Комплексные числа и операции с ними

Комплексные числа — простое объяснение

Чтобы иметь дело с комплексными числами, вы должны сначала рассмотреть набор действительных чисел. В этот набор входят целые числа, дроби и иррациональные числа. При этом каждая точка числовой прямой обязательно должна соответствовать действительному числу.

Рассмотрим две точки на прямой A = 1 и B = 2. Сложите эти две точки вместе. Их сумма, это третья точка B = 1 + 2 = 3.

комплексные числа - объяснение

 

Очки также можно умножать. Давайте посмотрим, например, как мы умножаем на минус 2. Это действие преобразует точку 1 в минус 2. Если мы снова умножим на минус 2, нам придется повторить то же движение по прямой, изменив сторону относительно начала координат и удвоить расстояние от него. В итоге получаем 4.

 

комплексные числа - объяснение

 

Умножение на минус 1 несложно. Каждая точка преобразуется в точку, симметричную ей относительно начала координат. Другими словами, вам нужно сделать пол-оборота (повернуть на 180 °). Повторение умножения на минус 1 возвращает в исходное положение. Умножение на минус 1 преобразует 1 в минус 1. Если мы снова умножим на минус 1, мы вернемся к 1.

На этом этапе мы можем определить правило, согласно которому если вы умножите число на себя, результат всегда будет положительным. Другими словами, минус 1 не имеет квадратного корня. Но не в случае комплексных чисел.

В начале 19 века Роберт Арган выдвинул следующую идею. Поскольку умножение на минус 1 означает поворот на 180 градусов, квадратный корень из минус 1 означает поворот на половину (90 градусов). Если дважды повернуть его на четверть оборота, сделайте пол-оборота. Четверть оборота — это половина оборота (минус 1).

То есть квадратный корень из минус 1 соответствует тому, куда идет минус 1 при повороте на 90 °. Поскольку такая конструкция, выходящая за горизонтальную линию, выглядит странно, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1, является мнимым числом. А в математике это обозначается — i.

 

комплексные числа - объяснение

Выходя за прямую линию, все последующие действия выполняются легко. Вы можете отметить цифры 2i, 3i и так далее. Каждой точке плоскости соответствует комплексное число. И наоборот: любое комплексное число определяет точку на плоскости.

Вычитание комплексных чисел

Разница в цифрах и есть такое число. Обозначение :. Используя правило сложения, находим разницу равенства .

Правило вычитания Когда обнаруживается разница между действительной и мнимой частями уменьшенного, вычитаются действительная и мнимая части вычитаемого соответственно:

Комплексная плоскость

Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел (см. Введение) мы находим, что указание комплексного числа можно рассматривать как указание точки на плоскости, абсцисса которой является ординатой, т. Е. Число соответствует точке .

Между набором точек на плоскости и набором комплексных чисел (вместе) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке соответствует одно число, каждое число соответствует одной точке с координатами; план называется комплексным планом (планом).

Используя геометрическую интерпретацию комплексных чисел как точек плоскости, мы убеждаемся, что утверждение о том, что комплексные числа не сравниваются, верно, т.е операции сравнения не определены на множестве (нет топонимического знака). Это происходит из-за того, что набор точек на плоскости не упорядочен.

Алгебраические формы комплексного числа

Алгебраические формы комплексного числа — это комплексное число в форме, где и — действительные числа; число называется действительной и мнимой частью комплексного числа.

Обозначение: символ, формально определяемый равенством, называется мнимой единицей.

Два комплексных числа считаются равными, если их действительное и мнимое числа равны.

Ниже мы более подробно рассмотрим основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Кроме того, мы соглашаемся рассматривать выражения и т.д. Как комплексные числа, записанные в алгебраической форме, что означает, и т.д., приобретаются только действительные значения.

Другие действия над комплексными числами

Помимо основных операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

  • Получите действительную часть числа: Re (z) = a
  • Получите мнимую часть числа: Im (z) = b
  • Форма номера: | z | = (a2 + b2)
  • Числовой аргумент: arg z = arctan (b / a)
  • Показатель степени: ez = ea cos (b) + i ea sin (b)
  • Логарифм: Ln (z) = ln | z | + i аргумент (z)
  • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
  • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctan z, arcctg z
  • Обратные гиперболические функции: arsh z, arth z, arth z, arcth z

Примеры

Найдите действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re (z) = Re (4 — 3i) = 4
Im (z) = Im (4 — 3i) = -3
| z | = (42 + (-3) 2) = √25 = 5

Примеры корректных выражений

  • (2 + 3i) * (5-7i)
  • ш (я)
  • (4 + i) / (3 — 4i)
  • sqrt (2i)
  • (-3 + 4i) * 2i / esp (2i + (15 — 8i) / 4 — 3,75)

Операции с комплексными числами

Помимо действительных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств действительных чисел. Например, невозможно указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа можно складывать и вычитать как обычные числа.

