Комплексные числа в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждое комплексное число геометрически связано с точкой на плоскости. Но положение точки на плоскости, помимо декартовых координат, может быть зафиксировано другой парой — ее полярными координатами в полярной системе.

Значение не отрицательное и однозначно определяется для данной точки, а угол может принимать бесконечное количество значений (в данном случае): если точка соответствует определенному значению, то значения также соответствуют Это. Например, если вы выбираете для точки, то ей соответствует любое, в частности, для. Если мы выберем, то и за получим .

Используя связь декартовых и полярных координат точки, из алгебраической формы записи комплексного числа получаем тригонометрическую форму.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, демонстрируется важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ .

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы комплексного числа (5) следует, что любое комплексное число, отличное от нуля z = x + iy, можно записать в виде

z = re iφ ,

где r и d — модуль и аргумент этого числа соответственно, а модуль удовлетворяет неравенству r> 0 .

Регистрация комплексного числа в форме (7) называется экспоненциальной (экспоненциальной) формой регистрации комплексного числа.

Формула (7) влечет, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что по модулю комплексного числа

cos φ + I sin φ,

или, что то же самое, числа и iφ для любого значения, равного 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для умножения, деления и возведения комплексных чисел в натуральную степень.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме, выполняется по формулам

Поэтому при умножении комплексных чисел их модули умножаются и аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разнице между аргументами делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r и iφ в естественную степень выполняется по формуле

Другими словами, когда комплексное число возводится в степень, которая является натуральным числом, модуль числа повышается до этой степени, а аргумент умножается на показатель степени.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Сложение и вычитание комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 выполняется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x1 + i y1 и x2 + i y2, например, по формулам

z1 + z2 =
= х1 + я у1 + х2 + я у2 =
= х1 + х2 + я (у1 + у2) ,

z1 — z2 =
= x1 + i y1– (x2 + i y2) =
= x1– x2 + i (y1– y2) .

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2, а также операции сложения и вычитания производятся по правилам умножения двучленов (многочленов), однако учитывается важнейшее равенство, который имеет вид: я 2 = — 1 .

По этой причине

z1z2 = (x1 + я y1) (x2 + я y2) =
= x1x2 + я x1 y2 +
+ я y1x2 + я 2y1 y2 =
= x1x2 + я x1y2 +
+ я y1x2 — y1 y2 =
= x1x2 — y1 y2 +
+ я (х1 у2 + я х2 у1) .

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число, для которого от а, то есть, то из (1.3) получим экспоненциальную запись для комплексного числа: (1.4)

Равенство называется формулой Эйлера.

Обратите внимание, что задание комплексного числа геометрически эквивалентно заданию вектора, длина которого равна, то есть направление находится под углом к ​​оси (рис. 1.3, б).

Модуль комплексного числа

Число — длина радиус-вектора точки называется модулем комплексного числа. Обозначение: .

Мы получаем формулу для нахождения модуля заданного числа в алгебраической форме (1.5) Очевидно и только для числа. Воспользовавшись правилом вычитания, запишем форму числа, где и А это, как известно, формула расстояния между точками и. Следовательно, число — это расстояние между точками и в комплексной плоскости.

• Найдите формы комплексных чисел:

Решение

Находим решение для каждого из трех случаев:

1. числа и действительные числа, т.е. Следовательно;
2. числа и являются чисто мнимыми, и. Следовательно, то есть, или;
3. для имеющегося у нас числа. Следовательно.

Возведение в степень. Формула Муавра

Когда комплексное число возводится в натуральную степень, модуль увеличивается до этой степени, а аргумент умножается на показатель степени.
= 218 (cos6π + i * sin6π) = 218 = 262144

Что делать, если комплексное число нужно возвести в большую степень. Например: (1 + i) 988. Достаточно сначала возвести это комплексное число во вторую степень:
(1 + i) 2 = 2i, а затем 2i988 / 2 = 2i494 = 2494i494 = 2494 (-1) 247 = -2494

Все вычисления комплексных чисел можно проверить онлайн.
Примечание:

• abs — модуль комплексного числа | z |. Пример: абс (-5,5-6,6i)
• arg — аргумент комплексного числа. Пример: arg (5.5 + 6.6 i)
• Пример 1. Напишите комплексное число в тригонометрической форме.

z = -1-4i Основная формула: z = | z | cos (φ + 2πk) + i sin (φ + 2πk), где φ = arctan ((- 4) / (- 1));
Алгоритм

1. найти угол.
2. найти модуль | z | = sqrt (x2 + y2).

