Комплексное число в тригонометрической форме: сложение и деление

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x, y), записывается в виде z = x + i y, где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

1. Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.
2. Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

• Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.
• Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Сложение и вычитание комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)   x1 + i y1   и   x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами

z1 + z2 =
=x1 + i y1 + x2 + i y2 =
=x1 + x2 + i (y1 + y2) ,

z1 – z2 =
=x1 + i y1– (x2 + i y2) =
=x1– x2 + i (y1– y2) .

Умножение комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид: i 2 = – 1 .

По этой причине

z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) =
=x1x2 + i x1 y2 +
+i y1x2 + i 2y1 y2 =
= x1x2 + i x1y2 +
+i y1x2 – y1 y2 =
=x1x2 – y1 y2 +
+i (x1 y2 + i x2 y1) .

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде z = r (cos φ + i sin φ) ,где   r  и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений
или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Ответ.z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ..

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ., где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z1=r1(cosφ1+i sinφ1) и z2=r2(cosφ2+i sinφ2). Перемножим эти числа: z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]

или z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или |z1z2|=|z1||z2|,

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.

Далее имеем arg(z1z2)=φ1+φ2 или arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2),

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 4. Умножить комплексные числа
и .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Ответ..

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z1=r1(cosφ1+i sinφ1) и z2=r2(cosφ2+i sinφ2) и пусть z2≠0, т.е. r2≠0. Вычислим z1/z2:

Получили

Отсюда следует, что
или

Далее , или

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.

Пример 5. Делить комплексные числа
и .

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Ответ..

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z1 и z2. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z1z2, нужно вектор-радиус точки z1 повернуть против часовой стрелки на угол φ2 и растянуть в |z2| раз (при 0<|z2|<1 это будет сжатием).

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z1z2 на z1 (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z1z2 на модуль числа z1, а аргумент равен: φ2=φ−φ1. В результате деления получим число z2.

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа   z = x + iy   и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа   z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа   z   справедливо равенство: а для произвольных комплексных чисел    z1   и   z2   справедливы неравенства:

Замечание. Если   z   — вещественное число, то его модуль   | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа   z1 = x1 + i y1   на отличное от нуля комплексное число   z2 = x2 + i y2   осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

Назовем ось абсцисс Oxвещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера: cos φ + i sin φ = e iφ .

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде z = r e iφ ,

где   r   и   φ   — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа   e iφ,   при любом значении   φ   равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел  и  записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа   z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем   n — ой степени из числа  z0 , где  называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения z n = z0 .

Для того, чтобы решить уравнение, перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства.

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   zk   при   k = 0 , … , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n — угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z1   и   z2 , отличающихся знаком:

z2 = – z1 .

Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Так как то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i ,       z2 = – 1 – i .

Что такое теорема Муавра?

Теорема Муавра утверждает следующее:

Если у нас есть комплексное число в полярной форме z = rƟ, где r — модуль комплексного числа z, а угол Ɵ называется амплитудой или аргументом любого комплексного числа с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, чтобы вычислить его n-ю степень, нет необходимости умножать его на себя n раз; то есть не обязательно изготавливать следующий продукт:

Zп = z * z * z*. . .* г = гƟ * рƟ * рƟ *. . .* рƟ n раз.

Напротив, теорема гласит, что, записывая z в его тригонометрической форме, для вычисления n-й степени мы действуем следующим образом:

Если z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), тогда zп = гп (соз п * Ɵ + я * сэн п * Ɵ).

Например, если n = 2, то z2 = г2[соз ​​2 (Ɵ) + я грех 2 (Ɵ)]. Если n = 3, то z3 = z2 * z. В дальнейшем:

z3 = г2[соз ​​2 (Ɵ) + я грех 2 (Ɵ)] * г [соз 2 (Ɵ) + я грех 2 (Ɵ)] = г3[соз ​​3 (Ɵ) + я грех 3 (Ɵ)].

Таким образом, тригонометрические отношения синуса и косинуса могут быть получены для кратных углов, если известны тригонометрические отношения угла.

Таким же образом его можно использовать для поиска более точных и менее запутанных выражений для корня n-й степени комплексного числа z, так что zп = 1.

