть, как и раньше, расстояние между фокусами равно 2s. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийобозначим с. По условию, чтобы <>

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составим ее уравнение: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений(7.6) где xy — координаты произвольной точки гиперболы,Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Уравнение (7.6) показывает, что Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Это означает, что вся гипербола находится вне полосы, ограниченной прямыми x = -a и x = a.

Поскольку уравнение включает только четные степени x и y, гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола построена по симметрии. Из уравнения (7.6) для первого квартала имеем:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

График этой функции от точки A (a, 0) неограниченно идет вправо и вверх (рис. 7.7) и приближается к прямой на столько, сколько вы хотите:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Поэтому говорят, что гипербола бессимптомно приближается к прямой (7.7), и эта прямая называется асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что она имеет две асимптоты

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Построим гиперболу. Сначала строим так называемый главный прямоугольник гиперболы, центр которого совпадает с началом координат, а стороны 2a и 2b параллельны осям координат. Прямые, на которых лежат диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Рисуем рисунок гиперболы (рис.7.8).

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийпересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситет гиперболы — это числоКривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Для любых преувеличений Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем она меньше, тем больше гипербола простирается вдоль оси быка. На рис. 7.9 показаны гиперболы с разными значениями £.

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Фокусные лучи точки гиперболы — это отрезки прямых, которые соединяют эту точку с фокусамиКривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Их длина Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийа также Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийдаются формулами:

Справа — ветки Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений,

Слева — ветви Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Прямой Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийони называются гиперболическими руководящими принципами. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление такой кривой из выражения, необходимо определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если на 0, то они направлены вверх. Если наоборот — вниз.

Кривые второго порядка в высшей математике

Выяснение взаимосвязи между различными показателями экономического характера часто приводит к форме этих взаимосвязей в виде гиперболы и параболы. В этом уроке мы дадим краткую информацию обо всех кривых второго порядка.

Окружность

Определение 9.1. Круг — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки — центра круга.

Если я укажу Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
— центр (рисунок 9.1), N (x, y) — произвольная точка окружности, а R — ее радиус, поэтому по определению можно написать

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

или

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Найдем условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

определяет круг. Раскладывая скобки в (9.1.1), получаем

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Сравнивая (9.1.2) и (9.1.3), находим условия A = C, B = O,

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
, при котором общее уравнение (9.1.2) определяет окружность.

Эллипс

Определение 9.2. Эллипс — это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами, является постоянной величиной, превышающей расстояние между фокусами.

Для эллипса с фокусами на плоскости xOy (рис. 9.2 Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
а такжеКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
… Пусть начало координат будет в середине отрезка Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
… Выводим уравнение эллипса.

Если точка A — произвольная точка эллипса с координатами (x, y), то

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(9.2.1)

где это находится Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
— постоянная сумма. Потому что Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

они расположены симметрично относительно начала координат, поэтому имеют координаты (ñ, 0) и (-с, 0) соответственно. Используя формулу для расчета расстояния между двумя точками, находим Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
… Подставляем значения Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

а также Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
в (9.2.1) получаем уравнение Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Мы учетверим обе части этого уравнения. Упростить и обозначитьКривые второго порядка - определение и график с примерами решений

получатьКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
… Разделим обе части уравнения на правую часть

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Уравнение (9.2.2) называется каноническим уравнением эллипса, где a — большая полуось, b — малая полуось.

Это уравнение второго порядка, поэтому эллипс является линией второго порядка. Для определения формы эллипса используется его эксцентриситет Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
, то есть отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой полуоси. Поскольку сКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
a, то эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. До такой степени, что

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, а затем подставив значение Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
в равенствеКривые второго порядка - определение и график с примерами решений, у нас есть Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Следовательно, эксцентриситет определяется соотношением осей эллипса; а соотношение осей определяется эксцентриситетом. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, следовательно, чем меньше отношение Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Это означает, что эллипс вытянут по оси быка. В случае b = aeКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
получаем круг.

Две линии, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
отсюда их называют эллиптическим директором. Ведущие уравнения

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Пример:

Исследуйте, какая линия определяется уравнениемКривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Решение:

Группируя термины, содержащие одну и ту же переменную, получаемКривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Из второй скобки извлекаем коэффициент a Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, после чего предыдущее уравнение примет вид

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

В каждой из скобок выберите полный квадрат

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

или Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Сделаем замену: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Исследуемое уравнение принимает вид: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений.

