Когда знак неравенства меняется на противоположный: правила линейных

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≥ 0,
• ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.

Запись неравенств с помощью знаков

Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:

•  знак «не равно», представляющий собой перечеркнутый знак «равно»: ≠. Этот знак располагается между неравными объектами. Например: 5≠10 пять не равно десяти;
•  знак «больше»: > и знак «меньше»: <. Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида |AB| > |CD| говорит о том, что отрезок AB больше отрезка СD;
• знак «больше или равно»: ≥ и знак «меньше или равно»: ≤.

Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.

Неравенства – алгебраические выражения, имеющие смысл и записанные при помощи знаков ≠, > , <, ≤, ≥.

Строгие и нестрогие неравенства

1. Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: > и < Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.
2. Знаки нестрогих неравенств – это знаки «больше или равно» и «меньше или равно»: ≥ и ≤. Неравенства, составленные с их помощью – нестрогие неравенства.

Как применяются строгие неравенства, мы разобрали выше. Зачем же используются нестрогие неравенства? В практике такими неравенствами возможно задавать случаи, описываемые словами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» означает меньше или столько же – этому уровню сравнения соответствует знак «меньше или равно» ≤. В свою очередь, «не меньше» значит – столько же или больше, а это знак «больше или равно» ≥. Таким образом, нестрогие неравенства, в отличие от строгих, дают возможность равенства объектов.

Верные и неверные неравенства

Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным.

Приведем простые примеры для наглядности:

Пример 2

Неравенство 5≠5 является неверным, поскольку на самом деле числа 5 и 5 равны.

Или такое сравнение:

Пример 3

Допустим S – площадь некой фигуры, в этом случае S<-4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.

Двойные, тройные и т.п. неравенства

Свойство транзитивности дает возможность записывать двойные, тройные и так далее неравенства, по сути являющиеся цепочками неравенств. К примеру: двойное неравенство –  e >f>g или тройное неравенство k1≤ k2≤ k3 ≤k4.

Отметим, что удобным бывает записывать неравенство как цепочки, включающие в себя различные знаки: равно, не равно и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2<>

Вид линейного неравенства.

Классические линейные неравенства имеют вид:

• ax+b>0
• ax+b<0
• ax+b≤0
• ax+b≥0

Но линейные неравенства не всегда имеют такой вид, сначала очень часто неравенство необходимо упростить и только после этого мы можем оценить вид неравенства.

Чтобы решить неравенство его необходимо упростить.
По каким правилам упрощают неравенства?

• В неравенствах, как и в уравнениях мы имеем право переносить любую часть неравенства из одной стороны в другую при этом необходимо изменить знак на противоположный (плюс меняем на минус, минус меняем на плюс).

Например:
2x+5<3
По правилу, мы переносим неизвестные в одну сторону, а известные в другую. Неизвестное в нашем неравенстве это 2x, а известное число 5 и 3. Неизвестное мы оставим в левой части неравенства, а все известные перенесем в правую часть.

ЛЕВАЯ ЧАСТЬ<правая>

Число +5 находится в левой части, при переносе через знак неравенства « < » плюс меняется на минус.
2x+5<3
2x<3-5
Чтобы решать дальше неравенство, необходимо применить следующее правило.

• Можно умножать и делить всё неравенство на положительное число, знак неравенства при этом не измениться.

Продолжим решение неравенства:
2x<3-5
2x<-2 |:2
Таким знаком «|» мы обозначаем, что всё неравенство и левая часть и правая часть будет поделена на число 2.

Почему мы делим именно на 2? На число 2 мы делим все неравенство, потому что нам необходимо получить в левой части x.
2x<-2 |:2
2x:2<-2:2
1x<-1
x<-1

Знак неравенства мы не изменили до деления на число 2 стоял знак меньше « < » и после деления на число 2 всего уравнения остался этот же знак неравенства « < ».

Не всегда коэффициент при переменной x положительное число, часто бывает также перед переменной x стоит отрицательное число. В таком случае надо применить следующее правило.

• Можно умножать и делить всё неравенство на отрицательное число, знак неравенства при этом измениться было < на > или ≤ на ≥ и на оборот.

Рассмотрим пример:
-2x<-2

Мы видим, что перед переменной x стоим коэффициент -2, нам необходимо получить в результате x, поэтому делим все неравенство на -2.
-2x<-2 |: (-2) -2x: (-2)>-2: (-2)
x>1

Как вы видите знак неравенства мы поменяли с < на >, потому что поделили всё неравенство на отрицательное число (-2).

Рассмотрим подробно примеры:
3x-1>8

Перенесем -1 с левой стороны в правую сторону неравенства, знак поменяем с минуса на плюс.
3x>8+1
3x>9

Поделим все неравенство на 3
3x>9 |: 3
3x:3>9:3
x>3

У неравенства в ответ записываю промежутки, в нашем случае переменная x больше 3.
По другому можно сказать от 3 до плюс бесконечности.
Ответ: x∈(3; +∞)

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

 

• Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.
• Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.
• Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
• Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.
• Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
• Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

• Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
• Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

• Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и
  

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

• Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
• Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

• Если а > b, где а, b > 0, то
  
• Если а < b , то
  

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

• Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

• Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

• Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : –2 > 9 : -2 ⇒ x < 4,5.

Решение линейных неравенств

Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

Определение 1. Линейное неравенство с неизвестной переменной x имеет вид ax + b > 0, когда вместо > используется любой знак < , ≤ , ≥ , а и b — действительные числа, a ≠ 0.

Определение 2. Неравенства называют линейными с одной переменной, когда ax < c или ax > c , где x — переменная, a, c — некоторые числа.

Мы не знаем может ли коэффициент равняться нулю, поэтому: 0 * x > c и 0 * x < c можно записать в форме нестрогого неравенства: ax ≤ c, ax ≥ c . Такое уравнение принято называть линейным. Его главные различия:

• форма записи ax + b > 0 — в первом и ax > c — во втором;
• допустимость равенства нулю: a ≠ 0 — в первом, a = 0 — во втором.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≤ 0,
• ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

• перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
• получим равносильное: ax < −b;
• произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак остается, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

• Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
• Произведем деление обеих частей на 4. Меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4.
• Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

• Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
• Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

• введение функции y = ax + b;
• поиск нулей для разбиения области определения на промежутки;
• отметить полученные корни на координатной прямой;
• определение знаков и отмечание их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

• найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

• начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
• определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

• если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ н — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −3x + 12 > 0.

Как решаем:

• В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

−6x = −12,

x = 2.

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

• Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.

• Выполним решение со знаком >. Штриховку сделаем над положительным промежутком.
  

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x < 4.

Ответ: (−∞, 4) или x < 4.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

• во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
• во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
• во время решения ax + b > 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
• во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

• Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
• Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
• Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
• Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки  и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x.

Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.  Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ

Неравенство 1

Укажите решение неравенства

1. 
2. 
3. 
4. 

Решение:

Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные — в правую часть неравенства:

Посчитаем:

, отсюда

искомый интервал:
. Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.

Ответ 2.

Неравенство 2

Укажите множество решений неравенства:

Решение:

Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины — вправо:

Обратите внимание — здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!

или

Нам подходит вариант решения 4.

Ответ: 4.

Неравенство 3

Укажите решение неравенства

1. 
2. 
3. 
4. 

Решение:

Подходит вариант решения 2.

Ответ: 2

Неравенство 4

Укажите множество решений неравенства

Решение:

Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.

Ответ: 3.