Для доказательства теоремы Муавра используется принцип математической индукции: если целое число «a» обладает свойством «P», и если для любого целого «n», большего, чем «a», обладающего свойством «P», Это означает, что n + 1 также имеет свойство «P», тогда все целые числа больше или равные «a» имеют свойство «P».

Демонстрация

Таким образом, доказательство теоремы проводится в следующие шаги:

Индуктивная база

Сначала проверяется на n = 1.

Поскольку z1 = (r (cos Ɵ + i * сен Ɵ))1 = г1 (cos Ɵ + i * сен Ɵ)1 = г1 [cos (1* Ɵ) + я * сен (1* Ɵ)] следует, что при n = 1 теорема выполнена.

Индуктивная гипотеза

Предполагается, что формула верна для некоторого положительного целого числа, то есть n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i * сен Ɵ))k = гk (cos k Ɵ + i * грех к Ɵ).

Проверка

Доказано, что это верно для n = k + 1.

Поскольку zк + 1= zk * z, то zк + 1 = (r (cos Ɵ + i * сен Ɵ))к + 1 = гk (cos kƟ + i * сен кƟ) *  г (соз Ɵ + я* сенƟ).

Затем выражения умножаются:

zк + 1 = гк + 1((cos kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(я*senƟ) + (я * сен кƟ)*(cosƟ) + (я * сен кƟ)*(я* сенƟ)).

На мгновение фактор r игнорируетсяк + 1, а общий множитель i берется:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i (cos kƟ)*(sinƟ) + я (грех kƟ)*(cosƟ) + я2(сен кƟ)*(сенƟ).

Как и я2 = -1, подставляем в выражение и получаем:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i (cos kƟ)*(sinƟ) + я (грех kƟ)*(cosƟ) — (грех kƟ)*(сенƟ).

Теперь заказаны действительная и мнимая части:

(cos kƟ)*(cosƟ) — (грех kƟ)*(sinƟ) + я [(sin kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(сенƟ)].

Чтобы упростить выражение, для косинуса и синуса применяются тригонометрические тождества суммы углов:

соз (А + В) = соз А * cos B — грех A * сен Б.

грех (А + В) = грех А * cos B — cos A * cos B.

В данном случае переменными являются углы Ɵ и kƟ. Применяя тригонометрические тождества, мы имеем:

cos kƟ * cosƟ —  сэн ко * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

сен ко * cosƟ + cos kƟ * грех = грех (кƟ + Ɵ)

Таким образом, выражение выглядит так:

zк + 1 = гк + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + я * грех (kƟ + Ɵ))

zк + 1 = гк + 1(cos [(k +1) Ɵ] + я * грех [(k +1) Ɵ]).

Таким образом, можно показать, что результат верен для n = k + 1. По принципу математической индукции делается вывод, что результат верен для всех положительных целых чисел; то есть n ≥ 1.

Отрицательное целое число

Теорема Муавра также применяется, когда n ≤ 0. Рассмотрим отрицательное целое число «n»; тогда «n» можно записать как «-m», то есть n = -m, где «m» — положительное целое число. Таким образом:

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = (cos Ɵ + i * сен Ɵ) -м

Чтобы получить показатель степени «m» положительным образом, выражение записывается в обратном порядке:

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = 1 ÷ (cos Ɵ + i * сен Ɵ) м

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = 1 ÷ (cos mƟ + i * сен мƟ)

Теперь используется, что если z = a + b * i — комплексное число, то 1 ÷ z = a-b * i. Таким образом:

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = cos (mƟ) — я * сен (мƟ).

Используя cos (x) = cos (-x) и -sen (x) = sin (-x), мы имеем:

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = [cos (mƟ) — я * сен (мƟ)]

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = cos (- mƟ) + я * сен (-mƟ)

(cos Ɵ + i * сен Ɵ)п = cos (nƟ) — я * сен (n).

Таким образом, можно сказать, что теорема применима ко всем целым значениям «n».

Решенные упражнения

Расчет положительных степеней

Одна из операций с комплексными числами в их полярной форме — это умножение на два из них; в этом случае модули умножаются и аргументы добавляются.