Разделив обе части этого уравнения на Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, получаем каноническую форму этого уравнения:Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Данное уравнение определяет эллипс с полуосями Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийчей центр находится в точке Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Выберем произвольным образом прямоугольную систему координат xOy на плоскости. Используя параллельный перенос, переносим оси координат в новое начало в точке Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… В новой системе координат постройте основной прямоугольник со сторонами Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Входим в эллипс.

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Гипербола

Определение 9.3.1. Гипербола — это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами, является постоянной величиной, меньшей, чем расстояние между фокусами, и отличной от нуля (указанная разница принимается как абсолютная величина). Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Пусть M — произвольная точка гиперболы с фокусами Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(рис. 9.4) сегменты Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
они называются фокальными лучами точки M и обозначаются Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
По определению гиперболы Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Потому что Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
и с тех пор Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
расположены симметрично относительно начала координат, поэтому, используя формулу для расчета расстояния между двумя точками, находим Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Замена Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
в равенстве Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
найденных выражений, получаем:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат и обозначая Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, у нас есть: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
или, разделив все члены уравнения на правую часть, возьмем его в виде:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Уравнение (9.3.1) — каноническое уравнение гиперболы, линии второго порядка.

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично вокруг осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником. Его диагонали совпадают с асимптотами гиперболы Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Следовательно, если необходимо построить гиперболу с полуосями a и b, то нужно сначала построить ее главный прямоугольник, а затем асимптоты.

Уравнение формыКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
определяет гиперболу, вершины которой лежат на оси Oy (рис. 9.5).

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Форма гиперболы отличается эксцентриситетом Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, то есть отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами. До такой степени, что Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, затем подставив в формулу Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
получатьКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
где это находитсяКривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Следовательно, эксцентриситет представлен отношением Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийи отношения Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений— неординарность. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, что означает, что основной прямоугольник растягивается в направлении оси, соединяющей вершины.

Линии, заданные уравнениями Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
они называются гиперболическими руководящими принципами.

Пример:

Изобразите уравнение геометрического места точек, у которых отношение расстояний от заданной точки A (4, 0) до заданной прямой x = 1 равно 2.

Решение:

В системе координат xOy построим точку A (4, 0) и прямую x = 1. Пусть M (x, y) — произвольная точка искомого геометрического места точек. Опускаем перпендикуляр MB к ​​этой прямой x = 1 и определяем координаты точки B. Поскольку точка B лежит на заданной прямой, ее абсцисса равна 1. Ордината точки B равна ординате точки M. Следовательно, B (1, y) (рис. 9.6) Из условия задачи Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений.Замена значений расстоянияКривые второго порядка - определение и график с примерами решений, которое мы находим с помощью формулы для расстояния между двумя точками, получаем:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Возводя в квадрат левую и правую части равенства и последовательно преобразуя, находим уравнение:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Полученное уравнение определяет гиперболу, для которой действительная полуось -a = 2, а мнимая Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений.

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы равенство Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Следовательно, Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений.A Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
— очаги гиперболы. Как видите, данная точка

A (4, 0) — правый фокус гиперболы.

Эксцентриситет полученной гиперболы равен Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Подставляя значения a и b в уравнения асимптот Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
а такжеКривые второго порядка - определение и график с примерами решений

y = — получаем уравнения асимптот гиперболы:Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийа также Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений.

Для построения гиперболы строим базовый прямоугольник с полуосями Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, приступим к асимптотам Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
а такжеКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
а затем строим саму гиперболу (рис. 9.6). Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Парабола

Определение 9.4.1. Парабола — это место точек, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию от фиксированной линии, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Обозначим фокус параболы — F, расстояние от фокуса до направляющей — p (p> 0) (рис. 9.7). Проведите ось абсцисс через фокус F перпендикулярно направляющей. Начало координат будет посередине между фокусом и направляющей. Пусть A — произвольная точка координатной плоскости (x, y) и пусть Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
… Тогда точка A лежит на параболе, если r = d, где d — расстояние от точки A до директрисы. Focus F имеет координаты Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
.

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Следовательно Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
И расстояние Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
Подставив в формулу r = d, получимКривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Возводя обе части равенства в квадрат, получаемКривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
или

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(9.4.1)

Уравнение (9.4.1) — каноническое уравнение параболы. Уравнения Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
также определите притчи.