• Найдите тригонометрическую форму комплексного числа z = -1-4i
• Действительная часть комплексного числа: x = Re (z) = -1
  Мнимая часть: y = Im (z) = -4
  Модуль комплексного числа:

  Поскольку x <0, y <0, то arg (z) находится как:
  Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-4i

  Найдите экспоненциальную форму комплексного числа

Пример № 2. Как преобразовать тригонометрическую форму комплексного числа в алгебраическую.

Модуль комплексного числа равен 2, то есть
или x2 + y2 = 4
Аргумент комплексного числа
Получаем систему двух уравнений:
х2 + у2 = 4
Выразите и замените в первом выражении:

Аргумент комплексного числа

Полярный угол точки называется аргументом комплексного числа. Обозначение: .

В дальнейшем, если нет конкретных резервов, подразумевается значение, удовлетворяющее условию. Итак, для одной точки .

Формула для нахождения аргумента комплексного числа, заданного в алгебраической форме, получается с использованием соотношения декартовых и полярных координат точки (см. Рис. 1.3, б). Для точек, которые не лежат на мнимой оси, например, для которых мы получаем; для точек положительной мнимой полуоси, например для, следовательно, мы имеем; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е для, для которых соответственно .

Аргумент числа — неопределенное значение.

Поиск аргумента a сводится к решению тригонометрического уравнения. Когда, например, когда это действительное число, у нас есть at и at. Когда, решение уравнения зависит от четверти плоскости. Четвертый, в котором находится точка, определяется знаками и. Следовательно, получаем: (1.6)

При решении примеров удобно использовать схему, представленную на рис. 1.5.

• Пример 1.14. Найдите аргументы чисел в примере 1.13.

Решение

1. Как и в примере 1.13, решаем задачу для каждого из трех случаев:
2. числа и действительные, а значит (см. Рис. 1.4);
3. числа и являются чисто мнимыми, а значит (см. Рис. 1.4);
4. для числа, которое мы имеем, следовательно, из находим; так как в этом случае (точка находится во второй четверти, рис. 1.4), то получаем (рис. 1.5) или .

• Пример 1.15. Найдите форму и тему номера .

Решение. Мы нашли. Так как, например, точка находится в четвертой четверти, то из равенства получается (рис. 1.5).

Действия с комплексными числами

z2 = -1-я

1. Сложение комплексных чисел (действительная и мнимая части складываются отдельно)
2. Вычитание комплексных чисел (действительная и мнимая части вычитаются отдельно)
3. Умножение комплексных чисел
4. Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

Когда вы умножаете два комплексных числа в тригонометрической форме, их модули умножаются и аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2)

Следовательно
z1 z2 = r1r2 cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)
Что делать, если указано сложное комплексное выражение. Его можно упростить, используя следующее правило. Например:

необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).

Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа неоднозначен. Это происходит из-за неоднозначности указания значения угла для данной точки, а также из-за тригонометрической формы записи комплексного числа и свойств периодичности функций и .

Любой угол, отличный от кратного, обозначается и записывается равенством: (1.7)

где — главное значение аргумента, .

• Пример 1.16. Также запишите числа .

Решение. Цифры и являются действительными, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

числа и являются чисто мнимыми, отложенными на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

• Пример 1.17. Запишите комплексные числа из примера 1.16:
• в тригонометрической форме;
• в ориентировочной форме.

Решение

Абсолютные значения всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:

• Пример 1.18. Напишите числа в тригонометрической форме .

Решение

Числа и записываются в алгебраической форме (обратите внимание, что данная запись чисел не является формой тригонометрической записи (ср. С (1.3)). Абсолютные значения чисел находим по формуле (1.5):

Далее находим аргументы. Для числа имеем и, поскольку (точка находится в третьей четверти), получаем (см. Рис. 1.5). Для числа имеем, или, и, поскольку (точка находится в четвертой четверти (см. Рис. 1.5)), получаем .

Пишем числа и в тригонометрической форме

Обратите внимание, что решение для числа можно найти иначе, а именно, используя свойства тригонометрических функций: .

Число — это произведение двух чисел. Как только умножение будет выполнено, мы получим алгебраическую форму записи (найти и):. Здесь, что касается числа, при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, т.е .

Рассуждая, как выше, мы найдем. Для числа, записанного в алгебраической форме, мы получаем тригонометрическую форму:

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Мы получаем условия равенства комплексных чисел, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Итак, для чисел из условия очевидно следует:

Аргументы равных комплексных чисел равны (в частности, равны главные значения) или различаются для кратного члена .