Если у нас есть два комплексных числа z1 и Z2 и вы хотите вычислить (z1 * z2)2, затем действуйте следующим образом:

z1z2 = [r1 (cos Ɵ1 + я * сен Ɵ1)] * [р2 (cos Ɵ2 + я * сен Ɵ2)]

Распределительное свойство распространяется:

z1z2 = г1 р2 (cos Ɵ1* cos Ɵ2 + я * cos Ɵ1* я * сен Ɵ2 + я * сен Ɵ1* cos Ɵ2 + я2* сен Ɵ1* сен Ɵ2).

Они сгруппированы, принимая термин «i» как общий фактор выражений:

z1z2 = г1 р2 [cos Ɵ1* cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1* сен Ɵ2 + сен Ɵ1* cos Ɵ2) + я2* сен Ɵ1* сен Ɵ2]

Как и я2 = -1, подставляется в выражение:

z1z2 = г1 р2 [cos Ɵ1* cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1* сен Ɵ2 + сен Ɵ1* cos Ɵ2) — грех Ɵ1* сен Ɵ2]

Реальные члены перегруппированы с реальными, а мнимые с мнимыми:

z1z2 = г1 р2 [(cos Ɵ1* cos Ɵ2 — сен Ɵ1* сен Ɵ2) + i (cos Ɵ1* сен Ɵ2 + сен Ɵ1* cos Ɵ2)]

Наконец, применяются тригонометрические свойства:

z1z2 = г1 р2 [cos (Ɵ1 + Ɵ2) + я грех (Ɵ1 + Ɵ2)].

В заключении:

(г1 * z2)2= (r1 р2 [cos (Ɵ1 + Ɵ2) + я грех (Ɵ1 + Ɵ2)])2= г12р22[cos 2 * (Ɵ1 + Ɵ2) + i sin 2 * (Ɵ1 + Ɵ2)].

Упражнение 1

Запишите комплексное число в полярной форме, если z = — 2 -2i. Затем, используя теорему Муавра, вычислите z4.

Решение:

Комплексное число z = -2 -2i выражается в прямоугольной форме z = a + bi, где:

а = -2.

б = -2.

Зная, что полярная форма имеет вид z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), нам нужно определить значение модуля «r» и значение аргумента «Ɵ». Поскольку r = √ (a² + b²), данные значения подставляются:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Затем, чтобы определить значение «Ɵ», применяется его прямоугольная форма, которая задается формулой:

загар Ɵ = b ÷ a

загар Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Поскольку tan (Ɵ) = 1 и a <0, то имеем:

Ɵ = arctg (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Поскольку значения «r» и «Ɵ» уже были получены, комплексное число z = -2 -2i можно выразить в полярной форме, подставив значения:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * грех (5Π / 4)).

Теперь воспользуемся теоремой Муавра для вычисления z4:

z4= 2√2 (cos (5Π / 4) + i * сен (5Π / 4))4

= 32 (cos (5Π) + i * грех (5Π)).

Упражнение 2

Найдите произведение комплексных чисел, выразив его в полярной форме:

z1 = 4 (cos 50или + я* сен 50или)

z2 = 7 (cos 100или + я* сен 100или).

Затем вычислите (z1 * z2) ².

Решение:

Сначала формируется произведение заданных чисел:

z1 z2 = [4 (cos 50или + я* сен 50или)] * [7 (cos 100или + я* сен 100или)]

Затем модули перемножаются и складываются аргументы:

z1 z2 = (4 * 7)* [cos (50или + 100или) + я* сен (50или + 100или)]

Выражение упрощено:

z1 z2 = 28 * (cos 150или + (я* сен 150или).

Наконец, применима теорема Муавра:

(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150или + (я* сен 150или)) ² = 784 (cos 300или + (я* сен 300или)).

Расчет отрицательных степеней

Чтобы разделить два комплексных числа z1 и Z2 в полярной форме модуль делится, а аргументы вычитаются. Таким образом, фактор равен z1 ÷ z2 и выражается это так:

z1 ÷ z2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ1– Ɵ2) + я грех (Ɵ1 – Ɵ2)]).

Как и в предыдущем случае, если мы хотим вычислить (z1 ÷ z2) ³, сначала выполняется деление, а затем используется теорема Муавра.

Упражнение 3

Кубики:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

вычислить (z1 ÷ z2) ³.

Решение:

Следуя шагам, описанным выше, можно сделать вывод, что:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 — π / 4) + i * sin (3π / 4 — π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).