легко доказать, что уравнение Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если a> 0, и нисходящей, если a Кривые второго порядка - определение и график с примерами решенийА. Для этого выделите весь квадрат:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

и делаем параллельный перенос с формуламиКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

В новых координатах преобразованное уравнение примет вид: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
где p — положительное число, определяемое равенствомКривые второго порядка - определение и график с примерами решений.

Пример:

Пусть задана точка F и прямая y = -1 (рис. 9.8). Множество точек P (x, y), для которых расстояние | PF | равно расстояниюКривые второго порядка - определение и график с примерами решенийэто называется притчей. Прямая y = -1 называется направляющей параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы узнать, как находятся точки P, удовлетворяющие условиюКривые второго порядка - определение и график с примерами решений, запишем это равенство через координаты: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, или после упрощения Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Методы нахождения координат вершины

Очень часто при решении задач функция квадратичного типа может быть представлена ​​в определенной форме, которую нужно привести в удобочитаемый вид с помощью математических преобразований. Последний термин означает, что необходимо преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и принципиальной схемы. Это делается по следующему алгоритму для примера z = t ^ 2 + 4t + 2:

Притча

  1. Приравнять к нулю (квадратное уравнение): t ^ 2 + 4t + 2 = 0.
  2. Выполните подготовительную операцию, чтобы выделить квадрат: t ^ 2 + 4t + 2 + 2-2 = 0.
  3. Выберите формулу сокращенного умножения — квадрат: (t + 2) ^ 2 -2 = 0.
  4. Переместите «-2» вправо, то есть (t + 2) ^ 2 = 2.
  5. Найдите вершину на основе решения тождества без «-2″.
  6. Определяет ординату z: z = — (2), которая представляет собой число из правой части выражения, умноженное на -1.
  7. Вычислите координату фокуса (смещение от начала координат): (t; z) = (- 2; -2).

Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако есть другой способ определить вершину, где применяется производная функции:

  1. Найдите производную: z ‘= 2t + 4.
  2. Установите z ‘равным нулю: 2t + 4 = 0.
  3. Найдите корень: t = -2.
  4. Замените исходную функцию, чтобы найти ординату, которая равна z = -2.
  5. Координата вершины: (-2; -2). То же, что и в предыдущем примере.

Существуют программные продукты для определения параметров блюда. Имена имеют английскую номенклатуру, то есть «притча».

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2×2 + 3x — 5 при a = 1 второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как мы строим:

  • Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого вам понадобятся:
  1. построить y = x2,
  2. умножьте ординаты всех точек на графике на 2,
  3. переместите его по оси OX на 1 единицу вправо,
  4. переместите его по оси OY на 4 единицы вверх.
  • Нарисуйте притчу для каждого случая.график параболы для каждого случая уравнения y = a * (x - x₀) 2 + y₀

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(7,9)

где между коэффициентами A, B, C стоят ненулевые, то есть (7.9) является уравнением второй степени относительно x и y.

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: Oxy, которую мы назовем старой, и новую, полученную из Oxy, повернув ее на угол вокруг начала координат Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений

Старые координаты x, y выражаются через новые координаты Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
из формул:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(7.10)

Подставляя выражения для x и y в уравнение (8), получаем: Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(7.11)

Это уравнение в системе координат Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
определяет ту же линию, что и уравнение (7.9) в системе Oxy.

Если в уравнении (7.9) Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений, поэтому, выбирая угол a в (7.10), можно получить, что B ‘= 0. Для этого угол a должен быть взят таким образом, чтобы Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений… Поэтому будем считать, что B ‘= 0, поэтому уравнение (7.11) примет вид:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос осей координат, мы приходим к уравнению:

Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

  • Я. Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    то уравнение (7.13) принимает видКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    Это уравнение эллипса.
  • II. Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    , следовательно, обозначая Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    у нас есть Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    Это уравнение не удовлетворяет ни одной точке с координатами x, y. Следовательно, это уравнение определяет пустой набор.
  • III. Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    ОбозначениеКривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    приведем уравнение (12) к виду Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    Это уравнение гиперболы.
  • IV случаи Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    не дают новых результатов.
  • В. Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    Тогда уравнение (7.13) можно привести к виду Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    … Это уравнение определяет пару прямых линий Кривые второго порядка - определение и график с примерами решений
    пересекаются в начале координат.