Рассмотрим точку, представляющую число 1 + 2i. Добавим к нему цифру 3 + 1i. Его можно сложить в столбик и получить 4 + 3i. Геометрически это простое сложение векторов.

сложение и вычитание комплексных чисел

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент в мнимой части равны, соответственно, разности действительных частей и разности коэффициентов в мнимой части уменьшенная и вычтенная часть.

В общем случае вычитание комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di можно записать следующим образом: z1-z2 = (a + bi) — (c + di) = (ac) + (bd) i.

Некоторые примеры вычитания:

  • (5 + 9i) — (3 + 24i) = (5-3) + (9-24) i = 2-15i.
  • (-4 + 16i) — (11-8i) = (-4-11) + (16 + 8) i = -15 + 24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа чередуются, как и действительные числа. Давайте посмотрим на несколько примеров.

2 × (1 + 1i) = 2 + 2i. С геометрической точки зрения умножение на два приводит к двойному растяжению прямой и точки на плоскости.

Умножить на i тоже несложно. Известно, что i соответствует четверти оборота. Например, чтобы умножить 3 + 1i на i, просто поверните десятичную точку на четверть оборота. Получаем -1 + 3i.

Умножаем два комплексных числа 2 + 1.5i и -1 + 2.4i:

Сначала нужно умножить (-1 + 2,4 i) на два, затем на 1,5 i. Затем результаты складываются. (2 + 1.5i) × (-1 + 2.4i) = 2 (-1 + 2.4i) + 1.5i (-1 + 2.4i) = -2 + 4.8i-1.5i + 3.6 × i × ii в квадрате равно равно минус 1. Следовательно, -2 + 4.8i-1.5i + 3.6 × i × i = -2 + 4.8i-1.5i-3.6 = -5.6 + 3.3 the.

Частное комплексных чисел z1 = x1 + y1i и z2 = x2 + y2i в алгебраической форме получается путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем:

z1 ÷ z2 = (x1 + y1i) ÷ (x2 + y2i) = ((x1 + y1i) × (x2-y2i)) ÷ ((x2 + y2i) × (x2-y2i)) = ((x1 × x2 + y1 × y2) ÷ (x2² + y2²)) + (i × (x2 × y1-x1 × y2) ÷ (x2² + y2²)).

Рассмотрим пример деления -1 + 3i на 1 + 2i. Используя формулу для нахождения частного, мы получаем:

z1 ÷ z2 = (-1 + 3i) ÷ (1 + 2i) = ((-1 + 3i) × (1-2i)) ÷ ((1 + 2i) × (1-2i)) = ((-1 × 1 + 3 × 2) ÷ (1² + 2²)) + (i × (3 × 1 + (- 1) × (-2)) ÷ (1² + 2²)) = 5 ÷ 5 + i × 5 ÷ 5 = 1 + я.

Умножение комплексных чисел

Произведение чисел — это такое число, при котором выполняются равенства. Обозначение: .

несложно проверить, что эти равенства имеют место, если мы произведем формальное умножение выражений и, как биномов:

Правило умножения С учетом этого комплексные числа умножаются как биномиальные .

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел

Как и в реальной области, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Это можно сделать по аналогии с набором действительных чисел по геометрическим причинам.

Рассмотрим числовую прямую и круг, соприкасающиеся с линией в точке; будет указана точка, диаметрально противоположная точке.

Соединим разные точки оси точкой с прямыми линиями; точки пересечения прямых с кругом будут обозначены значком. Очевидно, каждая точка соответствует точке. Обратное верно для всех точек в круге, кроме точки. Но когда вы удаляетесь по прямой от точки (с увеличением расстояния, равным), ее изображение на окружности приближается к точке.

Для такой последовательности в анализе принято бесконечно большое имя (значение) последовательности. Ее предел обозначается и называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Следовательно, точку можно рассматривать как изображение бесконечно удаленной точки на окружности, а бесконечность — как «точку» оси, изображение которой на окружности является точкой .