Для пары сопряженных комплексных чисел и справедливы следующие равенства:

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy, у которых действительные части совпадают, а мнимые части различаются знаком, называются сопряженными комплексными числами.

Операция перехода от комплексного числа к сопряженному комплексному числу называется операцией комплексного сопряжения, она обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Представим два комплексных числа в тригонометрической форме и умножим их согласно правилу биномиального умножения:

Получено новое число, записанное в тригонометрической форме: так .

Правило умножения При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули умножаются и аргументы складываются: (1.10)

В результате умножения чисел можно получить аргумент продукта, который не является основным значением.

• Пример 1.19. Найдите числовые формы и аргументы:

Решение

Каждое из приведенных чисел записано как произведение. Находим модули и аргументы множителей и используем правило (1.10) для умножения чисел, приведенных в тригонометрической форме:

Для номеров и найдите модули и темы:. Используя формулы (1.10), получаем

Для числа имеем:; для числа, а поскольку (точка находится в четвертой четверти), то. Используя формулы (1.10), получаем .

Обратите внимание, что для решения этой задачи вы можете раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти и использовать формулы (1.5), (1.6).

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя правило умножения к произведению (формулы (1.10)), получаем .

Правило деления Модуль частного, полученного в результате деления данных чисел в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности между аргументы делимого и делителя: (1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) можно получить честный аргумент, который не является главным значением.

• Пример 1.20. Напишите комплексное число в тригонометрической форме .

Решение. Мы указываем. Для номеров и поиска модулей и тем: (см. Пример 1.19). По формуле (1.11) получаем e

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат, заданной на ней Oxy, и помните, что векторный луч на плоскости — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью и представим комплексное число z = x + iy с радиус-вектором с координатами (x, y).

Мы называем ось абсцисс Ox действительной осью, а ось ординат Oy — мнимой осью.

При таком представлении комплексных чисел сумма комплексных чисел соответствует сумме векторов радиуса, а произведение комплексного числа на действительное число соответствует произведению вектора радиуса на это число.

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

Правило возведения в степень. Когда комплексное число возводится в степень, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени: (1.12)

Записывая число в тригонометрической форме, получаем формулу возведения в степень: (1.13)

В этом случае это равенство принимает вид и называется формулой Муавра (1.14)

• Пример 1.21. Находит модуль и аргумент комплексного числа .

Решение. Мы указываем. Найдите модуль и тему номера. Вот потому что. Поскольку по определению условие выполняется для основного значения аргумента, то .

• Пример 1.22. Напишите число в тригонометрической форме .

Решение

Мы указываем. Найдите формы и аргументы чисел и. Для числа имеем: (см. Пример 1.21). Для числа найдите последовательно: (см. Пример 1.19) или, найдя главное значение аргумента:. Итак, по формуле (1.10) получаем

Записываем число в тригонометрической форме:

• Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найдите выражения для тригонометрических функций угла и через них .

Решение

Из формулы (1.14) a имеем. Поднимаем левую конечность в степень с учетом того, что (см. Пример 1.8):

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в экспоненциальной или тригонометрической форме, или. Также запишем нужное число в экспоненциальной форме:. Используя определение операции извлечения корня и условие (1.8), получаем соотношения o (1.15)

Правило извлечения корня Чтобы извлечь корень комплексного числа, необходимо извлечь (арифметический) корень той же степени из абсолютного значения данного числа и разделить аргумент на показатель степени корня: (1,16)

Теперь вы можете записывать число в геометрической прогрессии:

Если вы запишете это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, легко убедиться, что выражение принимает только разные значения. Чтобы их отметить, достаточно взять, например, последовательные значения в формуле (1.15). В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где: (1.17)
Наблюдения 1.1

• Рассматриваемая задача извлечения корня степени из комплексного числа эквивалентна решению уравнения вида, где, очевидно, .

Чтобы решить уравнение, вам нужно найти значения, и для этого вам нужно найти и использовать формулу извлечения корня.

• Изучение формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа (значения) имеют одинаковые модули, т.е геометрически расположены на окружности радиуса. Аргументы двух последовательных чисел различаются на, так как, например, каждое последующее значение может быть получено из предыдущего, вращая радиус-вектор точки: это геометрический смысл формулы (1.17), которую можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям, находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в круг с центром в начале координат, радиус и аргумент одного из значений которого равны.