Рассматривая далее методически все случаи, приходим к выводу: уравнение вида (7.9) определяет одну из следующих фигур: эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямых, прямая линия, точка или пустой набор.

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51), получаем, т.е.. Следовательно, параметр равен половине длины хорды параболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно оси параболы.

Фокальный параметр параболы, а также эллипса и гиперболы составляет половину длины струны, которая проходит через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (см. Рис. 3.45, c). Из уравнения параболы в полярных координатах получаем, что параметр параболы совпадает с ее фокальным параметром.

  • Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше, чем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем уже ветви параболы (рис. 3.46).
  • Уравнение (в) определяет параболу, которая лежит слева от оси ординат (рис. 3.47, а). Это уравнение сводится к каноническому изменением направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47, а показаны заданная и каноническая системы координат .
  • Уравнение определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси абсцисс (рис. 3.47.6). Это уравнение сводится к каноническому с помощью параллельного переноса (3.36).

Уравнение также определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси ординат (рис. 3.47, c). Это уравнение сводится к каноническому за счет параллельного переноса (3.36) и переименования осей координат (3.38). На рис. 3.47, б, в показаны заданные системы координат и канонические системы координат .

  • График квадратного трехчлена представляет собой параболу с вершиной в точке, ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (в) или вниз (в). Фактически, выделив полный квадрат, мы получим уравнение

что сводится к канонической форме, где, используя замену и .

Знак выбирается так, чтобы он совпадал со знаком основного коэффициента. Эта замена соответствует композиции: параллельный перенос (3.36) с помощью и, переименование осей координат (3.38), а в случае изменения направления оси координат (3.37). На рис. 3.48, а, б показаны указанные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.

  • Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку изменение переменной на не меняет уравнение (3.51). Другими словами, координаты точки, принадлежащей параболе, и координаты точки, симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.

Пример 3.22. Нарисуйте параболу в канонической системе координат. Найдите параметр фокуса, координаты фокуса и уравнение направляющей.

Решение. Строим параболу с учетом ее симметрии относительно оси абсцисс (рис. 3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставив параболы в уравнение, мы получим. Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.

Сравнивая данное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр:. Координаты фокуса, например… Составим уравнение директрисы, т.е.

Пример решения

Для практического применения теоретических знаний о параболе рекомендуется решать задачи. Условие одного из них формулируется следующим образом: дана формула функции параболы f = (t + 2) ^ 2 -3t ^ 2 + 8t-5 + 3 (t-1) ^ 2, для которой необходимо подготовить данные для построения графика в схематическом виде (8 значений). Ее следует решать по следующей методике:

Уравнение параболы

  1. Раскройте скобки и приведите аналогичные элементы: f = t ^ + 4t-1.
  2. Равно 0: t ^ 2 + 4t-1 = 0.
  3. Выберите квадрат: (t + 2) ^ 2-5.
  4. Прямая передача: (t + 2) ^ 2 = 5.
  5. Вершина с координатами: (-2; -5).
  6. Вычислите нули функции с абсциссами: t ^ 2 + 4t-1 = 0. Корни: t1 = -2- (5) ^ 0,5 и t2 = -2 + (5) ^ 0,5. Координаты: (-2- (5) ^ 0,5,0) и (-2+ (5) ^ 0,5,0)
  7. Нули функции (пересечение ординаты при t = 0): (0 + 2) ^ 2-5 = -1. Координата — (0; -1).
  8. Строим стол.
ж -5 -3 -1 0 -5 0 -1 -3 -5
т -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Вы можете приступить к построению диаграммы. Специалисты советуют нарисовать его карандашом. Отметить нужно только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать нули функции на графике, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку квадрат коэффициента 1> 0.

Таким образом, парабола — это кривая 11 порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий тел в пространстве, а также для описания квадратичной связи между двумя величинами.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке показана прямоугольная система координат (XOY), одна крайность, направление рисования ветвей функции по оси абсцисс.

Каноническое уравнение:

у2 = 2 * р * х,

где коэффициент p — фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре это будет записано иначе:

y = a x2 + bx + c (узнаваемый образец: y = x2).

Оцените статью
Блог про прикладную математику