По аналогии рассмотрим плоскость (плоскость) и касательную к ней сферу в начале координат, т.е в точке (рис. 1.2, а). Лучи, соединяющие точки с точкой, пересекают сферу в точках. В этом случае одна точка соответствует любой точке, и наоборот, одна точка соответствует любой точке. Очевидно, что чем дальше точка от начала координат (это длина радиус-вектора точки), тем ближе ее изображение к точке. Чтобы совпадение было полным, вводится «несоответствующий» элемент (символ), бесконечно удаленная точка, такая как точка на плоскости, изображение которой находится на этой точке .

Плоскость, объединенная элементом, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается значком .

Однозначное соответствие, построенное между точками сферы и целым, называется стереографической проекцией, а сфера — сферой Римана.

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа и называются равными, если их действительная и мнимая части равны соответственно

Извлечение корня из комплексного числа

Корень n-й степени комплексного числа — это такое число, что. Обозначение: .

Правило извлечения корня Чтобы извлечь корень (путем нахождения и), можно, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно желаемого е и :

Формы представления комплексных чисел

комплексные числа принято представлять в одной из следующих трех форм: алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, записывающая число как сумму действительной и мнимой частей: x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометрическая форма — это обозначение вида r (cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = | z |), а φ — аргумент этого числа (φ = arg (z))
  • Экспоненциальная форма — это обозначение формы r eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = | z |), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg (z))

Основные действия с комплексными числами

Основные операции, определенные для комплексных чисел, — это сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d) i
  • умножение: (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad) i
  • деление: a + bic + di = (a + bi) (c — di) c2 + d2 = (ac + bd) c2 + d2 + (bc — ad) c2 + d2i

Примеры

  • Найдите сумму чисел 5 + 7i и 5.5-2i:
  1. Находим отдельно сумму действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5,5 = 10,5, im = 7 — 2 = 5.
  2. Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 10,5 + 5i
  3. Полученное число будет ответом: 5 + 7i + 5,5-2i = 10,5 + 5i
  • Найдите разницу между числами 12-i и -2i:
  1. Находим отдельно различия действительных частей и различия мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
  2. Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 12 + 1i
  3. Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i
  • Найдите произведение чисел 2 + 3i и 5-7i:
  1. Находим действительную и мнимую части по формуле: re = 2 · 5 — 3 · (-7) = 31, im = 3 · 5 + 2 · (-7) = 1.
  2. Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 31 + 1i
  3. Полученное число будет ответом: 2 + 3i * (5-7i) = 31 + i
  • Найдите соотношение между числами 75-50i и 3 + 4i:
  1. Находим действительную и мнимую части по формуле: re = (75 3 — 50 4) / 25 = 1, im = (-50 3 — 75 4) / 25 = -18.
  2. Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 1 — 18i
  3. Полученное число будет ответом: 75-50i / (3 + 4i) = 1 — 18i

Деление комплексных чисел

Частное от деления числа на — это такое число, при котором выполняется равенство. Обозначение :. Задача нахождения частного сводится к определению и по системе

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.

Чтобы разделить число на, числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на сопряжение знаменателя.

Возведение комплексного числа в степень

Возвести комплексное число в степень — значит найти произведение множителей, каждый из которых равен, например

Правило возведения в степень Когда число возводится в степень (найти е), используется правило возведения степени в бином, в общем случае применяется формула Ньютона бинома:

Сопряженные комплексные числа

Комплексные числа называются сопряженными, если они имеют одинаковую действительную чистоту, а мнимые — противоположного знака. Сопряженное число обозначено. Определение сопряженных чисел также можно записать в виде равенств (1.2)

Из определения, в частности, следует, что с ним совпадает число, сопряженное с действительным числом: .

Сложение комплексных чисел

Сумма двух комплексных чисел — это такое число, при котором выполняются равенства

Правило сложения: при сложении комплексных чисел действительная и мнимая части складываются соответственно.

Поддерживаемые операции и математические функции

  • Арифметические операции: +, -, *, /, ^
  • Получите абсолютное значение числа: абс
  • Основные математические функции: exp, ln, sqrt
  • Получение реальных и мнимых частей: re, im
  • Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
  • Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
  • Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры комплексных чисел

  • 4 + 3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
  • -2 + i — действительная часть = -2, мнимая = 1
  • i — действительная часть = 0, мнимая = 1
  • -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
  • 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трех форматах:

  • Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
  • Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
  • Действительная и мнимая части: 2 + i, -5 + 15i, -7 + 2.5i, -6 + i
  • Математические константы: π, e
Оцените статью
Блог про прикладную математику